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1.3.2函数的极值与导数[学习目标]1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.[预习导引]1．极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．要点一求函数的极值例1求函数f(x)＝13x3－4x＋4的极值．解f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝28 3.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪演练1 求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值． 解 函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ， ∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解之得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.要点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，a的取值范围是(5－42，5＋42)．规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪演练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)或即k＜－4或k＞4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．1．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点答案 C解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．答案9解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、基础达标1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案 C解析 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ＜－1或x ＞3时，y ′＞0，当－1＜x ＜3时，y ′<0.故当x ＝－1时，函数有极大值5；x 取不到3，故无极小值．5．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2. 二、能力提升8．(2014·新课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πxm .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 由f (x )＝3sin πxm 的图象知，在x ＝x 0处，f (x 0)＝3，或f (x 0)＝－3，即[f (x 0)]2＝3，又πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k∈Z )，∴|x 0|≥|m |2，∴x 20＋[f (x 0)]2≥m 24＋3，∴m 24＋3<m 2，∴m 2>4，∴m >2或m <－2.故选C.9．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点．故A 错；f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数，故－x 0应是f (－x )的极大值点，B 错；－f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数，故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系，C 错；－f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确． 10．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 答案③解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m ＞0)有极大值－52，求m 的值． 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)证明当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.。
课堂探究探究一求函数的极值用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：(1)求定义域，并求导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)列出表格．在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；(4)由表格获得结论．实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别．【典型例题1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜2π)．思路分析：求f(x)的定义域→求f′(x)→解方程f′(x)＝0→列表分析→结论解：(1)函数f(x)的定义域为R；f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：3＝16.当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.(2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)＝cos x＋cos2x－sin2x＝cos x＋cos2x－(1－cos2x)＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．令f ′(x )＝0，得cos x ＝12或cos x ＝－1.当0＜x ＜2π时，x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝5π3.当x 在区间(0,2π)内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝5π3时，f (x )有极小值为－334.探究二 已知函数的极值求参数的值或范围1．已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．对于可导函数f (x )，若它有极值点x 0，则必有f ′(x 0)＝0，因此函数f (x )有极值的问题，往往可以转化为方程f ′(x )＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．【典型例题2】已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 思路分析：本题考查已知极值求参数值的问题．求导，分别建立关于a ，b 的方程组，注意验证以及对根的取舍．解：∵f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， ∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； ∴f (x )在x ＝－1时取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.【典型例题3】若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，因为f (x )在(0,1)内有极小值，所以，函数f ′(x )应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0＜b ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 探究三 函数极值的综合应用涉及方程f (x )＝k 的解的个数问题，时常转化成函数y ＝f (x )与y ＝k 两函数图象的交点个数问题，求解时可利用导数，求出y ＝f (x )的单调区间及极值，画出草图，借助图象求出解的个数．【典型例题4】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不等实根，求实数k 的取值范围． 解：(1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝12a －b ＝0，f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4. 经检验a ＝13，b ＝4符合题意．故所求函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283；当x ＝2时，f (x )有极小值－43，则f (x )的图象大致如图所示，要使关于f (x )＝k 的方程有三个不等实根，则使k 应满足－43＜k ＜283.探究四 易错辨析易错点：不理解f ′(x )＝0的根与函数极值点的关系【典型例题5】已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝__________，c ＝__________.错解：f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.错因分析：函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件．错解中忽略了对得出的两组解进行检验而出错，一般地，根据极值条件求参数的值的问题时，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍．正确：f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0， 此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， 所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求． 答案：－1 3。
学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课程主题：授课时间：学习目标教学内容1.3导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是单调递增的．(2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是单调递减的．2．求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算f′(x)，令f′(x)＝0，求零点．(3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)．(4)判断f′(x)在每个区间的符号，确定函数f(x)的增区间和减区间．函数的增减快慢与导数一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图，函数y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内“平缓”．说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)函数y ＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． (2)若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则a ，b ，c 的关系式为________． (3)函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．答案 (1)上升 (2)a >0，且b 2≤3ac ，(3)⎝⎛⎭⎫－∞，－53，(1，＋∞)探究1 函数与导函数图象之间的关系例1 f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <x 1时，f ′(x )<0，即函数f (x )为减函数；当x >x 1时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知C 正确．[答案] C 拓展提升研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．【跟踪训练1】 设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )答案 D解析 应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象．探究2 求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间．因为x ≥3，所以f ′(x )≥23·ln 2－2＞0.所以f (x )在[3，＋∞)内是增函数．所以f (x )的最小值为f (3)＝23－2×3－1＝1＞0. 所以当n ∈N *，且n ≥3时，f (n )≥f (3)＞0， 即2n －2n －1＞0恒成立．故当n ∈N *，且n ≥3时，2n ＞2n ＋1成立． 拓展提升利用导数证明此类不等式，可以作不等式两边的差构造函数f (x )．因此，要证不等式成立，只需证f (x )＞0在其定义域内恒成立即可．【跟踪训练4】 已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.解 (1)由题意得f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减， 故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.判断函数单调性的方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1<x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)的符号确定函数的单调性.(2)图象法，观察图象的变化趋势直观判断.(3)利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内符号；③得出结论.1．下列命题中正确的是( )A ．若f (x )在(a ，b )上是增函数，则对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0B ．若在(a ，b )上对任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )上是单调函数，则f ′(x )也是单调函数D ．若可导函数f (x )在(a ，b )上有f ′(x )＜0，则在(a ，b )上有f (x )＜0 答案 B解析 根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知B 正确；对于A ，可能存在x 0∈(a ，b )，使得f ′(x 0)＝0；因为f ′(x )的单调性与f (x )的单调性的关系不确定，所以C 不正确；因为f ′(x )与f (x )的符号关系不确定，所以D 不正确．2．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )1．3.2 函数的极值与导数1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点如图，若a 为极小值点，f (a )为极小值，则必须满足：①f (a ) <f (x 0)，f (x 0)表示f (x )在x ＝a 附近的函数值； ②f ′(a )＝0；③在x ＝a 附近的左侧，f ′(x ) <0，函数单调递减；在x ＝a 附近的右侧，f ′(x ) >0，函数单调递增． (2)极大值与极大值点如图，若b 为极大值点，f (b )为极大值，则必须满足： ①f (b ) >f (x 0)，f (x 0)表示f (x )在x ＝b 附近的函数值； ②f ′(b )＝0；③在x ＝b 附近的左侧，f ′(x ) >0，函数单调递增；在x ＝b 附近的右侧，f ′(x ) <0，函数单调递减． 2．求函数f (x )极值的方法与步骤 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x )＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x ) >0，右侧f ′(x ) <0，那么，f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x ) <0，右侧f ′(x ) >0，那么，f (x 0)是极小值． (3)如果f ′(x )在x 0两侧的符号相同，则x 0不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x 0是可导函数f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y ＝|x |在x ＝0处不可导，但x ＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f ′(x )＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．( )(2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1x 有极值．( )答案 (1)√ (2)√ (3)×2．做一做(1)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极大值点的个数为________．(2)函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是________． (3)已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的极小值是________． 答案 (1)2 (2)a <0 (3)1探究1 求已知函数的极值例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝3x＋3ln x ；(2)f (x )＝x 3－3x 2－2在(a －1，a ＋1)内的极值(a >0)．[解] (1)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值3↗因此当x ＝1时，f (x )有极小值，并且f (1)＝3.(2)由f (x )＝x 3－3x 2－2得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗由此可得：当0<a <1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值；当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值．[条件探究] 若将本例(2)中a >0改为a <0，结果会怎样？[解] 由例1(2)中表可得：当－1<a <0时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值． 当a ≤－1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当－1<a <0时，f (x )有极大值－2，无极小值．当a ≤－1时，f (x )无极值． 拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法是：解方程f ′(x )＝0，设解为x 0， (1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．注意：如果在x 0附近的两侧f ′(x )符号相同，则x 0不是函数f (x )的极值点．例如，对于函数f (x )＝x 3，我们有f ′(x )＝3x 2.虽然f ′(0)＝0，但由于无论是x >0，还是x <0，恒有f ′(x )>0，即函数f (x )＝x 3是单调递增的，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．一般地，函数y ＝f (x )在一点的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2xx 2＋1－2； (2)f (x )＝x 2e －x .解 (1)函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0；当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e2.探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9. 当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数；所以f (x )在x ＝－1时取得极小值．所以a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【跟踪训练2】 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在点x ＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (x )在点x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，解得b ＝0. (2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a ．依题意有－23a >0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，所以必有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.探究3 利用极值判断方程根的个数例3 已知曲线f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 与x 轴只有一个交点，求实数a 的取值范围． [解] f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 列表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘所以当x ＝－1时，f (x )有极小值f (－1)＝a －5；当x ＝3时，f (x )有极大值f (3)＝a ＋27.画出大致图象，要使f (x )的图象与x 轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a －5>0或a ＋27<0.解得a >5或a <－27. 故实数a 的取值范围为a >5或a <－27. 拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同实根，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2. 因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. (2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 答案 y ＝－1e解析 由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围． 解 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0. 所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋A ． 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图． 所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0， 解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．1.3.3 函数的最大(小)值与导数1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图①中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图②中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图③中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图④中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.答案(1)无(2)15(3)1探究1求已知函数的最值例1已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[解](1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4A．当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0<2a3<2，即0<a<3时，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，2a3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a(0<a≤2)，0(2<a<3).综上所述，f(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a(a≤2)，0(a>2).[条件探究]将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？[解]令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝23a．当23a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；当23a≤－1，即a≤－32时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；当－1<23a<0，即－32<a<0时，f(x)在⎣⎡⎦⎤－1，23a上单调递增；在⎣⎡⎦⎤23a，0上单调递减，则f(x)max＝f⎝⎛⎭⎫23a＝－427a3.综上所述，f(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a，a≤－32，－427a3，－32<a<0，0，a≥0.拓展提升常见结论(1)当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3上单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15 D ．5，－16 答案 A。
导数在函数中的应用1.3.1《函数的单调性与导数》【教法分析】（1）教法:采用启发式教学，以教师为主导、学生为主体。
强调数形结合思想、转化思想的应用。
同时给予数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。
(2)学法:探究与合作学习想结合。
教学手段：借助多媒体，制作课件，通过视频和几何画板演示提高课堂效率和学生学习兴趣。
【教学目标】1.知识与技能目标结合学生学过的大量实例，借助这些函数的图象，让学生通过观察----探讨----归纳----结论，得出函数单调性与导数的正负关系。
2.过程与方法目标运用导数这个工具研究函数的单调性，求单调区间。
体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性。
3.情感与价值观目标培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，从中体会数形结合思想、转化思想。
【教学重点难点】教学重点：函数单调性与其导函数的正负关系；判断函数单调性，求单调区间。
教学难点：函数单调性与其导函数的正负关系的探究过程。
【学前准备】：多媒体，预习例题提出问题1：通过观察，找到h(t)的两个单调区间，探究在这两个单调区间上导数分别有么特征。
提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？探讨：下列函数的单调性与其导函数正负的关系。
1.3.2函数的极值与导数【教学目标】【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念；2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3．掌握求可导函数的极值的步骤；【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。
【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。
【学前准备】：多媒体，预习例题当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状。
解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”。
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示。
