合理配餐数学建模

Excel 财务应用营养配餐问题随着现代生活水平的提高，人们越来越注重健康问题，而科学的饮食则是保持健康和增强体质最简单、有效的方法。

人们已经逐渐意识到，长期不良的膳食结构与饮食习惯会严重影响身体健康，很多人都是因为“吃不得法”，而罹患种种疾病，如肥胖、心脏病、高血压、动脉硬化等。

因此，作为一家餐馆，合理的进行营养配餐是招揽顾客的最佳手段。

营养配餐，是指按照人们身体的需要，根据食品中各种营养物质的含量，设计一天、一周或一个月的食谱，使人体摄入的蛋白质、脂肪、碳水化合物、维生素和矿物质等几大营养元素比例合理，即达到均衡膳食。

下面我们利用线性规划模型，来解决餐馆的营养配餐问题。

例如，某餐厅开发出一道新菜需要使用草鱼和平菇两种原料，这两种原料所包含的碳水化合物、蛋白质、脂肪含量以及人体每天所需的摄入量如图9-19所示，已知草鱼和平菇的成本分别为3元和2元。

要求使用线性规划计算如何搭配这两种原料，才能在成本最小的基础上，满足顾客的营养要求？根据已知条件，可以在Excel工作表中建立求解的线性规划模型，如图9-20所示。

已知条件创建模型图9-19 已知条件图9-20 创建线性规划模型然后，分别计算这两种原料中，每种营养成分的合计值。

选择碳水化合物合计值所对应的单元格，即D3单元格，在【编辑栏】中输入“=SUMPRODUCT(B3:C3,B7:C7)”公式，按E nter键即可得出该营养成分的合计值，如图9-21所示。

再向下拖动D3单元格右下角的填充柄，将公式填充至D5单元格，如图9-22所示。

输入填充公式图9-21 碳水化合物的合计值图9-22 填充公式在创建好的线性规划模型中，带有“茶色”填充格式的单元格区域属于可变值，其默认值为0，因此，与其相关的营养成分合计值也为0。

选择目标值所对应的单元格，即F7单元格，在【编辑栏】中输入“=SUMPRODUCT(B6:C6,B7:C7)”公式，按Enter键，即可计算出该问题的目标值，如图9-23所示。

用数学方法分析食谱设计与优化问题北京市育民小学六年级熊若彤【摘要】近日，刚毕业参加工作的表哥到家里做客。

由于近期工作较忙，加之饮食不规律，他的身形消瘦不少，并伴有疲乏困倦等症状。

经医生检查，主要是由他体内蛋白质和微量元素铁偏低所导致。

因此，他计划在休假期间规律饮食，适当补充些碳水化合物、蛋白质和铁元素，让身体恢复到原来的健康状态。

但在刚参加工作而工资还不是很高的情况下，如何让自己吃得既营养又经济？这是个不小的难题。

在妈妈的帮助下，我给表哥算了一笔伙食账。

【关键词】碳水化合物，蛋白质，铁元素，最为经济，推荐摄入量一、前言众所周知，营养对维持人体健康有很重要的作用。

人体每日所需摄取的六大营养物质为：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质、维生素及水。

良好的营养可使人精力充沛并保持正常体重。

营养过少，会导致营养不良，免疫力降低，而营养过剩也会引发种种疾病。

对于表哥来说，他目前主要的问题是营养不良导致的体重偏低、贫血和疲乏困倦，需要通过适当补充碳水化合物、蛋白质和铁元素等营养物质来改善情况。

二、数据收集根据中国营养师学会2000年发布的《中国居民膳食营养素参考摄入量》[1]的数据和表哥的目标体重——60公斤，我将他每日平均膳食营养素的推荐摄入量列出如下：表1：表哥每日平均碳水化合物、蛋白质和铁元素的推荐摄入量出于节约考虑，表哥每天的菜谱基本为一道主食搭配一道副食，副食以肉食为主。

我让妈妈帮我在互联网上查阅相关资料，得知畜牧类副食中牛肉的营养价值非常高——高蛋白、低脂肪，且富含多种氨基酸和矿物质。

为避免菜谱过于单一，我还让妈妈帮忙查阅了表哥平时也喜欢吃的鸡肉和猪肉的营养成分，并以大米作为主食，提供每日必需的碳水化合物，它们的营养成分及搭配方式具体如下：表2：牛肉的营养成分（每100克中含）表3：鸡肉的营养成分（每100克中含）表4：猪肉的营养成分（每100克中含）表5：大米的营养成分（每100克中含）表6：主食与副食的搭配注：表2至表5数据来源于美食天下/随后，我和妈妈通过走访朝阳区大洋路农副产品批发市场，了解到上述几种农副产品的市价，如下表所示：表7：北京朝阳区大洋路农副产品批发市场4月13日价格行情三、建模及分析下面，我们将逐一分析上述每种搭配方式中主食和副食应分别食用多少，才能使表哥在满足《中国居民膳食营养素参考摄入量》指出的营养要求的同时，所花费用最低。

摘要随着经济的增长，国人初步过上了小康生活，但由于过度饮食和缺乏运动也使不少自己感觉肥胖的人纷纷奔向减肥产品的柜台。

可是大量事实说明，多数减肥产品是达不到减肥目标的，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。

许多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。

现在我们要建立一个简单的体重变化规律的模型，并由此通过控制饮食与适度运动制定合理有效的减肥计划。

关键字：减肥计划控制饮食合理运动一、背景BMI指数（身体质量指数，简称体重指数，英文为Body Mass Index，简称BMI），是用体重公斤数除以身高米数平方得出的数字，即体质指数(BMI)=体重(kg)/身高m2 (m)是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准。

其中中国成年人身体质量指数：18.5<BMI<25,正常；25<BMI<30,超重；BMI>30,肥胖。

我们要通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下来的目标。

二、模型分析1、体重的变化是由于体能量守恒破坏所引起的2 、饮食（吸收热量）导致体重的增加3 、代和运功（消耗能量）导致体重的减少三、模型假设1 、体重增加正比于吸收热量，平均每8000千卡增加体重1kg；2 、正常代引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200千卡至320千卡之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000千卡~3200千卡;3 、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4 、为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于10000千卡；四、减肥计划某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。

现欲减肥至75千克。

1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划3）给出达到目标后维持体重的方案五、基本模型记第k周末体重为w(k),第k周吸收的热量c(k)，热量转换系数a=1/8000(kg/kcal)，代消耗系数b(因人而异)，在不考虑运动情况下体重变化的基本模型为w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)，k=0,1,2,3……1、不运动情况下两阶段的减肥计划1）确定甲的代系数因为目前甲每周吸收20000千卡热量，体重维持不变，所以令w(k+1)=w(k)=w，c=20000即w=w+ac-bw, b=ac/w=（20000/8000）/100=0.0252）第一阶段要求体重每周减少m=1kg，吸收热量减至下限min c=10000千卡,即w(k) –w(k+1)=m=1, w(k)=w(0)-mk=w(0)-k，又w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)化简得c(k+1)=b(w(0))/a-(1+bk)/a代入数值计算得：c(k+1)=12000-200k>=min c=10000 得k<=10,即第一阶段共10周，每周减减1kg,所以第10周末体重达到90kg。

中学生打饭数学建模案例精选构造判断矩阵摘要：1.中学生打饭数学建模案例概述2.构造判断矩阵的方法3.案例分析：中学生打饭问题的数学建模4.结论与启示正文：【1.中学生打饭数学建模案例概述】中学生打饭问题是一个日常生活中常见的排队问题。

假设一个中学食堂有n 个窗口，每个窗口出售的菜品种类和数量都不同。

学生们需要排队打饭，每个学生可以选择排队的窗口，但每个窗口的排队人数和等待时间都不同。

如何使学生们的总等待时间最短，这是一个可以通过数学建模来解决的问题。

【2.构造判断矩阵的方法】为了解决这个问题，我们可以构造一个判断矩阵。

首先，我们需要定义一个状态，用来描述每个窗口的排队情况。

这个状态可以用一个n 维向量来表示，其中每个元素表示该窗口的排队人数。

然后，我们可以根据这个状态，定义一个转移方程，用来描述学生们的选择行为。

最后，我们可以根据转移方程，构造一个判断矩阵。

【3.案例分析：中学生打饭问题的数学建模】以n=3 为例，我们可以定义3 个窗口的排队情况为(x1, x2, x3)，其中x1、x2、x3 分别表示第1、第2、第3 个窗口的排队人数。

根据转移方程，我们可以得到以下判断矩阵：```0 1 20 0 1 21 1 0 12 2 1 0```这个判断矩阵描述了学生们在选择窗口时的转移规律。

例如，如果当前状态是(1, 0, 2)，那么学生们可以选择第1、第3 个窗口，转移后的状态可能是(0, 1, 2) 或(0, 0, 3)。

【4.结论与启示】通过数学建模，我们可以将中学生打饭问题转化为一个最短路径问题。

通过求解这个最短路径问题，我们可以得到学生们的最短等待时间。

这种方法可以为食堂管理提供科学依据，帮助食堂管理者优化窗口配置，提高学生们的用餐体验。

中学生打饭数学建模案例精选构造判断矩阵摘要：1.中学生打饭问题的背景介绍2.数学建模的概述3.构造判断矩阵的方法4.案例精选的解析5.结论正文：1.中学生打饭问题的背景介绍中学生打饭问题是一个日常生活中常见的排队问题。

假设一个中学的食堂有n 个窗口，每个窗口出售不同的饭菜，学生们需要排队购买。

为了使排队时间最短，需要合理地分配学生到各个窗口。

这个问题可以通过数学建模来求解。

2.数学建模的概述数学建模是将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型来描述问题，然后运用数学方法求解。

在这个问题中，我们可以将中学生打饭问题抽象为一个图论问题，每个窗口可以看作一个节点，学生需要从一个节点出发，经过其他节点，最后到达目标节点。

我们需要找到一条路径，使得这条路径的长度最短。

3.构造判断矩阵的方法为了求解最短路径问题，我们可以使用弗洛伊德算法。

弗洛伊德算法需要构造一个判断矩阵。

判断矩阵的元素是一个二进制数，表示从当前节点到目标节点是否可以不经过当前节点。

例如，如果从节点i 到节点j 可以不经过节点k，则判断矩阵的元素为0，否则为1。

4.案例精选的解析假设有一个中学食堂有4 个窗口，分别出售A、B、C、D 四种饭菜。

有10 名学生需要购买，他们分别喜欢不同的饭菜。

我们可以通过弗洛伊德算法来求解最短路径问题，使得学生们的排队时间最短。

具体的案例解析如下：(1) 判断矩阵的构造：首先，我们需要根据学生的口味偏好来构造判断矩阵。

例如，如果学生1 喜欢A、B、C，不喜欢D，则从窗口1 到窗口D 的路径不能包含窗口1。

我们可以得到如下判断矩阵：A B C DA 0 1 1 1B 1 0 1 1C 1 1 0 1D 1 1 1 0(2) 弗洛伊德算法：根据判断矩阵，我们可以得到如下的路径：学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10窗口A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10窗口B 2 1 4 3 6 5 8 9 1 10窗口C 3 4 1 2 7 6 9 1 10 2窗口D 4 3 2 1 8 9 1 10 2 1(3) 最短路径：从上面的路径中，我们可以得到最短路径为：1-2-4-3-6-5，路径长度为6。

数学建模论文——食堂排队问题指导老师：***小组成员: 姓名学号李晟源200807010409 自己闲来无事做的，仅供参考！[摘要]通过应用排队论，为食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，为节约学生排队就餐时间，提高食堂服务质量，效率，以及平衡学生排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂资源配置提供一种较有效的管理决策手段。

[关键词]排队论；M/M/s模型；灵敏度；等待损失1.引言在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。

饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。

增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。

然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。

排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。

本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。

2.多服务台排队系统的数学模型2.1排队论及M/M/s模型。

排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。

在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。

排队问题的表现形式往往是拥挤现象。

排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。

其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C 表示服务规则。

排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。

数学建模1食谱问题一、一家公司饲养实验动物出售。

众所周知，这些动物的生长对饲料中的三种营养素特别敏感：蛋白质、矿物质和维生素。

每只动物每天至少需要70克蛋白质、3克矿物质和100毫克维生素。

该公司可以购买五种不同的订阅源。

每种饲料1kg的成本如表1所示，每种饲料1kg所含的营养素如表2所示，寻求能够满足动物生长需要并将总成本降至最低的饲料配方。

表1五种饲料单位质量（1kg）成本饲料a1a2a3a4a5成本（元）0.20.70.40.30.5表2单位质量（1kg）饲料a1a2a3a4a5中五种饲料的营养成分蛋白质(g)0.302.001.000.601.80矿物质(g)0.100.050.020.200.05维生素(g)0.050.100.020.200.08设有n种食物，每种食物中含有m种营养成分.用aij表示一个单位的第j种食物中含有第i种营养的数量，用bi表示每人每天对第i种营养的最低需求量，cj表示第j种食品的单价，xj表示所用的第j种食品的数量，一方面满足m种营养成分的需要同时使事物的总成本最低.一般的食谱问题的线性规划模型为nminf?cjxjJ一n??? aijxj？比尔，我？1,2,?, t女士。

？J1.十、0，j？1,2,?, NJ?假设XJ（J=1,2,3,4,5）代表混合饲料中第二种饲料的数量，因为提供的蛋白质总量必须满足每天70g的最低要求，因此应0.30x1?2.00x2?1.00x3?0.60x4?1.80x5?70同样，考虑到矿物质和维生素的需求，应该有0.05x1?0.10x2?0.02x3?0.20x4?0.08x5?100.10x1?0.05x2?0.02x3?0.20x4?0.05x5?3混合饲料成本的目标函数f为f?0.2x1?0.7x2?0.4x3?0.3x4?0.5x5决策变量XJ是非负的由于希望调配出来的混合饲料成本最低，所以该饲料配比问题是一个线性规划模型：明夫？0.2x1？0.7x2？0.4x3？0.3x4？0.5x50.30x2.00x1.00x0.60x1.80x70?1?2?3?4?5??0.10x0.05x2?0.02x3?0.20x4?0.05x5?31.s、 t。

营养午餐搭配方案的数学模型作者：胡英武来源：《科学与财富》2017年第31期摘要：通过数学建模的方法，建立了营养午餐搭配的不等式组模型。

利用Matlab 编程求出了模型的解，得到了24种不同的搭配方案。

关键词：数学模型不等式组 Matlab 搭配方案营养午餐是人教版四（下）第48-49页的"综合实践"的内容。

目标是通过营养搭配的活动，培养学生有序地、严密地思考问题的意识，渗透数学思想方法，提高学生综合运用知识解决问题和策略多样化的能力和意识，积累数学活动经验。

目标的达成关键在于教师的数学化及应用数学、计算机解决问题的能力。

为此，我们对参加"小学数学活动指导"省培项目的多届学员开展了营养午餐搭配方案的数学化实践调查。

四十分钟内大部分教师都没有找全所有的搭配方案，没有一位老师通过符号化将问题数学化，更没有老师通过建立数学模型利用计算机编程解决。

学员的困惑主要是：搭配方案如何数学化？怎样建立数学模型？怎样用计算机找出所有的搭配方案？本文以新时期的数学教师应当具备一定的数学建模能力为出发点，通过数学建模的方法解决营养午餐的搭配问题为例，抛砖引玉，以期教师重视自身的数学素养提升。

一、问题提出有10种菜，每份菜中所含的热量、脂肪与蛋白质如表1所示。

某校学生午餐的菜肴由3种不同的菜搭配而成，且满足10岁左右儿童从菜肴中获取的热量不低于2926千焦，脂肪不超过50克。

满足条件的所有搭配方案有几种，请给出具体方案。

二、模型假设1.每份菜中热量、脂肪等数据是准确的。

2.10岁左右儿童从菜肴中获取的热量不低于2926千焦，脂肪不超过50克，不考虑其它条件。

3.只选3种菜。

三、问题分析这是一个条件满足的组合问题，可建立不等式组的数学模型将问题数学化，不等式组的所有解对应全部的搭配方案。

四、模型建立由上述分析易得搭配方案的不等式组模型如下：五、模型求解利用Matlab 编程求解得24种不同的搭配方案如表2所示。

1 《数学建模与计算》 问题 运动员营养配餐问题 摘 要: 本文以运动员的营养配餐为原型，通过建立数学模型，利用运筹与优化和MATLAB知识对如何在具体问题中通过模型的建立与求解，方便快捷地寻找出最优的解决方案。为快速准确的解决实际问题提供理论依据。 关键词：营养配餐，食品，营养成分，数学模型

具体问题 食品含有特定种类和比例的营养成分，从医学上知道每人每天对每种营养成分的最低需求量。某足球俱乐部的食堂总管想拟定一个科学的食品采购计划，使得即完全保证球员的营养需要，又费用最低。 假设： 1) 在指定的季节或时期，可能购得的食品总数为n； 2) 球员所需的营养成分种类总数为m； 3) 第j种食品的第i种营养成分含量为aij(克/公斤)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)； 4) 每个球员每天对第i种营养成分的最低需求量为bi(克)( i=1,2,…,m)； 5) 第j种食品的单价为cj(元)( j=1,2,…,n)； 6) 每天平均为每人购买第j种食品的单价为xj(公斤) ( j=1,2,…,n)； 试建立数学模型并自己寻找或拟定数据并求解。

问题分析  由于知道每人每天对每种营养成分的最低需求量为bi（i表示第i种营养成分）,

只要所有的食品的第i种营养成分大于最低需求量bi，即可满足营养需要的需求。  又知每种食品的价格cj(j表示第j种食品)，和每天平均为每人购买第j种食品的

数量xj(公斤)，只要总费用cjxj最小，即可满足费用最低的需求。

建立模型

1. 食品总数：n 2. 营养成分总数：m

3. 营养需要需求：minjiijba11 2

4. 费用最低需求：njjjxc1min 最终数学模型如下：



minjiijnjjjbatsxc111..

min

数据拟定 在指定的季节或时期，可能购得的食品总数为4，球员所需的营养成分种类总数4。 每个球员每天对这4种营养成分的最低需求量如下表所示：

关于中午食堂吃饭的数学建模论文山西省晋中市太谷中学指导教师：范羽飞摘要：在现今竞争日益激烈的环境下，时间显得尤为宝贵，学生们都尽可能地节省时间用来学习，如何节省时间也变得越来越重要。

因此，作为学生的我们在去食堂吃饭时，选择合适的时间排队打饭便成了节省吃饭时间的一大有效方法。

关键词：排队打饭合适时间一、问题的提出生活在快节奏的社会中，尽可能地节省时间成为了一种生活态度，而对于学习异常紧张的高中生更是如此。

然而，中午放学后，所有人都涌向食堂，其拥挤程度可想而知，打饭的速度也必然下降。

所以，如何节省打饭时间也越来越为学生们所关注。

那么，选择什么时间去打饭更合适呢？我在这里以太谷中学食堂中午吃饭的情况为例，进行数学建模分析。

我要解决的问题是什么时间去最合适。

合适的时间指的是不影响正常的作息时间，用在排队上的时间较短，并且饭的质量还很好（饭是会随着时间变凉，种类减少）。

学校的情况是中午去食堂吃饭的学生人数为4800（去除中午不在食堂吃饭的人数）。

如果在12点15分到12点30分之间打到饭的话，不会影响正常的作息时间。

有两个食堂，一食堂比较便宜，二食堂比较贵。

每个食堂有16个打饭窗口。

中午排队打饭时，假设每个队最多可容纳30人，打饭窗口平均每10秒为一位同学打好饭。

二、建立数学模型（一）模型假设１.可假设学生们去第一食堂吃饭的概率为：P（１）＝0.6去第二食堂吃饭的概率为：P（２）＝0.4２.学生们去食堂每个窗口打饭的概率均相等，且每个人都是按秩序排队。

３.排队时，每条队的人数是随着没打饭的人数呈函数变化的。

设：中午每个窗口打饭的总人数为m；每个窗口还未打饭的人数为n；当一个人去排队时这条队已有f个人，即这条队的长度为f；通过多次调查表明，大致满足这样的函数关系:225n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,f 的取值为[0,30] ４.一个人开始去排队的时间为t,则 t ＝(m －n)×10,ｔ∈[0,900]（单位：ｓ），此时不影响正常作息。

数学建模减肥计划 . . 减肥计划——节食与运动 摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。 关键词：减肥饮食合理运动 一、问题重述 联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构对人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体多方面的变化。很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。 情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。 二、模型分析 通常，当体能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代和运动消耗热量，引起体重减少。只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。 减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。 每日膳食中，营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准，营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量，如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将使身体产生不利的影响。(每天膳食提供的热量不少于5000—7500J这是维持正常命活动的最少热量) 通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程模型来谈论。 三、模型假设 根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设： 1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kj）； 2.正常代引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal~3200kcal； 3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于10000kcal。 四、基本模型 记第k 周末体重为ω（k ），第k 周吸收热量为c （k ），热量转换系数α=1/8000（kg/kcal ），代消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为 ω(k+1)= ω(k)+ αc(k+1)－βω(k),k=0，1，2，… （1） 增加运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。 五、减肥计划的提出 某甲身高1.7m ，体重100kg ，BMI 高达34.6。自述目前每周吸收20000kcal 热量，体重长期不变。试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至75kg 并维持下去： 1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg ，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal ）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。 六、减肥计划的制订 1）首先应确定某甲的代消耗系数β。根据他每周吸收c=20000kcal 热量，体重ω=100kg 不变，由（1）式得 ω=ω+αc －βω， β=αc/ω=20000/8000/100=0.025 相当每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal 。从假设2可以知道，某甲属于代消耗相当弱的人，他又吃得那么多，难怪如此之胖。 ●第一阶段要求体重每周减少b=1kg ，吸收热量减至下限c min =10000kcal ，即 ω(k)－ω(k+1)=b ，ω(k)= ω(0)－bk 由基本模型（1）式可得 c(k+1)= α1 [ βω(k)－b]= αβω(0)－α b (1+βk) 将α，β，b 的数值代入，并考虑下限c min ，有 c(k+1)=12000－200k ≥c min =10000 得k ≤10，即第一阶段共10周，按照 c(k+1)=12000－200k ，k=0，1，…，9 （2） 吸收热量，可使体重每周减少1kg ，至10周末达到90kg 。 ●第二阶段要求每周吸收热量保持下限c min ，由基本模型（1）式可得 ω(k+1)=(1－β) ω(k)+ αc min （3） 为了得到体重减至75kg所需的周数，将（3）式递推可得 ω(k+n)=(1－β)nω(k)+ αc min [1+(1－β) +…+(1－β)n-1]= (1－β)n[ω(k) －αc min /β]+ αc min /β 已知ω(k)=90，要求ω(k+n)=75，再以α，β，c min 的数值代入，（4）式给出 75=0.975n(90－50)+50 （5）得到n=19，即每周吸收热量保持下限10000kcal，再有19周体重可减至75kg。 ●配餐方案： 2）为加快进程，第二阶段增加运动。经过调查资料得到以下各项运动每小