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高中数学 2.3等差数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习重难点1.重点：数列前n 项和公式的研究应用2.难点：前 n 项和的公式n S 的最值.一、课前预习习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课探究 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 试一试例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为: n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值； 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 模仿练习练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则: S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则: 1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（ ）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 170 D. 2104. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？课后反思。
2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。
第2课时 等差数列的综合应用1．复习巩固等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式．2．掌握等差数列前n 项和的性质及其应用．3．能够利用等差数列的前n 项和公式解决实际应用问题．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母d 表示．(2)公式：数列{a n }是公差为d 的等差数列，则有a n ＝a 1＋______，S n ＝na 1＋________＝________.【做一做1－1】 等差数列{a n }的公差d ＝2，a 1＝1，则( )A ．a n ＝2n ，S n ＝n 2B ．a n ＝n ，S n ＝n 2＋nC ．a n ＝2n －1，S n ＝n 2D ．a n ＝2n －1，S n ＝n 2－n 【做一做1－2】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1B.53 C ．－2 D ．3答案：(1)2 差 公差 (2)(n －1)dn (n －1)2d n (a 1＋a n )2 【做一做1－1】 C【做一做1－2】 C等差数列前n 项和的性质剖析：数列{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和具有下列性质：(1)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ，S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 是公差为n 2d 的等差数列，且有S n ＋S 3n －S 2n ＝2(S 2n －S n )．S n，S2n，S3n不一定成等差数列，这一点要切记！(2)若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1＝d＋d＋…＋d＝nd，S奇S偶＝n2(a1＋a2n－1)n2(a2＋a2n)＝2a n2a n＋1＝a na n＋1.(3)若项数为2n－1，则S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝n－12(a2＋a2n－2)＝n－12×2a n＝(n－1)a n，S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝n2×2a n＝na n，S奇－S偶＝na n－(n－1)a n＝a n(这里a n＝a中)，S奇S偶＝na n(n－1)a n＝nn－1.(4)如果等差数列{b n}的前n项和为T n，则有a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝(2n－1)(a1＋a2n－1)2(2n－1)(b1＋b2n－1)2＝S2n－1T2n－1.题型一等差数列前n项和的性质应用【例题1】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求其前110项之和．分析：本题基本解法是求a1，d或令S n＝an2＋bn，先求S n，再求S110，或利用性质．反思：(1)利用已知求出a1，d，然后再求所求的量，是基本解法，有时运算量大些，如本题解法一．(2)我们也可以利用等差数列前n项和的性质，或利用等差数列通项公式的性质，这两种解法可简化运算，为最优解法，如本题解法三和解法四．题型二实际应用问题【例题2】某长江抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外，还需用20台同型号的翻斗车，平均每辆车要工作24小时才能完成任务．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从附近高速公路上抽调，每隔20分能有一辆车到达，且指挥部最多还可调集24辆车，那么在24时内能否构筑成第二道防线？分析：这25辆车分别完成的工作量按从小到大排起来，组成一个等差数列，计算出这25辆车可以完成的工作量，即这个等差数列的前25项和，如果大于或等于总共需要完成的工作量，就能构筑成第二道防线，否则不能．反思：有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征？(2)是求数列{a n }的通项还是求其前n 项和？(3)列出等式(或方程)求解．(4)怎样求解？(5)答案是怎样的？题型三 易错辨析【例题3】 已知两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别记为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10. 错解：a 10b 10＝S 10T 10＝10＋310＋1＝1311. 错因分析：事实上a 10b 10≠S 10T 10，应是a 10b 10＝S 19T 19. 反思：两个等差数列第n 项的比等于它们前2n －1项和的比，不等于它们前n 项和的比．答案：【例题1】 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知，得⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10， ①②解得d ＝－1150. 代入①，得a 1＝1 099100， 则S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150 ＝110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.解法二：设此等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 解法三：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列． 设其公差为D ，则前10项的和为10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22， ∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120.∴S 110＝－120＋S 100＝－110.解法四：∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2， 又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110. 【例题2】 解：设第n 辆车工作的时间是a n 小时，则有a n －a n ＋1＝2060＝13(小时)， 所以数列{a n }是等差数列，公差d ＝－13，a 1＝24. 如果把所有的25辆车全部抽调到位，所用的时间是2060×24＝8(小时)＜24小时， 则这25辆车可以完成的工作量为S 25＝a 1＋a 2＋…＋a 25＝25a 1＋25×(25－1)2d ＝25×24＋25×242×⎝⎛⎭⎫－13 ＝500(小时)．总共需要完成的工作量为24×20＝480(小时)．由于500＞480，所以，在24小时内能构筑成第二道防线．【例题3】 正解：a 10b 10＝a 10＋a 10b 10＋b 10＝a 1＋a 19b 1＋b 19＝19(a 1＋a 19)219(b 1＋b 19)2＝S 19T 19＝19＋319＋1＝1110.1在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 7＝10，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．45B ．50C ．55D ．602一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( ) A.12，12 B. 12，1 C.12，2 D ．1，123现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．204等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且5523a b =，则99S T ＝__________. 5等差数列{a n }的前m 项和为3，前2m 项和为10，求它的前3m 项和．答案：1．C 2.A 3.B 4.235．解：S m ＝3，S 2m ＝10，又2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，∴2×(10－3)＝3＋(S3m－10)．∴S3m＝21.。
2.3.2 等差数列的前n 项和(二)从容说课“等差数列的前n 项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n 项和公式的认识更为深刻.通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用.在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力.教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点 灵活应用求和公式解决问题.教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标 一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3.会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值. 二、过程与方法1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展. 三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学过程导入新课师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.生 我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式： (1)2)(1n n a a n S +=；(2)2)1(1d n n na S n -+=. 师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究.推进新课［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式.生 我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212d a n d S n -+=n .(*)师 很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢?生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数.生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数.师 为什么?生2 若等差数列的公差为0，即d =0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数.师 说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征?生 它一定不含常数项，即常数项为0.生 它的二次项系数是公差的一半. ……师 对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗?生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?生 当d =0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x d a x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n ,S n )(n =1，2，3，…).师 说得很精辟.［例题剖析］【例】 (课本第51页例4)分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n d a n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x d a x d y )2(212-+= (x ∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页)师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差. 生 它的首项为5，公差为75-. 师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n -1)d =74075+-n . 我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.［方法引导］师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律： ①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值?生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 求得n 的值.师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值?生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 求得n 的值. ［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由n d a n d S n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n 的值. 课堂练习请同学们做下面的一道练习：已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n 2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n =3 402. 2°S n =1 024n +2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小， 令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048+1≈6 804.99. 因为n ∈N *，所以有n =6 805.(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)［合作探究］师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…… ……此表的构成规律是：第n 行恰有n 个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我. 生1 我发现这数表n 行共有1+2+3+…+n 个数，即n 行共有2)1(+n n 个奇数. 师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n 行的构成规律. 生2 根据生1的发现，就可得到第n 行的最后一个数是2×2)1(+n n -1=n 2+n -1. 生3 我得到第n 行的第一个数是(n 2+n -1)-2(n -1)=n 2-n +1.师 现在我们对第n 行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看? 生4 我设n 2-n +1≤2 005≤n 2+n -1，解这不等式组便可求出n =45，n 2-n +1=1 981.再设2 005是第45行中的第m 个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n 行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n +1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值.②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d )n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值. 生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列. 布置作业课本第52页习题2.3 A 组第5、6题.预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？等差数列的前n 项和(二)S n 与函数的联系 例4求S n 最值的方法 学生练习数表问题下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
2.3等差数列的前n项和一、教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能熟练应用等差数列前n项和公式。
过程与方法目标：经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。
情感、态度与价值观目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
二、教学重难点：教学重点: 探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。
教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
三、教学过程：（一）、创设情景，提出问题印度著名景点--泰姬陵，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层。
你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？从而提出问题怎样快速地计算1+2+3+…+100=？（学生思考），著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出1+2+3+…+100=5050 ，介绍高斯的算法。
（二）、教授新课：数学的方法并不是单一的，还有其他的方法计算1+2+3+…+100吗？（学生思考）①老师介绍倒序相加求和法，记S=1+2+3+…+100S=100+99+98+…+1可发现上、下这两个等式对应项的和均是101，所以 2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+ … +（100+1） 2S=101100⨯=10100 S=101002=5050 ②如果要计算1,2,3,…,(n-1),n 这n 个数的和呢？（学生独立思考），老师引导，类似上面的算法，可得S=()12n n+⨯③1,2,3，…,(n-1),n 这是一个以1为公差的等差数列，它的和等于S=()12n n+⨯，对于公差为d 的等差数列，它们的和也是如此吗？首先，一般地，我们称123n a a a a +++⋯+ 为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即123n n S a a a a =+++⋯+类似地：123n n S a a a a =+++⋯+①121···n n n n S a a a a --=++++②①+②： ()()()()1213212n n n n S a an a a a a a a --=++++++⋯++ ∵()()()()121321n n n a an a a a a a a --+=+=+=⋯=+ ∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=公式1 由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-有，()112n n n S na d -=+ 公式2（三）、例题讲解：（1）、利用上述公式求1+2+3+…+100=?（学生独立完成）（2）、例：等差数列{}n a 中，已知： 184,18,8a a n =-=-=,求前n 项和n S 及公差d.（教师引导，师生共同完成）选用公式：根据已知条件选用适当的公式 2)(1n n a a n S +=求出 n S 变用公式：要求公差d ，需将公式2()112n n n S na d -=+变形运用，求d知三求二 等差数列的五个基本量知三可求另外两个 （四）、课堂小结：1、公式的推导方法:倒序求和2、等差数列的前n 项和公式2)(1n n a a n S +=()112n n n S na d -=+3、公式的应用。
