★定理1★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2★返回★ 向量组与矩阵★ 例1★ 例2第二节向量组及其线性组合内容分布图示内容要点： 一、n 维向量及其线性运算定义1 n 个有次序的数 印卫2,…，码所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量 的n 个分量，第i 个数a j 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动 的有向线段作为向量的几何形象 •引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序 实数），此即上面定义的 3维向量.因此，当n 岂3时，n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时，n 维向量没有直观的几何形象•若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组 •例如，一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷，＞2，…，〉n 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽，…，十称为矩阵A 的行向量组•根据上述讨论，矩阵 A 记为pu A % A =（G I ，C （2,…，U n ）或 A= 1 •"J这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r （A ） ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…，a .）与］=（b,，b 2,…，*）的各对应分量之和组成的向 量，称为向量爲与：的和，记为x 亠1：,，即由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：（a1 _b 1, a2 "2， ，a n - bn ） •定义3 n 维向量〉珂①宀?,…，a .）的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量，称为数 k 与向量二的乘积（又简称为数乘），记为k _：i ，即k ： =（ka i ,ka 2, ,ka n ）.向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律：（1）?■■-■:■； （2） （、• I'） （： ^ ）；（3） 小0-：；（4）： （：） 0；★ n 维向量的概念★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合（5）1：=■'；（6）k（l：）=（kl）：;(2)k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式:s ，对于任何一组实数 k i ,k 2,…，k s ,表达式A 的一个线性组合，k i ,k 2,…，k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A:：1,：2,…，：s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使(7) k(、；、卜)=k ：；亠 kl ，; (8) (k I)： =k ：：£ T ：. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2ami x i ' a m2X 2 ：：「八：:「a mn xn = b ma 2jb 2G j =3(j =1,2，…，n), 3 = al bm 丿则线性方程组(i)可表为如下向量形式：込X 2亠.亠：：皿--线性方程组(i)是否有解，就相当于是否存在一组数成立：定义4给定向量组A q ,。
§4.1 线性方程组解的判定这一节我们利用n 维向量和矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况． 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ，即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出， 于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}． 所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}， 因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．定理2 当线性方程组有解时， (1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解． (2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0思考题：当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ§4.2-4.3 线性方程组解的结构上节解决了线性方程组的解的判定问题，接下来我们进一步讨论解的结构．已经知道，在方程组有解时，解的情况只有两种可能：有唯一解或有无穷多个解．唯一解的情况下，当然没有什么结构问题．在无穷多个解的情况下，需要讨论解与解的关系如何？是否可将全部的解由有限多个解表示出来，这就是所谓的解的结构问题．一. 齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)我们要研究当(1)有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将（1）的解n n k x k x k x ===,,,2211写成行向量的形式),,,(21n k k k性质1 如果α=(c 1，c 2，…，c n )，β= (d 1，d 2，…，d n )是方程组(1)的两个解，则α+β=( c 1+d 1， c 2+d 2，，…， c n +d n )也是(1)的解．证明：因为α=(c 1，c 2，…，c n )与β= ( d 1，d 2，…，d n )都是(1)的解，所以有下列两组等式成立，即a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =0 (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =0 (i =1，2，…， m )两式相加得：a i1(c1+d1)+a i2(c2+d2)+…+a in(c n+d n)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1+d1)，(c2+d2)，…，(c n+d n)是(1)的一个解，即α+β是(1)的解．性质2若α是(1)的解，则kα=( kc1，kc2，…，kc n)也是(1)的解．(k是常数) 证明：因α=(c1，c2，…，c n) 是(1)的解，所以有a i1c1+a i2c2+…+a in c n=0 i=1，2，…，n，两边同乘以k得a i1(kc1)+ a i2(kc2)+…+ a in(kc n)=0这说明(kc1，kc2，…，kc n) 是(1)的解．性质3如果α1，α2，…，αn，都是(1)的解，则其线性组合k1α1+k2α2+…+k nαn，也是(1)的解，其中k1，k2，…，k n是任意数．由性质1、2立即可以推出性质3．由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多个解，那么如何把这无穷多个解表示出来呢？也就是方程组的全部解能否通过它的有限个解的线性组合表示出来．如将它的每个解看成一个向量(也称解向量)，这无穷多个解就构成一个n维向量组．若能求出这个向量组的一个“极大无关组”，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．定义1如果齐次线性方程组(1)的有限个解η1，η2，…，ηt满足：(1) η1，η2，…，ηt线性无关；(2) 方程组(1)的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt线性表出．则称η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组(1)的一个基础解系．问题是，任何一个齐次线性方程组是否都有基础解系？如果有的话，如何求出它的基础解系？基础解系中含有多少个解向量？定理1 如果齐次线性方程组(1)有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有n–r个解向量．其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩．证明：因为齐次线性方程组(1)有非零解，所以r(A)=r<n，对方程组(1)的增广矩阵A施行初等行变换，可以化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000000100001000011212111rn rr n r n r c c c c c c即方程组(1)与下面的方程组同解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x 22112222112212211111 其中x r+1， x r+2，…， x n 为自由未知量 对n –r 个自由未知量分别取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 ，…，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100 ， 可得方程组(1)的n –r 个解．η1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 0 1- --11211 rr r r c c c ，η2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 0 1 0- --22221 rr r r c c c ，…，ηn –r =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 1 0 0- --21 rn n n c c c ， 现在来证明η1，η2，…，ηn –r 就是方程组(1)的一个基础解系． 首先证明η1，η2，…，ηn –r 线性无关． 以解向量η1，η2，…，ηn –r 为列构成矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------++++++1 0 0 0 1 0 0 0 1 212221212111 rn rr rr n r r n r r c c c c c c c c c ，有n –r 阶子式1 0 0 0 0 1 000 0 1 0 0 0 0 1 ＝1≠0，即r (η1，η2，…，ηn –r )=n –r ，所以η1，η2，…，ηn –r 线性无关．其次证明方程组(1)的任意一个解η=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k k 21，是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=----=----=++++++++++++nrn r rr r rr r nn r r r r n n r r r r k c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k 22112222112212211111所以η=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n r r r k k k k k k 2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------++++++++++++++n r r n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r k k k k c k c k c k c k c k c k c k c k c 0 00 0 0 0 21221122221121221111=k r+1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 0 1 11211 rr r r c c c +k r+2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+++0 1 1 11211 rr r r c c c +…+k n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1 0 0 21 rn n n c c c =k r+1η1+ k r+2η2+…+ k n ηn –r ．即η是η1，η2，…，ηn –r 的线性组合．这就说明了η1，η2，…，ηn –r 是方程组(1)的一个基础解系．因此，方程组(1)的全部解为 k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r ．定理的证明过程实际上给我们指出了求齐次线性方程组基础解系的具体方法．由于自由未知量x r +1，x r +2，…，x n 可以任意取值，故基础解系不是唯一的，但两个基础解系所含向量的个数都是n –r 个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意n –r 个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．性质1 非齐次线性方程组(2)的任意两个解的差是它的导出组(1)的一个解． 证： 设α=(c 1，c 2，…，c n )，β= ( d 1，d 2，…，d n )为方程组(2)的两个解，分别代入(2)得a i 1c 1+a i 2c 2+…+a in c n =b i (i =1，2，…， m ) a i 1d 1+a i 2d 2+…+a in d n =b i (i =1，2，…， m )两式相减得：a i 1(c 1–d 1)+a i 2(c 2–d 2)+…+a in (c n –d n )=0 (i =1，2，…， m )这表明 (c 1–d 1)，(c 2–d 2)，…，(c n –d n )是(1)的一个解，即α–β是(1)的解．性质２ 非齐次线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解的和是非齐次线性方程组(2)的一个解．证明方法与性质1的证明方法相同． 由性质1、性质２可得定理2 设γ0是非齐次线性方程组(2)的一个解，η是导出组(1)的全部解，则γ=γ0+η是非齐次线性方程组的全部解．证明：由非齐次线性方程组解的性质２可知，γ=γ0+η 是方程组(2)的解． 下面证明方程组(2)的任意一个解γ＊都可以表示成γ0+η0，其中η0是齐次线性方程组(1)的某一个解．因为γ＊、γ0都是非齐次线性方程组(2)的解，由非齐次线性方程组的解的性质1可知γ＊–γ0是导出组(1)的解．令η0=γ＊–γ0则η0是齐次线性方程组(1)的某一个解，且,00*ηγγ+=因η是齐次线性方程组（1）的全部解，所以非齐次线性方程组(2)的任意一个解都包含在γ=γ0+η中，这就证明了γ=γ0+η是非齐次线性方程组(2)的全部解．由此定理可知，如果非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解(特解)γ0，并求出其导出组的基础解系η1， η2，，…， ηn –r ，则非齐次线性方程组的全部解可表示为η0=γ0＋k 1η1+ k 2η2+…+ k n –r ηn –r其中k 1，k 2，…，k n –r 为任意数．如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有唯一解，如果其导出组有无穷多解，则它也有无穷多解． 思考题：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----023*********02100121的各行向量都是齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=++++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解向量，问这４个行向量能否构成基础解系？假如不能，这４个行向量是多了还是少了，假如多了，如何去掉？假如少了又如何补充？。
