曲线与方程同步练习1新选修21

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作曲线与方程同步练习【选择题】1．下列各点在方程x2+y2=25(y≥0)所表示的曲线上的是（A）(–4, –3) （B）(–32, 13) （C）(–23, 13) （D）(3, –4)2．已知坐标满足方程f(x, y)=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（A）曲线C上的点的坐标都适合方程f(x, y)=0（B）不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x, y)=0（C）凡坐标不适合方程f(x, y)=0的点都不在曲线C上（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合方程f(x, y)=03．若命题“以方程f(x, y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是正确的，则下列命题正确的是（A）曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y)=0的解（B）坐标不满足方程f(x, y)=0的点不在曲线C上（C）方程f(x, y)=0的曲线是C（D）不是曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x, y)=04．下列方程表示相同曲线的是（A）y=|x|与y=33x（B）|y|=|x|与y2=x2（C）y=x与y=2x（D）x2+y2=0与xy=05．曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2–4x–5=0的公共点的个数是（A）4 （B）3 （C）2 （D）16．曲线x–y2=0与曲线(x–1)2+y2=1的交点坐标是（A）(0, 0)或(1, 1) （B）(1, 1) 或(1, –1)（C）(0, 0), (1, 1) 或(1, –1) （D）(0, 0), (1, 1) 或(–1, 1)7．等腰三角形底边的两个点是B(2, 1), C(0, –3)，则顶点A的轨迹方程是（A）x–2y+1=0 (x≠0) （B）y=2x–1（C）x+2y+1=0 (y≠1) （D）x+2y+1=0 (x≠1)8．下列命题中：① 设A(2, 0),B(0, 2)，则线段AB的方程是x+y–2=0；② 到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是y=2；③ 设A(–2, 0), B(2, 0),25xC(0, 2)，则△ABC的边BC的中线方程是x=0；④ 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2–y2=0。

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 抛物线D. 一个圆3.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()图L2-1-15.若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为()A. x2+y2-12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2-x+4=0D. x2+y2+x+4=06.已知动点P在曲线2y2-x=0上移动,则点A(-2,0)与点P连线的中点的轨迹方程是()A. y=2x2B. y=8x2C. x=4y2-1D. y=4x2-7.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题:①曲线W关于原点对称;②曲线W关于x轴对称;③曲线W关于y轴对称;④曲线W关于直线y=x对称.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是 .9.给出下列说法:①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.其中正确说法的序号是 .10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为 .11.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m= .三、解答题(本大题共2小题,共25分)12.(12分)已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2,0),B(0,-2),点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.注:设△ABC的顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心为G,13.(13分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.14.(5分)若直线y=x+b与曲线y=3-有两个不同的公共点,则实数b的取值范围是 .15.(15分)已知在平面直角坐标系中,动点M到定点F(-,0)的距离与它到定直线l:x=-的距离之比为常数.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)设点A,若P是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA的中点B的轨迹方程.2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程1.B[解析] 设C1的方程为x+y+1=0,C2的方程为2x+2y-1=0,当x=1,y=1时,满足1+1+1=2+2-1,但是点(1,1)并不是两曲线交点,所以由“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”推不出“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”,反之成立,所以“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件,故选B.2.A[解析] 当y≥1时,原式可化为(x-1)2+(y-1)2=1,当y≤-1时,原式可化为(x-1)2+(y+1)2=1,∴方程|y|-1=表示的曲线为两个半圆.故选A.3.C[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C.4.D[解析] 原方程等价于或x2+y2=4,其中表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分.故选D.5.D[解析] 依题意,设P(x,y),∵=,∴=,整理得x2+y2+x+4=0.故选D.6.C[解析] 设点A(-2,0)与点P的连线的中点坐标为(x,y),则由中点坐标公式可得P(2x+2,2y),∵动点P 在曲线2y2-x=0上移动,∴2×(2y)2-(2x+2)=0,即x=4y2-1.故选C.7.A[解析] 曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=,两边平方得2|xy|=-2x-2y+2,即|xy|+x+y=1.①若xy>0,则xy+x+y+1=2,即(x+1)(y+1)=2,∴y=-1,函数的图像是以(-1,-1)为中心的双曲线的一部分.②若xy<0,则xy-x-y+1=0,即(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或y=1(x<0).作出图像如图所示,∴曲线W关于直线y=x对称.故选A.8.2[解析] 方程|x-1|+|y-1|=1可写成或或或图形如图所示,它是边长为的正方形,其面积为2.9.③[解析] 对于①,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线(除掉点(2,0)),所以①错误;对于②,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以②错误;对于③,方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2)四个点,所以③正确.10.x2+y2=16[解析] 设P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),于是·=(-2-x)(2-x)+y2=12,化简得x2+y2=16,即点P的轨迹方程为x2+y2=16.11.-1[解析] ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,∴∴12.解:设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1,则x1=3x+2,y1=3y+2.∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上移动,∴3y+2=3(3x+2)2-1.整理得y=9x2+12x+3.故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.13.解:如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以k AP·k PB=-1.而k AP=(x≠1),k PB=,所以·=-1(x≠1),整理得,x+2y-5=0(x≠1).因为当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.14.1-2<b≤-1[解析] 曲线方程变形为(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),表示圆心为A(2,3),半径为2的下半圆,根据题意画出图形,如图所示.当直线y=x+b过B(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,将B点坐标代入直线方程得3=4+b,即b=-1.当直线y=x+b与半圆相切时,圆心A到直线的距离d=r,即=2,解得b=1-2(舍去正值).故直线与曲线有两个公共点时,b的取值范围为1-2<b≤-1.15.解:(1)设动点M(x,y),由已知可得=,即x2+2x+3+y2=,化简得+y2=1,即所求动点M的轨迹Γ的方程为+y2=1.(2)设点B(x,y),点P(x0,y0),由得由点P在轨迹Γ上,得+=1,整理得+4=1,∴线段PA的中点B的轨迹方程是+4=1.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.1 曲线与方程（人教B版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共32分）1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( ) A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝03．若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题正确的是（）A．方程的曲线是B．坐标满足的点均在曲线上C．曲线是方程的轨迹D．表示的曲线不一定是曲线4.已知是圆上的两点,且||=6,若以为直径的圆恰好经过点(1,-1),则圆心的轨迹方程是( )A.B.C.D.二、填空题（每小题8分，共24分）5．已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，若动点P满｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于__________.6．若方程与所表示的两条曲线的交点在方程的曲线上，则的值是__________.7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是 .三、解答题(共44分)8.（22分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程．9.（22分）已知△的两个顶点的坐标分别是（-5，0）、（5，0），边所在直线的斜率之积为求顶点的轨迹方程．2.1 曲线与方程（人教B版选修2-1）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7．三、解答题8.9.2.1 曲线与方程（人教B 版选修2-1）答案一、选择题1.C 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此是两个点.2.D 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.D 解析：由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，故方程的曲线不一定是故也不能推出曲线是方程的轨迹，从而得到A ，B ，C 均不正确，故选 D ． 4.A 解析：因为以为直径的圆恰好经过点(1,-1),∴ ,故△为直角三角形,又为斜边中点,∴ ,故点的轨迹是以(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为.二、填空题5. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由｜P A ｜＝2｜PB ｜得=4即∴所求面积为4π.6. ±3 解析：联立方程，组成方程组 解得∵ 方程与所表示的两条曲线的交点在方程+=9的曲线上， ∴ 0+=9，∴ =±3.7．以两定点的中点为圆心，以2为半径的圆解析：设两定点分别为A 、B ，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立直角坐标系，则 A (-3，0)，B (3，0)，设M (x ，y )，则=26，即=4. 三、解答题8. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)． ∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0， 即x ＋2y －5＝0.∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 9. 解：设则 = ＝（≠±5）． 由•=• ，化简可得+＝1，所以动点的轨迹方程为+＝1（≠±5）．。

高中数学 曲线与方程同步练习 苏教版选修21一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1. P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线2. 圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．041222=+--+y x y x3. 抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．104. 若直线1-=kx y 与椭圆1422=+a y x 有且只有一公共点，那么 （ ） Ａ．(]⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k a Ｂ．()⎪⎭⎫⎝⎛-∈∈21,21,1,0k aＣ．(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a Ｄ．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a5. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP的最小值（ ）Ａ．23Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．6. 直线l 是双曲线2222by a x -=1(a>0，b>0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆，被直线l 分成弧长为2∶1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 .7. 过原点的直线l ，如果它与双曲线14322=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ．8. 过抛物线()142+=x y 的焦点作倾斜角为θ的直线交抛物线于Ａ．Ｂ两点，若316=AB ，则θ＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 已知三点A(－2－a ，0)，P(－2－a ，t)，F(a ，0)，其中a 为大于零的常数，t 为变数，平面内动点M 满足AP PM ⋅=0，且∣PM ∣=∣MF ∣＋2．（1）求动点M 的轨迹；（2）若动点M 的轨迹在x 轴上方的部分与圆心在C(a ＋4，0)，半径为4的圆相交于两点S ，T ，求证：C 落在以S 、T 为焦点过F 的椭圆上．10. 已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且 21cos PF F ∠的最小值为91-．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．11. 点P 在双曲线=1上，F 1、F 2是左、右焦点，O 为原点，求 的取值范围．12. A 、B 是两个定点，且|AB|=8，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系． （Ⅰ）试求P 点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）直线mx －y －4m=0(m ∈R )与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的面积的最大值．13*.设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0,(2c F (c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP 1与直线PF 2垂直．(Ⅰ)求实数m 的取值范围;(Ⅱ)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q ．若,3222-=PF QF 求直线PF 2的方程．14*.已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题： 1. A 2. D 3. C 4. A 5. A 二、填空题：6．【 答案】323ππ或7．【 答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 8．【 答案】323ππ或三、解答题：9. 【 解析】由已知动点P 到定点(－3，0)的距离等于到定直线的距离，根据抛物线定义，P 点的轨迹是以(－3，0)为焦点，为准线的抛物线．∴P 点轨迹方程为：5． (1)∵AP PM ⋅=0 ∴AP PM ⊥ 又∣PM ∣=∣MF ∣+2∴M 在以F 为焦点,x=－a 为准线的抛物线上 ∴动点M 的轨迹方程：y 2=4ax（2）证明：过S 、T 分别作准线x=－a 的垂线，垂足分别为S 1、T 1，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2) 则∣SF ∣+∣TF ∣=∣SS 1∣+∣TT 1∣= x 1+x 2+2a由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=4)4(4222y a x ax y 得x 2+(2a －8)x+a(a+8)=0 ∴x 1+x 2=8－2a∴∣SF ∣+∣TF ∣=8即∣SF ∣+∣TF ∣=∣CS ∣+∣CT ∣ ∴C 落在以S 、T 为焦点，且过F 的椭圆上． 10. 【 解析】 (1)由题意52=c ，设a PF PF 2||||21=+（5>a ），由余弦定理得1||||102||||2||||||cos 21221221222121-⋅-=⋅-+=∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F ． 又||1PF ·22212)2||||(||a PF PF PF =+≤，当且仅当||||21PF PF =时，||1PF ·||2PF 取最大值，此时21cos PF F ∠取最小值110222--a a ，令91110222-=--a a ，解得92=a ，5=c ，∴42=b ，故所求P 的轨迹方程为14922=+y x ．（2）设),(t s N ，),(y x M ，则由DN DM λ=，可得)3,()3,(-=-t s y x λ，故)3(3,-+==t y s x λλ，∵M 、N 在动点P 的轨迹上，故14922=+t s 且14)33(9)(22=-++λλλt s ， 消去s 可得222214)33(λλλλ-=--+t t ，解得λλ6513-=t ，又2||≤t ，∴2|6513|≤-λλ，解得551≤≤λ， 故实数λ的取值范围是]5,51[．11. 【 解析】 设点P(x 0,y 0)在右支上,离心率为e,则有|PF 1|=ex 0＋a,|PF 2|=ex 0－a,|OP|=1,220220202=-+by a x y x , 且220a x ≥ 所以λ=202222220202202220020202122)(2||||x b a c c ba x c cx a x ab x ex yx PF PF -=-=-+=++,故2222bc c cc-≤<λ,即2<λ≤2e.当点P 在左支上时,同理可以得出此结论.12. 【 解析】 （Ⅰ）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则A （－4，0），B （4，0）|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 ∴2a=10,2c=8, ∴a=5,c=4∴P 点轨迹为椭圆92522y x +=1（Ⅱ）mx －y －4m=0，过椭圆右焦点B （4，0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=192541925)4(2222y x my x y x x m y (∵m ≠0) ∴(25+219m )y 2+m 72y －81=∴|y 1－y 2|=415415259)1(9)4(41525913422591||902222222=⋅+++≤⋅++⋅⋅=++m m m m m m m m m ∴(S △AEF )max =15415821=⨯⨯13. 【 解析】 (Ⅰ) 由题设有m>0， m c =．设点P 的坐标为),,(00y x 由,21PF PF ⊥得10000-=+⋅-cx y c x y , 化简得 .2020m y x =+ ① 将①与112020=++y m x 联立,解得.1,12022m y m m x =-= 由m>0． ,01220≥-=mm x 得m ≥1． 所以m 的取值范围是m ≥1．(Ⅱ)准线L 的方程为.1mm x +=设点Q 的坐标为),,(11y x 则.11mm x +=.1112x m mmm x c c x PF QF --+=--= ②将mm x 120-=代入②,化简得 .1112222-+=---m m m m PF QF 由题设,3222-=PF QF得 ,3212-=-+m m 无解,将mm x 120--=代入②,化简得.1112222--=-+=m m m m PF QF 由题设=22PF QF ,32-得.3212-=--m m 解得m=2． 从而,2,22,2300=±=-=c y x 得到PF 2的方程, ).2)(23(--±=x y14. 【 解析】 根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值． ∵i=(1,0),c=(0,a ), ∴).2,1(2),,(a c i a i c λλλλ-=-=+ 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 λy=ax 和y －a =－2λax ． 消去参数λ，得点P （x ,y ）的坐标满足方程y (y －a )=－2a 2x 2 ,整理得,1)2()2(81222=-+aa y x ① 因为a >0，所以得： （i ）当a =22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当0<a <22时，方程①表示椭圆，焦点E )2,2121(2a a -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点； （iii ）当a >22时，方程①表示椭圆，焦点E ())2121,0(2-+a a 和F (2121,0(2--a a ））为合乎题意的两个定点．。

高中数学人教版选修2-1（理科）第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程同步测试共 14 题一、选择题1、方程表示的图形是（）A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点2、方程表示的曲线为图中的（）A. B.C. D.3、方程表示的图形经过点，，，中的（）A.个B.个C.个D.个4、已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（）A.曲线上的点的坐标都适合方程B.凡坐标不适合的点都不在上C.不在上的点的坐标必不适合D.不在上的点的坐标有些适合，有些不适合5、已知点．若曲线上存在两点，使△为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中，型曲线的个数是（）A. B.C. D.6、已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（）A. B.C. D.7、已知，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（）A. B.C. D.8、一条线段的长等于，两端点分别在轴和轴上滑动，在线段上且，则点的轨迹方程是（）A. B.C. D.二、填空题9、一动点到轴距离比到点的距离小，则此动点的轨迹方程为________.10、曲线与曲线的交点有________个．11、如图，在△中，已知，于，△的垂心为，且，则点的轨迹方程为________.三、解答题12、已知方程(1)判断两点是否在此方程表示的曲线上；(2)若点在此方程表示的曲线上，求的值．13、已知线段与互相垂直平分于点，动点满足 .求动点的轨迹方程．14、已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹.(1)求曲线的方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程.参考答案一、选择题1、【答案】C【解析】【解答】由已知得即所以方程表示点．故答案为：C【分析】直接利用二次根式及平方的非负数性质得到答案。

2、【答案】C【解析】【解答】，，为偶函数，图象关于轴对称，故排除A，B.又因为当时，；当时，，所以排除D.故答案为：C.【分析】利用函数的定义域，奇偶性及绝对值的化简可得到函数的图像。

§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解；(2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.一、填空题1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________．3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．①y＝x ，y x＝1； ②y＝x ，y ＝x 2；③|y|＝|x|，y ＝x ；④|y|＝|x|，y ＝x 2.4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0；②方程F(x ，y)＝0的曲线是C ；③坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上；④坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上．二、解答题9．(1)过P(0，－1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|＝1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．能力提升11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面．2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x，y)的关系．§2.6曲线与方程2．6.1 曲线与方程知识梳理1．(1)曲线C上点的坐标(x，y) (2)曲线C的方程方程f(x，y)＝0的曲线2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠0作业设计1．与l平行的一条直线解析方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．2．过A点与圆C同心的圆解析由点B(x′，y′)在圆上知f(x′，y′)＝0.由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数，点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立．所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点．3．④解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．4．必要不充分解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0.5．2解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2. ∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.7．16－8 3 28．③解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法③.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．9．解 (1)如图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y ＝－1，因而在直线l 上的点的坐标都满足|y |＝1，但是以|y |＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上．所以|y |＝1不是直线l 的方程，直线l 只是方程|y |＝1所表示曲线的一部分．(2)由方程x ＋y －2＝0知，当x ＝4时，y ＝－2.故点(4，－2)的坐标是方程x ＋y －2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB 上． ∴x ＋y －2＝0不是线段AB 的方程．10．解①x∈R，y≥0，②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.∴曲线关于y轴对称．④当x≥0时，有y＝|x－1|，此时，若x≥1，则y＝x－1，若0≤x<1，则y＝1－x.先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．11．4π12．证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。

曲线与方程（1）一、选择题1．方程x2＋xy＝x所表示的图形是( )A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x(x＋y－1)＝0⇔x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．2．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( ) A．点P在直线l上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线l上C．点P既在圆M上，也在直线l上D．点P既不在圆M上，也不在直线l上[答案] C3．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则( )A．m∈R B．m∈(－∞，1)C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.4．动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．若x≥3，则y2＝4x；若x<3，则y2＝－12(x－4)D．若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)[答案] D[解析] 设P(x，y)，由题意得－＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x －4)，故选D.二、填空题5．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为________________．[答案] 2[解析] 当x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为2，面积为2.6．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． 【答案】①7．方程|x －1|＋|y －1|＝1所表示的图形是________． 【答案】正方形【解析】当x ≥1，y ≥1时， 原方程为x ＋y ＝3；当x ≥1，y ＜1时，原方程为x －y ＝1； 当x ＜1，y ≥1时，原方程为－x ＋y ＝1；当x ＜1，y ＜1时，原方程为x ＋y ＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．三、解答题8．方程(x ＋y －1) x2＋y2－4＝0表示什么曲线？ 【解析】由(x ＋y －1)x2＋y2－4＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x2＋y2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，。

§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在曲线C 上，那么（ ）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x,y ）=0B ．凡坐标不适合F （x,y ）=0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合F （x,y ）=0D ．不在C 上的点的坐标有些适合F （x,y ）=0，有些不适合F （x,y ）=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是（ ）A ．圆B ．直线C ．圆或直线D ．圆或两条射线3、到两定点A （0，0）、B （3、4）距离之和为5的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹4、如图所示，方程01=-+y x 表示的曲线是（ ）5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ，曲线2)2()3(22=-+-y x ，则点M （2，1）（ ）A ．在直线l 上，但不在曲线上B ．在直线l 上，也在曲线上C ．不在直线l 上，也不在曲线上D ．不在直线l 上，但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ，则有（ ）A ．方程0),(=y x F 表示的曲线是CB ．曲线C 的方程是0),(=y x FC ．点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD ．点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是（ ）A.．一个点 B ．四条直线 C ．正方形 D ．四个点9、如图所示，方程2x x y =表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是（ ）A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ，点A （3，0）、B （0，3），求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件（用m 的取值范围表示）。

2．1.1 曲线的方程与方程的曲线基础梳理1．曲线的方程，方程的曲线．在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是________________．(2)以这个方程的解为坐标的点________________________________________________________________________．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．想一想：如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？2．曲线的方程、方程的曲线的判定．(1)判定曲线C 的方程是否为f (x ，y )＝0，需从两个方面进行：首先判定曲线C 上的点的坐标是否是________的解．其次判定方程f (x ，y )＝0的解是否都在________上．(2)已知两条曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，则它们的交点可以由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F （x ，y ）＝0，G （x ，y ）＝0的______来得到． 想一想：在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程x －y ＝0有什么关系？基础梳理1．(1)这个方程的解 (2)都是曲线上的点想一想：若点P 在曲线上，则f (x 0，y 0)＝0；若f (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上．∴点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.2．(1)f (x ，y )＝0 曲线C (2)解想一想：直线上任一点M (x 0，y 0)，则x 0＝y 0，即点M (x 0，y 0)是方程x －y ＝0的解；如果(x 0，y 0)是x －y ＝0的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点都在直线上． 自测自评1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1，5) D ．(4，4)2．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3两点，则a ＝________，b ＝________．自测自评1．D2．解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B3．解析：分别将A 、B 两点坐标代入方程得⎩⎨⎧4b ＝4，a 4＋3b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1. 答案：4 1基础巩固1．已知直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，3)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上1．解析：将x ＝2，y ＝3代入直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2的方程均成立，故点M (2，3)在直线l 上，也在曲线C 上，故选B.答案：B2．(2014·石家庄高二检测)方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()2．解析：方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．故选C.答案：C3．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x23．解析：主要考虑x，y的取值范围，选项A中y2＝x中y∈R，而y＝x中y≥0；选项B中y＝lg x2中x≠0，而y＝2lg x中x>0；选项C中y＋1x－2＝1中y∈R，x≠2，而lg(y＋1)＝lg(x－2)中y>－1，x>2，故只有D正确．答案：D4．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．4．解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：1能力提升5．(2014·安阳高二检测)曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2公共点的个数为( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2，y ＝－x ＋2，得－x ＋2＝1－x 2，两边平方并整理得(2x －1)2＝0，所以x ＝22，这时y ＝22，故公共点只有一个(22，22)． 答案：C6．方程x 2－xy ＝2x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线6．解析：根据x 2－xy ＝2x 得x ＝0或x －y －2＝0，故表示两条直线．答案：C7．已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的一点，则m ＝__________．7．解析：因为点A (a ，2)在直线x －y ＝0上，得a ＝2，即A (2，2)．又点A 在曲线y ＝mx 2上，所以2＝m ·22，得m ＝12. 答案：128．给出下列结论：①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是________．8．解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，所以原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2，0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，所以方程表示四个点，所以③正确．答案：③9．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是什么图形？9．解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧1－y ＝1－|x |，1－|x |≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，|x |≤1，所以它表示的图形是两条线段y ＝－x (－1≤x ≤0)和y ＝x (0≤x ≤1)，如图所示．10．证明圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程是x 2＋y 2＝100，并判断点M 1(8，－6)、M 2(－43，5)是否在这个圆上．10．证明：设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于10，所以x 20＋y 20＝10，也就是x 20＋y 20＝100，即(x 0，y 0)是方程的解．设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝100的解，那么x 20＋y 20＝100，两边开方取算术根，得x20＋y20＝10，即点M(x0，y0)到原点的距离等于10，点M(x0，y0)是这个圆上的点．综上可知，x2＋y2＝100是圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程．把点M1(8，－6)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边相等，(8，－6)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－43，5)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边不相等，(－43，5)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．。

数学同步测试说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．x =231y -表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分2．设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 （ ）A ．2522x +7522y =1B ．7522x +2522y =1 C ．252x +752y =1D ．752x +252x =14．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．过椭圆22a x +22by =1（0<b<a ）中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 26．椭圆122222=+a y a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．(0,6)∪ (17,∞)B ．(17,∞)C ．[6，17]D ．（6，17）7．以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为 F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为 （ ）A ．22B ．23 C ．２－3 D ．3－１8．已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的垂线, 垂足为P , 则点P 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 9．已知抛物线y =2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称, 且x 1x 2=－21, 那么m 的值等于（ ）A ．25B ．23C ．2D ．310．对于抛物线C: y 2=4x , 我们称满足y 02<4x 0的点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 若点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 则直线l : y 0y =2(x + x 0)与C （ ） A ．恰有一个公共点 B ．恰有二个公共点 C ．有一个公共点也可能有二个公共点 D ．没有公共点 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．12．设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．13．定长为l (l >ab 22)的线段AB 的端点在双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的右支上, 则AB 中点M 的横坐标的最小值为14．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）． 15．（12分）已知抛物线y 2=8x 上两个动点A 、B 及一个定点M （x 0, y 0），F 是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于一点N ． （1）求点N 的坐标（用x 0表示）；（2）过点N 与MN 垂直的直线交抛物线于P 、Q 两点，若|MN|=42，求△MPQ 的面积．16．（12分）已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.17．（12分）已知抛物线x y =2的弦AB 与直线y =1有公共点，且弦AB 的中点N 到y 轴的距离为1，求弦AB 长度的最大值，并求此直线AB 所在的直线的方程．18．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由．19．（14分）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明．20．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与(3,1)a =-共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u u r u u u u u r，证明22μλ+为定值．参考答案一、1．D ；解析：x =231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）． 2．A ；解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0，∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221a b a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2．评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b ＞a 进行检验.3．C ；4．C ；5．C ；6．A ；7．D ；8．B ；9．B ；10．D 二、11．2516；解析：原方程可化为42x ＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，∴a ＝2，b ＝1，c ＝3．当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ，代入曲线方程得：y ＝54∴S ＝21×2y 2＝2516．12．x 2－4y 2＝1；解析：设P （x 0，y 0）∴M （x ，y ），∴2,200y y x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1．13．222)2(ba a l a ++；14．13,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 三、15．（1）设A(x 1, y 1)、B(x 2、y 2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0． 得线段AB 垂直平分线方程：),(20212121x x y y x x y y y ----=+-令y =0，得x =x 0+4, 所以N(x 0+4, 0)．（2）由M(x 0, y 0) , N(x 0+4, 0), |MN|=42, 得x 0=2．由抛物线的对称性，可设M 在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．直线PQ: y =x －6, 由),4,2(),12,18(.8,62-⎩⎨⎧=-=Q P x y x y 得得△MPQ 的面积是64．16．解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d ．故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE -=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kkk k 又 故所求k=±7.说明：为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程. 17．解：设),(11y x A 、),(22y x B ，中点),1(0y N当AB 直线的倾斜角90°时，AB 直线方程是.2||,1==AB x （2分）当AB 直线的倾斜角不为90°时，222211,y x y x ==相减得))((212121y y y y x x -+=- 所以ky k y AB 211200==即（4分） 设AB 直线方程为：)1(21)1(0-=--=-x k ky x k y y 即，由于弦AB 与直线y =1有公共点，故当y =1时，2121112112≥∴≥-≥+-k kk k k 即0121)1(21222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kk y y y x x k k y 故 所以121122121-==+ky y ky y ， 故)14)(11(]4))[(11(||11||22212212212k k y y y y k y y k AB -+=-++=-+= 014,011],41,0(1,21222≥->+∴∈∴≥kk k k Θ 25)21411()14)(11(||22222=-++≤-+=∴k kkk AB 故当25||,361411max 22==-=+AB k k k 时即 18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =，24y x ∴= 抛物线方程为: ；由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1； 对于椭圆，1222a MF MF =+==+；(222222211321a ab ac ∴=+∴==+∴=-=+∴= 椭圆方程为：对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：（2）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为：19．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ·k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,a b n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ·k PN =22ab .评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.（1）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a b y a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A 则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ ),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e a b a c b a c b a c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（2）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ ))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴.0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）曲线与方程同步练习【选择题】1．下列各点在方程x2+y2=25(y≥0)所表示的曲线上的是（A）(–4, –3) （B）(–32, 13) （C）(–23, 13) （D）(3, –4)2．已知坐标满足方程f(x, y)=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（A）曲线C上的点的坐标都适合方程f(x, y)=0（B）不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x, y)=0（C）凡坐标不适合方程f(x, y)=0的点都不在曲线C上（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合方程f(x, y)=03．若命题“以方程f(x, y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是正确的，则下列命题正确的是（A）曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y)=0的解（B）坐标不满足方程f(x, y)=0的点不在曲线C上（C）方程f(x, y)=0的曲线是C（D）不是曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x, y)=04．下列方程表示相同曲线的是（A）y=|x|与y=33x（B）|y|=|x|与y2=x2（C）y=x与y=2x（D）x2+y2=0与xy=05．曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2–4x–5=0的公共点的个数是（A）4 （B）3 （C）2 （D）16．曲线x–y2=0与曲线(x–1)2+y2=1的交点坐标是（A）(0, 0)或(1, 1) （B）(1, 1) 或(1, –1)（C）(0, 0), (1, 1) 或(1, –1) （D）(0, 0), (1, 1) 或(–1, 1)7．等腰三角形底边的两个点是B(2, 1), C(0, –3)，则顶点A的轨迹方程是（A）x–2y+1=0 (x≠0) （B）y=2x–1（C）x+2y+1=0 (y≠1) （D）x+2y+1=0 (x≠1)8．下列命题中：① 设A(2, 0),B(0, 2)，则线段AB的方程是x+y–2=0；② 到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是y=2；③ 设A(–2, 0), B(2, 0),25xC(0, 2)，则△ABC的边BC的中线方程是x=0；④ 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2–y2=0。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：双曲线的定义平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值为定值（小于|F F |21）的点的轨迹叫双曲线，其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 已知定点1F （-2，0）、2F （2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是A. 3|PF ||PF |21±=-B. 4|PF |PF |21±=-C. 5|PF ||PF |21±=-D. 4|PF ||PF |2221±=-2. 若动点P 到1F （-5，0）与P 到2F （5，0）的距离的差为8±，则P 点的轨迹方程是A.116y 25x 22=+ B.116y 25x 22=- C.19y 16x 22=+ D.19y 16x 22=- 3. 已知双曲线的两个焦点坐标为()2,2F 1--、()2,2F 2，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程。

4. 在△ABC 中，B （4，0）、C （-4，0），点A 运动时满足A sin 21C sin B sin =-，求A 点轨迹。

题型二：双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，方程为1b y a x 2222=-，焦点为F （c ±，0）；（2）焦点在y 轴上，方程为1bx a y 2222=-，焦点为F （0，c ±）；（3）a 、b 、c 之间的关系：222c b a =+。

请根据以上知识解决5~7题。

5. 已知方程b ay ax 22=-，如果实数a 、b 异号，则它表示的曲线是A. 焦点在x 轴上的双曲线B. 焦点在y 轴上的双曲线C. 圆D. 椭圆6. 已知双曲线的焦距为26，1325c a 2=，则双曲线的标准方程是 A.1169y 25x 22=- B.1169x 25y 22=- C.25x 21144y 2=- D.1144y 25x 22=-或1144x 25y 22=- 7. 已知双曲线过M （1，1）、N （-2，5）两点，求双曲线的标准方程。

第三章3、4第1课时一、选择题1.（2013·广东省中山一中期中)方程(2x－y＋2)x2＋y2－1＝0表示的曲线是（)A.一个点与一条直线B.两条射线和一个圆C.两个点D。

两个点或一条直线或一个圆[答案］B［解析] 原方程等价于x2＋y2－1＝0,或错误!,故选B。

2.动点在曲线x2＋y2＝1上移动时,它和定点B(3，0）连线的中点P的轨迹方程是（）A.(x＋3)2＋y2＝4B.(x－3）2＋y2＝1C。

(2x－3）2＋4y2＝1 D。

（x＋错误!）2＋y2＝1［答案］C［解析] 设P点为(x，y），曲线上对应点为(x1，y1),则有错误!＝x，错误!＝y、∴x1＝2x－3，y1＝2y、∵(x1,y1)在x2＋y2＝1上，∴x2，1＋y错误!＝1∴（2x－3）2＋（2y）2＝1、3。

“点M在曲线y＝|x｜上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( ）A。

充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[答案］B［解析］到两坐标轴距离相等点的轨迹如图（1），y＝|x|的曲线如图（2）。

∴“点M在曲线y＝｜x｜上”⇒“点M到两坐标轴距离相等”.故选B.4。

若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于（）A。

±3 B.0C.±2D。

一切实数[答案］A[解析] 两直线的交点为（0,－k），由已知点（0，－k）在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9,∴k＝±3、5.设圆C与圆x2＋（y－3）2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )A。

抛物线 B.双曲线C。

椭圆 D.圆［答案］A[解析］本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，以及抛物线的定义。

由题意作图可知,圆C的圆心到（0，3)的距离等于到直线y＝－1的距离,所以C的圆心轨迹为抛物线.6。

如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD1,则动点P的轨迹是( ）A.线段B1CB。

1．下列命题正确的是( )A ．方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝02．已知P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上的一点，P 2(x 2，y 2)是直线l 外一点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0表示的直线l ′与直线l 的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．斜交3．ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 满足的方程为 ( )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝04．方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示的曲线是( )A ．一个点B ．两条互相平行的直线C ．两条互相垂直的直线D ．两条相交但不垂直的直线 5．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP uuu r ＝OAu u u r ＋λAB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π7．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．8．若两直线x ＋y ＝3a ，x －y ＝a 的交点在方程x 2＋y 2＝1所表示的曲线上，则a ＝______.9．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．10．已知点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，点P 也在曲线g (x ，y )＝0上，求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0上(λ∈R )．11．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交x 轴于点A ，l 2交y 轴于点B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．12．如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 满足的方程．参考答案1. 解析：选项A 中直线不过(0,2)点；选项B 中中线AO 是线段；选项C 中轨迹方程应是y ＝±5.故选项A ，B ，C 都错误，选D.答案：D2. 解析：∵点P 1(x 1，y 1)在直线l ：f (x ，y )＝0上，∴f (x 1，y 1)＝0.∴f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝f (x ，y )＋f (x 2，y 2)＝0，即l ′为f (x ，y )＝－f (x 2，y 2)．又∵点P 2(x 2，y 2)在直线l 外，则f (x 2，y 2)＝k ≠0.∴l ′为f (x ，y )＝－k ，即f (x ，y )＋k ＝0.答案：A3. 解析：设AC ，BD 交于点P ，∵点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－2.设B 为(x ，y )，则D 为(5－x ，－4－y )，∵点D 在直线3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0，即3x －y －20＝0.答案：A4. 解析：∵4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0，∴(2x ＋1)2－(y －1)2＝0，∴2x ＋1＝±(y －1)，∴2x ＋y ＝0或2x －y ＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．答案：D5. 解析：令AB AB u u u r u u u r ＝e 1，AC ACu u u r u u u r ＝e 2，则由已知，得OP uuu r －OA u u u r ＝λ(e 1＋e 2)，即AP u u u r ＝λe 1＋λe 2.由平行四边形法则且得到的平行四边形是菱形，知AP 是∠BAC 的平分线，故选B.答案：B6. 解析：设P 为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，即(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π.答案：B7. 解析：(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12， 所以α＝π3或5π3. 答案：π3或5π38. 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3a ，x －y ＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a .∴交点坐标为(2a ，a )．又该点在x 2＋y 2＝1上，∴(2a )2＋a 2＝1，∴a ＝±55. 答案：±559. 解析：由⊙O ：x 2＋y 2＝2，⊙O ′：(x －4)2＋y 2＝6，知两圆相离．设由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线与⊙O 和⊙O ′的切点分别为T ，Q ，则|PT |＝|PQ |，而|PT |2＝|PO |2－2，|PQ |2＝|PO ′|2－6，∴|PO |2－2＝|PO ′|2－6.设P (x ，y )，即得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，即x ＝32. 答案：x ＝3210. 证明：因为点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，所以f (x 0，y 0)＝0.又因为点P (x 0，y 0)也在曲线g (x ，y )＝0上，所以g (x 0，y 0)＝0.所以对λ∈R ，有f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ·0＝0，即点P (x 0，y 0)适合方程f (x ，y )＋λ·g (x ，y )＝0.所以点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．11.解法一：如下图，设点M的坐标为(x，y)．∵M为线段AB的中点，∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴P A⊥PB，∴k P A·k PB＝－1.而k P A＝4－02－2x＝21－x(x≠1)，k PB＝4－2y2－0＝2－y，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)．整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，也满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.解法二：如下图，设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM |＝(x －2)2＋(y －4)2，|AB |＝(2x )2＋(2y )2， ∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2， 化简，得x ＋2y －5＝0为所求轨迹方程．解法三：如图，设点M 的坐标为(x ，y )，连接PM ，OM .由l 1⊥l 2，知A ，O ，B ，P 四点共圆，AB 为圆的直径，M 为圆心，则有|OM |＝|MP |.∴x 2＋y 2＝(x －2)2＋(y －4)2.化简，得x ＋2y －5＝0为所求轨迹方程．12. 解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)． ∵点P 为线段QN 的中点，∴N 点坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又∵点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2，①又∵NQ ⊥l ，∴k NQ ＝2y －2y 02x －2x 0＝1， 即x 0－y 0＝x －y .②由①②得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又Q 在双曲线上， ∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1， 化简得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 满足的方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12.。

单元测试题-圆锥曲线数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。

1．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ． 2D ．4 2. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b -=的离心率是（ ） A ．54B ．C ．32D ．3．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为A ．2B ．14C ．5D ．254、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（ ）.2A .2B - .1C .1D -5、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x7、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（ ） A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->（实验班）已知定点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：① 4x +2y -1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是（ ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）A ．332或2B ．332或2C ．3或2D ．3或29、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.(B.⎡⎣C.(2,2)-D.[]2,2-10、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．32（实验班做）如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .以上情况都有可能南海中学高二单元测试题-圆锥曲线数学（理）第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．20分） 11.抛物线2(0)x ay a =>的焦点坐标是 ；12. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是__________________。

2.1.1曲线与方程一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15C ．(1,5)D ．(4,4)解析： 代入每个点逐一验证，D 正确． 答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的图象经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0,4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4,0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的( )解析： y ＝|x |x2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x >0时，y ＝1x>0；当x <0时，y ＝－1x>0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 解析： 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α＜2π， 所以α＝π3或α＝53π.答案：π3或5π36．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点有______个． 解析： 利用数形结合的思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3. (2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2. (3)方程(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上． 解析： (1)不对，过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为y ＝3，而不是|y |＝3. (2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解， 则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (3)不对．由(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0所以表示的是圆和两条射线． (4)不对．把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0， 则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上． 把点B (－32，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但 ∵横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．8．已知曲线C 的方程为x ＝9－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解析： 由x ＝9－y 2，得x 2＋y 2＝9.又x ≥0，∴方程x ＝9－y 2表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·9＝92π.所以所求图形的面积为92π.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)．求m ，n 的值． 解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1 2＋n ＝1， m ＋1 2＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝－1.∴m ＝－1，n ＝1为所求．。

2.1.1曲线与方程的概念一、选择题1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A ．x 2＋y ＝0与xy ＝0 B.x ＋y ＝0与x 2－y 2＝0C ．y ＝lgx 2与y ＝2lgxD ．x －y ＝0与y ＝lg 10x[答案] D[解析] ∵lg 10x ＝x ，故x －y ＝0与y ＝lg 10x 表示相同的曲线．2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( )A ．±3B ．0C ．±2D. 一切实数 [答案] A[解析] 两曲线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3.3．与x 轴距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．y ＝2B ．y ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝±2[答案] B4．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ [答案] D[解析] y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x ＋3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点；同理y ＝－2x －3与x 22±y 2＝1也有交点．故选D. 5．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点，是( ) A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(22，5)D ．(±2,1)或(±25，5)[答案] B[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2.6．设曲线F 1(x ，y )＝0和F 2(x ，y )＝0的交点为P ，那么曲线F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0必定( )A ．经过P 点B ．经过原点C ．经过P 点和原点D ．不一定经过P 点 [答案] A[解析] 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知．7．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线 [答案] C[解析] 由x 2＋xy ＝x 得x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0，∴表示两条直线．8．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＝－|ax |(a ∈R )的交点个数一定是( )A ．2B ．4C ．0D ．与a 的取值有关 [答案] A[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2.9．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞) [答案] D[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1.10．(2009·山东泰安)方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1 [答案] A[解析] y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x ≥0)－ax (x <0)式中a >0，分别画图象，观察可得a >1时，两曲线有两个交点．二、填空题11．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是________．[答案] 两条线段[解析] 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1∴曲线表示两条线段．12．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．[答案] (x －1)2＋(y －2)2＝4[解析] 圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2 ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.13．已知直线y ＝2x －5与曲线x 2＋y 2＝k ，当k ________时，有两个公共点；当k ________时，有一个公共点；当k ________时，无公共点．[答案] k >5；k ＝5；0<k <5[解析] 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究．14．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为____．[答案] 2[解析] 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2.三、解答题15．已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，且|AB |＝5，求实数b 的值．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2. 消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0，①运用x 1＋x 2＝－b 2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5·(x 1－x 2)2＝5·b 24＋4＝5. 解得b 2＝4，b ＝±2.而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2.16．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0的曲线．[解析] 把方程(x ＋y －1)x －y －2＝0写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y －2≥0或x －y －2＝0 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0x －y －2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x ≥32∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32) ∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0. 17．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围． [解析] 解法1：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与c 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0， 解得1≤b < 2 解法2：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2. 18．若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值． [解析] 设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0 ①y ＝x 2 ② 由②代入①得：x 2＋x －m ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1x 1x 2＝－m|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝2·1＋4m ∴由2·1＋4m＝32得∴1＋4m＝9，∴m＝2.。