九年级数学方位角知识点

方位角的表示方法
方位角是学习地理学的重要内容，它是衡量物体的定位和方向的标准。

通过观
测两个物体之间的方位角，可以从数学角度确定他们之间的关系。

经国际惯例，以指南针为基础，将地球的方位等分为360°，以正北为0°，
顺时钟方向依次增加，取范围为0°~ 360°。

北方位角也常简称为“度”或为“°”，一度约等于1.15英里。

与这种方位角外，还有另一种常用表示方式，即弧度。

弧度是指用[0,2π]之
间的一个实数给出圈或极轴上圆弧所对应的角度。

与角度对比，弧度有诸多优势：一是方便、快捷，而且更便于计算；二是精确度高，可以得到更加精确的角度大小。

然而，方位角的实际应用仍然是以角度为主，尤其在航海和航空领域中。

本国
一般会把一度角度细分成分秒来表示，1°=60'，1'=60"，即一度等于3600秒，一分等于60秒，一秒等于一秒，如342°38'5"表示角度的精度更高，其精确表示为342.634617°。

总之，方位角是地理、航海、航空等学科中十分重要的概念，常用来描述位置
和方向，方位角用两种坐标系统来表示，即角度和弧度，分别用°和rad表示。

希望以上内容可以帮助大家对方位角的剖析有所帮助。

28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1.如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．9mB ．6mC ．D ．2.在某次海上搜救工作中，A 船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A 船正东10km 处的B 船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B 船到该漂浮物的距离是（ ）A ．B ．kmC ．10kmD ．20km 3.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A ．4kmB ．kmC ．kmD ．+1）km第3题图 第4题图 4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ）A.34米B.56米C.512米D.24米5.如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了_________cm.第5题图第6题图7.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离.9.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．10.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)11.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6)。

中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。

数学方位角数学方位角是指平面上一条射线与x轴正方向的夹角，它在数学和物理学中具有重要的应用。

方位角的概念源于极坐标系，用来描述一个点在平面上的位置。

在本文中，我将介绍方位角的定义、计算方法以及其在实际应用中的一些例子。

让我们来看一下方位角的定义。

假设有一个点P(x, y)在平面上，与x轴正方向的夹角记为θ，则θ就是点P的方位角。

方位角通常用弧度制表示，范围是从0到2π。

当θ为0时，表示点P在x轴正方向上；当θ为π/2时，表示点P在y轴正方向上；当θ为π时，表示点P在x轴负方向上。

根据这个定义，我们可以通过一些数学公式来计算方位角。

假设点P的坐标为(x, y)，我们可以使用反三角函数来计算θ。

具体而言，可以使用以下公式：θ = arctan(y/x)。

这个公式可以通过点P的坐标来计算出方位角θ的值。

需要注意的是，由于arctan函数的定义域是从-pi/2到pi/2，我们需要根据点P所在的象限来确定θ的值。

例如，如果点P在第二象限，那么θ = arctan(y/x) + π；如果点P在第三象限，那么θ = arctan(y/x) + π；如果点P在第四象限，那么θ = arctan(y/x) + 2π。

方位角在数学和物理学中有许多应用。

其中一个重要的应用是在导航系统中。

例如，在航海和航空领域，方位角被用来确定船舶或飞机相对于某个参考点的位置。

通过测量方位角，可以确定船舶或飞机与参考点之间的夹角，从而确定它们的相对位置。

这对于导航和定位非常重要。

另一个应用是在地理信息系统（GIS）中。

方位角被用来描述地图上的点相对于北方的位置。

通过测量方位角，可以确定一个地点相对于北方的方向，从而帮助人们导航和定位。

方位角还被用来计算两个地点之间的距离和方向，这对于规划路线和导航非常有用。

除了导航和地理信息系统，方位角还在机器人技术、天文学、建筑设计等领域有广泛的应用。

例如，在机器人技术中，方位角被用来控制机器人的移动方向和转向角度。

方位角及其应用方位有何功能？为何会有方位的产生？若没有方位一个人将难以描述自身所在之处，因此我们需要一套大家所认可的方式来定义我们的空间坐标，使人能在空间上轻易描述自身所在位置或与自身所在的相对位置，因此人们想出各种定义方位的方式来解决这样的问题。

当一个人有了方位的观念后，他便可以轻易的告诉其它人自身所在位置，或其它物品所在位置，或自身即将前往的位置等等。

1.方向与方向角方向：指某一特定直线所朝向的位置称之。

方向角：以南北为基准朝东西两侧所量取的角度称之。

2.方位与方位角方位：指固定某一特定方向为基准，以其作为出其它方向起算的依据，所订出的位置称之。

方位角：以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。

方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°。

典型例题剖析1.利用方位角求角例1.一轮船以每小时20海里的速度向正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得灯塔B位于它的北偏东30°的方向，上午9时船行至C处，测得灯塔B 恰好在它的正北方向，求∠BAC.思路导引：欲求∠BAC的大小，可先根据方位角的有关情况，画出示意图求解．这里的“北偏东30°”指的是正北方向线向东旋转30°.解：如图，由题意易知∠DAB =30°，∠ACB =90°,由地理位置易得AD∥BC，∴∠B=30°. ∠BAC=90°一∠B=90°-30°=60°，即∠BAC的度数为60°.点评: 一定要注意数学知识与其他学科之间的联系．观侧点不同所得方位角也不同．确定方位角时，以观测点为坐标原点进行分析，各个观测点的南北方向线和东西方向线是互相垂直的．2.利用方位角求距离例2.某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．如图所示：(1)试说明点B是否在暗礁区域外；(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．思路导引：(1)判断点B是否在暗礁区域外，只要求得BC的长度，将其与16比较即可．若BC＞16，则点B在暗礁区域外；若BC≤16,则点B在暗焦区域内．(2)岛C是固定不变的，可把船看做一个动点，在运动的过程中，当船运动至岛C的正南方某点时，船与岛最近，若此时船与岛的距离小于16，则有触礁危险，否则，不会触礁．解：（1）如图，过点B作BD∥AE，交AC于点D.∵AB=36×0.5=18（海里），∠ADB=600，∠DBC＝300，∴∠ACB＝300.又∠CAB=300，∴BC = AB=18.则BC = AB=18＞16，即点B 在暗礁区域外．(2)过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H.在Rt △CBH 中，∠BCH ＝300，令BH=x ，则CH=3x.在Rt △ACH 中，∠CAH=300.∴AH=x CH CH 33330tan 0⋅===3x. ∵AH = AB + BH, ∴3x=18+x ，解得x ＝9.∴CH ＝93<16，∴船继续向东航行有触礁的危险．点评: 本题主要考查通过方位角求距离的问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用，目的是提高我们把实际问题转化为数学问题的能力．。