n维向量及其运算

一、n 维向量空间的概念
几何空间中：
a : OP (a1, a2, a3)
点P的坐标
n 维向量空间
n 维向( R量n:): 有(a1序,a2数,组,a)n )
(
的分量
n 维行向量
n 维列向量 :
b1
b2
实（复）向量 :
bn
分量为实（复）数
同时,我们可以将行向量看成一行矩阵,列向量看成
x1
b1
即 (1, 2 , , n ) X b,
X
x2
,
b
b2
AX b.
xn
bm
二、 Rn 的子空间
定义 若
V Rn,且， V , k R, 有 V , k V ,
则称V是 Rn 的一个子空间.
例1 设V = {(x1, x2) | x1+x2 = 0 }, V是否 是 R2 的子空间？
一列矩阵.对于矩阵A=(aij )mn中的每一行(ai1, ai2 , , ain ) (i 1, 2, , m)都是n维行向量, 称为矩阵A的行向量.
因此, 矩阵A可表示为
1
A
ห้องสมุดไป่ตู้
2
,
其中1,
2
,
m
, m为矩阵A的行向量.
a1 j
同理,A的每一列
a2
j
(
j
1,
2,
amj
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11
a12
a1n b1
即
x1
a21
x2
a22
xn
a2n
b2
,
am1
am2
amn bm
即 x11 x22 xnn b,
乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系 后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对 应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
{(a1, a2 , a3) | a1, a2 , a3 R}
即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而， 点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直 线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的 语言来刻划。
(2) 向量的数乘运算满足
1) 1 =; 2) k(l ) l(k ) (kl);
(3) 向量的线性运算成立分配律
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
线性方程组与n维向量的线性运算：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
, n)是m维列向量,
称为A的列向量.故A也可以表示为
A=(1,2, ,n ) 其中1,2, ,n为A的m维列向量.
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
ππ
( ) (π2 π2)
机身的水平转角 (0 2π)
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
=a1(1, 0, , 0) a2 (0,1, , 0) an (0, 0, ,1) =(a1, 0, , 0) (0, a2, , 0) (0, 0, , an ) (a1, a2 , , an )
例4
设1
(2, 4,1, 1),2
(3,
1, 2,
5 ), 如果 2
向量满足 31 2( 2 ) 0,求向量.
第三章 向量组的线性相关性
本章将介绍n维向量的基本概念及其运 算，讨论n 维向量的线性相关性，并利用 矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性 相关性。这些都是线性代数和近代数学中 的最基本概念和基本性质，并为学习后面 的内容提供了必要的预备知识。
§3.1 n维向量及其运算
在空间(或平面)解析几何中，从有向线段出发， 引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …,
bn)
= ai =
零向量：
= (0, 0, …b,i 0)
负向量：
- = (-a1, -a2, …,
Rn :
n-a维n 向) 量的全
体n维. 向量的线性运算:
解: 由题设条件,有 31 2 22 0
所以
3 2
1
2
3 2
(2, 4,1, 1)
(3, 1, 2,
5) 2
=(6,-5,- 1 ,1) 2
= (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, +bn)=，(a1 +b1, a2 +b2, …,
an+ bn),
k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足
1) 交换律 ; 2) 结合律 ( ) ( ); 3) 对任一向量 , 有 0 ; 4) 对任一向量 , 有 ( ) 0;
例2 设V = {(x1, x2) | x1+ x2 = 1 }, V是 否是 R2 的子空间？
例 3 称1 (1, 0, , 0),2 (0,1, , 0), ,n (0, , 0,1) 为n维单位坐标向量组,求a11 a22 ann.
解: 由向量的加法和数乘运算得
a11 a22 ann