高中数学竞赛函数练习题1

高中函数的试题及答案高中函数试题一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值出现在x等于多少？A) 0B) 1C) 2D) 32. 下列哪个函数不是一次函数？A) y = 3x + 2B) y = x + 1C) y = 5D) y = -2x3. 函数y = 2^x的图像经过点（1，2）吗？A) 是B) 否4. 函数f(x) = log_2(x)的定义域是？A) (0, +∞)B) (-∞, +∞)C) [0, +∞)D) (1, +∞)5. 如果函数f(x) = kx + b的斜率k为0，那么这个函数是？A) 一次函数B) 常数函数C) 二次函数D) 不能确定二、填空题6. 给定函数f(x) = √x，当x = 16时，f(x)的值为______。

7. 如果函数g(x) = 3x - 5与x轴相交，求交点的x坐标为______。

8. 函数h(x) = 1/x的渐近线方程是______。

三、解答题9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4，求其导数f'(x)。

10. 函数y = √x + 1在区间[0, 1]上的最大值和最小值分别是多少？四、证明题11. 证明函数f(x) = x^3在(-∞, +∞)上是单调递增的。

答案：一、选择题1. C) 2 （二次函数求顶点公式：x = -b/2a）2. C) y = 5 （常数函数）3. A) 是（代入x=1，y=2^1=2）4. A) (0, +∞) （对数函数的定义域）5. B) 常数函数（斜率k为0，表示函数图像是水平的）二、填空题6. 4 （√16 = 4）7. 5/3 （3x - 5 = 0，解得x = 5/3）8. y = 0 （x不为0时，1/x趋向于0）三、解答题9. f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 （求导公式）10. 最大值为√1 + 1 = 2，最小值为√0 + 1 = 1四、证明题11. 证明：对于任意的x1 < x2，我们有f(x2) - f(x1) = x2^3 - x1^3 = (x2 - x1)(x2^2 + x1x2 +x1^2)因为x1 < x2，所以x2 - x1 > 0，且x2^2 + x1x2 + x1^2 > 0（平方和总是正的）所以f(x2) - f(x1) > 0，即f(x2) > f(x1)，证明函数f(x)是单调递增的。

高中函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=2时的值为：A. 5B. 7C. 9D. 112. 函数y = |x|的图像是：A. 一条直线B. 一个V形C. 一个倒V形D. 一个S形3. 若f(x) = x^2 + 1，求f(-1)的值：A. 0B. 1C. 2D. 34. 函数y = 1/x的图像在第一象限和第三象限是：A. 正比例函数B. 反比例函数C. 一次函数D. 二次函数5. 函数y = log2(x)的定义域是：A. x > 0B. x < 0C. x ≥ 0D. x ≤ 06. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π7. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的值：A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 2x + 1C. 3x^2 - 6xD. x^2 - 2x8. 函数y = cos(x)的图像在x = π/2时的值为：A. 1B. 0C. -1D. 不确定9. 若f(x) = 2^x，求f'(x)的值：A. 2^xB. ln(2) * 2^xC. 1D. 2^(x-1)10. 函数y = x^3的图像是：A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 都不是答案：1. B2. B3. C4. B5. A6. B7. A8. B9. B10. A二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求f(3)的值。

答案：-112. 若函数g(x) = √x，求g(16)的值。

答案：413. 若函数h(x) = 2^x，求h(-1)的值。

答案：1/214. 函数y = 3x - 5的斜率是：答案：315. 若函数k(x) = log10(x) + 1，求k(100)的值。

高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x),则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。

记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|,M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|,则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C ＝90°。

若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7,0）、B （7,0）、C （2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。

最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。

所以，g(x)=x。

h(x)=lg(10x+1)－x。

2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。

因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。

4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。

因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题2 函数一、单选题1．（2019·全国·高三竞赛）函数()f x 的定义域为D ，若满足（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则称()y f x =为“闭函数”.现知()f x k 是闭函数，那么k 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ C ．59,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【详解】因为()f x k x ==有两个不等的实根，从而，()222120x k x k -++-=，且2,.x x k ≥-⎧⎨≥⎩故()()2221420,2,.k k k ⎧+-->⎪≥-⎪⎪⎪≥⎪⎩解得9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故答案为D2．（2018·全国·高三竞赛）[]x 表示不超过实数x 的最大整数，设N 为正整数．则方程[]()222x x x x ⎡⎤-=-⎣⎦在区间1x N ≤≤中所有解的个数是（ ）． A ．21N N ++ B ．2N N - C ．21N N -+ D ．22N N -+【答案】C 【解析】 【详解】显然，x N =为方程的一个解．原方程为()()222m p m p p ⎡⎤+-+=⎣⎦，即222mp mp p ⎡⎤=+⎣⎦． 又01p ≤<，2mp 为整数，则12210,,,,222m p m m m-=⋯共2m 个． 因为1,2,,1m N =-，所以，这类数共有()224621N N N ++++-=-个．故方程[]()222x x x x ⎡⎤-=-⎣⎦在区间1x N ≤≤中所有解的个数为21N N -+．3．（2019·全国·高三竞赛）设()01a a <<是给定的常数，()f x 是R 上的奇函数，且在()0,∞+上递增. 若102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()log 0a f x <，那么，x 的变化范围是（ ）.A ．x>B ．x >1x <C 1x <<D x<【答案】B 【解析】 【详解】由()f x 是奇函数，得()()00f f -=-. 所以，()00f =.因为()f x 在()0,+∞上递增，结合102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到()y f x =在()0,+∞上的草图.再注意到()f x 是奇函数，其图像关于原点对称，得到()y f x =的草图（如图）.由图像可知，()0f x <等价于12x <-或102x <<. 于是，由()log 0a f x <，得1log 2a x <-或10log 2a x <<.又01a <<，所以，x>1x <.选B.4．（2019·贵州·高三竞赛）方程组1xy e ex y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩的解的组数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【详解】从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组. 故选：B.5．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知实数a ，b 满足：对于任意的实数x ，不等式()()()2210x a x b x a----≥恒成立，则x a x b -+-的取值范围为（ ）．A ．[1，+∞)B ．[78，+∞) C ．[58，+∞)D ．[38，+∞)【答案】A 【解析】 【详解】221a a +>恒成立，若b ∈(-∞，221a +)，取|x |∈(b ，221a +)则矛盾．若b >221a +，则取|x |>221a +，所以b =221a +， 取x =0，(221a +)2·()a -≥0，则a ≤0，2217212148x a x b a b a a a ⎛⎫--≥-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭．又a ≤0，所以最小值为1． 故选：A. 二、填空题6．（2018·湖南·高三竞赛）设,,a b R a b ∈<，函数(x)max ||(x R)a t bg x t ≤≤=+∈（其中max 表示对于x ∈R ，当[,]t a b ∈时表达式||x t +的最大值），则()g x 的最小值为_____. 【答案】2b a- 【解析】 【详解】对于每一个x R ∈，函数()f t x t =+是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数f t 的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有(){}·max ,.a t ba bg x max x t x a x b <<=+=++由于函数,y x a y x b =+=+图像交点的横坐标c 满足 ()2a bc b c a c +-+=+⇒=-， 得到(),,,.x a x c g x x b x c ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩其图像为两条折线组成，且()()min .2b ag x g c -==故答案为2b a-7．（2018·天津·高三竞赛）若a 为正实数，且()(2log f x ax =是奇函数，则不等式()32f x >的解集是_____________ 【答案】7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【详解】由()()0f x f x +-=可得((22log log 0ax ax +-=即(1ax ax -=也即()2220a x -=，所以a =0，+∞）上递增，所以()f x 在（0，+∞）上是增函数，结合()f x 是奇函数可知()f x 在R 上是增函数.解不等式()32f x >，只需找到()32f x =的解. 方程()32f x =322=)2x =- 两边平方，解得78x =.因此，不等式()32f x >的解集是7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．（2020·江苏·高三竞赛）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，则满足()()()f f f x x =的函数f ：A A →共有___________个．【答案】47【详解】解析,值域中元素的个数为1或6，若值域中元素的个数为1， 则()f x m =（m 为常数），共6种； 若值域中元素的个数6， 当()f x x =时，1种；当()(())((()))x f x f f x f f f x x →→→→，则3个一组，有36240C =．因此题述所求为164047++=个． 故答案为：47.9．（2021·全国·高三竞赛）若函数()f x t =[,]a b ，值域为[,]a b ，则实数t 的取值范围是___________. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【详解】解析：易知()f x t =-[,]a b 上单调递减，因为函数()f x 的值域为[,]a b ，所以(),(),f a b f b a =⎧⎨=⎩即,.t b t a ⎧⎪⎨=⎪⎩两式相减得，22(3)(3)a b a b -=+-+=-，1.因为a b <，所以102≤<，而1t a a ==，所以219(3)224t a ⎫=+-=-⎪⎭.又102≤，所以924t -<≤-.故答案为：9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.10．（2018·山东·高三竞赛）函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域为______．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）． 【答案】{}2,1,1,2-- 【解析】因为()()2πf x f x +=且()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()f x 以2π为周期，且图象关于直线π4x =对称． 所以只需讨论π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值即可．易得，当π4x =时，()f x 取得最大值2；当3π5π,ππ,44x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()f x 取得最小值2-，所以()f x 的值域为{}2,1,1,2--．11．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】 【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.12．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()x f x x e -++为偶函数，且()()220f a f a -+≤，则实数a 的最大值为___________．【详解】解析：由题意()()()x x x f x x e f x x e f x x e -++=--+=--+， 则()2x xe ef x x --=-，求导可得()f x 为单调递增的函数，故()()22f a f a ≤-，则22a a ≤-，解得21a -≤≤，则实数a 的最大值为1．故答案为：1.13．（2021·全国·高三竞赛）已知s ､t 是关于x 的整系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，12s t <<<，则当正整数a 取得最小值时，b c +=___________. 【答案】4- 【解析】 【详解】设()()()f x a x s x t =--，则2()f x ax bx c =++， 因为(1),(2)f f Z ∈，所以(1)(2)1f f ⋅≥，所以211(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)a s t s t s t s t ≥=--------.又因为11(1)(2),(1)(2)44s s t t --≤--≤，所以216a ≥，但216a ≠，所以5a ≥.当5a =时，25(1)(2)25(1)(1)(2)(2)1,16f f s t s t ⎡⎫⋅=----∈⎪⎢⎣⎭，所以(1)(2)1f f ⋅=，所以(1)(2)1f f ==.于是2()51511f x x x =-+，故15114b c +=-+=-. 14．（2021·全国·高三竞赛）方程33333333(1)(4)(9)21491(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---++++++=⎢⎥++++++⎣⎦的不同的实数解的个数为___________. 【答案】5 【解析】 【详解】解析：易知0x =是原方程的解.当0x ≠时，利用()3322()a b a b a ab b +=+-+，原方程33333333(1)(4)(9)214911110(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++-+-+-=⎢⎥++++++322249490(1)(4)(9)(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-++=⎢⎥++++++⎣⎦.方程两端同除x ，整理后得()42982883850x x x x --+=.再同除x ，得()22231(624)0xx --+=.即()()22676550x x x x +---=，从而有(7)(1)(5)(11)0x x x x +-+-=.经验证12347,1,5,11x x x x =-==-=均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数根.故答案为：5.15．（2018·河北·高二竞赛）已知11x y ，且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为________.【答案】2+ 【解析】 【详解】由已知得22lg 2lg 1lg 2lg 14x x y y -++-+=. 所以()()22lg 1lg 14x y -+-=.因为11x y 、，所以lg 0lg 0x y 、，设lg lg s x t y ==，，则有点（s ，t ）在以（1，1）为圆心，2为半径的圆弧（第一象限及坐标轴）上.由线性规划知识直线u s t =+与圆弧相切于点)1时，)max 22u =+16．（2018·河南·高三竞赛）已知a 、b 、c 均为正数，则124min ,,a b c ⎧⎨⎩的最大值为______．【解析】 【详解】记124min ,,M a b c ⎧=⎨⎩，那么1M a ≤，2M b ≤，4M c ≤，于是38M ≤，得2≤．∈又 M ≤ ∈由∈∈可得2M M≤，所以M ≤，即max M =24c b a ===得．17．（2018·甘肃·高三竞赛）已知函数()3sin f x x x =+（R x ∈），函数()g x 满足()()20g x g x +-=（R x ∈），若函数()()()1h x f x g x =--恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______． 【答案】2019 【解析】 【详解】易知函数()3sin f x x x =+为奇函数，从而()1f x -的图象关于()1,0点对称．函数()()20g x g x +-=，可知()g x 的图象也关于()1,0点对称．由此()h x 的图象关于()1,0点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称， 由于()()()10101h f g x =-=⇒=是()h x 的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于()1,0点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．18．（2018·甘肃·高三竞赛）关于x 的方程()()()lg 1lg 1lg 2ax x x +=-+-有唯一实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】{}11,3232⎛⎤--- ⎥⎝⎦【解析】 【详解】解法一原方程化为()()()2330,1,2f x x a x x =+-+=∈．（1）()()()()112012101,2f f a a a ⎛⎫<⇔++<⇔∈-- ⎪⎝⎭．（2）()10f =即1a =-时，()2430f x x x =-+=的两根分别为1、3，不符合题意．（3）()20f =即12a =-时，()27302f x x x =-+=的两根分别为2，()31,22∈．因此12a =-，符合题意要求．（4）0∆=，即3a =±123a x x =+==解法二2132ax x x +=-+-，因为12x <<，所以()23333x x a x f x x x -+-⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭．()f x 在(上单调递增，在)2上单调递减．又()1322ff =-=-，所以a 的取值范围是{11,32⎛⎤--⋃- ⎥⎝⎦．19．（2019·上海·高三竞赛）若直线ax －by +2=0(a >0，b >0)和函数22(0,1)x y c c c +=+>≠的图象均恒过同一个定点，则11a b+的最小值为________.【答案】52+【解析】 【详解】因为y =cx +2+2过定点P (－2，3)，所以直线20ax by -+=也过定点P (－2，3)，于是－2a －3b +2=0，即2a +3b =2.因为211(23)(23)5a b a b ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭11562a b ++，当22,(33a b ==时等号成立.故最小值为52+故答案为：52+20．（2019·重庆·高三竞赛）设A 为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合B ={x +y |x ，y ∈A ，x ≠y }，若{}222log 6,log 10,log 15B =，则集合A =_______ . 【答案】{}221,log 3,log 5 【解析】 【详解】设{}222log ,log ,log A a b c =，其中0<a <b <c .则ab =6，ac =10，bc =15. 解得a =2，b =3，c =5，从而{}221,log 3,log 5A =. 故答案为：{}221,log 3,log 5．21．（2019·重庆·高三竞赛）函数()1)f x =的最小值为m ，最大值为M ，则Mm=_______ .【解析】设t =t ≥0且22t =+2]t ∈.2()(3)2t f x t =-⋅，令21()(3),2g t t t t =-∈.令()'0=g t 得t =2，3g =，g （2）=－2.所以max min ()3,()2M g t m g t ===-.所以M m =.． 22．（2019·吉林·高三竞赛）已知函数f (x )=-x 2+x +m +2，若关于x 的不等式f (x )≥|x |的解集中有且仅有1个整数，则实数m 的取值范围为____________ .【答案】[-2,-1)【解析】【详解】2()||2||f x x x x x m ⇔---.令()2||g x x =-，2()h x x x m =--，在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知，整数解为x =0，故(0)00(1)11f m f m--⎧⎨<--⎩， 解得-2≤m <-1.故答案为：[-2,-1)．23．（2019·福建·高三竞赛）已知32()2f x x ax bx =+++的图象关于点(2,0)对称，则(1)f =____________ .【答案】4【解析】【详解】解法一：由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知32(2)(2)(2)(2)2f x x a x b x +=++++++32(6)(412)4210x a x b a x a b =++++++++为奇函数.所以6042100a a b +=⎧⎨++=⎩，解得67a b =-⎧⎨=⎩. 所以f （1）=1+a +b +2=1-6+7+2=4解法二：由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知对任意x ∈R ，(2)(2)0f x f x ++-=. 于是，对任意x ∈R ，32(2)(2)(2)2x a x b x +++++++32(2)(2)(2)20x a x b x -+-+-+=，即2(212)(8220)0a x a b ++++=恒成立.所以212084200a a b +=⎧⎨++=⎩，解得67a b =-⎧⎨=⎩. 所以f （1）=1+a +b +2=1-6+7+2=4解法三：依题意，有f (x )=(x -2)3+m (x -2).利用f (0)=-8-2m =2，得m =-5.于是，f (x )=(x -2)3-5(x -2)，f （1）=-1-(-5)=4.故答案为：4．24．（2019·河南·高二竞赛）已知函数(),,,0)f x a b c R a =∈<的定义域为D .且点(()(,,)s f t s t D ∈形成的图形为正方形，则实数a =____________ .【答案】4-【解析】【详解】由题意可得集合D 是非空闭区间[]12,x x ，其中12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个不等的实数根.由韦达定理可得21x x -=== 其中差()21x x -即区间[]12,x x 的长度.故定义域D 在区间[]12,x x 上恒有ax 2+bx +c ≥0.ax 2+bx +c 在区间[]12,x x 上有最大值和最小值分别为：24,04ac b a -，函数y =M 为⎡⎢⎢⎣.区间M由题设知两个区间D (定义域)和M = 两边平方得222444b ac ac b a a--=， 即240a a +=，结合a <0得4a =-.故答案为：4-．25．（2019·河南·高二竞赛）已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈，记M (a ,b )是|f (x )|在区间[-1,1]上的最大值.当a ､b 满足M (a ,b )≤2时，||||a b +的最大值为____________ .【答案】3【解析】【详解】由题意可得：对任意x ∈[−1,1]⩽x 2+ax +b ⩽2，分别取1,1x x ==-，可得：−3⩽a +b ⩽1且−3⩽b −a ⩽1, 易知(){}max max ||||,3a b a b a b +=-+=，且当b =−1，a =2时符合题意，所以|a |+|b |的最大值为3.26．（2019·贵州·高三竞赛）已知函数()3()x x f x e e x -=-⋅，若m 满足()()220.51log log 2e f m f m e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是____________ . 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【详解】由()3()e e x x f x x -=-⋅，得到f (－x )=f (x )，且x ∈(0，+∞)时，f (x )是增函数.又由()()220.5e 1log log 2e f m f m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得到()2log (1)f m f .所以2log 1m ，故21log 1m -，得到122m .即m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．27．（2019·广西·高三竞赛）设函数1)([0,1])y x =∈，则y 的最小值为____________ .【答案】2【解析】【详解】令[0,1])u x =∈，则'u =>()'0u x <，由u (x )单调递减，求得2]u ∈， 则2(2)2u u y +=单调递增.所以当u =2+故答案为：228．（2019·广西·高三竞赛）已知xyz +y +z =12，则422log log log x y z ++的最大值为____________ .【答案】3【解析】【详解】 由已知条件有223123xyz y z xy z =++2264xy z ，则()2242244log log log log log 643x y z xy z ++==，当且仅当14x =，y =z =4时取得最大值3. 故答案为：3．29．（2019·浙江·高三竞赛）如图所示，将长度为1的线段分为x 、y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 的三条边(BD 、DE 、EA )，构成闭“曲边形”ACBDEA ，则该曲边形面积的最大值为____________.【答案】12(4)π+ 【解析】【详解】记圆的半径为r ，矩形的宽为h ，则有122x r x r hπ=⎧⎨-=+⎩12,12x x r h x ππ⎛⎫⇒==-- ⎪⎝⎭， 所以曲边形的面积为221122122x x x S x ππππ⎛⎫=⋅+⋅-- ⎪⎝⎭ 22(4)2x x πππ+=-2224244x ππππππ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因此，当4x ππ=+时，max 12(4)S π=+. 故答案为：12(4)π+ ．30．（2021·全国·高三竞赛）在同一平面直角坐标系内，()f x ______．【答案】1122⎛+ ⎝⎭【解析】【分析】【详解】反函数为12222()(((5)5)5) 5.(f x x x -=≥----令222211(((5)5)5)5(n a x x a +=----≥=则由已知，有19a a =，且两个函数交点的横坐标为5a ，纵坐标为1a ．由8是{}n a 的一个周期，容易知道1、2、4、8都可能是该数列的周期．若1是周期，则由x =x ，故15a a ==⎝⎭．若1不是周期，则x ≠2是周期，则只需要考虑方程x 解．当x >x x ，无解；当x <x x >>，也无解．故此时无解．同理，当4或8为周期时，也无解．综上，知所求的坐标为1122⎛+ ⎝⎭.故答案为：⎝⎭. 31．（2021·全国·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()1()232f x x a x a a =-+--．若(2)()0f x f x --≤恒成立，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】【详解】(2)()0f x f x --≤等价为()(2)f x f x ≤+恒成立．当0x ≥时，()1()232f x x a x a a =-+--． 若0a ≤，则当0x ≥时，1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=． 因为()f x 是奇函数，所以若0x <，则0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =，0x <，综上()f x x =，此时函数为增函数，则()(2)f x f x ≤+恒成立．若0a >，若0x a ≤≤时，1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-； 当2a x a <≤时，1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-； 当2x a >时，1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-． 即当0x ≥时，函数的最小值为a -，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()f x 的最大值为a ，作出函数的图象如图：故函数()f x 的图象不能在函数(2)f x +的图象的上方，结合图可得323a a -≤-，即13a ≤，求得103a <≤，综上13a ≤． 故答案为：1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 32．（2021·全国·高三竞赛）已知函数1()log (1)1a f x a x=>-，若函数()y g x =的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹方程恰好为()f x ，若[0,1)x ∈，总有()()f x g x m +≥成立，则m 的取值范围是________．【答案】{}0|m m ≤【解析】【分析】【详解】设()y g x =图象上任意一点(,)P x y ，则P 关于原点的对称点(,)Q x y --在()y f x =的图象上， 故1log 1a y x-=+，即()log (1)a g x x =+． 由()()f x g x m +≥得1log 1ax m x +≥-， 令1()log ,[0,1)1a x F x x x+=∈-，由题意知min ()F x m ≥即可， 由于1a >，所以2()log 11a F x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭在[0,1)上是增函数，min ()(0)0F x F ==， 所以0m ≤．故答案为：{}0|m m ≤.33．（2021·全国·高三竞赛）设常数a R ∈，函数()()f x a x x =-存在反函数1()f x -，若关于x 的不等式12()()f x m f x -+<对所有的[]2,2x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围为_________.【答案】()12,+∞【解析】【分析】【详解】因为()()00f f a ==且存在反函数()1f x -，所以，()0,a f x x x ==-.显然，函数()f x 在R 上递减.故()()()1212()(())f x m f x f f x m f f x --+<⇔+>， 即22(())(())x m f f x m x f f x +>⇒>-+对所有的[]2,2x ∈-恒成立.记223()(())||([2,2])g x x f f x x x x x =-+=-+∈-. 注意到，22324211()||1224g x x x x x x x ⎛⎫=-+≤-+=--≤ ⎪⎝⎭. 当2x =时，上式等号成立，所以()12,m ∈+∞.故答案为：()12,+∞.34．（2021·全国·高三竞赛）设R 上的函数()f x 满足()()2x f f x =．当1x ≤-时，1()21x f x +=-，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】【分析】【详解】 显然()f x 是单射，故存在反函数．当x 属于1()f x -定义域时，()()()11()()2f x f x f f f x --==．当(1,0]x ∈-时，12 ()log (1)1f x x -=+-， 因此2log (1)11()22x x f x +-+==．同 理可得10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时21()2x f x -=；当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()f x =代入得34f ⎛⎫== ⎪⎝⎭35．（2021·全国·高三竞赛）若65432()2f x x x x x =--+-+则f 的值为_______．【解析】【分析】【详解】研究二次方程210x --=和210x -+=，即(0x x =和(0x x =．因此0x422()(1)(1)(f x x x x x x =--+-+++故f =36．（2021·全国·高三竞赛）设3()3f x x ax =-+，已知对任意的[0,1]x ∈，都有()1f x ≤，则实数a 的取值范围是___________．【答案】|2a a ⎧≤≤⎨⎩ 【解析】【分析】【详解】依题意，有3131x ax -≤-+≤，当0x =时显然成立，当(0,1]x ∈时，221133x a x x x-≤≤+．由221113322x x x x x +=++≥=由单调性知2132x x -≤，所以2a ≤故答案为：|2a a ⎧≤≤⎨⎩. 37．（2021·全国·高三竞赛）已知函数3232()1,()2()1f x ax ax bx g x ax ax a b x b =---=-+-+-，对任意的实数a 、b ，对于任意的()0,1x ∈，有不等式()()()()f x g x f x g x m ++-≥恒成立，则m 的取值范围是________．【答案】(],2-∞【解析】【分析】【详解】记()()()()()(){}2max ,2f x g x f x g x f x g x M ++-==，则322|()||1||(1)1|M f x ax ax bx ax x bx =---=-++≥，322|()||2()1||(1)(1)1|M g x ax ax a b x b ax x b x =-+-+-=-+--≥， 故有()()()()11M x M xM x f x x g x =-+≥-+2222|(1)(1)1||(1)(1)|ax x bx x x ax x bx x x =-+-+-+-+--2222|[(1)(1)1][(1)(1)]|1ax x bx x x ax x bx x x -+-+---+--=≥．因为2m M ≤恒成立，所以2m ≤故答案为：(],2-∞.38．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）实数a 与函数()f x 满足()11f =，且对任意{}\0x R ∈均有()1f af x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令{}(){}\01A x x R f x =∈≤，则()()()1g x f ax f x A x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的值域为______． 【答案】253,182⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】【详解】令1x =,并代入(1)1f =,得(1)(1)1112f af a a =-⇒=-⇒=, 即12()f f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∈ 在∈中令1x x →得,11()2f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∈联解∈∈得:11()23f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,故2211121117()(2)449292g x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2221{|\{0}|()1}{|1|2},[1,4],4[4,5]A x x f x x x x x x =∈≤=≤≤∴∈+∈R ∣∣， 因此,221117253()4,92182g x x x ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故答案为：253,182⎡⎤⎢⎥⎣⎦.39．（2021·全国·高三竞赛）实数x 、y 满足()()434313,,71113,.y y y y x x y x⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②则x 、y 的大小关系是___________． 【答案】x y >##y x < 【解析】 【分析】比较x 、y 的大小关系，在等式中比较x 、y 的大小关系，利用假设法结论正确的答案，结论错误则结果与假设的相反. 【详解】假设x y ≤．由∈知16913y y x -=，由于1313x y ≤，则13169y y y ≥-，从而13911616y y ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设139()1616t tf t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f t 在R 上递减，且()1f y ≥，又22139(2)11616f ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(2)f y f >．于是2y <．由∈知，71113xyx+=，又1111x y ≤，所以71113xxx+≤，即11711313xx⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类似上面有2x >．于是x y >与x y ≤矛盾故x y >． 故答案为：x y >.40．（2019·吉林·高三竞赛）已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ､b 满足条件20192020,20202019a b ==，则n 的值为____________ . 【答案】1- 【解析】 【详解】因为20192020α=，20202019b =，所以1<a <2，0<b <1，故函数f (x )在R 上为增函数.又1(0)10,(1)1110f a f a a b=->-=--<--<， 故由零点定理可知，函数f (x )在区间(-1，0)上有唯一的零点，则n 的值是1-. 故答案为：1-．41．（2021·全国·高三竞赛）设0x >，对函数[][]1()111x xf x x x x x +=⎡⎤⎡⎤⋅+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，其值域是_______. 【答案】155,264⎧⎫⎡⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】由于()f x 的表达式中，x 与1x对称.且0x >，不妨设1≥x . （1）当1x =时，11x =，有1(1)2f =. （2）当1x >时，设,01,x n a a n N +=+≤<∈，则1[],0x n x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，故1()1n a n a f x n +++=+. 易证函数1()g x x x =+在[)1,x ∈+∞上递增，故11111n a n n n n a n +++<++++≤，则1111(),,(1,2,)11nn n n n f x I n n n ⎡⎫+++⎪⎢+∈==⎪⎢++⎪⎢⎣⎭故()f x 的值域为12n I I I ⋃⋃⋃⋃.设22211,1(1)n n n a b n n n +==+++，则[),n n n I a b =. 又12(1)(2)n n n a a n n n +--=++，当2n >时，2345n a a a a a =<<<<< ，易知n b 单调递减，故[)2223,n a b I I I =⊇⊇⊇⊇.因为1255101,,,469I I ⎡⎫⎡⎫==⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，所以12125510551,,,46964n I I I I I ⎡⎫⎡⎫⎡⎫⋃⋃⋃⋃=⋃=⋃=⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭.综上所述，值域为155[,)264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：155[,)264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.42．（2021·全国·高三竞赛）已知函数21()(1)1xf x xx-⎛⎫=>⎪+⎝⎭，如果不等式1(1()(f x m m-->对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m的取值范围_______________.【答案】51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】求出)1()01f x x-=<<，将已知条件转化为2(110m m+->对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用换元法转化为2()(1)10g t m t m=++->，对11,42t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，由10,412gg⎧⎛⎫>⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪>⎪⎪⎝⎭⎩可解得结果.【详解】22121(1)11xy xx x-⎛⎫⎛⎫==->⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得x=又1x>，2011x∴<<+，20111x∴<-<+，01y∴<<)1()01f xx-∴=<<由题意得(1(mm>对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，1(m m>-，即2(110m m+->对11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，显然1m≠-，令t11,164x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11,42t⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以2(1)10m t m++->，对11,42t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令2()(1)1g t m t m=++-是关于t的一次函数，要使()0g t>，对11,42t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，需1412gg⎧⎛⎫>⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪>⎪⎪⎝⎭⎩，即221(1)1041(1)102a aa a⎧++->⎪⎪⎨⎪++->⎪⎩，解得：514a -<<，所以实数m 的取值范围51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：∈分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ∈数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ∈讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立 三、解答题43．（2019·全国·高三竞赛）设实数a 、b 、c 、d 满足2222331a b c d a b c d abc bcd cda dab +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩.证明：()()()()33331111a a b b c c d d -=-=-=-. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 根据恒等式得()()22222132ab bc cd da ac bd a b c d a b c d ⎡⎤+++++=+++-+++=⎣⎦. 设()()31f x x x =-.只需证明：()()()()f a f b f c f d ===. 注意到，()()()()x a x b x c x d abcd -----()()()432x a b c d x ab bc cd da ac bd x abc bcd cda dab x =-+++++++++-+++()()3432331x x x x x x f x =-+-=-=-.则()()()()()f x abcd x a x b x c x d =-----.令,,,x a b c d =，分别代入上式得()()()()f a f b f c f d ===. ()()()()33331111a a b b c c d d ⇒-=-=-=-.44．（2018·天津·高三竞赛）设1x 、2x 、3x 是方程317180x x --=的三个根，143x -<<-且345x <<.∈求2x 的整数部分；∈求123arctan arctan arctan x x x ++的值.【答案】（1）-2（2）123arctan arctan arctan 4x x x π++=-【解析】 【详解】由于1x 、2x 、3x 是方程的根，我们有()()()31231718x x x x x x x x --=---.比较两端的系数可得： 1230x x x ++=， 12233117x x x x x x ++=-，12318x x x =.∈由()14,3x ∈--和()34,5x ∈可知()2132,0x x x =--∈-.注意()31718f x x x =--满足()0180f =-<，()120f -=-<，()280f -=>.所以()f x 在区间()2,1--上有一个根，即()22,1x ∈--.因此2x 的整数部分为-2. ∈设arctan i i x θ=，i=1，2，3.由∈知12,,24ππθθ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且3,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ .因此1233.04πθθθ⎛⎫++∈- ⎪⎝⎭.注意()1212121212tan tan tan 1tan tan 1x x x x θθθθθθ+++==-- 从而()()()123123123tan tan tan 1tan tan θθθθθθθθθ++++=-+1231212312111x x x x x x x x x x ++-=+--()1231231223311x x x x x x x x x x x x ++-=-++()0181117-==---.这表明1234πθθθ++=-，即123arctan arctan arctan 4x x x π++=-.45．（2019·全国·高三竞赛）设a ､b ､c 均大于1，满足lg log 3lg log 4b a a c b c +=⎧⎨+=⎩，求lg lg a c ⋅的最大值.【答案】163【解析】 【详解】设lg a =x ，lg b =y ，lg c =z ，由a ，b ，c >1可知x ，y ，z >0. 由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==. 由此，令x =3t ，y =4t (t >0)，则241212z x xy t t =-=-. 其中由z >0可知t ∈(0，1). 因此，结合三元平均值不等式得lg lg 312(1)a c xz t t t ==⋅-218(22)t t =⋅-3(22)183t t t ++-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭32161833⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭. 当22t t =-，即23t =(相应的a ､b ､c 分别为8833100,10,10)时，lg lg a c 取到最大值163. 46．（2021·全国·高三竞赛）已知函数()()()[]221,1,1f x x x bx c x =-++∈-，记()f x 的最大值为(),M b c ．当b 、c变化时，求(),M b c 的最小值． 【答案】3- 【解析】 【分析】 【详解】因为对任意的[]()()1,1,,x f x M b c ∈-≤，所以取0,1,x λ=±±，0，得：()()()()()()()()()()()()()()()()()22221,,1,,,,0,,1,,?,,1,.,,f M b c f M b c c M b c f M b c b c M b c f M b c b c M b c f M b c λλλλλλλλ⎧-≤⎪⎧⎪≤≤⎪⎪⎪⎪≤⇒-++≤⎨⎨⎪⎪-≤⎪⎪--+≤⎩⎪≤⎪⎩则()()()()()()2222212,1,c M b c c M b c λλλλ-+≤⇔-+≤，故()()()()()()2222221112,c c M b c λλλλλλ-≤-++-≤-，则()()2221,2M b c λλλ-≥-，所以()()222max1,32M b c λλλ⎛⎫-⎪≥=- ⎪-⎝⎭ 此时可取30,3M b c =-==，此时()()(222213320xxx -+≤--≥．显然可以取到．综上，(),M b c 的最小值为3-47．（2018·山东·高三竞赛）实数a 、b 、c 满足()2220a b c λλ++=>，试求()()(){}222min ,,f a b b c c a =---的最大值．【答案】max 2f λ=【解析】 【详解】不妨设a b c ≤≤，令b a s =+，c a s t =++，0s ≥，0t ≥， 则由条件知()()222a a b a s t λ+++++=，整理成关于a 的一元二次方程()222322220a s t a s st t λ+++++-=．因为方程有解，则()()2224212220s t s st t λ∆=+-++-≥，解得2232s st t λ++≤． 上式关于s 、t 对称，不妨设0s t ≤≤，()()(){}2222min ,,f a b b c c a s =---=，又因为222332s st t s λ≥++≥，所以22s λ≤．当且仅当s t ==a =，0b =，c =max 2f λ=．48．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈，且满足222121n a a a +++=，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-的最大值.【答案】当n 为偶数时，最大值为n 为奇数时，最大值为 【解析】 【分析】 【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立. （1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112n n ni i i i i i i i a a a a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立. （2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a -----必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn ni i i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122aa a a a -++=，所以：23A 22ni i a a ==+≤≤=∑ 当且仅当12413110,,11a a a a a n n =======---或12413110,,11a a a a a n n ====-===--时等号成立. 49．（2021·全国·高三竞赛）对于区间[,]()I a b a b =<与函数()()y f x x =∈R ，定义区间Ⅰ的长度为{},()(),I b a f I y y f x x I =-==∈．已知二次函数()f x 对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有()1f I ≥，求证：对于任何长度为2的区间J ，均有()4f J ≥． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，记2b v a =-．取区间11,22I v v ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，22111()()222f I f v f v a v b v av bv ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111424av a b a =++=．由1I =，可得()1f I ≥，所以4a ≥．对任意长度为2的区间J ，一定存在,x y J ∈，1y x -=，且(,)v x y ∉，记[,]J x y '=，则()22()()()f J f J f x f y ax bx c ay by c ≥=-=++---' ()22()()()a x y b x y x y a x y b a x y b =-+-=-++=++ba x y a=++． 因为(,)v x y ∉，所以1222122x y x y v v ++-=-≥⨯=，即1bx y a ++≥，所以()4bf J a x y a≥++≥． 50．（2018·湖北·高三竞赛）已知正数a b 、满足1a b +=，求M =.【解析】 【详解】由柯西不等式可得()()2221212a a λλ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，()22225511212b b μμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++≥+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以52b M μ+=， ∈ 取等号的条件分别为 2214a λ=， ∈222512.b μ⎛⎫⎪⎝⎭= ∈=时，有2241μλ=+，结合∈∈得222151.12b a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又1a b +=，所以()22225121b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-，整理得 43214428826350250b b b b -++-=，故()()3241366350250.b b b b --++= ∈记()3236635025f b b b b =-++，则()22753108126501080124f b b b b ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭'，所以()f b 在()0,1上为增函数，故当01b <<时，()()0250.f b f >=>于是，由∈可得14b =，从而3.4a = 代入∈∈求得25,.33λμ==代入∈式，整理得M ≥，因此M .。

全国高中生数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 圆的方程为\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \)，求圆心到直线\( x + 2y - 5 = 0 \)的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 若\( a, b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 2023 \)，求\( a + b \)的可能值。

A. 44B. 45C. 46D. 474. 已知\( \sin A = \frac{3}{5} \)，\( \cos A = -\frac{4}{5} \)，求\( \tan A \)的值。

A. 3/4B. -3/4C. 4/3D. -4/35. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共30分）6. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，且\( a,b > 0 \)，求\( a + b \)的最小值。

7. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)。

8. 若\( \log_{2}3 = m \)，求\( \log_{3}2 \)的值。

9. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。

10. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求其第4项。

三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。

12. 已知函数\( g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \)，求其极值点，并判断其单调性。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。

下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。

请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。

答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。

高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。

A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。

A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。

A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。

A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。

A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。

答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。

答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。

高中数学函数练习题(完整版).doc1、在A、B、C、D四个函数中，只有函数y=1/(x+1)的值域是(0,+∞)，因此答案为A。

2、由题意可得：f(-2)=f(2)=3，即2a+12a+a=3，解得a=-1/2.在闭区间[-2,2]上，f(x)的最小值是f(0)=-a=1/2，因此答案为A。

3、对于函数y=x-2x^2+3，在[0,m]上有最大值3，最小值2，因此其开口向下，且顶点在[0,m]上。

由于开口向下，顶点为最大值，因此m=1，即答案为A。

4、设函数f(x)=log_a(x)，则f(a)=1，f(2a)=log_a(2a)=1+log_a2，由题意可得：f(2a)=3f(a)，即1+log_a2=3，解得a=1/4，因此答案为B。

5、在区间[0,1]上，f(x)的最大值为a+log_a2，最小值为a+log_a1=a，因此有：a+log_a2+a=2a，解得a=2，因此答案为D。

6、由题意可得：y-2xy/(x-1)^3的最小值为-1/3，1/(x-1)的最大值为正无穷，因此答案为正无穷和-1/3.7、由于XXX(ax+2x+1)的值域为R，因此ax+2x+1>0，解得a>-1/2.又因为XXX(ax+2x+1)=lg(a)+lg(x+2x+1/a)>0，解得a>0.因此a的取值范围为(0,1/2)。

8、将x=y=1代入f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，得f(2)=f(1)+f(1)+2=4.又因为f(1)=2，因此f(0)=f(1)+f(-1)+2(1)(-1)=0.9、将x=0代入f(x+1)=(1/3)(1/(x^2-1))，得f(1)=(1/3)(1/2)=1/6.因此f(x)=f(x+1-1)=f(x+1)-2(x+1-1)=f(x+1)-2x-2，代入f(x+1)=(1/3)(1/(x^2-1))，得f(x)=(1/3)(1/[(x-1)(x+1)])-2x-2，因此函数f(x)的值域为R。