整式乘法平方差公式导学案

《乘法公式——平方差公式》天津南开翔宇学校教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级上册教学设计说明我说课的内容是：《乘法公式——平方差公式》。

本章的学习目的主要是熟练掌握整式的运算，并且这些知识是以后学习分式、根式运算以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。

而本节是整式乘法中乘法公式的首要内容，学生只有熟练掌握了包括平方差公式在内的乘法公式及它的推导过程，才能实现本节乃至本章作为数学工具的重要作用。

因此，在教学安排上，我选择从学生熟悉的求多边形面积入手，遵循从感性认识上升为理性思维的认知规律，得出抽象的概念，并在多项式乘法的基础上，再次推导公式，使原本枯燥的数学概念具有一定的实际意义和说理性；之后安排了一系列的例题和练习题，把新知运用到实战中去，解决简单的实际问题，这样既调动了学生学习的主动性，又锻炼了思维，整个过程由浅入深，在对所得结论不断观察、讨论、分析中，加深对概念的理解，增强学生应用知识解决问题的能力，从而达到较好的授课效果。

数学是一门抽象的学科，但数学是来源于实际生活的。

因此，数学教育的目的是将数学运用到实际生活中去，让学生深切感受到数学是有价值的科学，来源于生活，是其他科学的基础。

本节公式中字母的含义对学生来讲很抽象，是本节的难点，也是学生运用公式解决实际问题的最大障碍，通过巩固练习，让学生逐步体会，为今后学习其他乘法公式做好准备。

乘法公式的逆用就是因式分解的重要方法，因此，在本节补充练习中，已经开始渗透这部分知识，为后面学习因式分解做好铺垫。

本节课设计了一系列学生活动，老师作为辅导者引领学生进入本节的知识结构中，展现了学生自主学习的特点，在思考、讨论、口答、小结等环节中掌握新知。

平方差公式教学设计作为一位杰出的教职工，时常需要准备好教学设计，借助教学设计可以更大幅度地提高学生各方面的能力，从而使学生获得良好的发展。

如何把教学设计做到重点突出呢？以下是小编精心整理的平方差公式教学设计，仅供参考，大家一起来看看吧。

平方差公式教学设计1一、设计思想本节课是围绕“引导学生有效预习”的课题设计的，通过预设的问题引发学生思考，在学生的预习基础上回答相关的问题，产生对整式的乘法、提公因式法和公式法的对比。

让学生充分自主的对知识产生探究，同时利用数形结合的思想验证平方差公式；再通过质疑的方式加深对平方差公式结构特征的认识，有助于让学生在应用平方差公式行分解因式时注意到它的前提条件；通过例题练习的巩固，让学生把握教材，吃透教材，让学生更加熟练、准确，起到强化、巩固的作用，让学生领会换元的思想，达到初步发展学生综合应用的能力。

二、教材分析本节课是运用提公因式法后公式法的第一课时——用平方差公式法分解因式。

它是整式乘法的平方差公式的逆向应用，它是解高次方程的基础，在教材中具有重要的地位。

在教材的处理上以学生的自主探索为主，在原有用平方差公式进行整式乘法计算的知识的基础上充分认识分解因式。

明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，让学生学会合情推理的能力，同时也培养了学生爱思考，善交流的良好学习惯。

三、学情分析本课程所教授的学生程度相对较好，学生已经学习了乘法公式中的平方差公式，本节课是整式乘法的平方差公式的逆向应用，学生在前一阶段的学习中掌握效果较好，为本节课的教学奠定了良好的基础。

同时初二的数学教学以“引导学生有效预习”为小课题，学生已经建立较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。

但是学生的预习与课堂的学习仍需要教师的合理引导和有效掌握，对一些相对落后的学生来说应注重突出重点，分析透彻，所以在教学时充分考虑到学生已经掌握平方差公式的前提，通过问题引发学生思考，提高学生兴趣入手，培养学生的自主探索，合作交流的能力，在轻松的氛围中完成教学任务，从而增强学好数学的愿望与信心四、教学目标（一）知识与技能1．掌握运用平方差公式分解因式的方法。

9.4乘法公式（2）导学案
【学习目标】【学习目标】
1、理解完全平方公式和平方差公式
2、会用完全平方公式和平方差公式进行整式乘法计算
【锚点探究】
探究活动一探索灵活运用乘法公式解题的方法
例1.用乘法公式计算
⑴22)32()32(-+x x (2))
3)(9)(3(2++-x x x (3))4)(4(++-+y x y x (4)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(264+1)
2.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：
1)(a+2b+3)(a+2b-3)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(a-2b+3)(a-2b-3)
4)(a-2b-3)(a+2b-3)5)(3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)6)(x+y+m+n)(x+y-m-n)探究活动二灵活运用乘法公式简便解决问题
例2.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（请尽可能多的填写正确答案）．
例3.已知a=2008x+2004,b=2008x+2005,c=2008x+2006,求a 2+b 2+c 2
-ab-ac-bc 的值。

例4.条件求值：
⑴已知a+b=-2,ab=-15求a 2+b 2.⑵已知：（a+b)2=4,(a-b)2=6，求：①ab ，②a 2+b 2
的值.。

4.3 公式法第1课时平方差公式教学内容第1课时平方差公式课时1核心素养目标1.经历通过整式乘法公式(a + b)(a−b) = a2-b2，的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力.2.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想.3. 通过对运用平方差公式进行因式分解的探究学习，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式.教学重点理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点.教学难点掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入一、创设情境，导入新知如图，在边长为x (x＞5) 米的正方形上剪掉一个边长为5 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？x2- 52 = (x + 5)(x- 5)同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？9x2-y2 = (3x + 5)(3x-y)师生活动：学生举手回答问题.二、小组合作，探究概念和性质设计意图：让学生借助已有的几何知识抽象问题中的数量关系，与前面学习的整式的乘法几何解释相结合，从而激发对本节知识的学习兴趣.知识点一：用平方差公式进行因式分解观察下面两个等式，它们有什么共同特征?预设1：是两数的平方差的形式.想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？师生活动：学生独立思考并回答问题，教师顺势引出本课知识点的探究.定义总结：将乘法公式(a + b)(a − b) = a2-b2反过来，就得到运用平方差公式因式分解运算法则：a2-b2 = (a + b)(a − b)文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.辨一辨下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？(1)x2 + y2×(2) x2 − y2√(2)−x2 − y2×(4) −x2 + y2√(5) x2 − 25y2√(6) 9m2 − 1 √师生活动：学生独立思考并作答，教师放映正确答案并引导学生总结：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成( )2- ( )2的形式.典例精析例1 把下列各式因式分解：(1) 25－16x2；(2) 9a2－14b2.解：(1) 原式＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)三、当堂练习，巩固所学值.师生活动：学生独立完成计算，学生代表发言，教师引导并整理板书解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1∵，∵ x－y＝－2∵.联立∵∵组成二元一次方程组，解得123.2，xy三、当堂练习，巩固所学1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋92. 把下列各式分解因式：(1) 16a2－9b2 = _________________ ；(2) (a + b)2－(a－b)2 = _____；(3) 9xy3－36x3y =_________________；(4) －a4 + 16 =_________________ .3. 已知4m + n = 40，2m－3n = 5，求(m + 2n)2－(3m－n)2的值．4. 如图，在边长为6.8 cm 正方形钢板上，挖去4个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．5. (1) 992－1 能被100 整除吗？(2) n为整数，(2n + 1)2－25 能否被 4 整除？设计意图：加强学生对平方差公式分解因式和二元一次方程的结合.设计意图：考查学生对平方差公式分解因式的运用.设计意图：考查学生对平方差公式分解因式的实际运用.板书设计4.3.1平方差公式。

第一章整式的乘除5 平方差公式（第1课时）一、教学内容分析学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.二、学生情况分析学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.三、教学目标（1）知识与技能经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．（2）过程与方法1、在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力。

2、培养学生观察、归纳、概括的能力。

（3）情感与价值观要求在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；培养学生敢于挑战、勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质.四、教学重点、难点重点：平方差公式的推导和应用。

《平方差公式》教学设计与思考一、教材分析本节课内容选自苏教版初中数学七年级下册第9.4节《乘法公式》的第二课时，从数学知识体系来看本节内容属于数与代数。

从中学教材结构看，平方差公式这一内容是在学习整式乘法的基础上的得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中有着举足轻重的地位。

可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生的化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体，在教材中起着承上启下的作用。

二、学情分析学生在知识方面已经掌握了整式的概念、整式的加减与乘法运算。

在情感态度方面个性活泼、思维活跃，已初步具有对熟悉问题进行合作探究的能力。

在思维能力方面，能较好地利用数形结合的思想解决一些数方面具有一定抽象思维的问题。

三、教学目标1.知识与技能（1）经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。

（2）会运用公式进行简单的乘法运算.2.过程与方法（1）培养学生的语言表达能力，逻辑思维能力，在探索讨论中学会归纳总结。

3.情感态度与价值观（1）注意学生的学习积极性、主动性的调动，增强学生学习数学的信心。

四、教学重难点1.重点会运用公式进行乘法运算。

2.难点a、的广泛含义的理解及正确运用。

公式的推导以及对公式中b五、教法学法1.教法遵循教必须以学为立足点，基于本节课内容的特点和七年级学生的特征。

以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，通过学生的自主探究，加深对公式的理解。

同时考虑到学生的个体差异，在各个环节采用分层教学。

2.学法以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现—归纳验证—应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法。

六、教学过程1.情境导入活动一：演示“数学实验室”启发，引导学生计算图中阴影部分的面积，看通过计算能得出什么结论。

学生分组讨论交流，教师巡回指导。

图1 图2图1 22b a S -= 图2 ()()b a b a S -+= 所以()()22b a b a b a -=-+ 设计意图：在实际背景中创设情境，激发学生的学生兴趣，培养学生的数学表达能力。

第十四章整式的乘法与因式分解平方差公式学习目标：1经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征2灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题重点：掌握平方差公式的结构特征难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题教学过程：一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（ab）mn=ambmambn探究1：从前，有位狡猾的地主把一边长为米的正方形土地租给张老汉种植。

第二年，这地主对张老汉说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，租金不变，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何”张老汉一听觉得也没吃亏，就答应了。

回到家，就把这件事对邻居们一讲，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉很吃惊……那么同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗结合张老汉吃亏的原因，你能根据右图中图形的面积说明平方差公式吗探究2：将长为 ab ,宽为a-b 的长方形,剪下宽为b的长方形条（如图1），拼成有空缺的正方形（如图2），并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积。

验证：利用多项式乘以多项式的法则验证下：归纳总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：1左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；2右边是相同项的平方减去相反项的平方；3公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．平方差公式是多项式乘法abpq,中p=a,q=-b的特殊情形。

方法归纳：一同一反1、等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反项。

2、等号右边是这两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）3、a、b可以代表两个实数、两个字母也可以代表两个式子例题：计算:1 51×49; 2343-4-233-2总结规律，讲解平方差公式中使用的注意点。

课后练习：120错误!×19错误!；2×（3）求23＋132＋134＋138＋1的值．。

平方差公式教案教学设计（优秀7篇）《平方差公式》教学反思篇一教学目的进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。

教学重点和难点：公式的应用及推广。

教学过程：一、复习提问1、（1）用较简单的代数式表示下图纸片的面积。

（2）沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积。

讲评要点：沿hd、gd裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道hd＝bc＝gd＝fe＝a－b，这样裁开后才能重新拼成一个矩形。

希望推出公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）2、（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；（2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异。

说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点：（1）公式具体，易于理解；（2）公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；（3）形式简洁。

但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解。

依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括。

因而也就“欠”明确（如结果不知是谁与谁的平方差）。

故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活。

3、判断正误：（1）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2－3b2；（×）（2）（4x＋3b）（4x－3b）＝16x2－9；（×）（3）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2＋9b2；（×）（4）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2－9b2；（×）平方差公式的教学设计篇二学习目标：1、能推导平方差公式，并会用几何图形解释公式；2、能用平方差公式进行熟练地计算；3、经历探索平方差公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律。