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鲁教版初四上学期第二章第3节函数y=ax2的图象和性质

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二次函数y=ax2的图像和性质教学反思

二次函数y=ax2的图像和性质教学反思

通过详细的讲解和示范，引导学生理 解二次函数的图像特征，如开口方向 、顶点、对称轴等。
教学手段的运用与效果
多媒体教学
利用PPT、视频等多媒体手段辅助教学，使抽象的概念 和图像更加直观、生动，提高学生的学习兴趣和积极性 。
实验教学
通过实验演示二次函数的图像变化过程，帮助学生理解 二次函数的性质和应用，培养学生的实践能力和创新精 神。
可以建立完善的评价体系，包括课堂表现、作业完成情 况、小组讨论表现等多个方面，全面评价学生的学习效 果和能力水平。
05
学生学习情况分析
学生学习兴趣的激发与保持
通过引入实际问题和历史背景，激发学生的学习兴趣和好奇心，使其对二次函数产 生探究欲望。
在教学过程中，注重与学生的互动，鼓励学生提出问题和意见，增强学生的参与感 和归属感。
的学习体验。
01
02
03
04
05
THANKS
02
当a>0时，函数的值域为 [0,+∞)；
03
当a<0时，函数的值域为(∞,0]。
04
教学方法与手段
教学方法的选择与应用
激活学生的前知
通过回顾一次函数和二次方程的知识 ，帮助学生建立新旧知识之间的联系 ，为学习二次函数的图像和性质打下 基础。
讲解与示范
小组讨论与合作
组织学生进行小组讨论，探讨二次函 数的性质和应用，鼓励学生互相交流 、分享思路，提高合作解决问题的能 力。
图像的对称性使得在分析二次函数时可以利用对称性简化问题。
图像的顶点与开口方向
二次函数y=ax2的图 像的顶点是原点(0,0) 。
抛物线的开口方向决 定了函数的增减性。
当a>0时，抛物线开 口向上，随着x的增 大，y值也增大；当 a<0时，抛物线开口 向下，随着x的增大 ，y值减小。

鲁教版五四制数学九年级上册3.3《二次函数y=ax2的图象和性质2》课件1

鲁教版五四制数学九年级上册3.3《二次函数y=ax2的图象和性质2》课件1

下图是 s 1 v2 的图象，在同一直角坐标系
100 中作出函数 s
1
v 2 的图象(先想一想，v可
50
以取任何值吗？为什么？)
1．完成下表：
v/(km/h) 0 20 40 60 80 100 120 s/m(潮湿路面) 0 8 32 72 128 200 288
2．在下图中作出 s 1 v2 的图象. 50
二次函数y=ax2的图象和性质
1．二次函数 y=x2 与 y=- x2的图象和性质：
道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？
怕发生“迫尾”事故．
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离.
2.刹车距离与什么因素有关？ 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度 及路面的摩擦系数.
开口向上；
对称轴是 y 轴；
顶点坐标是(0，0)．
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O
y= 2x2
y=x2
1 23x
不同点：
二次函数y=2x2 的 图象在 y=x2 的图象的 内侧，说明函数值的增 长速度较快，即开口大 小不同，
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是 y
轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线的开 口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大 抛物线开口越小；当a<0时，抛物线的开 口向 下 ，顶点是抛物线的最 高 点，a 越大抛物线开口越 大 ．
|a|越大，开口越__小___．
s 1 v2 50
72 8
3．回答下列问题：
(1) s 1 v2 和 s 1 v2 的图象有什么相同与不同？

3. 3 二次函数y=ax2的图象与性质 第2课时课件2024—2025学年鲁教版(五四制)九上

3. 3 二次函数y=ax2的图象与性质 第2课时课件2024—2025学年鲁教版(五四制)九上
最值
y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
减小
增大
当x<0时,y随x的增大而__________;
当x<0时,y随x的增大而__________;
当x>0时,y随x的增大而增大
当x>0时,y随x的增大而减小
当x=0时,y最小=0
当x=0时,y最大=0
x轴
区别与 抛物线y=ax2(a>0)与y=ax2(a<0)关于_________对称,对称轴都为y轴,形状
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上.
【解析】(2)把x=-1代入得,y=-2×(-1)2=-2,所以点B(-1,-4)不在此抛物线上.
14
2.如图,直线y=-x+b与y轴交于点A,与抛物线y=ax2交于B,C两点,且点B坐标为(2,2).
(1)求a,b的值;
【解析】(1)把B(2,2)代入直线y=-x+b中,
3
2
二次函数y=ax 的
1111
图象与性质第2课时 Nhomakorabea基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
抛物线
3
y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
向上
__________
向下
__________
图象
开口方向
对称轴
x=0
y轴(直线_________)
顶点坐标
_________
(0,0)
4
抛物线
增减性
13
【举一反三】
1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
(1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置;

3.3 二次函数y=ax2的图象与性质(数学鲁教版九年级上册)

3.3 二次函数y=ax2的图象与性质(数学鲁教版九年级上册)
[答案] 不正确．因为－1 和 3 分别位于 y 轴两侧， 且|－1|＜|3|，又抛物线开口向下，所以 y1＞y2.
课后作业
1、完成教材相应习题； 2、完成同步练习册相应习题。
文本
文本
文本
文本
新课进行时
核心知识点二 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
例 2 [教材补充例题]若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线 y ＝－x2 上，则下列结论正确的是( D ) A．当 x1＜x2 时，y1＜y2 B．当 x1＜x2 时，y2 C．当 0＜x1＜x2 时，y1＜y2 D．当 0＜x1＜x2 时，y1＞y2
A．y＝x2，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而增大 B．y＝x2，当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小 C．y＝－x2，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而减小 D．y＝－x2，当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小
新课进行时
核心知识点三 二次函数y=ax2的图象与性质
例 4 抛物线 y＝3x2，y＝－3x2，y＝13x2 共有的性质是
鲁教版九年级上册
第三章 二次函数
3.3 二次函数y=ax2的 图象与性质
新课目标
3．通过二次函数 y＝ax2 的作图过程，掌握并理解二次 函数 y＝ax2 的图象和性质，并能利用其性质解题．
新课进行时 核心知识点一 二次函数图象的画法
例 1 [教材补充例题]已知圆柱的高为13，试写出该圆柱的体
积 V 与底面半径 R 之间的函数表达式，并画出其图象．(π取
新课进行时
[归纳总结] 利用二次函数的性质比较函数值大小的方 法： 当所要比较的函数值对应的点都在抛物线对称轴的同一侧 时，可直接利用函数的增减性比较；当所要比较的函数值对 应的点不在抛物线的同一侧时，应将它们转化到对称轴的同 侧，再进行比较．

《二次函数y=ax2的图像和性质》PPT课件1-九年级上册数学部编版

《二次函数y=ax2的图像和性质》PPT课件1-九年级上册数学部编版
22.1 二次函数的图象和性质 （第2课时）
1．复习研究函数的一般方法
问题1 你认为我们应该如何研究函数的图象和性质？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题2 类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函 数 y = x2 的图象比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
• 当 a＞0 时，二次函数 y = ax 2 的图象有什么特点 ？
• 一般地，当 a＞0 时，抛物 线 y = ax 2 开口向上，对称 轴是 y 轴，顶点是原点，顶 点是抛物线的最低点， a越 大，抛物线的开口越小.
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题5 你能说出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和 性质的？
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax2 的图象特征．
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
• 当 a <0 时，二次函数 y = ax 2 的图象有什么特点 ？
• 一般地，当 a<0 时，抛物线 y = ax 2 开口向下，对称轴 是 y 轴，顶点是原点，顶点 是抛物线的最高点， a越小 ，抛物线的开口越小.

《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计

《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计

《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计《二次函数的性质》导学设计(鲁教版九年级上册第二章二次函数第三节)2二次函数y=ax的图课题课型新授课备课人像性质二次函数y=ax2的图像和性质，是本章二次函数概念之后首次接触二次函数的性质，前面有一次函数、正(反)比内容分例函数性质的基础，学生有了储备知识，它是一类最特殊的析二次函数，为后续学习奠定基础，从某种意义上说起着承上启下的作用。

教材中性质的推导与获得利用了“从特殊到一般”的认识方法。

同学们应注意学习和运用。

本节学习中最难理解的是增减性，这一点同学们学习时要特别注意。

1、能够利用描点法作出二次函数的图象，并能根据图象认识2和理解二次函数y=ax 的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

22、经历探索二次函数y=ax图象和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

进一步培养数形结合方法研究函数学习目的性质，了解从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

标3、在数学学习过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受第 1 页共 11 页数学发现学习的乐趣。

学习重2二次函数y=ax图象的描绘和图像特征的归纳点学习难选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像 . 点学习方合作——探究、讨论——交流(法学具准投影片、单页网格纸备学习内容及过程备注第(1---4)一、学习准备题让学生回问题:1. 正比例函数y=kx(k ? 0)其图象是什么, 想一次函数、正反比2. 一次函数y=kx+b(k ? 0)其图象又是什么,例函数图像3. 反比例函数 (k ? 0)其图象又是什么, 及性质，为二次函数性4，二次函数的一般形式是什么,x的取值范围质的引入做二、导入新课铺垫。

通过第 2 页共 11 页学生观察回2当a=1时，二次函数y=x有那些性质,忆图像性质有什么方法能更直接，更形象的来描述它的性质呢, 及画法得出二次函数2这节课我们就来研究二次函数y=ax图象。

2图像通y=x三、阅读探究过类比的方法，获得利探究一:画图像，找规律用图象研究(完成教材P45) 观察计算结果，你发现了什么规律, 二次函数性2, 2, 质的经验，画函数y=xy= -x图象。

《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计

学习重点
二次函数y=ax2图象的描绘和图像特征的归纳
学习难点
选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像.
学习方法
合作——探究、讨论——交流．
学具准备
投影片、单页网格纸
学习内容及过程
备注
一、学习准备
问题：1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么？
2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么？
《二次函数的性质》导学设计
（鲁教版九年级上册第二章二次函数第三节）
课题
二次函数y=ax2的图像性质
课型
新授课
备课人
内容分析
二次函数y=ax2的图像和性质，是本章二次函数概念之后首次接触二次函数的性质，前面有一次函数、正（反）比例函数性质的基础，学生有了储备知识，它是一类最特殊的二次函数，为后续学习奠定基础，从某种意义上说起着承上启下的作用。教材中性质的推导与获得利用了“从特殊到一般”的认识方法。同学们应注意学习和运用。本节学习中最难理解的是增减性，这一点同学们学习时要特别注意。
画函数y=x2,y= -x2,图象。
生列表，描点，连线，得到函数的图像，抽2生到黑板完成。
师通过订正黑板上两同学的图象，指出图象的正确做法。
探究二：观察图象，探索性质。
(完成教材P46)函数 的图像、顶点坐标、对称轴有关概念
通过填写下表二次函数y=x2图象来概括归纳性质。
（一）列表
x
…
-3
-2
-1
0
例1已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(1,-9).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.

鲁教版五四制九年级(初三)数学上册二次函数y=ax^2的图象与性质-第二课时_课件2


1.画出二次函数y=2x2的图象。
(1)完成下表： x
y=2x2 -3 18 -2 8 -1 2 0 0 1 2 2 8 3 18
… … … …
(2)在下图中作出y= 2x2 的图象。
(3)二次函数y=2x
2 的图象是
什么形状? 它的开口方向、对
称轴和顶点坐标分别是什么?
它与二次函数y=x2的图象有什
最值
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
2. 二次函数的图象都是 抛物线 ， 它们的开口或者 向上 或者 向下 。 一般地，二次函数y=ax² +bx+c的图 象叫做 抛物线y=ax² +bx+c 。 3.形如y=ax² 的二次函数的图象和性 质是什么呢？它们的图象之间有什么关 系呢？
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持 一定距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离 (称为刹车距离)与什么因素有关？
二次函数y=ax2的图象与性质
第二课时
1．二次函数y=x2与y=-x2的图象和性质：
y
o
y x2 y= x y =- x2
抛物线
y=x2
y
x
y=-x2
y
o
图象
o
x
对称轴 顶点
y轴
y轴
原点（最高点） 原点（最低点） 开口向上 开口向下 开口方向 在对称轴左侧,y随x的增 在对称轴左侧,y随x的增 增减性 大而减小；在对称轴右 大而增大；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增大 侧,y随着x的增大而减小
③函数值都随v值的增大而
增大。
1 ２ ｓ＝ 100 v 的图象的内侧，
不同点： 1 ２ ｓ＝ v 的图象在 50
1 ｓ＝ 50 v２

3.3 二次函数y=ax2的图象与性质 第1课时课件2024—2025学年鲁教版(五四制)数学九上

=
14
如图,已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1,m)和
B(-2,4).
(2)求△AOB的面积.
【解析】 (2)一次函数y=-x+2中,令x=0,得y=2,
∴一次函数与y轴交于点C(0,2),


∴S△AOB=S△AOC+பைடு நூலகம்△COB= ×2×1+ ×2×2=3.
如图,连接AO,BO.
∵直线y=3x+4与y轴相交于点C(0,4),∴CO=4.


∴S△ACO= ·CO·4=8,S△BOC= ×4×1=2,∴S△ABO=S△ACO+S△BOC=10.


13
【举一反三】
如图,已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象
交于点A(1,m)和B(-2,4).
(1)求两个函数的解析式;
【解析】(1)把点B(-2,4)代入二次函数y=ax2得4a=4,a=1,
二次函数的解析式为y=x2;点A(1,m)代入二次函数解析式得m=1,
+=
把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y=kx+b得
,
− + =
= −
解得
,故一次函数的解析式为y=-x+2;
3
2
二次函数y=ax 的
1111
图象与性质
第1课时
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
抛物线
3
y=x2
y=-x2
向上
__________
向下
__________
图象

《二次函数y=ax2的图象与性质》课件

值y随x的增大而 增大
有最小值,当x=0时,y最小=0
有最大值,当x=0时,y最大=0
探究点一
二次函数y=ax2的图象

2

2
[例 1] 在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:①y= x ;②y=- x .根据图象

回答下列问题:
(1)这两个函数的图象都是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?
(3)图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该保持
平滑.
探究点二
二次函数y=ax2的性质
[例2] 二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1,m).
(1)求出二次函数的表达式;
(2)写出二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(3)x取何值时,该函数的函数值y随x的增大而增大?x取何值时,该函数的函数值y随
[导学探究]
1.自变量的取值范围是
全体实数
.

解:列表:
x

y= x


2
y=- x

2
-4
-3
-
3
4
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-8
描点、连线,函数图象如图所示.
(1)这两个函数的图象都是轴对称图形,对称轴都是y轴.
(2)图象有最高点或最低点吗?如果有,写出最高点或最低点的坐标.
[导学探究]
平滑的曲线
2.连线时要用

2
连结各点.

2
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yx
x
1 2
2
(3)当x取 0 时,y有最 你是如何知道的？
小 值，这个值是 0
这个点叫抛 物线的顶点
。
当x<0 (在对 称轴的左侧) (4)当x<0时,随着x的值增大, 时,y随着x的 y的值如何变化？当x>0呢？ 增大而 减小.
当x>0 (在对 称轴的右侧) 时, y随着x的 增大而增大.
做一做
注意：列表时 你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
x … -3 y=x2 … 9
-2 -1 0 4 1 0
1 1
9y 8
7
2 4
均匀和对称。
3 9
… …
描点法画图像 象步骤
描点, 连线
2 y=x
列表 描点 连线
6
5 1、用平滑曲线连结时 3 要自左向右顺次连结 2 2、两点之间的连线 是曲线不是线段 1 -4 -3 -2 -1 0 4
1
2
3
4 x
yx
二次函数y=x2 的图象形如物 体抛射时所经 过的路线,我 们把它叫做抛 物线。
2
议一议
y
观察图象,归纳特征：
(1)抛物线是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? (2)抛物线与x轴有交点吗？ 如果有,交点坐标是什么? -1 -2 O 这个交点是抛物线的最低点还是最高点？ 它是对称轴与抛物线的交点吗？
在学中做—在做中学
(1)二次函数y= -x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象．
x y=-x2 … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
列表 得：
x y=-x2
… …
-3 -9
-2 -4
-1 -1 y 2 0
0 0
1 -1
2 -2
3 -9
… …
描点,连线得：
y x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=x2
（0，0） y轴 向上
y=-x2
（0，0） y轴 向下
顶点是最低点 图像极点 顶点是最高点 函数极值 当x=0时y有最小值为0。 当x=0时 y有最大值为0 对称轴左侧y随x增大而减小 对称轴左侧y随x增大而增大 增减性 对称轴右侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 关系：y=x2与y=-x2关于y对称，也关于原点中心对称
1、二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① ③
yx
2
2
y xx
1 ② yx x
2
④ y x x 1
2
1 2 ⑤ y x 2x 4 3
自变量取值要 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
y 0 -1 -2
6
-4 -3 -2 -1
2
6
1 2 3 4
x
-4
( 3,6)
-6
( 3,6)
-8 -9 -10
y=-x2
-4 -3 -2 -1
-1 -2
1
2
3
4
x
-4
-6
?
-8 -9 -10
y=-x2
yx
2
1、抛物线y = -x2 与抛物线y = x2 有哪些相同点和 不同点？ 2、抛物线y = -x2 与抛物线y=x2 有什么关系？
y x
2
y x2
１、顶点坐标与对称轴
２、开口方向
３、图像极点 4、 函数极值 5、增减性
5 (X=-1时， (1) 1 4
2
，-4）不在此抛物线上。
（3）由-6=-x2 ,得x2=6,
解得：x 6
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 6,6)与( 6,6)
1、已知点A（2，-1）和点B（-3，m) 都在抛物线y=ax2上，求a和m的值。 2、课本P48的习题2
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-4）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 (4) 根据图像求下列各式的值：
(1)
解（1）把A点的坐标代入y=ax2,得 -4=a(-2)2,解出a= -1 所求函数解析式为y= -x2.