第08讲空间角(学生卷)

专题25.1 空间向量方法--空间的角（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,2π．③向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos|cos|||||||a ba bθϕ⋅==⋅r rr r.【典例1】（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCD A B C D-中,1AB BC==,13AA则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )A．15B5C5D2【典例2】（2019·广西高考模拟（理））在直三棱柱111ABC A B C-中,3,3,32AC BC AB===14AA=,则异面直线1A C与1BC所成角的余弦值为__________．【总结提升】向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1,v2；(3)代入公式|cos 〈v 1,v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解．提醒：两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是两异面直线所成的角．热门考点02 直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,两向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.【典例3】（2018·江苏高考真题）如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【典例4】（2020·天水市第一中学高三月考（理））如图,在三棱柱ABC A B C '''-中,已知CC '⊥平面ABC ,90ACB ∠=o ,3BC =,4AC CC ='=.(1) 求证：AC A B '⊥'；(2) 求直线CC '与平面ABC '所成角的正弦值. 【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角．热门考点03 二面角1．求二面角的大小(1)如图1,AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈AB u u u r ,CD u u ur 〉．(2)如图2、3,12,n n u r u u r分别是二面角α－l －β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例5】（2019年高考全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.（1）证明：图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【典例6】（2017·北京高考真题（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD P 平面MAC ,6PA PD ==4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．热门考点04 空间角有关的探索性问题【典例7】（2019·浙江高二期中）如图所示的几何体中,PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面,,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点,12,12PD AB AD CD ====,四边形PDCE 为矩形,线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ,使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在,求出FQ 的长；若不存在,请说明理由.【典例8】(2019·河北名校联盟模拟)如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝120°,四边形BFED 是以BD 为直角腰的直角梯形,DE ＝2BF ＝2,平面BFED ⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥平面BFED.(2)在线段EF上是否存在一点P,使得平面P AB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为5728？若存在,求出点P的位置；若不存在,说明理由．【总结提升】与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题,常利用空间向量法求解．求解时,一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系,设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量,利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．热门考点05 利用向量求空间距离1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则①a±b＝(a1±b1,a2±b2,a3±b3)；②λa＝(λa1,λa2,λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3(λ∈R),a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a,b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23,cos 〈a ,b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1,b 1,c 1),B (a 2,b 2,c 2), 则222212121||()()()ABd AB a a b b c c ==-+-+-u u u r.2. 点面距的求法如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.【典例9】（2019·安徽高考模拟（理））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF的距离为（ ）A.3λB.2C.2λ D.5 【典例10】设正方体的棱长为2,则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D.【典例11】（2018·四川省广安石笋中学校高考模拟（理））如图,在棱长为2的正方体中,M是线段AB 上的动点．证明：平面；若点M 是AB 中点,求二面角的余弦值；判断点M 到平面的距离是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．【总结提升】1.点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它的理论基础仍出于几何法,如本题,事实上,作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →,得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |,所以|BH →|＝|n ·BM →||n |,即d ＝|n ·BM →||n |.2.利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题,关键在于“四破”：①破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”,求出平面的法向量；④破“应用公式关”．巩固提升1．（2019·四川高二期中（文））已知正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE ,1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．45B ．35C ．23D ．572.（2019·福建高二月考）设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,记11D PD B＝λ.当∠APC 为钝角时,λ的取值范围是________．3.（2019·浙江高三期中）如图,已知三棱台111ABC A B C -,平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=o ,30BAC ∠=o ,11114AA CC BC AC ====,,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.4.（2018·全国高考真题（理））如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.5．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD BC ∥,AD AB ⊥,且3PB AB AD ===,1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =,证明：CF P 平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小.6．（2018·北京高考真题（理））如图,在三棱柱ABC −111A B C 中,1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11A C ,1BB 的中点,AB=BC =5,AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B −CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．7.（2020·江苏淮阴中学高三期中）直三棱柱111ABC A B C -中, AB AC ⊥, 2AB =, 4AC =,12AA =, BD DC λ=u u u r u u u r .（1）若1λ=,求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）若二面角111B AC D --的大小为60︒,求实数λ的值.8．（2017·江苏高考真题） 如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,且AB ＝AD ＝2,AA 1＝3,∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．9. （2019·江苏高三期中）如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,点E 、F 分别在棱1AA 、1BB 上移动,且1AE AA λ=u u u r u u u r ,1(1)BF BB λ=-u u u r u u u r .（1）若12λ=,求异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值； （2）若二面角A EF C --的大小为θ,且25sin θ=,求λ的值. 10.（2019·福建高二月考）如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,棱长为2,M ,N 分别为A 1B ,AC 的中点．（1）证明：MN //B 1C ；（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．11.（2019·天津高考真题（理））如图,AE ⊥平面ABCD ,,CF AE AD BC ∥∥,,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长. 12．（2018·上海交大附中高二月考）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AAC C 边长为8的正方形,6AB =,110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1BD BC 的值. 13．（2019·湖北高三期中（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AB AD ⊥,222AD AB BC ===,2PA =,点M 满足2MD PM =u u u u r u u u u r.（1）求证：//PB 平面MAC ；（2）求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值.14．（2019·河北唐山一中高三期中（理））如图,在三棱柱111ABC A B C -中,122AA AB ==,13BAA π∠=,D 为1AA 的中点,点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.(1)求证：1B D ⊥平面CBD ；(2)若BCD ∆是正三角形,求二面角1C BD C --的余弦值.15.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））如图,在四棱锥S ABCD -中,侧棱SA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB AD ⊥,且2SA AB BC ===,1AD =,M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点,MN 与平面SAB 所成的角为θ,求sin θ的最大值．16.（2019·安徽高三期末（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,AC BD ⊥交于点O ,ABC 90=o V ,AD CD =,PO ⊥底面ABCD ．()1求证：AC⊥底面PBD；()2若PBCV是边长为2的等边三角形,求O点到平面PBC的距离．。

第六节 空间角考点一 异面直线所成的角 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.22 B.32C.52D.72(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32[题组训练]1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．90°2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．考点二 直线与平面所成的角[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3 (2)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．[题组训练]1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )A.104B.64C.105D.652．(2019·青海模拟)如图，正四棱锥P -ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 与平面P AC 所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°考点三 二面角[典例] (1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角的平面角为________．(2)已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝2，M 为AB 的中点，现将△ACM 沿CM 折起，得到三棱锥P -CBM ，如图所示．则当二面角P -CM -B 的大小为60°时，AB PB＝________.[题组训练] 1．已知二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( ) A ．150°B ．45°C ．120°D ．60°2.如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，P A ＝BC ＝3，则二面角A -BC -P 的大小为________．[课时跟踪检测]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正切值为( )A ．2B. 2 C ．1 D. 32．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 的长度为( )A ．5B ．6C ．8D ．104．已知AB ∥平面α，AC ⊥平面α于点C ，BD 是平面α的斜线，D 是斜足，若AC ＝9，BD ＝63，则BD 与平面α所成的角的大小为________．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．6．已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积V 球＝1605π3，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为________．7.(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB 的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．8．(2019·湖北八校联考)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°.(1)求证：EF⊥PB；(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥P-EBCF的侧面积．。

专题复习六《空间角的计算》【知识点概要】一、异面直线的问题：1.异面直线所成的角的范围：]2,0(π2．异面直线的判定方法：⎧⎪⎨⎪⎩定义法定理法性质法3．异面直线所成的角的求法：①平移法→构造三角形→解三角形→余弦定理⑵平移→⎧⎪⎨⎪⎩转化直接平移例1．如图1，在三棱锥S —ABC 中，∠SAB SB =29，求异面直线SC 与AB练习:1.空间四边形ABCD 中，AB=CD 的 中点，则异面直线EF 和AB A ．150 B ．750 C ．300 D ．1502.已知异面直线a 与b 成800的角，p 为空间一定点，则过点p 与a,b 所成的角都是500的直线有且仅有（ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3. 如图，五面体ABCDE 中，面BCD ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC ＝DB ＝7，H 、F 分别是BC 、AE 的中点．(1)求证：FH ∥面BED ；(2)求异面直线FH 与AC 所成角的余弦值．二、线面角的问题：1.直线与平面成角的范围：[0o ，90o]. 2求直线与平面所成的角常用方法: (1)几何法：作垂线找射影 （2）用最小角定理：cos θ =cos θ１ cos θ２例2、四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒,2AB =,BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．例3．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且2AB =，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点．（1）求证：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD． ①求PA 的长度；②当H 为PD 的中点时，求异面直线PB 与EH 所成角的余弦值．练习:1.设斜线和平面所成的角为θ，那么斜线和此平面内过谢足的所有直线的夹角中，最大的角 是 ，最小的夹角是αθα1θ2θθDCASOEABCDEPHl 2.PA,PB,PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,那么直线PC 与PAB 所成角的余弦值是（ ） A,123. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为AB 的中点，现将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCDE ，F 为线段A ′D 的中点．(1)证明：EF ∥平面A ′BC ；(2)求直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正切值．三、二面角的平面角的问题： 1. 二面角的平面角的范围：[0,]π 2求二面角的平面角的常用方法①定义法(图1)②三垂线(逆)定理法:（图2） ③垂面法(图3) ④投影法cos s s θ=射影多边形原多边形（图4）例4[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小．例5.如图,在三棱锥A －BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且ADBD ＝CD ＝1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD ⊥BC (2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30︒角？若存在,确定E 的位置；若不存在,说明理由. 练习:1.如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，侧面PBC ⊥底面ABCD ，O 是BC 中点，AO 交BD 于E . (1)求证：P A ⊥BD ；(2)求二面角P －DC －B 的大小；(3)求证：平面P AD ⊥平面P AB .2.[湖北卷] 如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ . (2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．3.四棱锥P －ABCD 底面是菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC = 60°，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.(1)求证：平面AEF ⊥平面PAD ；(2)H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的最大角为45°，求二面C A B OPD EDD角E－AF－C的正切值．。

第7节立体几何中的向量方法第1课时利用空间向量求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知识梳理1.异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则2.求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.3.求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).[微点提醒]1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π].()解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cos a，n|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案C3.(选修2－1P112A4改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析由于cos 〈m ，n 〉＝－12，所以〈m ，n 〉＝120°，所以直线l 与α所成的角为30°.答案A4.(2018·郑州调研)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为()A.32B.33C.35D.25解析设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，所以BB 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－1，1，0)，AD 1→＝(－1，0，1).令平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AC →＝－x ＋y ＝0，n ·AD 1→＝－x ＋z ＝0，令x ＝1，可得n ＝(1，1，1)，所以sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→〉|＝13×1＝33.答案B5.(2019·南宁二中、柳州高中联考)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，AA 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________.解析建立如图所示的坐标系.易得A (2，0，0)，B (2，3，0)，B 1(2，3，1)，C 1(0，3，1)，则AB 1→＝(0，3，1)，BC 1→＝(－2，0，1).设异面直线AB 1与BC 1所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AB 1→，BC 1→〉|＝110×5＝210.答案2106.(2019·大连预测)过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB ＝PA ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为________.解析如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝PA ＝1，则A (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)，由题意，AD ⊥平面PAB ，设E 为PD 的中点，连接AE ，则AE ⊥PD ，又CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AE ，从而AE ⊥平面PCD .所以AD →＝(0，1，0)，AE →，12，面PAB ，平面PCD 的法向量，且〈AD →，AE →〉＝45°.故平面PAB 与平面PCD 所成的二面角为45°.答案45°考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为等边三角形，且二面角P －BC －A 的大小为120°，则异面直线PB 和AC 所成角的余弦值为()A.58B.34C.78D.14解析(1)法一以B 为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1)图(2)则B (0，0，0)，B 1(0，0，1)，C 1(1，0，1).又在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，则A (－1，3，0).所以AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→＝(1，0，1)，则cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB1→|·|BC 1→|＝（1，－3，1）·（1，0，1）5·2＝25·2＝105，因此，异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.法二将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图(2))，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1.则∠B 1AD 1为异面直线AB 1与BC 1所成的角(或其补角)，易求得AB 1＝5，BC 1＝AD 1＝2，B 1D 1＝3.由余弦定理得cos ∠B 1AD 1＝105.(2)法一取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，所以AO ⊥BC ，PO ⊥BC ，所以∠POA 就是二面角P －BC －A 的平面角，即∠POA ＝120°，过点B 作AC 的平行线交AO 的延长线于点D ，连接PD ，则∠PBD 或其补角就是异面直线PB 和AC 所成的角.设AB ＝a ，则PB ＝BD ＝a ，PO ＝PD ＝32a ，所以cos ∠PBD ＝a 2＋a 2－32a 2＝58.法二如图，取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，所以AO ⊥BC ，PO ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAO ，即平面PAO ⊥平面ABC .且∠POA 就是其二面角P －BC －A 的平面角，即∠POA ＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.设AB ＝2，则A (3，0，0)，C (01，0)，B (0，1，0)，－32，0，32，所以AC →＝(－3，－1，0)，PB →32，132，cos 〈AC →，PB→〉＝－58，所以异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为58.法三如图所示，取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为△ABC 和△PBC 是全等的等边三角形，所以AO ⊥BC ，PO ⊥BC ，所以∠POA 就是二面角的平面角，设AB ＝2，则AC →＝OC →－OA →，PB →＝OB →－OP →，故AC→·PB →＝(OC →－OA →)·(OB →－OP →)＝－52，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝－58.即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为58.答案(1)C(2)A规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v 1，v 2；(3)代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解.2.两异面直线所成角的范围是θ，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】(一题多解)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ，E ，F 分别为BC ，BB 1的中点，M ，N 分别为AA 1，A 1C 1的中点，则直线MN 与EF 所成角的余弦值为()A.35B.32C.12D.45解析法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC 1，CB 1，C 1B ′，易得MN ∥AC 1，EF ∥CB 1∥C 1B ′，那么∠AC 1B ′或∠AC 1B ′的补角即直线MN 与EF 所成的角.设AA 1＝2AB ＝2a ，则AC 1＝C 1B ′＝3a ，连接AB ′，则AB ′＝a 2＋（22a ）2＝3a ，由余弦定理得cos ∠AC 1B ′＝（3a ）2＋（3a ）2－（3a ）22（3a ）·（3a ）＝－12.故直线MN 与EF 所成角的余弦值为12.法二如图，连接AC 1，C 1B ，CB 1，设C 1B ，CB 1交于点O ，取AB 的中点D ，连接CD ，OD ，则MN ∥AC 1∥OD ，EF ∥CB 1，那么∠DOC 或其补角即直线MN 与EF 所成的角.设AA 1＝2AB ＝2a ，则AC 1＝CB 1＝3a ，于是OD ＝OC ＝3a 2，又CD ＝3a 2，于是△OCD 为正三角形，故∠DOC ＝60°，cos ∠DOC ＝12，即直线MN 与EF 所成角的余弦值为12.法三取AB 的中点O ，连接CO ，则CO ⊥AB ，以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 且平行于CC 1的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB ＝2，则AA122，(－1，2)－1，32，，32，F (1，0，2)，所以MN →，32，EF →cos 〈MN →，EF →〉＝MN →·EF →|MN →|·|EF →|＝323×3＝12.答案C考点二用空间向量求线面角【例2】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.(1)证明因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝23.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)解如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23).取平面PAC 的一个法向量OB →＝(2，0，0).设M (a ，2－a ，0)(0<a ≤2)，则AM →＝(0，4－a ，0).设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得y ＋23z ＝0，＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，所以cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32，所以23|a －4|23（a －4）2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝－4(舍去)，a ＝43，所以n －833，433，－又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34.规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】(2019·郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD .(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值.(1)证明在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD ，所以△ABD 为直角三角形且∠ADB ＝π2.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD .又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE .因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)解由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ，又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以可以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则A (1，0，0)，C (－1，3，0)，E (0，0，3)，F (0，3，3)，所以AE →＝(－1，0，3)，AC →＝(－2，3，0).设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AE→＝0，·AC →＝0，x ＋3z ＝0，2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2，1)，为平面AEC 的一个法向量.因为AF →＝(－1，3，3)，所以cos 〈n ，AF →〉＝n ·AF →|n |·|AF →|＝4214，所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214.考点三用空间向量求二面角【例3】(2018·武汉模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)(一题多解)证明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.(1)证明法一取OO1的中点F，连接AF，PF，如图所示.∵P为BC的中点，∴PF∥OB，∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，∴P，F，A，Q四点共面.由题图1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB⊂平面BCO1O，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又OD⊂平面ADO1O，∴PF⊥OD.由题意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，∴∠FAO＝∠DOO1，∴∠FAO＋∠AOD＝∠DOO1＋∠AOD＝90°，∴AF⊥OD.∵AF ∩PF ＝F ，且AF ⊂平面PAQ ，PF ⊂平面PAQ ，∴OD ⊥平面P AQ .法二由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长为m ，则O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (0，6，0)，C (0，3，6)，D (3，0，6)，Q (6，m ，0).∵点P 为BC 的中点，∴，92∴OD →＝(3，0，6)，AQ →＝(0，m ，0)，PQ →，m －92，－∵OD →·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0，∴OD →⊥AQ →，OD →⊥PQ →，又AQ →与PQ →不共线，∴OD ⊥平面P AQ .(2)解∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3，则Q (6，3，0)，∴QB →＝(－6，3，0)，BC →＝(0，－3，6).设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，1·QB→＝0，1·BC →＝0，6x ＋3y ＝0，3y ＋6z ＝0，令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，n 1＝(1，2，1).易得平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0，0，1).设二面角C －BQ －A 的大小为θ，由图可知，θ为锐角，则cos θ＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝66，即二面角C－BQ－A的余弦值为6 6 .规律方法利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【训练3】(2018·安徽六校联考)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点.(1)求证：EF∥平面BCC1B1；(2)(一题多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.(1)证明如图(1)，连接DE，D1E.图(1)∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中点，∴BE∥CD，BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC.又DE⊄平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1.∵DD1∥CC1，DD1⊄平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE＝D，∴平面DED1∥平面BCC1B1.∵EF⊂平面DED1，∴EF∥平面BCC1B1.(2)解如图(1)，连接BD.设CD＝1，则AB＝BC＝CC1＝2.∵∠BCD ＝60°，∴BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 60°＝ 3.∴CD 2＋BD 2＝BC 2，∴BD ⊥CD .同理可得，C 1D ⊥CD .法一∵平面D 1C 1CD ⊥平面ABCD ，平面D 1C 1CD ∩平面ABCD ＝CD ，C 1D ⊂平面D 1C 1CD ，∴C 1D ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴C 1D ⊥BC ，∴C 1D ⊥B 1C 1.在平面ABCD 中，过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，连接C 1H ，如图(1).∵C 1D ∩DH ＝D ，∴BC ⊥平面C 1DH .∵C 1H ⊂平面C 1DH ，∴BC ⊥C 1H ，∴B 1C 1⊥C 1H ，∴∠DC 1H 为平面BCC 1B 1与平面DC 1B 1所成的角.∵在Rt △C 1CD 中，C 1D ＝3，在Rt △BCD 中，DH ＝CD ·sin 60°＝32，∴在Rt △C 1DH 中，C 1H ＝C 1D 2＋DH 2＝152，∴cos ∠DC 1H ＝C 1D C 1H ＝255.∴平面BCC 1B 1与平面DC 1B 1所成的角(锐角)的余弦值为255.法二以D 为原点，分别以DB ，DC ，DC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图(2)，图(2)则D (0，0，0)，C (0，1，0)，C 1(0，0，3)，B (3，0，0)，∴B 1C 1→＝BC →＝(－3，1，0)，DC 1→＝(0，0，3)，CC 1→＝(0，－1，3).设平面BCC 1B 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1·BC→＝0，1·CC 1→＝0，－3x 1＋y 1＝0，y 1＋3z 1＝0.取z 1＝1，则y 1＝3，x 1＝1，∴平面BCC 1B 1中的一个法向量为n 1＝(1，3，1).设平面DC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2).2·B 1C 1→＝0，2·DC 1→＝0，2＋y 2＝0，0.令x 2＝1，则y 2＝3，z 2＝0，∴平面DC 1B 1的一个法向量为n 2＝(1，3，0).设平面BCC 1B 1与平面DC 1B 1所成的锐二面角的大小为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝1＋31＋3＋1·1＋3＝255.∴平面BCC 1B 1与平面DC 1B 1所成的角(锐角)的余弦值为255.[思维升华]1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.2.合理建立空间直角坐标系(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.[易错防范]1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.利用向量法求二面角大小的注意点(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求.(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.60°或30°解析设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ＝|cosγ|＝|cos120°|＝1 2 .又0°≤β≤90°，∴β＝30°.答案C2.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A (0，0，0)，C (1，1，0)，B 1(1，0，1)，D (0，1，0).∴AC →＝(1，1，0)，B 1D →＝(－1，1，－1)，∵AC →·B 1D →＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC →⊥B 1D →，∴AC 与B 1D 所成的角为π2.答案D3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2.以AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于点M .则CD 与平面ACM 所成角的正弦值为()A.32B.33C.53D.63解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，4)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，D (0，4，0)，M (0，2，2).所以AC →＝(2，4，0)，AM →＝(0，2，2)，CD →＝(－2，0，0).设平面ACM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →，x ＋4y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2，－1，1).设所求角为α，则sin α＝|CD →·n |CD →||n ||＝63.答案D 4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为()A.12 B.23 C.33 D.22解析以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，，0D (0，1，0)，∴A 1D →＝(0，1，－1)，A1E →，0设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，1D →·n 1＝0，1E ·n 1＝0，－z ＝0，－12z ＝0，＝2，＝2，∴n 1＝(1，2，2).∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，∴|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×1＝23，即平面A 1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为23.答案B5.(2018·大同模拟)设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是()A.32 B.22 C.223 D.233解析如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，B (2，2，0)，D 1A 1→＝(2，0，0)，DB →＝(2，2，0)，DA 1→＝(2，0，2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，·DA 1→＝0，·DB →＝0，x ＋2z ＝0，x ＋2y ＝0，令z ＝1，得n ＝(－1，1，1).∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.答案D二、填空题6.(2019·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是__________.解析以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系.设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)，则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°.答案60°7.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________.解析以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2).设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，＋y ＝0，＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1).设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →|n ||DC→||＝23.答案238.(一题多解)已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________.解析法一延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示.设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB 为所求锐二面角的平面角.∵BH＝322，EB＝1，∴tan∠EHB＝EBBH＝23.法二如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件得A(1，0，0)，1，1，13，0，1，23，AE→0，1，13，AF→－1，1，23，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，n·AE→＝0，n·AF→＝0，y＋13z＝0，－x＋y＋23z＝0.令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)，取平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，则cosθ＝|cos〈n，m〉|＝31111，tanθ＝23.答案23三、解答题9.(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点.(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.解如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OB ，OO 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .因为AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2).(1)因为P A 1B 1，－12，从而BP →－32，－12，AC 1→＝(0，2，2)，故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →|·|AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020.因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q ，12，因此AQ →，32，AC 1→＝(0，2，2)，CC 1→＝(0，0，2).设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，·n ＝0，1→·n ＝0，＋32y ＝0，2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1，1).设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→|·|n |＝25×2＝55，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55.10.(2019·河北五校联考)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，底面△ABC 是边长为2的正三角形，A 1A ＝A 1C ，A 1A ⊥A 1C .(1)求证：A 1C 1⊥B 1C ；(2)(一题多解)求二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值.(1)证明如图，取A 1C 1的中点D ，连接B 1D ，CD ，∵C 1C ＝A 1A ＝A 1C ，∴CD ⊥A 1C 1，∵底面△ABC 是边长为2的正三角形，∴AB ＝BC ＝2，A 1B 1＝B 1C 1＝2，∴B 1D ⊥A 1C 1，又B 1D ∩CD ＝D ，B 1D ⊂平面B 1CD ，CD ⊂平面B 1CD ，∴A 1C 1⊥平面B 1CD ，∴A 1C 1⊥B 1C .(2)解法一如图，过点D 作DE ⊥A 1C 于点E ，连接B 1E .∵侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，∴侧面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，又B 1D ⊥A 1C 1，侧面AA 1C 1C ∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，∴B 1D ⊥平面A 1CC 1，∴B 1D ⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面B 1DE ，∴B 1E ⊥A 1C ，∴∠B 1ED 为所求二面角的平面角.∵A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1＝2，∴B 1D ＝3，又ED ＝12CC 1＝22，∴tan ∠B 1ED ＝B 1DED＝322＝6，∴sin ∠B 1ED ＝427.∴二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值为427.法二如图，取AC 的中点O ，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OA 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，B (3，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(3，1，1)，C 1(0，2，1)，C (0，1，0)，∴A 1B 1→＝(3，1，0)，A 1C →＝(0，1，－1).设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的法向量，·A 1B 1→＝3x ＋y ＝0，·A 1C →＝y －z ＝0，令y ＝3，得m ＝(－1，3，3)，又OB →＝(3，0，0)为平面A 1CC 1的一个法向量，∴cos 〈m ，OB →〉＝m ·OB →|m ||OB →|＝－77，由图易知所求二面角为锐角，∴二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值为427.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·长沙雅礼中学检测)在三棱锥P －ABC 中，点P 在底面的正投影恰好是等边△ABC 的边AB 的中点，且点P 到底面ABC 的距离等于底面边长.设△PAC 与底面所成的二面角的大小为α，△PBC 与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是()A.343 B.253C.－8133D.－583解析如图，设点P 在边AB 上的射影为H ，作HF ⊥BC，HE ⊥AC ，连接PF ，PE .依题意，∠HEP ＝α，∠PFH ＝β.不妨设等边△ABC 的边长为2，则PH ＝2，AH ＝BH ＝1.∴HE ＝32，HF ＝32，则tan α＝tan β＝232＝43，故tan(α＋β)＝2tan α1－tan 2α＝2×431＝－813 3.答案C12.(2018·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为()A.55B.53C.255D.35解析不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.答案A13.如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为__________.解析∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CA →·BD →＝|CA →|·|BD →|·cos 〈CA →，BD →〉＝－24.∴cos 〈CA →，BD→〉＝－12.又所求二面角与〈CA →，BD →〉互补，∴所求的二面角为60°.答案60°14.(2018·天津卷)如图，AD ∥BC 且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG ＝AD ，CD ∥FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；(2)求二面角E －BC －F 的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.解依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，M 0，32，1N (1，0，2).(1)证明依题意DC →＝(0，2，0)，DE →＝(2，0，2).设n 0＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，n 0·DC →＝0n 0·DE→＝0，2y ＝0，2x ＋2z ＝0，不妨令z ＝－1，可得n 0＝(1，0，－1).又MN→1，－32，1，可得MN →·n 0＝0，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE .(2)依题意，可得BC →＝(－1，0，0)，BE →＝(1，－2，2)，CF →＝(0，－1，2).设n ＝(x ，y ，z )为平面BCE n ·BC →＝0，n ·BE→＝0，－x ＝0，x －2y ＋2z ＝0，不妨令z＝1，可得n ＝(0，1，1).设m ＝(x ，y ，z )为平面BCF ·BC →＝0，·CF→＝0，x ＝0，y ＋2z ＝0，不妨令z＝1，可得m ＝(0，2，1).因此有cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝31010，于是sin 〈m ，n 〉＝1010.所以，二面角E －BC －F 的正弦值为1010.(3)设线段DP 的长为h (h ∈[0，2])，则点P 的坐标为(0，0，h )，可得BP →＝(－1，－2，h ).易知，DC →＝(0，2，0)为平面ADGE 的一个法向量，故|cos 〈BP →，DC →〉|＝|BP →·DC →||BP →||DC →|＝2h 2＋5，由题意，可得2h 2＋5＝sin 60°＝32，解得h ＝33∈[0，2].所以，线段DP 的长为33.。

考点26 空间向量求空间角【思维导图】【常见考法】考法一 线线角1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ）A ．44BC ．44D ．112．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 3．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC 的值．考法二 线面角1．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==．()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．2．在直角三角形ABC 中，90,3,C AC BC M ∠=︒==、N 分别在线段AC 、AB 上，//,2MN BC AM MC =.沿着MN 将AMN 折至如图，使A C '=.（1）若P 是线段A C '的中点，试在线段NB 上确定点Q 的位置，使//PQ 面A MN '；（2）在（1）条件下，求CQ 与平面A MN '所成角的正弦值.3．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CA =，CB =ABC ∆的中位线DE 将ADE ∆翻折至'A DE ，使得二面角'A DE A --为60︒.（1）求证：'A C ED ⊥；（2）求直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值.4．如图()1，梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别.2E F AB AE ==，，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE - BCF ，如图()2．(1)若AF BD⊥，证明：DE⊥平面ABFE；(2)若//DE CF，CD=AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求20AP的长．考法三 二面角1．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，点F 是11A B 的中点.（1）求证：//AF 平面1BEC ；（2）求平面ADF 和平面1BEC 所成锐二面角的余弦值.2．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1AA AC =，AC BC ⊥.（1）证明：11A C AB ⊥；（2）设22AC CB ==，160A AC ∠=︒，求二面角11C AB B --的余弦值.3．在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，BC DC ==MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.4．如图1，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB AD ⊥，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，且//AB EF ，2AE =，132AB DE CF ===，沿EF 将四边形ABFE 折起，如图2，使AE 与FC 所成的角为60°.（1）求证：//BC 平面AED ；（2）M 为CF 上的点，()01FM FC λλ=<<，若二面角B MD E --，求λ的值.。