广西南宁外国语学校高考数学第二轮复习 数列专题素质测试题 文

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

高一（上）数学章节测试题——数列（考试时间120分钟，满分150分）班别_______姓名________学号________分数_______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1. (09安徽)已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于（ ）A. 1-B. 1C. 3D.72. (08广东)记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）A.2B.3C.6D.7 3. (10全国Ⅱ)如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D.35 4. (08福建)设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为（ ） A.63B.64C.127D.1285. (10全国Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）A. B. 7 C. 6 D.6. (09宁夏)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ）A. 38B. 20C. 10D. 9 7. (08北京)已知等差数列{}n a 中，15,652==a a .若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A.30B. 45C.90D.1868.(09重庆)设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n +D ．2n n +9.（09宁夏）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96SS =（ ） A. 2 B.73 C. 83D.3 10.（09安徽）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 18 11.（11江西）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 12.（09广东）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD.2(1)n -二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13. (09全国Ⅰ)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________.14.（10福建）在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. (08四川)设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. (07重庆) 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若2004a 和2006a 是方程03842=+-x x 的两根，则=+20072006a a _____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分，06全国Ⅰ17) 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. (本题满分12分，10北京16) 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. (本题满分12分，10山东18) 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和T n ．20.（本题满分12分,06辽宁20) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ,n ∈+N ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21.（本题满分12分,11湖北17) 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．22.（本题满分12分， 09山东20)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （Ⅰ）求r 的值； （Ⅱ）当2=b 时，记1()4n nn b n N a ++=∈求数列{}n b 的前n 项和n T .参考答案：一、选择题答题卡：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15.)(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q 当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--； 当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-. （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21= )1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n=4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a . 由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b 因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(1).116(152161)161(2-=--=n n 21. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+， 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q .由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(， 2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2） ）（）（21-,得:23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--.所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。

广西南宁外国语学校2012届高考数学（文）三轮复习综合素质测试题二班别______学号______姓名_______评价______（考试时间120分钟，满分150分，试题设计：隆光诚）一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1．已知55sin =θ,则θθ44cos sin -的值为（ ） A.53-B. 51-C.51 D.53 2.（10全国新课程）已知集合},4{},,2||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤=，则A B =( )A.（0，2）B. [0，2]C. {0，2}D. {0，1，2}3.已知函数()f x 的反函数为x x g lg 21)(+=（x ＞0），则=+)1()1(g f （ ）A. 0B. 1C. 2D. 4 4.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．85．已知向量OA =（4，6），OB =（3，5），且OC ⊥OA ，AC ∥OB ，则向量OC =（ ） A.⎪⎭⎫⎝⎛-72,73 B.⎪⎭⎫⎝⎛-214,72C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,726.设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数7．如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．10Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．38. (10江西)直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M 、N 两点，若32||≥MN ，则k 的取值范围是（ ）A ．3[,0]4- B．[C．[D ．2[,0]3-9．若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A ．34B ．1C ．74D ．210.过点)0,1(-作抛物线12++=x x y 的切线，其中一条切线为（ ）A. 022=++y xB. 033=+-y xC. 01=++y xD.01=+-y x11.（10全国Ⅱ）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）A.4B.4C.4D. 3412．（09全国Ⅱ）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点.若FB FA 2=，则k=（ ）A.31 B.32 C.32 D.322二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13．安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）14.在体积为的球的表面上有A 、B ，C 三点，AB =1，BC，A ，C 两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为_________． 15.在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 16. （09江西）若不等式(1)k x ≤+的解集为区间[],a b ，且1b a -=，则k =．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分， 09全国Ⅱ18）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ，ac b =2，求B.18.（本题满分12分，10全国Ⅱ18）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++.(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本题满分12分，08广东19）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知245,245y z ≥≥，求初三年级中女生比男生多的概率.20.（本题满分12分，09湖北18）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且(01)DE a λλ=<≤(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1]，都有AC BE ⊥； (Ⅱ)若二面角D AE C ——的大小为600，求λ的值.21. (本题满分12分，10全国Ⅱ21)已知函数32()331f x x ax x =-++. （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.S A BD CE22.（本题满分12分， 09四川21）已知椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为12F F 、，离心率2e =，右准线方程为2=x . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且22226||,3F M F N +=求直线l 的方程.参考答案：一、选择题答题卡： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A DCBDACBCDDD二、填空题 13． 60 . 14.23． 15.21． 16. 23 k ．三、解答题17．解：由3cos()cos 2A C B -+=及()B A C π=-+得3cos()cos()2A C A C --+=． 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C +--=，3sin sin 4A C =．又由2b a c =及正弦定理C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===得2sin sin sin ,B A C =故 23s i n 4B =，sin B =或sin B =（舍去）， 于是3B π=或23B π=. 又由2b ac =知a b ≤或c b ≤， 所以3B π=．18.解：（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有1111234111234111112,11164.a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩化简得21261264.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又10a >，故12,1q a ==．所以12-=n n a ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此()()1111111411414...41 (224421)14441314nn n n n n n T n n n -----⎛⎫=++++++++=++=-++ ⎪-⎝⎭-19.解：（1）∵19.02000=x∴x=380. （2）初三年级人数为y+z=2000-(373+377+388+370)=500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：200048×500=12名. （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为(y,z)：由（2）知y+z=500，且y,z ∈N ，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共11个,事件A 包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个,∴P(A)=115. 答：（1）x 的值为380；（2）应在初三年级抽取12名；（3）初三年级中女生比男生多的概率为115. 20.（Ⅰ）证法1：连接BD ，由底面ABCD 是正方形可得AC ⊥BD.SD ⊥平面ABCD ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理得AC BE ⊥．(Ⅰ)证法2：以D 为原点，DADC DS 、、的方向分别作为x y z 、、的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,)D A a B a a C a E a λ，(,,0),(,,),(,0,),(0,,)AC a a BE a a a EA a a EC a a λλλ=-=---=-，∴22(,,0)(,,)00AC BE a a a a a a a a λλ=--=-+-=．即对任意的λ∈（0，1]，都有AC BE ⊥．(Ⅱ)解：(0,,0)D C a =为平面ADE 的一个法向量，设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则,n EA n EC ⊥⊥．∴00n EA n EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00x z y z λλ-=⎧⎨-=⎩，取1z =，得(,,1)n λλ=．∴||cos602||||||2DC n DCn λλ==⇔=．由λ∈（0，1]，解得λ=． 21.解：（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(22f x x x x f x x x '=-++=-+-当(,2x ∈-∞时()0,()f x f x '>在(,2-∞单调增加；当(22x ∈+时()0,()f x f x '<在(22单调减少； 当(2)x ∈+∞时()0,()f x f x '>在(2)++∞单调增加； 综上所述，()f x的单调递增区间是(,2-∞-和(2)+∞，()f x 的单调递减区间是(22（Ⅱ）363)(2'+-=ax x x f ，由0)('=x f 得0122=+-ax x ，当0442≤-=∆a ，即11≤≤-a 时，()0,()f x f x '≥为增函数，故()f x 无极值点； 当442-=∆a ＞0，即a ＜1-或a ＞1时，()0f x '=有两个根.根据题意，()0f x '=在区间（2,3）中有一个根或两个根.a f a f 1830)3(,1215)2(''-=-=.抛物线363)(2'+-=ax x x f 中，对称轴为a x =. 当()0f x '=在区间（2,3）中有一个根时，得(1) ⎩⎨⎧<--=⋅>-<0)1830)(1215()3()2(1,1''a a f f a a 或.当()0f x '=在区间（2,3）中有两个根时，得'')'x(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>-=>-=>-<3201830)3(01215)2(1,1''a a f a f a a 或.由（1）解得5543a <<，而（2）无解， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫⎪⎝⎭，.22.解：（Ⅰ）由条件有222c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得,c=1.1b ∴==.所以，所求椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -、2(1,0)F .若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1-=x ， 将1-=x代入椭圆方程的y =，不妨设M (-、N (1,-，22(2,(2,(4,0)22F M F N ∴+=-+--=-. 22||4F M F N ∴+=,与题设矛盾.∴直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =+，弦MN 的中点为),(00y x P ，则F F F 2222=+.由点差法公式2200ab x y k -=⋅得0200=+x ky ……………①点),(00y x P 在直线l 上，得)1(00+=x k y ………………②由①、②得12,12220220+=+-=k ky k k x .因为22226||F M F N +=所以326||2=F . 926)1(2020=+-∴y x ，从而92614414418162422424=+++++++k k k k k k k ， 化简得424023170k k --=，解得21k =或21740k =-（舍）. 1k ∴=±.∴所求直线l 的方程为1y x =+或1y x =--.。

高二（下）数学章节素质测试题——第十章 排列、组合和二项式定理（考试时间120分钟，满分150分）某某______评价_______一、选择题（以下给出的四个备选答案中，只有一个正确. 每小题5分，共60分）1.（08某某）321(2)2x x -10的展开式中常数项是（ ） A.210 B.1052 C.14D.－1052.（08某某））若（x +12x）n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为（ ）A.6B.7C.8D.93.（11全国Ⅰ）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种4.（09某某）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．60 B ．48 C ．42 D ．365.（07某某）若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6．（12某某）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A.3×3！B. 3×（3！）3C.（3！）4D. 9！7.（09全国Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）A.6种B.12种C.24种D.30种8. （10某某）由1，2，3，4，5，组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）A.36B. 32C.28D.24 9．（12某某）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A ．10B ．15C ．20D ．3010.（09某某）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A.120种 B.96种 C.60种 D.48种11.（09全国Ⅰ）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 12．（12某某 ）设130<≤∈a Z a ，且，若a +201251能被13整除，则=a （ ）A ．0B ．1C ．11D ．12二、填空题（每小题5分，共20分. 将你认为正确的答案填写在空格上） 13.（11全国Ⅰ）20)1(x -的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ___________.14.（09某某）已知5255(1)110...ax x bx a x +=++++，则b=.15.（07某某）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小X 用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是__________（用数字作答）． 16.（07某某）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的 颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）（Ⅰ）求证：!)!1(!n n n n -+=⋅； （Ⅱ）计算: !!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+ .18.（本题满分12分）甲、乙、丙3个人坐在一排8个座位上, 按照下列要求 ，分别有几种的不同坐法？（Ⅰ）每个人的左右两边都有空位； （Ⅱ）甲、乙相邻但都与丙不相邻.19.（本题满分12分）有6本不同的书.（Ⅰ）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法? （Ⅱ）分给甲、乙、丙三人，如果一人得4本，另外两人各得1本，有多少种分法?20. （本题满分12分）已知全集{}{}{}87432165432187654321，，，，，，，，，，，，集合，，，，，，，===B A U , 从B A 和）（）（B C A C U U 中各取两个数字, 问： （Ⅰ）能组成多少个没有重复的四位数?（Ⅱ）能组成多少个比6100大的四位数?21.（本题满分12分）已知nn x a x a a x x x x f +++=-⋅++= 10872)1()1()(.（Ⅰ）求n 的值； （Ⅱ）求⋯⋯+++420a a a 的值； （Ⅲ）求01a 的值.22.（本题满分12分）已知nx )21(+展开式中，第3项的二项式系数与地7项的二项式系数相等. （Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项.高二（下）数学章节素质测试题——第十章排列、组合和二项式定理（参考答案）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 0 .14. 40 .15. 266 .16. 630 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（Ⅰ）证明：!!)1(!)!1(n n n n n -⋅+=-+!.!)11(n n n n ⋅=⋅-+=故等式成立.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，!)!1(!3!4!2!3!1!2!!33!22!1n n n n -++-+-+-=⋅++⋅+⋅+.1)!1()!1(!1-+=++-=n n18.解：（Ⅰ）将8个座位上的椅子抽出3个，甲、乙、丙分别带着椅子插入剩余的5个座位之间的4个空格中，不同坐法有2434=A 种.（Ⅱ）①甲、乙相邻的坐法有22A 种；②将甲、乙看成一个整体，在（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）连坐中，选择开头或者末尾2个座位，坐法有12A 种，这时丙的坐法有15A 种；③将甲、乙看成一个整体，在（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）连坐中，选择中间的座位，坐法有15A 种，这时丙的坐法有14A 种.故符合题意的坐法有604020141522151222=+=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 种.19.解：（Ⅰ）根据题意，得601106332516=⨯⨯=⋅⋅C C C 种.（Ⅱ）①分组：分为1,1,4三组，方法有1522441516=A C C C 种；②分配：将3堆书分给甲、乙、丙三人，方法有633=A 种.故符合题意的分法有90615=⨯种.解法二：①选择甲、乙、丙3人中的某1位同学，选法有13C 种；②这位同学分得6本书中的4本，方法有46C 种；③剩余的2本书分给剩余的2个同学，方法有22A 种.故符合题意的分法有902153224613=⨯⨯=⋅⋅A C C 种.20.解：（Ⅰ），{1,2,3,4}=B A }.8,7,6,5{)(==B A C B C A C U U U ）（）（ ①从{1,2,3,4}中任取2个数，方法有24C 种；②从}8,7,6,5{中任取2个数，方法有24C 种；③这4个数的全排列为44A .故能组成没有重复的所有四位数有8642466442424=⨯⨯=⋅⋅A C C 个.（Ⅱ）①千位数从}8,7,6{中选取1个，方法有13C 种；②从}8,7,6,5{剩余的3个数中选取1个，方法有13C 种；从{1,2,3,4}中任取2个数，方法有24C 种；③这3个数在个、十、百位的全排列为33A .故能组成比6100大的四位数有324663333241313=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅A C C C 个.21.解：（Ⅰ）=+++nn x a x a a 10）（x x x x -⋅-⋅++1)1()1(772)1()]()([)1()1(1)]1()1[(2177627317077372x x C x C x C C x x x x x x -⋅-+++-+=--=-⋅-⋅++= ）（.222277x x C x a n n ==∴故.22=n（Ⅱ）222210872)1()1()(x a x a a x x x x f +++=-⋅++= ，222110872)11()111()1(a a a a f ++++=-⋅++=∴ ，即0222110=++++a a a a . 22211087)11()111()1(a a a a f +-+-=+⋅+-=-∴ ，即.25628222110==+-+-a a a a两式相加，得256)(222420=+⋯⋯+++a a a a ，.12822420=+⋯⋯+++∴a a a a（Ⅲ）由（Ⅰ）知，=+++222210x a x a a )1()]()([217762731707x x C x C x C C -⋅-+++-+ .351010371010x x C x a ==∴故01a 的值为35.22.解：（Ⅰ）根据题意，得62n n C C =，.862=+=∴n所以8)21(x +中，二项式系数最大的项是.11201670)2(444485x x x C T =⨯==（Ⅱ）设展开式中系数最大的项为第1+r 项，rr r r r r x C x C T ⋅⋅==+2)2(881，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--1188********r r r r r r r r C C C C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅+≥⋅-⋅⋅-⋅-≥⋅-⋅+-)2(2)!7()!1(!82)!8(!!8)1(2)!9()!1(!82)!8(!811 r r r rr r r r r r r r ！ 由（1）得，r r -≥912，解得.6≤r 由（2）得，1281+≥-r r ，解得.5≥r .65*，或，=∴∈r N r当5=r 时，55558617922x x C T =⋅⋅=；当6=r 时，66668717922x x C T =⋅⋅=.。

2024年高考第二次联合模拟考试数学（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若()1i 1i z -=+，则z =（）A ．1BC．D ．52．已知椭圆2221142x y m m ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭的离心率为32，则2m =（）A ．2B ．4C．D．3．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若22S =，346a a +=，则64S S =（）A ．2B ．74C ．3D ．1344．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（）A ．15B ．25C ．310D ．7105．已知函数()()()()2ln 2f x x a x e e a R ⎡⎤=-++∈⎣⎦为偶函数，则()f x 的最小值为（）A ．2B ．0C ．1D ．ln26．已知函数()()π2sin 106f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间()0,π上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．410,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,33⎛⎤ ⎥⎝⎦7．记函数()y f x =的导函数为y '，y '的导函数为y ''，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y =⎡⎤+⎣'⎦''．若函数为ln y x =，则其曲率的最大值为（）A ．23B ．22C ．239D ．2338．已知点P 为双曲线22:143x y C -=上的任意一点，过点P 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，则PEF △的面积为（）A ．43B ．49C ．127D ．49二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论中正确的是（）A ．0a b +>B ．ac bc >C ．11a b b c >--D ．()()294a cbc c --<10．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且4a =，3sin24cos24A A -=，则（）A ．ABC △的外接圆半径为5B ．若4c =，则ABC △的面积为19225C ．5320cos b c C-=D ．AB AC AB AC +-⋅的取值范围为)9⎡--⎣11．已知函数()y f x =的定义域与值域均为Q +，且()()()()()22*x y f y f f x fy txf y t N y ⎛⎫+=++∈ ⎪⎝⎭，则（）A ．()11f =B ．函数()f x 的周期为4C ．()()2f x xx Q +=∈D ．2t =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}2,1,4A m =+，{}2,1B m =，若B A ⊆，则实数m =______．13．设实数x ，()4y x y ≤<，满足1，3，4，x ，y ，2y +的平均数与50%分位数相等，则数据x ，y ，2y +的方差为______．14．在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △，PAC △，ABC △的面积分别3，4，12，13，且APB BPC APC ∠=∠=∠，则其内切球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()()2252xf x x x e =-+．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间与极值．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，14AA =，点E ，F ，G ，H 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，且22BF DH AE ===，3CG =．（1）证明：F ，E ，H ，G 四点共面；（2）求平面ABCD 与平面EGH 所成角的余弦值．17．（15分）某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码．（1）分别求第3周和第4周使用甲密码的概率；（2）记前n 周中使用了乙密码的次数为Y ，求()E Y ．18．（17分）已知抛物线2:C x y =，过点()0,2E 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P ．（1）证明：P 在定直线上；（2）若F 为抛物线C 的焦点，证明：PFA PFB ∠=∠．19．（17分）设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：①[]y x =的定义域为R ，值域为Z ；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即[]{}{}()01x x x x =+≤<，其中[]x 为x 的整数部分，{}[]x x x =-为x 的小数部分；③[][]()n x n x n Z +=+∈；④．若整数a ，b 满足()0,,,0a bq r b q r Z r b =+>∈≤<，则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）解方程5615785x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）已知实数r 满足19202191546100100100100r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求[]100r 的值；（3）证明：对于任意的正整数n ，均有()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎨⎬-⎩⎭⎩⎭．2024年高考第二次联合模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CADBADCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011答案ADBCDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．2-13．14914．9π8四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由()()2252xf x x x e=-+可知()()223x f x x x e =--'，所以()0033f e =-'=-，又()02f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为320x y +-=．（2）()()()()223e 123e xxf x x x x x =--=+-'，()f x 的定义域为R ．由()0f x '=，得32x =，或1x =-，当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当312x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当32x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故函数()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为()91f e-=；在32x =处取得极小值，极小值为3232f e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．16．（1）证明：如图：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系则：()0,0,1E ，()2,0,2F ，()2,2,3G ，()0,2,2H ．所以()0,2,1FG = ，()0,2,1EH =，所以FG EH = ．∴四边形FEHG 为平行四边形，故F ，E ，H ，G 四点共面．（2）由（1）知，()0,0,0A ，()10,0,4A ，()0,2,1EH = ，()2,2,2EG =，∴平面ABCD 的法向量为()10,0,4AA =，设平面EGH 的法向量为(),,m x y z = ，则0m EH m EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以202220y z x y z +=⎧⎨++=⎩，令1y =，则2z =-，1x =，所以()1,1,2m =-，1116cos ,3m AA m AA m AA ⋅===- ．故平面ABCD 与平面EGH 所成角的余弦值为63．17．解：（1）设第k 周使用甲密码的概率为k a ，因为11a =，20a =，所以313a =，()433120139a a a =⨯+-=，答：第3周和第4周使用甲密码的概率分别为13和29．（2）因为第k 周使用甲密码的概率为k a ，则第1k +周使用甲密码的概率为()1113k k a a +=-，整理得1111434k k a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，因为11a =，所以113044a -=≠，所以数列14k a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，公比为13-的等比数列，所以1131443k k a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即1311434k k a -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭．设第k 周使用甲密码的次数为()1,2,,k X k n =⋅⋅⋅，则k X 服从01-分布，所以()()()()()1212n n E X E X X X E X E X E X =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+121139131144163413nn n n n a a a ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+．所以前n 周中使用甲密码次数的均值()9111634nnE X ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又因为乙、丙、丁地位相同，所以()()31134163nn E X n E Y ⎡⎤-⎛⎫==+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．18．证明：（1）设()211,A x x，()222,B x x ，则22121212ABx x kx x x x -==+-，直线AB 的方程为()()21121y x x x x x -=+-，即()1212y x x x x x =+-又因为直线AB 过点()0,2E ，所以122x x -=，即122x x =-设直线PA 的方程为()211y x k x x -=-，与抛物线方程2y x =联立，解得1x x =或1x k x =-又因为直线PA 与抛物线相切，所以11x k x =-，即12k x =所以直线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2112y xx x =-同理直线PB 的方程为2222y xx x =-由21122222y xx x y xx x ⎧=-⎨=-⎩，解得1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12,22x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭故点P 在直线2y =-上．（2）证明：∵cos FA FPPFA FA FP⋅∠=⋅ ，cos FB FP PFB FB FP⋅∠=⋅ 注意到两角都在()0,π内，可知要证PFA PFB ∠=∠．即证FA FP FB FPFA FB ⋅⋅=而2111,4FA x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，129,24x x FP +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以()22121119174124416x x FA FP x x x +⎛⎫⋅=⋅--=-+ ⎪⎝⎭，又2114FA x ==+所以()2121741716144x FA FP FA x -+⋅==-+ ，同理74FB FP FB ⋅=- 即有FA FP FB FP FA FB⋅⋅= ，故PFA PFB ∠=∠．19．解：（1）令()1575x n n Z -=∈，则5715n x +=，∴103940n n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦又由高斯函数的定义有10390140n n +≤-<解得：1133010n -<≤，则0n =或1n =当0n =时，则715x =；当1n =时，则45x =；（2）设[]r n =，设19100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，20100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，21100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，91100r ⎡⎤+⎢⎣⎦中有k 个为1n +，()73k -个n ，()073k ≤≤，据题知：()()731546k n k n -++=，则有35773kn -=+，解得:35k =，7n =所以568100r +<，578100r +≥，即743100744r ≤<故[]100743r =．证明（3）：据题形式，可构造不等式，当3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-设()1403,n q r r q Z +=+≤<∈，则有()114424n n r r q q n +++<<+-从而()114424n n r r n ⎧⎫++<<⎨⎬-⎩⎭．而144n r q +=+，则144n r +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴()11 424n n nn⎧⎫++⎧⎫>⎨⎨⎬-⎩⎭⎩⎭．又当1n=，2时，经检验原式成立，故对一切的自然数n，原式成立．。

第四篇 概率与统计专题05 与数列相结合的概率综合问题常见考点考点一 与数列相结合问题典例1．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏． （1）当进行完3轮游戏时，总分为X ，求X 的期望；（2）若累计得分为i 的概率为i p ，（初始得分为0分，01p =）． ①证明数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是等比数列； ②求活动参与者得到纪念品的概率．【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②1922153⎡⎤⎛⎫⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】 【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为Y ，所以13,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，6X Y =-，即可求出X 的期望；（2）①根据累计得分为i 的概率为i p ，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式2121(2,3,,19)33i i i P P P i --=+=⋯，再根据构造法即可证出数列{}1i i p p --是等比数列； ②根据①可求出12()3ii i p p --=-，再根据累加法即可求出(2,3,,19)i p i =⋯，然后由20182P 3P =从而解出． 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为Y ，所以13,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3312,0,1,2,333k kk P Y k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()236X Y Y Y =+-=-，即随机变量X 可能取值为3，4，5，6，311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，223122(4)339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，213124(5)339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，328(6)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴X 的分布列为： X 3456P 1272949827E （X ）＝12483456279927⨯+⨯+⨯+⨯＝5． （2）①证明：n ＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，113P =，则1023P P -=-，累计得分为i 分的情况有两种： （Ⅰ）i ＝（i ﹣2）＋2，即累计得i ﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为223i P -， （Ⅰ）累计得分为i ﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为113i P -， ∴2121(2,3,,19)33i i i P P P i --=+=⋯，∴()11223i i i i P P P P ----=--，（i ＝2，3，•••，19），∴数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列． ②∵数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列，∴12()3ii i p p --=-，∴1023p p -=-，22123P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，•••，123ii i p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 各式相加，得：022153ii p p ⎡⎤⎛⎫-=-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴132232155353i i i p +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯-=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，（i ＝1，2，•••，19），∴活动参与者得到纪念品的概率为：1919201822222P 1135353P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为Y 服从二项分布，从而找到所求变量X 与Y 的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到i 分的情况，进而得到212133i i i P P P --=+，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出(2,3,,19)i p i =⋯，分析可知20182P 3P =，从而解出．变式1-1．某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布(10,4)N ．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k 格到第k +2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k 格到第k +1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50元奖券．（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布2(,)N μσ，则0.68()27P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈．）（2）记“跳子”前进到第n 格（1≤n ≤10）的概率为n P ，证明：{}1n n P P --（2≤n ≤9）是等比数列；（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望． 【答案】（1）0．8186；（2）证明见解析；（3）期望为3835128元． 【解析】（1）由ξ服从正态分布(10,4)N 可得(22)()(814)(22)2P P P P μσμσμσμσξμσμσ-<+--<+<<≈-<+-；（2）计算出11P =、212P =，“跳子”前进到第(39)n n 格的情况得到211122n n n P P P --=+，可得112(1)2n n n n P P P P ----=--化简可得答案；（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，求出对应的概率可列出分布列求出期望. 【详解】（1）由ξ服从正态分布(10,4)N 可得： ∴0.95450.6827(814)0.95450.81862P ξ-<<≈-=．（2）“跳子”开始在第1 格为必然事件，11P =．第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为12，即212P =，“跳子”前进到第(39)n n 格的情况是下面两种，而且只有两种： ①“跳子”先到第2n -格，又掷出正面，其概率为212n P -， ②“跳子”先到第1n -格，又掷出反面，其概率为112n P -， ∴211122n n n P P P --=+， ∴112(1)2n n n n P P P P ----=--，∵21102P P -=-≠， ∵10n n P P --≠(29)n ，∴11212n n n n P P P P ----=--(39)n ， ∴当29n 时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为2112P P -=-，公比为12-． （3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，由（2）可知1112n n n P P --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(29)n ，∴12122111111()()()1222n n n n n n n P P P P P P P P -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯⋯+-+=-+-+⋯⋯+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11212113212nn⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭(29)n ，11P =也适合， ∴9992121171113232256P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，88108112111851()1223232256P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==⨯--=-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦．Χ的分布列为： Χ 2050P 17125685256则Χ的期望为()17185767038352050256256256128E X =⨯+⨯==（元）. 【点睛】本题考查了正态分布、随机变量的分布列，关键点是证明数列1{}n n P P --是等比数列、求出X 所有可能取值对应的概率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，是一道综合题．变式1-2．2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A 、B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A 类套餐的概率为23、选择B 类套餐的概率为13．而前一天选择了A 类套餐第二天选择A 类套餐的概率为14、选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 类套餐第二天选择A 类套餐的概率为12、选择B 类套餐的概率也是12，如此往复．记某同学第n 天选择A 类套餐的概率为n P ．（1）证明数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n P 的通项公式；（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择A 类套餐的人数为X ，求X 的分布列并求()E X ；（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发A 、B 套餐的同学的人数呢，说明理由．【答案】（1）证明见解析，21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭；（2）分布列见解析，1；（3）A 套餐的8人， B 套餐的12人；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）依题意得()111142n n n P P P +=⨯+-⨯，根据递推关系即可证明25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，利用等比数列通项公式求得25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项，即可求得{}n P 的通项公式；（2）依题意求得第二天选择A 、B 类套餐的概率，列出X 的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；（3）由{}n P 的通项公式得3025P ≈，根据总人数即可求得分发A 、B 套餐的同学的人数． 【详解】（1）依题意，()111142n n n P P P +=⨯+-⨯，则1212(1,)545n n P P n n N +⎛⎫-=--≥∈ ⎪⎝⎭.当1n =时，可得124515P -=， ∴数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415公比为14-的等比数列.21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭.（2）第二天选择A 类套餐的概率2111134323A P =⨯+⨯=； 第二天选择B 类套餐的概率2311234323B P =⨯+⨯=， ∴3人在第二天的有X 个人选择A 套餐，X 的所有可能取值为0、1、2、3，有3312()(0,1,2,3)33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为X123P8274929127故8421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由（1）知：21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，∴3025P ≈，即第30次以后购买A 套餐的概率约为25. 则22085⨯=，20812-=∴负责A 套餐的8人，负责B 套餐的12人. 【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）变式1-3．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是23，择餐厅乙就餐的概率是13，记某同学第n 天选择甲餐厅就餐的概率为n P .（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X ，求X 的分布列，并求E (X )； （2）请写出1n P +与(*)n P n N ∈的递推关系；（3）求数列{}n P 的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由. 【答案】（1）分布列答案见解析，()1E X =； （2）()*11142n n P P n N +=-+∈； （3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析. 【解析】（1）依题意可得13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，进而可得分布列和期望； （2）由()111142n n n P P P +=⨯+-⨯可得结果； （3）由（2）求得n P ，且2()5n P n →→+∞，由此可得分配方案. 【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率2111134323A P =⨯+⨯=，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率2311234323B P =⨯+⨯=，3∴位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X ，则13,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()()33120,1,2,333kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X ∴的分布列为X 0123P8274929127故()1313E X ⨯==.（2）依题意，()111142n n n P P P +=⨯+-⨯，即1*11()42n n P P n N +=-+∈.（3）由（2）知1*11()42n n P P n N +=-+∈，则()*1212545n n P P n N +⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭当1n =时，可得1222453515P -=-=， ∴数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415公比为14-的等比数列.12155441n n P -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭.2()5n P n ∴→+∞→， 所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为22085⨯=，分配到餐厅乙的志愿者人数为【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭；后两问的关键点是得到递推关系1*11()42n n P P n N +=-+∈.典例2．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的数学期望；（2）若经过n 轮踢球，用i p 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，请根据①中1p ，2p ，3p 的值求出A 、B ，并求出数列{}n p 的通项公式．【答案】（1）16-；（2）①116p =，2736p =，343216p =；②6177A B ==，，11156n n P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）X 的可能取值为1-，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列与期望；（2）①116p =，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出2p ．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．由此能求出3p ．②推导出11i i i p Ap Bp +-=+，将012317430,,,636216p p p p ====，代入得，116177i i i p p p +-=+，推导出1{}n n p p --是首项与公比都是16的等比数列，由此能求出结果． 【详解】（1）记一轮踢球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，A ，B 相互独立． 由题意()12P A =，()23P B =，甲的得分X 的可能取值为1-，0，1．()()()()12112331P AB P A P B P X =-⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()1212111232203P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+=+=．()()()()12112136P X P AB P A P B ==⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=⨯，∴X 的分布列为：X1-1P131216()11111013266E X =-⨯+⨯+⨯=-．（2）①由（1）116p =，()()()()()()201101p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=1111172662636⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭． 经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．∴32222123333111111143C C C 6626263216p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ②∵规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，∴1202316717A p Ap Bp p Ap Bp B ⎧⎧=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪⎩⎩代入得：116177i i i p p p +-=+，∴()1116i i i i p p p p +--=-，∴数列{}1n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=，∴116nn n p p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴()()()11121011111166656n n n n n n n n P p p p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点睛：利用待定系数法得到116177i i i p p p +-=+后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.变式2-1．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23.（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第()2i i ≥个等级的概率为i P ，证明：{}1i i P P --为等比数列.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：203；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先确定X 的所有可能取值5,6,7,8,9,10X =，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出1i P +与i P ，1i P -的关系式112133i i i P P P +-=+，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【详解】解：（1）依题意可得，5,6,7,8,9,10X =，55552232(5)33243P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4445212180(6)53333243P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32352180(7)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23252140833243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4152110933243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()50511103243P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则X 的分布列如表所示.X5678910P322438024380243402431024312433280804010120()56789102432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）处于第1i 个等级有两种情况： 由第i 等级到第1i 等级，其概率为23i P ； 由第1i -等级到第1i 等级，其概率为113i P -； 所以112133i i i P P P +-=+，所以()1113i i i i P P P P +--=--，即1113i i i i P P P P+--=--. 所以数列{}1i i P P --为等比数列. 【点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找1i P +与i P ，1i P -的关系式，即：()1121233i i i P P P i +-=+≥，进而根据等比数列的定义证明.变式2-2．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model 3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).（2）根据大量的测试数据，可以认为Model 3这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k 到k +1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k 到k +2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第()119n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}()1,2n n P P n --≥是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈≤()()220.9544,330.9973P P μσξμσμσξμσ-<≤+≈-<≤+≈【答案】（1）300(千米)；（2）0.8186；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望24万元. 【解析】（1）利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值． （2）X 服从正态分布2(300,50)N ，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．（3）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(219)n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种．①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -，②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -，从而112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而能证明当219≤≤n 时，数列{}1n n P P --是公比为12-的等比数列，由此能求出结果． 【详解】（1）0.002502050.004502550.00950305x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.004503550.00150405300+⨯⨯+⨯⨯=（千米）（2）因为X 服从正态分布2(300,50)N 所以0.95440.6827(250400)0.95440.81862P X -<≤≈-=（3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为1,2即112P =移动到第二格有两类情况211132224P =⨯+=.车模移到第n (319n ≤≤)格的情况是下列两种，而且也只有两种.①车模先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P - ②车模先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P - 所以211122n n n P P P --=+，1121()2n n n n P P P P ---∴-=--，∴当319n ≤≤时，数列1{}n n P P --是公比为12-的等比数列.2312132111,,222P P P P P ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，经验证2n =也满足.1{}n n P P -∴-是公比为12-的等比数列.231213211111,,,2222nn n P P P P P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 以上各式相加，得231111222nn P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即23111112222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121132n n P +⎡⎤⎛⎫∴=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(2,,19n =⋅⋅⋅)，经检验1n =时也符合. 121132n n P +⎡⎤⎛⎫∴=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1,2,,19n =⋅⋅⋅ ∴获得优惠券的概率219021132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦获得车模的概率1920181111232P P ⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦设参与游戏的6人获得优惠券的有X 人，由题可知20216,132XB ⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ∴X 的期望2020211()61=41322E X ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设优惠卷总金额为Y 万元，6Y X ∴=∴优惠券总金额的期望2020()(6)624111124224E Y E X ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----≈⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==⨯=万元【点睛】关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1.变式2-3．某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设()X n 为登攀至第n 级的步数(150)n ≤≤，这位同学登到第n 级的概率为n P ． （I ）求(3)X 的分布列与数学期望；（Ⅰ）证明：{}1(249)n n P P n --≤≤为等比数列． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，115；（Ⅰ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，(3)X 登至第3级的基本事件{3次偶数，1次奇数1次偶数}，即(3)X 可能取值为2，3，每次掷奇数、偶数的概率都为12，根据二项分布，并结合古典概型求概率，写出分布列并出求期望；（Ⅰ）从第2n -级登至第n 级的概率为12，从第1n -级登至第n 级的概率为12，由条件概率及概率加法公式得()1212n n n P P P --=+并整理，又0111,2P P ==即可证等比数列. 【详解】（Ⅰ）由定义知，(3)X 可能取值为2，3．根据条件概率计算公式得：1112113121114222((3)2)551118222C P X C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31131211128((3)3)551118222P X C ⎛⎫ ⎪⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3)X ∴的分布列为 (3)X23P4515∴4111((3))23555E X =⨯+⨯=． （Ⅰ）证明：由题意，()1212n n n P P P --=+，则()1121(249)2n n n n P P P P n ----=--≤≤； 又1011=122P P --=-， ∴数列{}1(149)n n P P n --≤≤是首项、公比均为12-的等比数列． 【点睛】 关键点点睛：（1）由登至第n 级的各个基本事件都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由概率加法公式，结合古典概率求登至第n 级概率；（2）理解登至第n 级可以从第2n -级或第1n -级一次性完成，结合概率加法公式确定12,,n n n P P P --的关系式.巩固练习练习一 与数列相结合问题1．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n 个台阶的概率为n P ，其中*N n ∈，且998n ≤.(1)若甲走3步时所得分数为X ，求X 的概率分布； (2)证明：数列{}1n n P P +-是等比数列；(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2)证明见解析(3)983425153⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）考虑甲走3步时,是一步上一个台阶还是一步上两个台阶,从而写出X 的所有可能取值，求出每一个值对应的概率，即可得X 的分布列；（2）由题意可得到递推式211233n n n P P P ++=+，构造数列，从而证明结论；（3）利用（2）的结论，采用累加求和，结合等比数列的前n 项和公式，求得答案. (1)由题意可得X 的所有可能取值为3，4，5，6，()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132124339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()2232145339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为：X 3456P 1272949827(2)证明：由题可得211233n n n P P P ++=+，∴()21123n n n n P P P P +++-=--，∵113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴21409P P -=≠， ∴数列{}1n n P P +-是以49为首项，23-为公比的等比数列. (3)由（2）可得()()()9999989897211P P P P P P P P =-+-+⋅⋅⋅+-+984219312313⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++983425153⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭. 2．近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立. (1)若参加的车主有3人，记总得分为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)若有()n n *∈N 位车主，记总得分恰好为n 分的概率为{}n a ，求数列{}n a 的通项公式；(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理. 【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：92；(2)1211362n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；(3)这方案不合理，分析答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3，4，5，6.分别求得随机变量取每一值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；（2）依题意，总得分恰好为n 分时，得不到n 分的情况是先得（1n -）分，再得，概率为112n a -，即有1112n n a a --=，由此可求得答案； （3）由（2）求得99a ，100a ，比较可得结论. (1)解：由题意可知，随机变量X 的可能取值有3，4，5，6.311(3)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，31313(4)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，32313(5)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，311(6)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.∴随机变量X 的分布列如下表所示： X 3 456P 18383818∴13319()345688882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)解：依题意，总得分恰好为n 分时，得不到n 分的情况是先得（1n -）分，再得2分，概率为112n a -，∴1112n n a a --=，即1212323n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又112a =，12136a -=-，∴1211362n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1211362n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(3)解：因为989921123623a ⎛⎫=-- ⎪<⎝⎭，9910021123623a ⎛⎫=-- ⎪>⎝⎭，∴10099a a >，∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.3．武汉又称江城，它不仅有深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，还有众多名胜古迹与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对某日已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不继续游玩东湖记1分，继续游玩东湖记2分，每位游客游玩东湖的概率均为12，游客是否游玩东湖相互独立. （1）若从游客中随机抽取m 人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；（2）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为n 分的概率为n B ，探讨n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【答案】（1）10231024；（2）1112n n B B -=-+，211332nn B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）由题意求出m A ，利用等比数列求和即可；（2）根据概率关系可得1112n n B B -=-+，构造等比数列求通项公式即可. 【详解】（1）总分恰为m 分的概率为12mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}m A 是首项为12，公比为12的等比数列，则其前10项和10101111023221102412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. （2）已调查过的游客的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为112n B -，112B =.∴1112n n B B --=，即1112n n B B -=-+， ∴1212323n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.∴数列23n B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16-，公比为12-的等比数列，∴(1)211211362332n nn B -⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 4．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是12，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是13，开黄花的概率是23，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是35，开黄花的概率是25，记第n 代开红花的概率是n p ，第n 代开黄花的概率为n q ， （1）求2p ；（2）试求数列{}n p ()n N +∈的通项公式；（3）第n (),2n N n +∈≥代开哪种颜色的花的概率更大. 【答案】（1）2715p =；（2）1415n n p p -=-；（3）第n 代开黄花的概率更大.【解析】 【分析】（1）由2111335p p q =+计算；（2）由关系式113(1)35n n n p p p +=+-可得919n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而求得n p ； （3）由n p 的表达式可得12n p ≤，从而112n n q p =-≥，从而可得结论． 【详解】解（1）第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一代开黄花而第二代开红花， 故由112p =，得：()2111371.3515p p p =⋅+-⋅=（2）由题意可知，第n 代开红花的概率与第1n -代的开花的情况相关，故有()11113413515n n n n p p p p ---=⋅+-⋅=-35+则有1949191519n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 由于191911921938p -=-=， 所以数列919n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以138为首项，415-为公比的等比数列. 所以1914193815n n p -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1914193815n n p -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（3）由（2）1914193815n n p -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭91119382≤+=， 故有当n N +∈时，12n p ≤，因此第n 代开黄花的概率更大.5．有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：均价X （单位：千元） [)4,5 [)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[]9,10频数22111041（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一个楼盘的均价X ，假定()2~,X N μσ，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.①设客户乙站到第()06,n n n N ≤≤∈个台阶的概率为n P ，证明：当15n ≤≤时，数列{}1n n P P --是等比数列；②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.参考数据： 1.25 1.12，520.133⎛⎫= ⎪⎝⎭.若()2~,X N μσ，则()0.68P μσξμσ-<≤+≈，()220.95P μσξμσ-<≤+≈，()330.997P μσξμσ-<≤+≈.【答案】（1）0.135；（2）①证明见解析；②应参与. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表计算均值与方差，得()~7,1.25X N ，然后由对称性和特定区间的概率得出结论；（2）①由已知01P =，113P =，而2n ≥时，即客户到第n 人台阶分为两种情况：一是从第1n -个台阶跳一级过来，另一个是从第2n -个台阶跳2级过来，由此可得n P 递推关系，变形后可证题设结论；②利用①求得n P ，计算参加活动的期望值560.33P P +与1.4比较可得． 【详解】 （1）221110414.55.56.57.58.59.57303030303030x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 22222221110(4.57)(5.57)(6.57)(7.57)30303030s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯2241(8.57)(9.57) 1.253030+-⨯+-⨯=.因为7x μ==，2 1.25s =， 1.12s σ==，所以()~7,1.25X N . 所以0.950.68(8.129.24)0.1352P X -<≤≈=. （2）①证明：客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故01P =，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为13，故113P =. 客户乙迈入第()25n n ≤≤个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种. 一是客户乙先到第2n -格，客户甲又摸出红球，其概率为223n P -； 二是客户乙先到第1n -格，客户甲又摸出黑球，其概率为113n P -， 所以121233n n n P P P --=+，则()11223n n n n P P P P ----=--.所以当15n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项为1023P P -=-，公比为23-的等比数列. ②由①知，当15n ≤≤时，123nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()()010211n n n P P P P P P P P --=-+-++-232222221333353n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 整理得322553nn P ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以553220.548553P ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且56422220.4523553P P ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭.设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米Y 千元， 则56()0.330.30.54830.452 1.5204E Y P P =⋅+⋅=⨯+⨯=（千元）.。

2023年广西南宁市高考数学二模试卷（文科）1. 已知复数，则z的虚部为( )A. B. C. 1 D. i2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高单位：，所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是( )A. 甲乙两班同学身高的极差相等B. 乙班同学身高的平均值较大C. 甲乙两班同学身高的中位数相等D. 甲班同学身高在175cm以上的人数较多4. 一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.5. 某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量单位：与时间单位：之间的关系为其中，k是正常数，已知经过1h ，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为结果精确到，参考数据：( )A. B.C.D.6. 已知，且，则( )A. B. C.D.7. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.8. 某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用x 年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为( )A. 7B. 8C. 9D. 109. 函数的部分图象如图所示，则的值为( )A.B.C. D. 110. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点P 为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为( )A. B. C. D.11. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若则角A 的取值范围是( )A.B.C.D.12. 已知函数，的定义域均为R ，为的导函数，且，，若为偶函数，则( )A. 0B. 1C. 2D. 413. 已知向量，，且满足，则______ .14. 已知圆O ：和直线l ：，则与直线l 平行且与圆O 相切的直线方程为______ .15. 已知，用表示不超过x 的最大整数，例如，，则函数，在的零点个数是______ .16. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD ，，，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______ .17. 为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩满分100分分成五组依次为制成如图所示的频率分布直方图.试估计这100人的竞赛成绩的平均数；采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.18. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面AMN，，，，C为PA的中点.求证：平面PMN；求M到平面PAB的距离19. 记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且，，成等差数列.求的通项公式；设，求的前n项和20. 已知抛物线C：经过点，过点的直线l与抛物线C 有两个不同交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于求直线l斜率的取值范围；证明：存在定点T，使得，且21. 已知函数，若过点，求在该点处的切线方程；若有两个极值点，，且，当时，证明：22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：为参数，直线l：为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C和直线l的极坐标方程；点P在直线l上，射线OP交曲线C于点R，点Q在射线OP上，且满足，求点Q的轨迹的直角坐标方程.23. 已知a，b，c均为正数，且，证明：若，则；答案和解析1.【答案】C【解析】解：，则z的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，，或，故选：进行补集和交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，补集和交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为，A错误；对于B，甲班同学身高的平均数为，乙班同学身高的平均数为，B正确；对于C，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为，C错误；对于D，甲班同学身高在175以上的有3人，乙班同学身高在175以上的有4人，D错误．故选：根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查数据的平均数、极差、中位数的计算，涉及茎叶图的分析，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：当几何体的上部是球，下部为圆柱，则俯视图为：A；当几何体的上部是圆柱，下部是正方体，则俯视图是B；当几何体上部是球，下部是正方体，则俯视图为：故选：结合一个几何体的正视图，利用组合体的形状，判断俯视图的情况即可得到结果．本题考查简单几何体的三视图的应用，是中档题．5.【答案】D【解析】解：在中，时，，所以，当时，，两边取对数，得，，解得，所以过滤掉的污染物需要的时间约为故选：根据题意，利用函数解析式求出，再计算时t的值．本题考查了指数函数与对数函数的实际应用，也考查了运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：，，，，即，则故选：由题意，先利用二倍角的余弦公式求出，再利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦公式，计算求得的值．本题主要考查二倍角的余弦、正弦公式的应用、同角三角函数的基本关系，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，因为中，，又，即为奇函数，图象关于原点对称，排除BD ，又由，，在上不是增函数，排除故选：根据题意，先分析函数的奇偶性排除BD ，再利用特殊值分析可知在上不是增函数，排除A ，综合可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意知，年平均费用为因为，当且仅当，即时等号成立，此时函数y 有最小值，所以这套设备年平均费用最少时的年限为9年．故选：写出年平均费用函数，利用基本不等式求出函数y 取最小值时x 的值即可．本题考查了利用基本不等式求函数最值的应用问题，是基础题．9.【答案】A【解析】解：由图象可得最小值为，则；，则最小正周期为，；又函数在时取最小值，则，，，又，当时，则，故故选：由函数图象可得解析式，即可得本题考查三角函数的图象，求值，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，所以，因为双曲线的离心率，所以，，所以双曲线的方程为如图：根据双曲线的定义知，由余弦定理，得，又因，得，，根据椭圆的定义知：，所以，，所以椭圆的方程为故选：结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．11.【答案】C【解析】解：若，则，因为A，B为锐角，所以，所以，，所以，解得故选：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得，，结合锐角三角形条件可求A的取值范围．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：依题意，因为为定义在R为偶函数，所以，所以，所以为奇函数且，因为，，令，则有，解得，因为，所以，又，所以，由，得，所以是以4为周期的周期函数，所以，所以，故A，B，C错误．故选：根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解．本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性，难点是得出的周期为4，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：，，则，，且满足，故，解得故答案为：根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：设与直线l：平行的直线方程为，与圆O：相切，，解得或，直线l：或故答案为：或设与直线l：平行的直线方程为，由与圆O：相切，由此能出直线l的方程．本题考查圆的切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．15.【答案】7【解析】解：函数的零点等价于方程的根，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，因为方程的根的个数等价于函数与函数的交点个数，如图，由函数，与函数，的图象可知，函数在上有7个零点．故答案为：根据已知条件，利用一次函数、正弦函数的图象以及函数的零点与方程根的关系求解．本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．16.【答案】【解析】解：在三棱锥中，平面BCD，，，先利用展开面，如图所示：设，由题意知：，在中，利用余弦定理：，整理得：，解得或负值舍去故该三棱锥的外接球的直径为所以，所以三棱锥体的外接球的半径为；故故答案为：首先利用三棱锥求出三棱锥的外接球的半径，进一步求出球的体积．本题考查的知识要点：三棱锥和球体的关系，球的半径的求法，球的体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．17.【答案】解：根据频率分布直方图可得，，则，100人的竞赛成绩的平均数约为分，根据题意，竞赛成绩在内的学生有人，而成绩在与的人数之比为5：1，则从第四组抽取的人数为5人，从第五组中抽取1人，可设事件“这2人来自同一组”，则【解析】根据频率分布直方图相关性质可解；根据分层抽样和古典概型相关知识可解．本题考查频率分布直方图、古典概型相关知识，属于基础题、18.【答案】解：证明：取PN的中点E，连接CE和ME，为PA的中点，且，且，且，四边形BMEC为平行四边形，，平面PMN，平面PMN，平面PMN，连接AM，取MN中点O，连接PO，则等边中，，，平面平面AMN，平面平面AMN，平面AMN，，，，平面PMN，，，，直角梯形ABMN中，连接OB，则，，，，，，，，设M到平面PAB的距离为h，则，【解析】由已知可证四边形BMEC为平行四边形，进而可证结论；连接AM，取MN中点O，连接PO，利用等体积法可求M到平面PAB的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到面的距离的求法，属中档题．19.【答案】解：设等比数列的前n 项和公比为，且，，成等差数列，，，即，，解得，，由可得的前n 项和…，…，相减可得：…，化为【解析】设等比数列的前n 项和公比为，根据且，，成等差数列，利用通项公式与求和公式列出方程组解得，q ，即可得出由可得，利用错位相减法即可得出的前n 项和本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：将代入抛物线得，，依题意可设，，直线l ：，由得：，则，解得且，又直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，所以直线不能过及，且，综上，；证明：设点，，由，则可设，，，故，同理：，，直线，令得，同理，，，又，，所以存在点满足题意．【解析】先求出抛物线方程，然后和直线联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：因为，，将代入解得，解得，所以，，所以，所以所求切线的方程为，即证明：，有两个极值点，且，所以，是方程的两根，所以，是方程的两根，令，则，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，其大致图象如图：所以，由，两边取对数可得，作差得，要证明等价于，所以，令，，，，所以在上单调递增，所以，即【解析】将代入，，解得，求导得，由导数的几何意义可得切线斜率为，由点斜式即可得出切线的方程．，有两个极值点，且，即，是方程的两根，令，只需与有两个交点，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线C：为参数，消去参数可得，，，，，直线l：为参数，消去参数t可得，，则直线l的极坐标方程为；设点Q的极坐标为，则，，，，即，点Q的轨迹的直角坐标方程为【解析】先将曲线C和直线l化为普通方程，再化为极坐标方程；设出点Q的坐标，表示出，，，再结合，即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】证明：若，且，则，即，可得，则，当且仅当时等号成立；，b，c均为正数，且，由柯西不等式知，，即，当且仅当时取等号．【解析】直接利用基本不等式证明；利用柯西不等式证明．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式以及基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．。

第一部分 一 9一、选择题1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( )A ．21B ．24C ．28D ．7[答案] C[解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴2a 4＝a 1＋a 7＝8，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×82＝28.[方法点拨] 1.熟记等差、等比数列的求和公式． 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系用累加法可求出通项； 3．形如a n ＋1＝a n f (n )的递推关系可考虑用累乘法求通项a n ；4．形如a n ＋1＝ka n ＋b (k 、b 为常数)可通过变形，设b n ＝a n ＋bk －1构造等比数列求通项a n .(理)在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( ) A ．a n ＋1－a B ．n (a ＋1) C ．na D ．(a ＋1)n －1[答案] C[解析] 利用常数列a ，a ，a ，…判断，则存在等差数列a ＋1，a ＋1，a ＋1，…或通过下列运算得到：2(aq ＋1)＝(a ＋1)＋(aq 2＋1)，∴q ＝1，S n ＝na .2．(文)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53 D ．4[答案] A[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.(理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．64[答案] C[解析] 解法1：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15，∴q ＝2. ∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63.解法2：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.[方法点拨] 下标成等差的等差、等比数列的项或前n 项和的问题，常考虑应用等差、等比数列的性质求解．3．(2015·浙江理，3)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0 [答案] B[解析] 考查等差数列的通项公式及其前n 项和；等比数列的概念． ∵{a n }为等差数列，且a 3，a 4，a 8成等比数列， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒ a 1＝－53d ，∴S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，dS 4＝－23d 2＜0，故选B.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19[答案] C[解析] ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1＝a 1q 2，∴q 2＝9， 又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 3，∴a 3＝1， 又a 3＝9a 1，故a 1＝19.[方法点拨] 求基本量的问题，熟记等差、等比数列的定义、通项及前n 项和公式，利用公式、结合条件，建立方程求解．5．(2015·江西省质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2015项的和S 2015等于( )A ．31008－2B ．31008－3C ．32015－2D ．32015－3[答案] A[解析] 因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2a n＝3， 所以S 2015＝(a 1＋a 3＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2014)＝1－310081－3＋3(1－31007)1－3＝31008－2.6．(文)(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0[答案] A[解析] 设公比为q ，∵a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，∴a 1＋2a 2＋a 3＝0，∴a 1＋2a 1q ＋a 1q 2＝0，∴q 2＋2q ＋1＝0，∴q ＝－1，又∵a 1＝2，∴S 101＝a 1(1－q 101)1－q ＝2[1－(－1)101]1＋1＝2.(理)(2014·哈三中二模)等比数列{a n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3，a 21＋a 22＋a 23＋a 24＋a 25＝15，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5的值是( )A ．3 B. 5 C ．－ 5 D ．5[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 5)1－q＝3a 21(1－q10)1－q2＝15，∴a 1(1＋q 5)1＋q＝5，∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝a 1[1－(－q )5]1－(－q )＝a 1(1＋q 5)1＋q＝5.7．(文)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．600[答案] B[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87得， a 1＋a 20＝30，∴S 20＝20×(a 1＋a 20)2＝300.(理)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2 [答案] C[解析] 由条件知a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0， ∵q >0，∴q ＝1＋2， ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2＝3＋2 2. 8．(2015·福建理，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] D[解析] 由韦达定理得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，因为p >0，q >0，则a ＞0，b ＞0，当a ，b ，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a ·b ＝(－2)2＝4，故q ＝4，b ＝4a .当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，2a ＝4a －2，解得a ＝1，b ＝4，；当b 是等差中项时，8a ＝a －2，解得a ＝4，b ＝1，综上所述，a ＋b ＝p ＝5，所以p ＋q ＝9，选D.9．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为( )A.43(49－1) B.43(410－1) C.13(49－1) D.13(410－1) [答案] D[解析] 由a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2得，a n ＝2n －1， 由b n ＋1b n＝2，b 1＝1得b n ＝2n －1， ∴ba n ＝2a n －1＝22(n －1)＝4n －1，∴数列{ba n }前10项和为1×(410－1)4－1＝13(410－1)．10．(文)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于( )A ．1－14nB.23(1－14n ) C ．1－12nD.23(1－12n ) [答案] B[解析] 因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1， 所以1a n a n ＋1＝12×(14)n －1，所以{1a n a n ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12×1×(1－14n )1－14＝23(1－14n )，故选B.(理)(2014·唐山市一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n( )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1[答案] C[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12)＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 11．给出数列11，12，21，13，22，31，…，1k ，2k －1，…，k1，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号．．是( ) A ．4900 B ．4901 C ．5000 D ．5001[答案] B[解析] 根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：199，298，397，…，5050，5149，…，991，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝98(1＋98)2＋50＝4901.[点评] 本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可．二、填空题12．(文)(2015·广东理，10)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25 即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(理)(2015·湖南理，14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.[答案] 3n －1[解析] 考查等差数列与等比数列的性质．∵3S 1,2S 2，S 3成等差数列，∴4S 2＝3S 1＋S 3，∴4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝3a 2⇒q ＝3.又∵{a n }为等比数列，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.[方法点拨] 条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别．13．(文)(2015·安徽理，14)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[答案] 2n －1[解析] 考查1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式．由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9，a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.(理)(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．[答案]2011[解析] 考查数列通项，裂项求和．由题意得：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝2(1－12)＋2(12－13)＋…＋2(1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，S 10＝2011.三、解答题14．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)， 则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p3.所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1.[方法点拨] 证明数列是等差(等比)数列时，应用定义分析条件，结合性质进行等价转化． (理)(2015·河南高考适应性测试)已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝2，a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2.(1)令b n ＝log 2(a n ＋2)，证明：数列{b n }是等比数列． (2)设c n ＝nb n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[解析] (1)由a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2，得a n ＋2＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋4＝(a n ＋1＋2)2.因为a n >0，所以a n ＋2＝a n ＋1＋2. 因为b n ＋1b n ＝log 2(a n ＋1＋2)log 2(a n ＋2)＝log 2a n ＋2log 2(a n ＋2)＝12，又b 1＝log 2(a 1＋2)＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为12的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1，则c n ＝2n ⎝⎛⎭⎫12n －1. S n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋4×⎝⎛⎭⎫121＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －2＋2n ⎝⎛⎭⎫12n －1，① 12S n ＝2×⎝⎛⎭⎫121＋4×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1＋2n ⎝⎛⎭⎫12n .② ①－②得：12S n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋2×⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝21－⎝⎛⎭⎫12n1－12－2n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝4－(4＋2n )⎝⎛⎭⎫12n . 所以S n ＝8－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －2.15．(2015·南昌市一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．[解析] (1)等差数列{a n }，a 1＝1，S 3＝6，∴d ＝1，故a n ＝n⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n (1)b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1 (2)，(1)÷(2)得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， b 1＝2S 1＝21＝2，满足通项公式，故b n ＝2n(2) 设λb n >a n 恒成立⇒λ>n 2n 恒成立，设c n ＝n 2n ⇒c n ＋1c n ＝n ＋12n当n ≥2时，c n <1，{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝c 1＝12，故λ>12.16．(文)(2014·湖北理，18)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．[分析] (1)设数列{a n }的公差为d ，利用等比数列的性质得到a 22＝a 1·a 5，并用a 1、d 表示a 2、a 5，列等式求解公差d ，进而求出通项，注意对公差d 分类讨论；(2)利用(1)的结论，对数列{a n }的通项分类讨论，分别利用通项公式及等差数列的前n 项和公式求解S n ，然后根据S n >60n ＋800列不等式求解．[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )．化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立， 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2，令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)．此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.[方法点拨] 存在型探索性问题解答时先假设存在，依据相关知识(概念、定理、公式、法则、性质等)，结合所给条件进行推理或运算，直到得出结果或一个明显成立或错误的结论，从而断定存在与否．(理)(2014·新课标Ⅰ理，17)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n＋1＝S n＋1－S n用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a1，a2，a3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n＋2－a n＝λ推证{a n}为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.。

（一） 选择题（12*5=60分）1.【2014届广东高三六校第一次联考文】已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则218a a +=( )A ．36B ．35C ．34D ．332.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(文）】等差数列{a n }中，“a 1＜a 3”是“a n ＜a n +1”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考文】在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ ）A . 2 B. 3 C. 4 D. 94.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且513S =，1563S =，则20S =（ ） A ．90 B ．100 C ．110 D ．1205.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1(1,2,)n n b a n =+= ，若数列{}n b 的连续四项在集合}{53,23,19,37,82--中，则q 等于( ) A ．43-B ．32-C ．32-或23-D ．34-或43-6.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a =，2314(2,)n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =（ ）A ．1n -B ．21n -C ．2n -D ．n22log log 2n n b n ==．故选D ．7.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（文）】已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为（ ）A B ．C ．12D ．12-8.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(文）】数列{}n a 满足113,1,n n n n a a a a A +=-=表示{}n a 前n 项之积,则2013A =（ ）A.1B.-1C.2D.-29.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科改编】已知数列{}n a 满足10a =，21a =，2132n n n a a a ++=-，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A.21n n --B.21n n -+C.221nn -- D.21n-10.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（文）】已知数列{n a ｝的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式22211252n n a a a ++++<⨯ 成立的n 的最大值为（ ）A.2B.3C.4D.511.【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知函数()f x 是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，30a >，则()()()135f a f a f a ++的值（ ）A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可以为正数也可以为负数12.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题改编】定义在(0,)+∞错误！未找到引用源。