下载文档原格式
理论力学中的非线性振动与混沌理论研究在理论力学中，振动和混沌是两个重要的研究领域。
非线性振动和混沌理论的研究对于理解自然界的复杂现象以及应用于工程实践具有重要的意义。
本文将探讨理论力学中的非线性振动和混沌理论的研究进展及其应用。
一、非线性振动的基本概念与理论非线性振动是相对于线性振动而言的，而线性振动是振动系统中的基本概念。
在线性振动中，振动系统的响应与外部激励之间存在线性关系，振动的特征可以由线性微分方程描述。
然而，在实际的振动系统中，往往存在着非线性因素的影响，例如摩擦、弹性的非线性等。
非线性振动的研究旨在揭示非线性振动系统的特点与行为规律。
在非线性振动的研究中，常常使用多尺度分析方法。
多尺度分析的基本思想是根据振动系统的性质和具体问题的需求，选择合适的变量和时间尺度，并将振动系统的行为分解为各个尺度下的变化。
常用的多尺度分析方法包括平均法、正则变换法等。
非线性振动的研究不仅限于理论分析，还包括实验研究和数值模拟。
实验可以通过测量振动系统的响应来验证理论预测，并获得系统的动力学行为；数值模拟可以通过模拟振动系统的微分方程，得到系统的时间演化过程。
实验和数值模拟的结果可以相互印证，从而更加全面地理解非线性振动系统。
二、混沌理论的发展与应用混沌理论是上世纪70年代发展起来的，并在之后的几十年中得到了广泛的应用。
混沌现象是指一个动力系统的演化在初态非常微小的扰动下会发生显著的变化，导致系统行为无法准确预测。
混沌理论的研究对于理解非线性系统的复杂性、探索系统演化规律以及开展实际应用具有重要的意义。
混沌理论的研究方法一般包括分岔图、Lyapunov指数、Poincaré截面等。
分岔图是通过调整系统参数并观察系统响应的变化来研究系统周期解和混沌解之间的转变。
Lyapunov指数是用来刻画系统演化的敏感程度，通过计算系统的特征指数来衡量系统的混沌程度。
Poincaré截面则是通过选择适当的截面来研究振动系统的相轨迹和相空间的结构。
第一章 非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡1 小角度无阻尼单摆 椭圆点单摆，一个由摆线l 联着的重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型。
其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统。
我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l 质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示。
因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂。
理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了。
图1-1 数学摆首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等。
由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m 的单摆的运动方程为：(1-1-1)式中θ为摆角，g 为重力加速度。
将等式右边项移到到左边，并以ml 相除后有：设 ，它是以单位时间的弧度为单位的角频率，则式(1-1-1)可写为：(1-1-2)由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。
用级数展开正弦函数：(1-1-3)如果x 很小，则可以忽略三次以上的高次项，即。
这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程：ml d dtmg 22θθ=−sin 0sin 22=+θθl g dt d l g /0=ω0ω0sin 2022=+θωθdt d L +−+−=!7!5!3sin 753x x x x x x x ≈sin(1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：式中λ为常数。
代入方程(1-1-4)并消去因子后得特征方程：(1-1-5)方程(1-1-5)的特征根为：由此得到方程(1-1-4)的通解为：(1-1-6)式中，为复常数。
由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数，必须满足条件：于是得条件：，。
将满足这样条件的系数，写成指数形式：， 其中P 为它们的模，为幅角，则(1-1-6)式写成如下形式：(1-1-7)(1-1-7)式是一个振幅为P ，角频率为的简谐振动表示式，表明单摆在摆角很小时的摆动为简谐振荡，其振动波形可以用正弦曲线来表示。
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
《非线性振动》周纪卿朱因远西安交通大学出版社，1998 P4：
对一般工程问题，非线性振动问题的研究可分五步进行：首先建立数学模型，并将自变量、因变量和参数化为无量纲的，便于分析参数的量级；然后求平衡点和周期解；进而研究这些平衡点和周期解的稳定性；如果方程中含有参数，应研究参数变化时，平衡点及周期解的个数及性态是如何变化的，找出使解的拓扑结构变化的参数值（称为临界参数）；最后，有条件且有必要时，应研究任一给定的初始条件下，系统长期发展的结果，即研究非线性系统的整体性态。
完成以上五步工作，非线性系统的性态算是比较彻底地被研究了。
P303：
非线性振动的研究一般分五步：（1）建立数学模型；（2）求周期解；（3）研究周期解的稳定性；（4）若方程中含有参数，研究参数变化引起的解的变化；（5）研究非线性系统的全局性态。
前三步的研究，主要是对解得局部特性的研究，第（5）步是研究任给一初始条件，系统的长期发展和最终结局及各种运动的性态和分界情况等。
点映射法是庞加莱于1881年提出来的，后经安德罗诺夫等广泛应用于非线性振动领域。
胞映射法是徐皆苏教授在本世纪80年代提出来的，这是一个崭新的方法。
分析和求解方法：大体上分为实验法和分析法
1. 实验法- 分析方法
2. 分析法：
（1）定性分析法：相平面法- 分析方法
（2）定量分析法：
a. 近似解析方法：小参数法、多尺度法、慢变参数法、伽辽金法、谐波平衡法等。
- 方程求解方法
b. 数值方法：初值法、边值法、点映射法、胞映射法等。
初值法：龙格库塔法、Gill法等- 方程求解
边值法- 方程求解方法
点映射法、胞映射法- 分析方法。
