【附加15套高考模拟试卷】陕西省西工大附中2020届高考第七次适应性训练数学(文)试题含答案

陕西省西工大附中2020届高考第七次适应性训练数学（文）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．空间直角坐标系O-xyz 中，某四面体的顶点坐标分别为（0，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），画该四面体三视图时，以yOz 平面为投影面所得到的视图为正视图，则该四面体的侧视图是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．已知双曲线2221(0)12
x y a a -=>的一条渐近线方程为30x y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22
(3)4x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为（ ）
A ．9
B ．7
C ．6
D ．5 3．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，BC=1，点P 在侧面A 1ABB 1上．满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ）
A ．不存在
B ．恰有1个
C ．恰有2个
D ．有无数个
4．已知定义在[]1,25a a --上的偶函数()f x 在[]0,25a -上单调递增，则函数()f x 的解析式 不可能是
( )
A ．2()f x x a =+
B ．()log (||2)a f x x =+
C ．()a f x x =
D ．()x
f x a =- 5．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则'()f x 的图像可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图正方体1111ABCD A B C D ，点M 为线段1BB 的中点，现用一个过点,,M C D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的（ )
A ．而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．设{}
2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
9．设函数2(0)()ln(1)2(0)
x bx c x f x x x ⎧++≤=⎨++>⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程f(x)=x 的解
的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．执行如图所示的程序框图，若输出4s =，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．14k ≤
B ．15k ≤
C ．16k ≤
D ．17k ≤
11．已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出p 为（ ）
A ．6
B ．24
C ．120
D ．720
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为0.8，若连续射击10次，记击中气球的次数为ξ，则D （ξ）=______．
14．已知函数310()20ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是______．
15．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r ＝________．
16．设sin 2sin αα=，(0,)απ∈，则cos α=__________；tan2α=__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为33，sin 3cos =0A A -， 13a =，且b c >.
求边b ；如图，延长BC 至点D ，使22DC =，连接AD ，点E 为线段AD 中
点，求sin sin DCE
ACE ∠∠.
18．（12分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，23AF FD =，90AFD ︒∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是30o .
证明：AF ⊥平面EFDC ；求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值.
19．（12分）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
22cos2a ρθ=（a R ∈,a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足322x t =+，（
t 为参数）． 求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在
A 、
B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．
20．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA
⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．求证：//MN 平面ABCD ；求二面角11D AC B --的正弦值．
21．（12分）十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500，3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：按分层抽样的方法从质量落在[)[)1750,2000,2000,2250的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A ．所有蜜柚均以40元/千克收购；
B ．低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
22．（10分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =.
求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ； 若11112AA AC B C ===，求四棱锥
111A BB C C -的体积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
2．B
3．D
4．D
5．C
6．B
7．B
8．D
9．C
10．B
11．B
12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1.6
14．0a <或2a >
15．8
3-
16．1
2 3
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）4b =； （22.
【解析】
【分析】
（1）由ABC ∆的面积可知12bc =，结合余弦定理可得2225b c +=，从而得到b ；
（2）由E 为AD 中点，可得DCE ACE S S ∆∆=，结合面积公式即可得到结果.
【详解】
（1）1sin 33122ABC S bc A bc ∆==⇒=…① 由余弦定理，222222cos 25a b c bc A b c =+-⇒+=…②
联立①②可得43b c =⎧⎨=⎩或34b c =⎧⎨=⎩
又sin sin B C B C b c Q 三角形中，>⇔>⇔>，4b ∴=.
（2）如图，Q E 为AD 中点，DCE ACE S S ∆∆∴=，
故11sin sin 22
EC DC DCE EC AC ACE ⨯∠=⨯∠, 即sin 2sin AC DCE ACE DC
∠==∠
【点睛】
解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
18．（1）证明见解析；
（2）24
. 【解析】
【分析】
（1）推导出AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，由线面垂直的判定定理即可证明AF ⊥平面EFDC ．
（2）过D 作DG ⊥EF ，由DG ⊥平面ABEF ，以G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，|GD u u u r |为单位
长度，建立空间直角坐标系G ﹣xyz ，利用向量法求出平面BCE 的法向量，则可求得直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值．
【详解】
（1）Q 面ABEF 为正方形∴
ΑF FE ⊥ 又90AFD ∠=o ∴ΑF DF ⊥，而DF FE F ⋂=,
DF ⊂面EFDC ,EF ⊂面EFDC
∴ΑF ⊥面EFDC
（2）Q AF ⊂ABEF ，则由（1）知面EFDC ⊥平面ΑΒΕF ，过D 作DG ΕF ⊥，垂足为G ，∴DG ⊥平面ΑΒΕF ．
以G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，GD u u u r 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．
由（1）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故DFE 30∠=o
，又AF =，则2DF =
，GF =
AF =
()B -
，()E -
，)
F ． 由已知，//AB EF ，∴//AB 平面EFDC ．又平面ABCD I 平面EFDC DC =，
故//AB CD ，//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，
∴C F ∠E 为二面角C BE F --的平面角，30C ΕF ∠=o ．
∴()
C -．
∴)ΕC =u u u r
，()ΕΒ=u u u r
，()
BF =-u u u r ． 设(),,n x y z =r 是平面ΒC Ε的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎨⋅EB =⎩u u u v r u u u v r
，即00
z +==⎪⎩， ∴
可取(1,0,n =r .
则sin cos ,BF n BF n BF n
θ⋅=<>===u u u v v u u u v v u u u v v ． ∴直线BF 与平面BCE
.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量法求解线面角的问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（1）222x y a -=
2(12x t t
y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数）； （2
）2.
【解析】
【分析】
（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直线l 的普
通方程，代入22
x =+解得112y t =+，即得参数方程.（2）将直线参数方程代入曲线C 方程，根据参数几何意义得1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，解得a ，再根据1212PA PB t t t t -=-=+，利用韦达定理解得结果.
【详解】
（1）由22cos2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，
又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，
∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l
的普通方程为)213
y x =-+，
由22
x =+得112y t =+ ∴直线l
的参数方程为2212x t
y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）；
（2
）将2212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=
，得()
()2221230t t a ++-=，
依题意知()()2221830a ⎡⎤∆=-->⎣⎦
则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵()21223t t a
⋅=-， 由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=，
∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，
∴122t t ⋅=-，即()
2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+
，又()
1221t t +=-，
∴2PA PB -=．
【点睛】
本题考查直线的参数方程的标准形式的应用，考查基本分析应用求解能力，属基本题.
20． (1)见解析
【解析】
【分析】
（1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面ABCD．
（2）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可．
【详解】
（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．
由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），
∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（2）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），
设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，1，1），
设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，﹣2，1），
∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；
【点睛】
利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21．（1）
1
10
；（2）见解析 【解析】 【详解】
(1) 在[)17502000，
，[
)20002250，的蜜柚中各抽取2个和3个.利用列举法求得基本时间的总数为10种,其中符合题意的有1种,故概率为
1
10
.(2)首先计算出各组数据对应的频率,然后分别计算方案A 的总收益和方案B 的总收益,得出方案A 点的总收益高于方案B 的总收益,所以选择方案A .
（1）由题得蜜柚质量在[)17502000，
和[
)20002250，的比例为2:3， ∴应分别在质量为[)17502000，
，[
)20002250，的蜜柚中各抽取2个和3个. 记抽取质量在[
)17502000，
的蜜柚为1A ，2A ，质量在[
)20002250，的蜜柚为1B ，2B ，3B ， 则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：
12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B ，
其中质量均小于2000克的仅有12A A 这1种情况，故所求概率为1
10
. （2）方案A 好，理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[
)15001750
，的频率为2500.00040.1⨯=，同理，蜜柚质量在[)17502000，
，[)20002250，，[)25002750，，[)27503000，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05. 若按A 方案收购：
根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为1500175017502000(
50050022++⨯+⨯ 2000225022502500
750200022
+++⨯+⨯
2500275027503000100025022+++⨯+⨯） 401000⨯÷
()250250[672
=⨯⨯+ ()()2782893⨯++⨯++⨯ 910810114++⨯++⨯（）（）
()11121]401000++⨯⨯÷
[]25502630511528423=⨯+++++ 457500=（元）
若按B 方案收购：
∵蜜柚质量低于2250克的个数为()0.10.10.350001750++⨯=， 蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=,
∴收益为175060325080⨯+= []
2502073134365000⨯⨯⨯+⨯=元.
∴方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A . 22． (1)见解析；（2）43
3
. 【解析】 【分析】
（1）连接1AC ，易证得11A C AC ⊥，11A C AB ⊥，所以111A C AB C ⊥面，所以1
11AC B C ⊥，从而可证得1111B C ACC A ⊥面，即可证得结论；
（2）由1111111111111A BB C C A BB C A CC B B A B C B A C C V V V V V -----=+=+即可得解. 【详解】
（1）证明：连接1AC ，在平行四边形11ACC A 中，
由1AA AC =得平行四边形11ACC A 为菱形，所以11A C AC ⊥，
又11A C AB ⊥，所以111A C AB C ⊥面，所以1
11AC B C ⊥， 又1111A C B C ⊥，所以1111B C ACC A ⊥面，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C （2）
取11A C 的中点O,连接AO ，易知AO ⊥平面111A B C ，BC ⊥平面ABC , 所以点A 到平面111A B C 的距离为3AO =由//AB 平面111A B C ，所以点A 到平面111A B C 3，点B 到平面ABC 的距离为2BC =.
1111111111111A BB C C A BB C A CC B B A B C B A C C V V V V V -----=+=+
111111111114332223232333232A B C A C C S S ==⨯⨯⨯⨯⨯=
n n n n n n 故四棱锥111A BB C C -43
. 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积
的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．
高考模拟数学试卷
一、选择题
1.已知集合{
}2
20,A x
x x x =∣--≤∈R ，{}
14,B x x x =∣-<<∈Z ，则B A I =（ ） A.(0,2) B.[]0,2 C.{}0,2 D.{}0,1,2
2.设i 是虚数单位，复数（a ∈R ）的实部与虚部相等，则a=（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
3.若,x y 满足20401x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为（ ）
A ．-5
B ．1
C ．2
D ．3 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=54，则a 2+a 4+a 9=（ ） A.9 B.15 C.18 D.36
5.如图，ABCD 为矩形，C 、D 两点在函数()1,01-1,02
x x f x x x +≥⎧⎪
=⎨+<⎪⎩的图象上，
点A 、B 在x 轴上，且(1,0)B ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．
16 B ．14 C ．38 D ．1
2
6.右图中的程序框图的算法思路,,a b i 的值分别为8，10，
0，则输出a 和i 的值分别为（ ）
A.2,4
B.2,5
C.0,4
D.0,5 7.已知a=log 35，b=log π3，c=50.5
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ． b ＜c ＜a
8.为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行
食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.75，则
的最小值为（ ）
A ．9 B
．
92 C ．3 D ．7
3
9.函数f （x ）=sin （ωx+φ）（x ∈R ）（ω＞0，|φ|＜
）的部分图象如图所示，如果
，且f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1
10.将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
11.已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），过F 且垂直于x 轴的直线在第一象限内
与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A ，B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．2
D ．3
12. 已知数列{a n }满足：a 1=2，12
1+-=+n n n na a a ，记b n =
1
1
+n n a a ，则数列{b n }的前n 项和S n =D
A ．
1122n ++ B ．1121n -+ C ．11
21n ++ D ．2
121+-n
图1 图2
A
B
C
D
二、填空题 13.已知向量
=（1，2），
=10，|+|=，则||= .
14.已知点P 是抛物线y 2
＝8x 上一动点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线x+y －12＝0的距离为2d ，则12d d +的最小值是 .
15.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 .
16.函数图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，则n= .
三、解答题
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C)=1. (I)求角A 的大小；
(II)若AB=3，AC 边上的中线BD 13ABC 的面积.
18.（本小题满分12分）
已知在四棱锥ABCD P -中， AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2，平面SAD ⊥平面ABCD ，0是线段AD 的中点，AD ＝23，SE ⊥AD.
(1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ； (2)若OP=1，求三棱锥P-OCD 的高．
19.（本小题满分12分）
某市公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况） 乘坐公共电汽车方案
10公里（含）内2元；
10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.
P
A
B C
D
O
已知在地铁一号线上，任意一站到市中心站的票价不超过5元，现从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示． （I ）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概
率；
（II ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中分层抽样所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好
为8元的概率；
（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到市中心站的票价是
5元，返程
时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)
20．（本小题满分12分）
12
2=+b y (a ＞b ＞0)
的一个焦点与抛物线2
y =的焦点F 重合，
且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点A 作圆
()2
22
1:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,
试问直线
BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请
说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ，t ∈R ．
（Ⅰ）当t=1时，求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f （x ）只有一个极值点，求t 的取值范围；
（Ⅲ）若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，不等式f （x ）≤x 恒成立，求正整数m 的最大值．
22.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos sin x r C y r θ
θ=⎧⎨
=⎩
： （θ为参数）,（0<θ<4）. 曲线2C ： 222cos 222sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θα=(0)2
π
α<<
与曲线1C 交于,N O 两点，与曲线2C 交于,P O 两点，且||PN 最大值为22.
（Ⅰ）将曲线1C 与曲线2C 化成极坐标方程，并求r 的值； （Ⅱ）射线4
π
θα=+与曲线1C 交于,O Q 两点，与曲线2C 交于,O M 两点，求四边形MNPQ 面积的最大
值．
23. （本小题满分10分） 设函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜0．
（Ⅰ）若-2a = 求不等式()()22f x f x +> 的解集；
（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，求a 的取值范围．
2016年一模数学试题答案（文科）
一、选择题
DBDCB BCCCA AD
二、填空题
13. 5 14. 72 15.9π 16. 4
三、解答题
17.（本小题满分12分）
解：(I)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得
2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0．. 解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A ＝π
3
．
(II)在ABD ∆中，3=AB ，13=BD ，
3π
=
A ，
利用余弦定理，2
2
2
cos 2BD A AD AB AD AB =⋅⋅⋅-+，解得4=AD ， 又∵D 是AC 的中点， 8=∴AC ，
36sin 21
=⋅⋅⋅=
∆A AC AB S ABC ．
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：ΘPA=PB ，O 为AB 的中点，∴AB PO ⊥.
Θ⊥CD 平面POC , ⊂PO 平面POC ，∴⊥PO CD.
又Θ AB 与CD 是相交直线，∴⊥PO 底面ABCD . 又Θ⊂PO 平面PAB ，∴平面⊥PAB 面ABCD .
（Ⅱ）
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）． 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分
故120人中票价小于5元的频率是
1005
1206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率
5
()=
6P A ． …………………4分
（Ⅱ）记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分 由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=， 则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）． ………6分
记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：
(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d , (,),(,)f f d e . …………………8分
其中事件B 的结果有4种，它们是：(,),(,),(,),(,)f f f e a b c d ． …………9分
所以这2人的票价和恰好为8元的概率为
4
(
)15P B =
． ………………… 10分
（Ⅲ）(20,22]s ∈ …………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知可得3,1,2,c b a ===所求椭圆的方程为2
21
4x y +=.
（Ⅱ）
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ， 则f′（x ）=（x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ）e x ，
函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为f′（0）=3+t ， 由题意可得，t=1时，（0，f （0））处的切线方程为4x ﹣y+1=0. （Ⅱ） f′（x ）=（x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ）e x ， 令g （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ，
g′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9=3（x 2﹣2x ﹣3）=3（x+1）（x ﹣3）
令g′（x ）=0得x=﹣1或3
∴g （x ）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减， 函数y=f （x ）只有一个极值点，问题等价于g(-1)≤0或g(3)≥0， 解得t≤﹣8或t≥24.
（Ⅲ）不等式f （x ）≤x ，即（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ≤x ，即t≤xe ﹣
x ﹣x 3+6x 2﹣3x ． 转化为存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]， 不等式t≤xe ﹣
x ﹣x 3+6x 2﹣3x 恒成立．
即不等式0≤xe ﹣x ﹣x 3+6x 2﹣3x 在x ∈[1，m]上恒成立． 即不等式0≤e ﹣x ﹣x 2+6x ﹣3在x ∈[1，m]上恒成立． 设φ（x ）=e ﹣
x ﹣x 2+6x ﹣3，则φ'（x ）=﹣e ﹣
x ﹣2x+6． 设r （x ）=φ'（x ）=﹣e ﹣
x ﹣2x+6，则r'（x ）=e ﹣
x ﹣2.
因为1≤x≤m ，有r'（x ）＜0，故r （x ）在区间[1，m]上是减函数． 又r （1）=4﹣e ﹣
1＞0，r （2）=2﹣e ﹣
2＞0，r （3）=﹣e ﹣
3＜0 故存在x 0∈（2，3），使得r （x 0）=φ'（x 0）=0．
当1≤x ＜x 0时，有φ'（x ）＞0，当x ＞x 0时，有φ'（x ）＜0． 从而y=φ（x ）在区间[1，x 0]上递增，在区间[x 0，+∞）上递减．
又φ（1）=e ﹣
1+4＞0，φ（2）=e ﹣
2+5＞0，φ（3）=e ﹣
3+6＞0，φ（4）=e ﹣
4+5＞0， φ（5）=e ﹣
5+2＞0，φ（6）=e ﹣
6﹣3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x ）＞0；当x≥6时，恒有φ（x ）＜0. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5．
22．（本小题满分10分）
（Ⅰ）1:)4
C π
ρθ=+
， 2:C r ρ=
max |||||)|4
P N PN r π
ρρα=-=+-
=
r ∴= ，
2:C ρ∴=……4分
（Ⅱ）11sin sin 2424
OPQ OMN S S S OP OQ OM ON ππ∆∆=-=
⋅-⋅四边形
11))2422)44
ππααπ
α=
⨯+⨯+⨯-⨯=+
+-
当8
π
α=
时，面积的最大值为4+
23.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）223x x x ⎧⎫
<->-⎨⎬⎩⎭
或 ……………5分
（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．
则f（x）的值域为[﹣，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为
＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，
则a的取值范围是（﹣1，0）．……………10分
高考模拟数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{1,(1)}M z i =+，i 为虚数单位，{3,4}N =，若{1,2,3,4}M N =U ，则复数z 在复平面上所对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2
．函数()f x =
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．[0,1]
3．（理）若1110
(1),(1),(sin 1)x a x dx b e dx c x dx
=-=-=-⎰⎰⎰，则
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
（文）若
1sin 23α=
，则2cos ()4π
α+= A ．2
3
B ． 1
2
C ． 1
3
D ． 16
4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若223,15,63k k k S S S -+===，则q =
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
5．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，对任意的实数x 均存在a 使得()()(0)f a f x f ≤≤成立，且||a 的最小
值为2π
，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）
A ．
[,]()
2
k k k Z π
ππ-
∈ B ．[,]()
2k k k Z π
ππ+∈
C ．
[2,2]()
2
k k k Z π
ππ-
∈ D ．[2,2]()2k k k Z π
ππ+∈
6．已知椭圆)20(1422
2<<=+b b y x ,左右焦点分别为21F F ，,,过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若
||||22AF BF +的最大值为5，则b 的值是
3
7．已知平面α，命题甲：若//,//
a b
αα，则//
a b，命题乙：若,
a b
αα
⊥⊥，则//
a b，则下列说法正确的是
A．当
,a b均为直线时，命题甲、乙都是真命题；
B．当
,a b均为平面时，命题甲、乙都是真命题；
C．当a为直线，b为平面时，命题甲、乙都是真命题；
D．当a为平面，b为直线时，命题甲、乙都是假命题；
8．（理）
5
1
()(2)
a
x x
x x
+-
展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为
A．40
- B．20
-C．20D．40
（文）从
[0,3]中随机取一个数a，则事件“不等式|1||1|
x x a
++-<有解”发生的概率为
A．
5
6B．
2
3C．
1
6D．
1
3
9．已知函数
2
()2
f x x x
=+的图像在点11
(,())
A x f x
与点2212
(,())(0)
B x f x x x
<<
处的切线互相垂直，则21
x x
-
的最小值为
A．
1
2B．1C．
3
2D．2
10．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一
直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S关于时间t的函数为()
S f t
=，则下列图中与函数()
S f t
=
图像最近似的是
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)
11．已知两个不共线的单位向量
,a b
r
r
，
(1)
c ta t b
=+-
r
r r
，若
()0
c a b
⋅-=
r
r r
，则t=．
12．在OAB
∆中，120o
AOB
∠=，23
OA OB
==，边AB的四等分点分别为123
,,
A A A
，1
A
靠近A，执行下图算法后结果为．
13．已知
2
()sin
21
x
f x x
=+
+，则(2)(1)(0)(1)(2)
f f f f f
-+-+++=．
14．为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为．
15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）
①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点
(2,)
2
A
π
，点B在直线cos3sin0
ρθρθ
+=上运动，则线段AB的最短长度为．
②（不等式选做题）若函数
()
2
()log|1||5|
f x x x a
=-+--
的值域为R,则实数a的取值范围为．（文）
1234
212,21334,2135456,213575678,
⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…
依此类推，第n个等式为．
三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
在ABC
∆中，内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，32
C
ππ
<<
且
sin2
sin sin2
b C
a b A C
=
--．
（I）判断ABC
∆的形状；（II）若||2
BA BC
+=
u u u r u u u r
，求BA BC
⋅
u u u r u u u r
的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
17．（本小题满分12分）
正项数列{}
n
a
的前n项和为n
S
满足：
221
220
n n
n n
S S+
+-=
．
（1）求数列{}
n
a
的通项公式；
（2）令
1
2
(1)(1)
n
n
n n
b
S a
-
=
--
，数列
{}
n
b
的前n项和为n
T
，证明：对于任意的*
n N
∈，都有2
n
T<
．
（理）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X，求X的分布列与期望．下面的临界值表供参考：
(参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++，其中n a b c d
=+++)
（文）一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，
该球的编号为y，求2
y x
<+的概率．
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD DC CB ===，0
60ABC ∠=，
四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1CF =． (1) 求证：BC ⊥平面ACEF ；
(2)（文）若点M 在线段EF 上移动，点N 为AB 中点，且MN ∥平面 FCB ，试确定点M 的位置，并求此时MN 的长度．
（理） 若点M 在线段EF 上移动，试问是否存在点M ，使得平面MAB 与 平面FCB 所成的二面角为
045 ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22
222:1(0)
y x C a b a b +=>>的上、下焦点及左、右顶
点均在圆
22:1O x y +=上． （1）求抛物线
1C 和椭圆2C 的标准方程；
（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知
12,NA AF NB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，求12λλ+的值；
（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为'P 、'Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=u u u r u u u r u u u u r u u u u r
，若点S 满足OS OP OQ =+u u u r u u u r u u u r
，证明：点S 在椭圆2C 上．
（理）设函数32
1
()(4)3f x mx m x =++，()ln g x a x =，其中0a ≠．
（1）若函数()y g x =图象恒过定点M ,且点M 在()y f x =的图象上,求m 的值； (2)当8a =时,设()'()()F x f x g x =+,讨论()F x 的单调性；
(3)在(1)的条件下,设
(),1()(),1f x x G x g x x ≤⎧=⎨
>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、 Q ,使OPQ ∆ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中 点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由．
（文）设函数
322
()=(0)f x x ax a x m a +-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在[1,1]x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；
（3）若对任意的[3,6]a ∈,不等式()1f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立,求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：每小题5分，共50分．
二、填空题：每小题5分，共25分．
11．1
2； 12．9； 13．5； 14．4 15．124a ≥
（文）213(21)(1)(2)(2)n
n n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯……
三、解答题：（本大题共6小题共75分）
16．解：（1）由sin 2sinA sin 2C b C
a b =
--及正弦定理有sin sin 2B C =
所以2B C =或2=2B C π+
若2B C =，且3
2C π
π
<<
，所以23B π
π
<<或B C π+>（舍）
所以2=2B C π+，则A C =，所以ABC ∆为等腰三角形．
（2）因为||2BA BC +=u u u r u u u r
，所以22
2cos 4a c ac B ++⋅=，
因为a c =，所以
222cos a B a -=，而cos cos 2B C =-，32C ππ
<<
， 所以1cos 12B <<，所以
24
13a <<
， 又2
cos 2BA BC ac B a ⋅==-u u u r u u u r ，所以
2(,1)3BA BC ⋅∈u u u r u u u r 17．解：（1）221220n n n n S S ++-=，122)0n n n n S S +-+=（)(，解得2n
n S =
当1n =时，
112a S ==；
当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=（1n =不适合）
所以
1
2,1,
2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩ 1112
21
1b -===
当2n ≥时，
111211
(21)(21)2121n n n n n n
b ---==----- 22311111111(
)()()212121212121n n n T -=+-+-++-------L 12221n =-<-
综上，对于任意的*
n N ∈，都有2n T <．
18．（理）
解：(1) 列联表补充如下： （
2）
∵
2
2
50(2015105)30202525K ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯8.3337.879≈> ∴有99.5%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
（3）喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为
021*******(0)20C C P X C ===，1110152251(1)2C C P X C ===，20
10152
253
(2)20C C P X C ===
故X 的分布列为：
X 的期望值为
7134012202205EX =⨯
+⨯+⨯= ．
（文）解：（1）袋中随机取两球的基本事件共有
1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)（， 其中编号之和不大于4的基本事件有
1,2),(1,3)（两种，所求的概率21
==
63P ． (2)从袋中依次有放回地两次取球的基本事件总数为44=16⨯（种） 当1x =时，23x +=，此时y 可取1,2两种情况； 当2x =时，24x +=，此时y 可取1,2,3三种情况；
当3x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，
四种情况；
所以，所求事件的概率
234413
1616P +++=
=
．
19．解：(1) 证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o ， ∴ 2AB =，2
2
2
2cos 603AC AB BC AC BC =+-⋅︒=，
∴ 222
AB AC BC =+，∴ AC BC ⊥，
又平面ACEF ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD ， ∴ BC ⊥平面ACEF ．
(2) （文）设M 为EF 的中点，G 为AC 的中点，连MG ，NG ，则NG ∥BC ． 因为四边形ACEF 为矩形，所以MG ∥FC ，所以平面MNG ∥平面BCF 因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面FCB ，即M 为EF 的中点时符合题意．
这时，1MG CF ==，
011111cos 60222222NG BC AB =
=⋅=⨯⨯=
由（I ）BC ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥MG
即MNG ∆
为直角三角形，得
MN ===
（理）由(1)知，AC 、BC 、CF 两两垂直，以C 为原点，AC 、BC 、CF 所在
的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图），
则00)A ，(010)B ，，，设(01)M a ，，，
则(AB =u u u r ，(,1,1)BM a =-u u u u r
， 设(,,)m x y z =u r
是平面AMB 的法向量，则
00m AB y m BM ax y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ，，取1x =
，得)m a =-u r ， 显然(1,0,0)n =r
是平面FCB 的一个法向量，
于是
cos m n <>=
=
u r r ，
，化简得
2
2)0a +=，此方程无实数解， ∴ 线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为45o ．
20．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p
F 在圆22
:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，
∴抛物线
2
1:4C y x = 同理由椭圆22
222:1(0)
y x C a b a b +=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆
22:1O x y +=
上可解得：1,b c a ==∴=． 得椭圆2
2
2:1
2y C x +=．
（2）设直线AB 的方程为
1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．
联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：
2222(24)0,k x k x k -++= 216160,k ∴∆=+>且21221224
1k x x k x x ⎧++=
⎪⎨
⎪=⎩ 由12,NA AF NB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 得：
111222(1),(1),
x x x x λλ-=-=
整理得：
12
1212,11x x
x x λλ=
=--
2212121221212
224
221241()11
k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+．
（3）设
(,),(,),(,)
p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则
'(,0),'(,0)
p Q P x Q x
由
''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=u u u r u u u r u u u u r u u u u r
得21p Q p Q x x y y +=-…………① 22
1
2
p p y x +
=……………………②
22
1
2
Q Q y x +
=……………………③
由①+②+③得2
2()()1
2
p Q p Q y y x x +++
=
∴
(,)
p Q p Q S x x y y ++满足椭圆
2C 的方程，命题得证．
21．（理）解：(1)令ln 0x =,则1x =,即函数()y g x =的图象恒过定点(1,0)M ,
则1
(1)(4)0
3f m m =++=，∴3m =- ．
(2)
2
()2(4)8ln F x mx m x x =+++,定义域为(0,)+∞,
8()2(82)F x mx m x '=+++ =22(82)8mx m x x +++=(28)(1)
.
mx x x ++
0x >Q ,则10,x +>
∴当0m ≥时,280,()0,mx F x '+>> 此时()F x 在(0,)+∞上单调递增,
当0m <时,由()0F x '>得
40x m <<-
,由()0F x '<得4
x m >-
,
此时()F x 在
4(0,)m -
上为增函数, 在4
(,)m -+∞为减函数,
综上当0m ≥时,()F x 在(0,)+∞上为增函数；
0m <时,在
4(0,)m -
上为增函数,在4
(,)m -+∞为减函数．
(3)由条件(1)知
32,1,
()ln , 1.x x x G x a x x ⎧-+≤=⎨
>⎩ 假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧
设(,())(0)P t G t t >,则
32(,),Q t t t -+ 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形,
所以0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，
232()()0t G t t t -++= ① 当01t <≤时,3
2
()G t t t =-+，
此时方程①为
23232
()()0t t t t t -+-++=,化简得4210t t -+=． 此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在
当1t >时,()ln G t a t =,方程①为2
3
2
ln ()0t a t t t -+⋅+=,即1
(1)ln ,
t t a =+
设()(1)ln (1)h t t t t =+>,则1()ln 1,
h t t t '=++ 显然当1t >时()0h t '>即()h t 在(1,)+∞上为增函数,
所以()h t 的值域为((1),)h +∞,即(0,)+∞,所以1
a >，即0a >．
综上所述,如果存在满意条件的P 、Q ,则a 的取值范围是0a >．。