2.1曲线与方程讲义-教师

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束.2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知A⊆B,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B.3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. 典型例题分析题型1曲线的方程与方程的曲线 【例1】判断下列命题是否正确:①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB 的方程是x+y-2=0; ②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=x -25; ③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x 2-y 2=0. 解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案 命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB 上,故命题①错误;命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x 2+y 2=52,方程y=x -25表示的曲线是圆x 2+y 2=25除去x 轴下半部分的曲线,故命题②错误命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x 2-y 2=0,反过来坐标满足方程x 2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l 上,直线l 只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x 和y=-x,故y=x 不是所求的轨迹方程题型2曲线的交点【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程 解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小答案 设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即[x+(1+λ)2+(y+24-λ)=4161652+-λλ.设该圆半径为R,由圆面积公式S=πR 2,得R 2=4161652+-λλ取最小值的面积为最小.而R 2=45（λ-58）2+54,所以当λ=58时,圆面积最小.此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0.规律总结 最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x 2-1+y=0有公共点,则b 的取值范围是 .答案 联立两曲线方程,消去y 得x 2-x-(1+b)=0.由题意得△≥0,即1+4(1+b)≥0,解得b ≥-45规律 方法 总结1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价 性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分 解法等3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题, 而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时 巩固 检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上,有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点,其坐标满足f(x,y)=0 【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C 的方程f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x ´,y ´)在圆上,则f(x,y)-f(x 0,y 0)+f(x ´,y ´)=0表示的曲线是 ( ) A.就是圆C B.过A 点且与圆C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过A 点与圆C 同心的圆 【答案】D(点拨:由点B(x ´,y ´)在圆上, ∴f(x ´,y ´)=0,即方程为f(x,y)-f(x 0,y 0)=0, ∴方程过点A(x 0,y 0) 又f(x 0,y 0)为常数,∴f(x,y)-f(x 0,y 0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M 满足|MA|-|MB|=2,则点M 的轨迹方程是 ( ) A.y=0(-1≤y ≤1) B.y=0(x ≥1) C.y=0(x ≤-1) D.y=0(|x|≥1) 【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则()()222211y x y x ++-+-=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|>0,∴x ≤-1.)4.点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a= . 【答案】31(点拔:将点代入方程中即可.) 5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P 满足21=PB PA,则P 点的轨迹方程是 . 【答案】x 2+4x+y 2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l ,交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】如下图,设M 点的坐标为(x ，y),则A(2x,0),B(0,2y)∵1l ⊥2l ,2l P(2,4),∴PA ⊥PB,k PA ·k PB =-1,而k PA =x x -=-12224(x ≠1),k PB =2042--y =2-y, ∴x-12·(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x ≠1). ∵当x=1时,A(2.0),B(0,4∴AB 的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M 的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB 的长度为10.它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹是什么? 【答案】解法一：由题意可知AB 的中点P 恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P 的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P 点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x ，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以2244y x +=10,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是 （ ）A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.y x =0D.yx -1=0【答案】B(点拔:A 中y ≥0与图形不符,C 、D 中都不满足y= 0,而图形过原点,所以排除C 、D,只有B 符合题意.) 9.(1)方程(x+y-1)1-x =0表示什么曲线?(2)方程2x 2+y 2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 【答案】(1)由方程(x+y-1)1-x =0可得⎩⎨⎧=-+≥-010,1y x x 或⎩⎨⎧=-≥-.01,01x x 即x+y-1=0(x ≥1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x ≥1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0)1(,0)1(222y x 得⎩⎨⎧-==,1,1y x∴方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C 1：x 2+y 2+6x-16=0,C 2:x 2+y 2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程. 【答案】 设圆的方为x 2+y 2+6x-16+λ（x 2+y 2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得λ=81,所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x-16+81(x 2+y 2-4x-5)=0.即9x 2+9y 2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a(a>0),试求点P 的轨迹方程,并探求点P 的轨迹 【答案】设动点P 的坐标是(x ，y),由PBPA =a(a>0)得2222)()(yc x y c x +-++=a,简得(1-a 2)x 2+2c(1+a 2)x+c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.当a ≠1时,得x 2+221)1(2aa c -+x+c 2+y 2=0,整理得22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c a a x +y 2=2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ac ；当a=1时，化简得x=0,所以当a ≠1时,P 点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122c a a 为圆心，122-a ac为半径的圆:当a=1时,P 点的轨迹是y 轴.。

2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
1
? 主要内容：
? 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
? 重点和难点：
? 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系Байду номын сангаас？
2
1.研究直线和圆的基本方法是什么？ 这种方法的思路是怎样的？
坐标法；借助坐标系，把点与坐标、曲线与方 程联系起来，再通过方程研究曲线的几何性质.
5
分析特例归纳定义2
y
以原点为圆心，5为半径的圆 曲线
O
x
到原点的距离等于5
条件
满足关系：
x2+y2=25
方程
（1）、如果M (x0 , y0 )是圆上的点，那么 M (x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
（2）、如果M ( x0 , y0 )是方程 ( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解，那么以它为坐标
0x
（1） l 上点的坐标都是方程 x-y=0的解
（2）以方程 x-y=0 的解为坐标的点都
在 l上
4
直线l与方程y=x的关系：
（1）l上任意一点 M(x 0,y0)的坐标都是方程 y=x 的解； （2）以方程 y=x的解(x0,y0)为坐标的点都在 l上. 即：直线 l上的点与方程 y=x的解之间是 一一对应 的.
12
判断正误
已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C上 （1）若点M(x,y) 的坐标是方程 F(x,y)=0 的解，则点 M在
曲线上。× × （2）曲线C上的点的坐标都满足方程 F(x,y)=0 。 × （3）凡是坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C上。

答案:y=-x+2(0≤x≤2)
解析:线段 AB 所在直线方程易求为 y=-x+2.
当表示线段时,0≤x≤2,
∴图示中对应的曲线方程为 y=-x+2(0≤x≤2).
.
2.1.1
曲线与方程
目标导航
预习引导
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
2.1.1
曲线与方程
2.1.1
曲线与方程
目标导航
学习目标
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
1.能记住曲线与方程的概念.了解曲线与方程的对应关系.
2.会分析曲线和方程的关系.
重点难点
课前预习导学
重点:曲线与方程的概念.
难点:曲线与方程的关系.
2.1.1
曲线与方程
目标导航
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
曲线的方程,方程的曲线
如果曲线 C 上点的坐标(x,y)都是方程 f(x,y)=0 的解,且以方程
f(x,y)=0 的解(x,y)为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲
预习引导
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
三
三、已知方程画曲线
活动与探究
如图,图形的方程与图中曲线的方程对应不正确的是

2．1
曲线与方程
2．1.1 曲线与方程的概念 2．1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 (1)了解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
(2)了解两曲线交点的求法； (3)初步掌握由曲线的几何条件求曲线方程； (4)初步学会由曲线方程研究曲线的几何性质． 2．过程与方法 (1)通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上 的点的一一对应关系的认识； (2)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、 分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐 述自己的观点；
1． 分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的 定义． 2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一 不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件 f(x，y)＝0； 条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样 的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同 时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲 线与方程间的相互转化．
坐标系
，用有序实数对(x，y)
表示曲线上任一点 M 的坐标； (2)设点：写出适合条件 P 的点 M 的集合 P＝{M |P(x)}； (3)列式：用坐标表示条件 P(x)，列出方程 F(x，y)＝0； (4)化简：化方程 F(x，y)＝0 为最简形式； (5)检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 上．
2．以(a，b)为圆心，r 为半径的圆和方程(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2 有什，y0)的坐标是方程(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2 的解；反之，若(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2 的解，则以(x0，y0)为坐标的点在圆上．
1．曲线的轨迹方程 一般地， 一条曲线可以看成动点 依某种条件运动的轨迹， 所以 曲线的方程 又常称为满足某种条件的点的 轨迹方程 ． 2．曲线的方程与方程的曲线的定义 在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F(x，y)＝0 之 间具有如下关系： (1)曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x，y)＝0 的解； (2)以方程 F(x，y)＝0 的解为坐标的点都在曲线 C 上． 那么，曲线 C 叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程 F(x，y) ＝0 叫做