下载文档原格式
第二章 §2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学思考1 知识点一 曲线与方程的概念设平面内有一动点P ，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P |PA ＝PB }(A ，B 是两个定点)；线段AB 的垂直平分线；答案(2){P |PO ＝3 cm}(O 为定点).以O 为圆心，3 cm 为半径的圆.答案到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？解答y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.思考2梳理一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是上的点，那么，这个方程叫做；这条曲线叫做 .方程的曲线曲线上点的坐标曲线曲线的方程知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，能否说f (x ，y )＝0是曲线C 的方程？试举例说明.不能.还要验证以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C 为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x 2＋y 2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x 2＋y 2＝4.答案方程＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x －y ＝0呢？解答方程 ＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程 ＝0的解.例如，点A (－2，－2)不满足方程，但点A 是第一、三象限角平分线上的点.方程x －y ＝0能够表示第一、三象限的角平分线.思考2 梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.一一对应题型探究类型一 曲线与方程的概念理解与应用命题角度1 曲线与方程的判定例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是答案解析A.方程f(x，y)＝0的曲线是CB.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC.f(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是答案解析A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错，B显然错.命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .证明①如图，设M (x 0，y 0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x 轴的距离为|y 0|，与y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|·|y 0|＝k ，即(x 0，y 0)是方程xy ＝±k 的解.②设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程xy ＝±k 的解，则x 1y 1＝±k ，即|x 1|·|y 1|＝k .而|x 1|，|y 1|正是点M 1到纵轴、横轴的距离，因此点M 1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M 1是曲线上的点.由①②可知，xy ＝±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k (k >0)的点的轨迹方程.反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.跟踪训练2 写出方程(x＋y－1) ＝0表示的曲线.解答即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).类型二 曲线与方程关系的应用例3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q( ，3)是否在此方程表示的曲线上；解答∵12＋(－2－1)2＝10，( )2＋(3－1)2＝6≠10，∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，3)不在此曲线上.解答反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.解答∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.当堂训练1.曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为A.f(x－3，y)＝0B.f(y＋3，x)＝0C.f(y－3，x＋3)＝0D.f(y＋3，x－3)＝0由对称轴x－y－3＝0得x＝y＋3，y＝x－3可知D正确.答案解析√2.方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x －y ＝0对称同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称.答案解析√3.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为_____________.原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.答案解析两条相交直线4.若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，则a ＝___，b ＝___.答案解析415.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是_______.∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点.答案解析4个点规律与方法1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.。
曲线与方程曲线与方程是数学中重要的基本概念，并且在数学研究中也有着广泛的应用。
从抽象的角度来讲，曲线和方程可以被看作是一种“视觉化”。
在终结研究中，曲线与方程提供了一种有效的方法来研究问题。
本文将介绍曲线与方程的基本概念以及如何应用于数学的研究。
首先，让我们从曲线入手，曲线可以被定义为一种沿着路径弯曲的曲线。
它们可以被绘制在一个平面上，也可以被绘制在一个空间中。
在一个平面上，曲线可以被定义为一系列点，这些点定义了一条曲线的形状。
在空间中，曲线可以被定义为一系列三维的点，它们构成一种函数形式。
在数学研究中，曲线可以用来研究特定问题。
例如，可以绘制曲线来求解一元二次方程，也可以绘制曲线来研究微分方程的特殊解。
此外，曲线也可以用来描述许多自然界中存在的现象，例如光学，物理，化学等等。
继曲线之后，我们要讨论方程。
方程是一种数学表达式，可以用来描述特定的数量变化和关系。
方程可以被定义为一个变量或多个变量之间的函数关系。
例如，一元二次方程为 ax2 + bx + c = 0，其中a，b，c是变量。
在数学研究中，方程也可以用来研究特定问题。
例如，可以用方程来解决三维几何的问题，也可以用方程来研究物理或化学的问题。
在这些问题中，方程可以用来描述特定的现象和关系，提供进一步的理解。
总的来说，曲线和方程是数学中重要的基本概念，它们可以被应用于数学研究和现实世界的问题中。
曲线可以被定义为一系列点，这些点定义了一条曲线的形状。
而方程则是一种数学表达式，用于描述特定的变量之间的函数关系。
将曲线与方程结合起来，就可以有效地解决许多数学研究的问题。
