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数值积分与数值微分习题课

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数值积分与

数值微分

习题课

一、已知012113,,424xxx，给出以这3个点为求积节点在0.1上的插值型求积公式

解：过这3个点的插值多项式基函数为

120201020212101201222021120,0,1,2kkxxxxlxxxxxxxxxlxxxxxxxxxlxxxxxAlxdxk

111200001021102100101210120202113224111334244131441113324241142xxxxxxAdxdxxxxxxxxxxxAdxdxxxxxxxxxxxAdxxxxx102313134442dx

故所求的插值型求积公式为

10211123343234fxdxfff

二、确定求积公式

11150.68050.69fxdxfff

的代数精度，它是Gauss公式吗？

证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验

依次取23451,,,,,fxxxxxx，有

111112151815191050.68050.69dxxdx

2212213313314414415515512150.68050.6391050.68050.692150.68050.6591050.68050.69xdxxdxxdxxdx

本题已经达到2n-1=5。故它是Gauss公式。

三、试应用复合梯形公式计算积分

2112Idxx

要求误差不超过310，并把计算结果与准确值比较。

解：复合梯形公式的余项为

2,()()12bnnabaRfTfxdxThf 11()()2()2nnkkbaTfafbfxn,,0,1,2,,kbaxakhhknnL

本题12fxx，231,21,max1xfxMfxx

本题余项为

2221,221,()max()121212nxhhRfThffx 要使23,1012nhRfT，得 0.109545h，取0.1h

得100.1banh-2-1= 于是有

101111112...0.3468862102421.121.221.9IT

检验： 4310101ln23.1211110102ITT

四、证明 若函数1,fxCab，则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong插值余项证明梯形求积公式的余项为

31212bababaRffxdxfafbf

证明：不妨设一阶差商函数为,fxa，0,xab，有

000000000000000lim,limlimlim,hhhhfxhfafxhaxhafxfhfaxhafxfafhfxfafxaxhaxhaxa

由0x的任意性，可知一阶差商函数是连续函数。

由插值特点，显然有

111bbaaRffxLxdxfxNxdx

线性插值的Newton余项公式为

1,,fxNxfxabxaxb

故有

1,,baRffxabxaxbdx

由

000,,lim,,limlim,,,,,,hhhfxhafabfxhabxhbfxhafabfxafabfxabxbxb

可知,,fxab是变量x在,ab上的连续函数，而函数

xaxb在,ab上可积，不变号，根据积分中值定理，存在,ab，使

1,,bbaafxNxdxfabxaxbdx

由差商性质，存在,ab，使,,2ffab。所以

13212bbaaffxNxdxxaxbdxbaf

结论得证。

五、导出中矩形公式

2baabfxdxbaf

的余项。

解：将fx在2abx处进行泰勒展开

22''2122'2baxfbaxbafbafxf

ba,。对上式两边在ba,上积分，有

babababadxbaxfdxbaxbafdxbafdxxf22''2122'2

dxbaxfdxbaxbafbafabbaba22''2122'2

中矩形公式的余项

221'''2222bMabbaaabRfxdxbafabababfxdxfxdx

232320'0;221''22''''''2222324babababaababfxdxabfxdxfffbaabxdxtQ

3'',,24MfRbaab

六、设数值求积公式

1()d()nbkkakfxxAfx,

代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求积公式.

证:充分性.

设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数

()bkknaAlxdx

111()()()()()()nnbnkkknkakknbbknknaakIAfxlxdxfxlxfxdxLxdx

余项为

()()()!nbnnnafRfIIxdxn

由知代数精度至少为n-1

必要性.

设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式()(1)rpxrn原式成立等号,特别地取

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数值方法课后习题答案

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习题1：插值法

给定一组数据点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，使用拉格朗日插值法构造一个多项式 \(P(x)\)，使其通过所有给定的数据点。

答案：

拉格朗日插值法的多项式 \(P(x)\) 可以表示为：

\[ P(x) = \sum_{i=1}^{n} y_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq

i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]

习题2：数值积分

使用梯形法则和辛普森法则分别计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)

的近似值。

答案：

- 梯形法则的近似值：

\[ \text{Trapezoidal Rule} \approx \frac{h}{2}(y_0 + 2y_1 +

2y_2 + \ldots + y_{n-1}) \]

- 辛普森法则的近似值：

\[ \text{Simpson's Rule} \approx \frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 +

2y_2 + 4y_3 + \ldots + y_{n-1}) \]

习题3：微分方程数值解

考虑常微分方程 \(y' = f(x, y)\)，其中 \(f(x, y) = x^2 - y^2\)，初始条件 \(y(0) = 1\)。使用欧拉方法和改进的欧拉方法分别计算

\(y(0.1)\) 的近似值。

答案：

- 欧拉方法：

\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]

- 改进的欧拉方法：

\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \cdot (f(x_n, y_n) + f(x_{n+1},

y_{n+1})) \]

习题4：线性方程组的数值解

给定线性方程组 \(Ax = b\)，其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\)

微分方程数值解习题课

微分方程数值解习题课

1

微分方程

初值问题数值解

习题课

2

一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分

20xtyedt

所确定的函数y在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。

解：该积分问题等价于常微分方程初值问题

2'(0)0xyey

其中h=0.5。其向前欧拉格式为

2()100ihiiyyhey

3

改进欧拉格式为

22()2(1)10()20ihihiihyyeey

将两种计算格式所得结果列于下表

i ix 向前欧拉法iy 改进欧拉法iy

0 0 0 0

1 0.5 0.5 0.44470

2 1.0 0.88940 0.73137

3 1.5 1.07334 0.84969

4

二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题

'1(0)1yxyy 00.6x

取步长h=0.1.

解：4步显式法必须有4个起步值，0y已知，其他3个123,,yyy用4阶龙格库塔方法求出。

本题的信息有：

步长h=0.1；结点0.1(0,1,,6)ixihiiL；

0(,)1,(0)1fxyxyyy

5

经典的4阶龙格库塔公式为

11234(22)6iihyykkkk

1(,)1iiiikfxyxy

121(,)0.051.0522iiiihkhkfxyxyk

232(,)0.051.0522iiiihkhkfxyxyk

433(,)0.11.1iiiikfxhyhkxyk

算得11.0048375y,21.0187309y,31.0408184y

6

4阶4步阿达姆斯显格式

1123(5559379)24iiiiiihyyffff

1231(18.55.93.70.90.243.24)24iiiiiyyyyyi

数值分析课后习题和解答

数值分析课后习题和解答

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学习指导参考资料 课后习题解答

第一章 绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

已知x*的相对误差满足，而，故

即

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得

有5位有效数字，其误差限，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，

3.下列公式如何才比较准确？ 完美WORD格式编辑

学习指导参考资料 （1）

（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）

（2）

4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用 ： 式计算误差最小。

四个选项：

第二、三章 插值与函数逼近

习题二、三

1. 给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.

解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 完美WORD格式编辑

学习指导参考资料

误差限，因，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故

2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?

数值分析课程第五版课后习题答案

数值分析课程第五版课后习题答案

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课后习题一：

a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 -

2。选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠

i。

课后习题二：

a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。常用的迭代方法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。这些迭代法的基本思想都是通过不断更新近似解来逼近方程组的精确解。这些方法在迭代过程中需要选择适当的停止准则，例如，两次迭代间的近似解的差值小于某个预设的精度。