6.6 平方差公式(1)

15.2.1平方差公式教学目标①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理水平、归纳水平.②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能使用公式实行简单的计算.③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法.教学重点与难点重点：平方差公式的推导及应用.难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式.教学准备卡片及多媒体课件教学设计一、引入同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则. 今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘. 下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？(1) (x+1)(x-1)=(2) (m+2)(m-2)=(3) (2x+1)(2x-1)=引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括.注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出能够直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等水平，所以在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么？让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同卜归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律实行证明.举例再举几个这样的运算例子.注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报.验证公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透我们再来计算(a+b)(a-b)=数学的思想方法：特例T归纳T猜想T验证T用数学符号表示.注：这里是对前边实行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步使用公式实行简单计算打下基础.概括平方差公式及其形式特征.教师能够在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因.应用教科书第152页例1使用平方差公式计算：(1) (3x+2)(3x-2)(a+b)(a-b) a b a2 —b2 最后结果(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22(b+2a)(2a-b)(-x+2y)(-x-2y)对本例的前面两个小题能够采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“ a；'将x看作“ b,然后使用平方差公式计算.注：(1)准确理解公式中字母的广泛含义，是准确使用这个公式的关键•设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b实行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既能够是数，也能够是含字母的整式.(2) 在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时能够通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养.⑶例1第⑶小题引导学生多角度思考问题，能够加深对公式的理解.教科书第152页例2计算:(1) 102 38⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的.注：(1)使用平方差公式实行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征.(2) 第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能使用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则实行.巩固教科书第153页练习1、2练习1 口答完成；练习2采用大组竞赛的形式实行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成.注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感.解释你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗？多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示.注：(1)重视公式的几何背景，能够协助学生使用几何直观理解、解决相关代数问题.(2)此处将教科书的图15.3-1 分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形能够清楚变化的过程，便于联想代数的形式. 小结谈一谈：你这个节课有什么收获？注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括水平、抽象水平、表达水平的提升.同时，因为人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性增强.作业1 .必做题：教科书第156页习题15.2第1题2 •选做题：计算：(1)x2+(y-x)(y+x)⑵20082-2009 2007(3) (-0.25x-2y)(-0.25x+2y)(4) (a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)。

课题:平方差公式教材分析：平方差公式是山东教教育出版社六年级下册第六章整式的乘除第6节的内容。

平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它利用多项式与多项式相乘的运算法则得出，但为了培养学生的观察、归纳、概括等能力，教材通过几个具体的题目，是学生在计算过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，学生发现规律后，还通过符号运算对规律进行证明。

课本还通过例题、想一想使学生进一步体会、识别平方差公式中的字母a、b的含义。

通过这一节内容的学习来培养学生自主学习，主动探究及合作交流的能力。

在展示知识的过程中，鼓励学生思考、归纳总结，从而培养学生良好的学习习惯和思维品质。

学情分析：在本章前几节课中，学生学习了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂与负整指数幂及整式的乘法等知识，并运用这些知识解决了一些实际问题。

在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些同底数幂的乘法和乘方的运算，学习了用字母表示公式法则的方法，能用精确的语言来表达法则、规律，发展了自身的推理能力和有条理的表达能力；同时在以前的小组合作学习中，学生掌握了合作学习的基本方法，有了较高的合作与交流的能力，所以通过对导学案的自主学习与合作探究学习，能够初步理解学好本节内容。

教学目标：1、会推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征。

2、能利用平方差公式进行简单的计算。

3、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。

4、让学生在学习活动中体验探索、交流、成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。

教材的重点、难点：重点是理解平方差公式的结构特征及正确运用公式。

难点是对平方差公式推倒的理解及字母的广泛含义。

教法：学案导学、合作探究教学过程设计：（一） 知识链接：积的乘方的运算法则：口算：1、(3b) 2= 2、-(ab) 2= 3、(-4a 3) 2= 4、(-31xy 2)2= 多项式与多项式相乘：计算 （1） (a+b)(m+n)= （2）（x+3）（x+5）=（设计意图：为了保证本节课的顺利进行，特对与本节课相关的知识进行回顾：一是积的乘方的运算是平方差公式计算过程中必不可少的，并且学生很容易出现计算的错误，在这里对运算法则进行了回顾并设计了四个口算题，提醒学生注意符号问题。

鲁教版2021年度六年级数学下册《6.6平方差公式》同步培优训练（附答案）1．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（）A．（﹣b﹣c）（﹣b+c）B．﹣（x+y）（﹣x﹣y）C．（x+y）（x﹣y）D．（x+y）（2x﹣2y）2．计算得到（）A．B．C．D．3．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（）A．B．C．D．24．若s﹣t＝7，则s2﹣t2﹣14t的值是（）A．42B．50C．56D．495．3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A．4B．5C．6D．86．若M（5x﹣y2）＝y4﹣25x2，那么代数式M应为（）A．﹣5x﹣y2B．﹣y2+5x C．5x+y2D．5x2﹣y2 7．计算（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）的结果是（）A．x8+y8B．x8﹣y8C．x6+y6D．x6﹣y6 8．若2m﹣n＝2，4m2﹣n2＝12，则﹣﹣的值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣99．已知x﹣y＝2，x+y＝﹣4，则x2﹣y2＝．10．计算：2019×2021﹣20202＝．11．若x+y＝2a，x﹣y＝2b，则x2﹣y2的值为．12．计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝．13．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝．14．利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝．15．已知x2﹣y2＝6且2x+2y＝3，则3x﹣3y＝．16．如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是．17．已知x﹣y＝6，则x2﹣y2﹣12y＝．18．计算202020202﹣20202018×20202021＝．19．如果（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，则3m+n的值为．20．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．21．在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形（a＞b）把余下的部分再剪拼成一个长方形．（1）如图1，阴影部分的面积是：；（2）如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是；（3）比较两阴影部分面积，可以得到一个公式是；（4）运用你所得到的公式，计算：99.8×100.2．22．计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．23．利用乘法公式计算：20202﹣2019×2021．24．观察下列各式的计算结果：1﹣＝1＝＝；1＝1﹣＝＝；1﹣＝1＝＝；1＝1＝＝…（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣＝×；1＝×．（2）用你发现的规律计算：（1﹣）×（1）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．25．利用乘法公式计算：①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．参考答案1．解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．故选：B．2．解：＝＝．故选：C．3．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴×（a﹣b）＝，∴a﹣b＝．故选：B．4．解：∵s﹣t＝7，∴s2﹣t2﹣14t＝（s+t）（s﹣t）﹣14t＝7（s+t）﹣14t＝7s+7t﹣14t＝7s﹣7t＝7（s﹣t）＝7×7＝49．故选：D．5．解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…＝264﹣1+1＝264，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4＝16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选：C．6．解：∵M（5x﹣y2）＝y4﹣25x2＝（y2+5x）（y2﹣5x）＝（5x﹣y2）（﹣5x﹣y2），∴M＝﹣5x﹣y2．故选：A．7．解：（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）＝（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）＝（x4﹣y4）（x4+y4）＝x8﹣y8，故选：B．8．解：∵4m2﹣n2＝12，∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，∵2m﹣n＝2，∴2（2m+n）＝12，∴2m+n＝6，∴﹣﹣＝﹣×（2m+n）＝﹣×6＝﹣1，故选：A．二．填空题（共11小题）9．解：∵x﹣y＝2，x+y＝﹣4，∴x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝2×（﹣4）＝﹣8．故答案为：﹣8．10．解：2019×2021﹣20202＝（2000﹣1）×（2000+1）﹣20202＝20202﹣1﹣20202＝﹣1．故答案为：﹣1．11．解：∵x+y＝2a，x﹣y＝2b，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2a•2b＝4ab．故答案是：4ab．12．解：原式＝9x2﹣4．故答案为：9x2﹣4．13．解：原式＝x2﹣4y2．故答案为：x2﹣4y2．14．解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，＝216．15．解：由2x+2y＝3可得x+y＝，∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，∴x﹣y＝＝＝4，∴3x﹣3y＝3（x﹣y）＝3×4＝12．故答案为：12．16．解：因为a2﹣9b2＝4，所以（a+3b）（a﹣3b）＝4，所以（a+3b）2（a﹣3b）2＝[（a+3b）（a﹣3b）]2＝42＝16，故答案为：16．17．解：∵x﹣y＝6，∴x2﹣y2﹣12y＝（x+y）（x﹣y）﹣12y＝6（x+y）﹣12y＝6x+6y﹣12y＝6x﹣6y＝6（x﹣y）＝6×6＝36．故答案为：36．18．解：原式＝202020202﹣（20202020﹣2）×（20202020+1）＝202020202﹣（202020202+20202020﹣40404040﹣2）＝202020202﹣202020202﹣20202020+40404040+2＝20202022，故答案为：20202022．19．解：∵（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，∴（3m+n）2﹣32＝40，∴（3m+n）2＝49∴3m+n＝±7．故答案为±7．20．解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，∴x﹣2y＝3；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．21．解：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）原式＝（100﹣0.2）（100+0.2）＝1002﹣0.22＝10000﹣0.04＝9999.96．22．解：原式＝[m2﹣（2n）2]﹣（m2+8mn﹣mn﹣8n2）＝（m2﹣4n2）﹣（m2+7mn﹣8n2）＝m2﹣4n2﹣m2﹣7mn+8n2＝4n2﹣7mn．23．解：20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）＝20202﹣（20202﹣1）＝1．24．解：（1）1﹣＝（1﹣）（1+）＝×；1﹣＝（1﹣）（1+）＝×；故答案为，；，；（2）原式＝××××××…××××＝×＝．25．解：①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）＝（28﹣1）•（28+1）＝216﹣1；②原式＝（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）＝（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）＝（34﹣1）•（34+1）•（38+1）＝（38﹣1）•（38+1）＝；③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）＝101×（2+2+…+2）＝101×25×2＝5050。