匀速圆周运动临界问题讲义

诚成教育教师一对一讲义
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向心力的来源
向心力可以是某个力的分力，也可以几个力的合力，可以有不同性质的力来提供向心力，如：摩擦力，弹力、万有引力均可提供向心力，它是按力的作用效果来命名的。

分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源。

需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力。

判断向心力的来源
1．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，物体所受向心是（ ）
A ．重力
B ．弹力
C ．静摩擦力
D ．滑动摩擦力
2．如图所示，一圆盘可绕通过圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A ，它随圆盘一起做匀速圆周运动。

则关于木块A 的受力，下列说法正确的是（ ）
A ．木块A 受重力、支持力和向心力
B ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
C ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
D ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
3． 如图所示的圆锥摆中，摆球A 在水平面上作匀速圆周运动，关于A 的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A ．摆球A 受重力、拉力和向心力的作用；
B ．摆球A 受拉力和向心力的作用；
C ．摆球A 受拉力和重力的作用；
D ．摆球A 受重力和向心力的作用。

（第2题） （第1题） （第3题）
4、汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问：
（1）若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
（2）若将公路转弯处路面设计成外侧高，内侧低，使路面与水平面有一倾角α，汽车以多大速度转弯时，可使车与路面间无摩擦力？
5、如图，质量为M 的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆形轨道在竖直面
内作圆周运动。

A 、C 点为圆周的最高点和最低点，B 、D 点是与圆心O 同一水平线上的点。

小滑块运动时，物体M 在地面上静止不动，则物体M 对地面的压力F 和地面对M 的摩擦力有关说法正确的是 ( )
A ．小滑块在A 点时，F ＞Mg ，M 与地面无摩擦
B ．小滑块在B 点时，F ＝Mg ，摩擦力方向向右
C ．小滑块在C 点时，F ＝(M ＋m )g ，M 与地面无摩擦
D ．小滑块在D 点时，F ＝(M ＋m )g ，摩擦力方向向左
6．如图X 6－7所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P 和Q 可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，m P ＝2m Q .当整个装置绕中心轴以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时( )
A ．两球均受到重力、支持力、绳的拉力和向心力四个力的作用
B ．P 球受到的向心力大于Q 球受到的向心力
C ．r P 一定等于r Q 2
D ．当ω增大时，P 球将向外运动
临界问题
1、细绳类
“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

（注意：绳对小球只能产生拉力）
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
mg =2
v m R ⇒ v 临界=Rg
（2）小球能过最高点条件：v ≥
Rg （当v >Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力） （3）不能过最高点条件：v <Rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法
中正确的是 （ ）
A ．球过最高点时，速度为零
B ．球过最高点时，绳的拉力为mg
C ．开始运动时，绳的拉力为2v m L
D ．球过最高点时，速度大小为Lg
变式1、一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。

小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是小球的重力
恰好提供向心力，即2
v mg m r
=，这时的速度是做圆周运动的最小速度
变式2．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ）
A ．是拉力
B ．是推力
C ．等于零
D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零
v · 绳 图6-11-1 v a b v
O 图6-11-5
变式3、长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v 和2v ，细线所受拉力分别为1F 、2F ，则 （ ）
A ．1v =5gL
B ．2v = 0
C ． 1F = 5mg
D ．2F = 0
变式4、绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：
（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？
（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？
2、细杆及轨道类
“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况
（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

）
（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）
（2）当0< v <Rg 时，F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）
（3）当v =Rg 时，F =0
（4）当v >Rg 时，F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）
例1：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端
O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）
A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零
B ．球过最高点时，最小速度为Rg
C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力
O 杆 图6-11-2 b a O
图6-11-3
变式1、如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A ．a 处为拉力，b 处为拉力
B ．a 处为拉力，b 处为推力
C ．a 处为推力，b 处为拉力
D ．a 处为推力，b 处为推力
圆锥摆类型
【例1】如图所示，质量为m 的小球用两根长度均为l 的细线系在竖直轴上的O 、O ’两点，O 、O ’的距离也是l ，当竖直轴以一定的角速度匀速转动时，小球绕轴做匀速圆周运动，试求竖直轴的角速度为多大时，O ’A 绳正好处于伸直状态？
变式1、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的两个水平面做匀速圆周运动，则（ ）
A.球A 的线速度必定大于球B 的线速度
B.球A 的角速度必定小于球B 的角速度
C.球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期
D.球A 对筒壁的压力必定大于球B 对筒壁的压力
a O · b
图6-11-6
变式2、如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动，则它们的( ).
A 运动周期相同
B 运动线速度一样
C 运动角速度相同
D 向心加速度相同
变式3、有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图4-2-13所示中虚线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h ．下列说法中正确的是（ ）
A ．h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大；
B ．h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大；
C ．h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D ．h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大．
变式4、如图所示，已知水平杆长L 1=0.1米，绳长L 2=0.2米，小球m 的质量m =0.3千克，整个装置可绕竖直轴转动，当该装置以某一角速度转动时，绳子与竖直方向成30°角．g 取10m/s 2，求：（1）试求该装置转动的角速度；（2）此时绳的张力是多大？
h
ω L 1 L 2 300。