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线性代数n维向量空间小结

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线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结1.a j：向量α的第j个分量。

2.n维实向量空间：全体n维实列向量构成的集合及其上定义的向量。

的加法和数乘运算的合称。

Ps：1.全体n维行向量构成的集合记为R1*n；2.R2即2维空间。

3.R n的子集：多个n维实向量构成的一个集合。

4.V是R n的子空间：V具有下列性质的R n的子集。

设V?R n是一个非空集合，V满足：（1）若α、β∈V，则α+β∈V;（2）若γ∈V，k∈R，则kγ∈V；5.齐次线性方程组的解空间：齐次线性方程组的全部解向量构成的合。

6.向量组：多个相同维数的向量组成的集合。

7.线性组合：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，以及数k1，k2，…，k m，称向量β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）为向量组A的一个线性组合。

8.张成：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，由A的全体线性组合构成的集合。

Ps；（1）记为Span（α1，α2，…，αm）={k1α1+k2α2+…+k mαm}；（2）张成是一R n的一个子空间；9.向量β能由向量组A线性表示：给定n维向量组A：α1，α2，…，αm和n维向量β，若存在m个数k1，k2，…，k m，使β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）10.线性方程的三中表示：（1）矩阵方程Ax=b；（2）向量方程x1α1+x2α2+…+x nαn=β；（3）一般式方程；11.线性相关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k不全为0）；线性无关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k全为0）；12.线性相关的几何解释；（1）若向量组A：α1，α2线性相关，则它们共线：（2）若向量组A：α1，α2α3线性相关，则它们共面。

，13.向量组A线性相关的充要条件为R（A）＜n（即齐次线性方程组有非零解）；向量组A线性无关的充要条件为R（A）=n（……只有零解）。

Ps：秩：R（A）为系数矩阵的行阶梯形的非零行个数。

4.1 n 维向量空间

4.1 n 维向量空间

ai bi , i 1,2,, n
零向量 负向量
0 (0,0,,0)
(a1 ,a2 ,,an )
三维向量的线性运算满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
是否是 R2 的子空间？
x1 , x2 , x1 x2 0,
y1 , y2 V1
y1 y2 0,
x1 y1 , x2 y2 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) 0
V1
x1 , x2 , R, x1 x2 0, V1
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
n 维向量的线性运算也满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
则 0 或a1 a2 an 0
0或 0
线性方程组的矩阵表示:
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
a1n b1 a11 a12 a a 21 x 22 x a 2 n b2 x1 2 n a a a b m1 m2 mn m
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k

线性代数n维向量空间小结

线性代数n维向量空间小结

A 0
9
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
解之,得 k0 k1 k2 knr 0,
故 , 1, 2 ,, nr 线性无关.
35
(3)设X为方程组AX B的任一解,则X可表为
X t11 t22 tnrnr t1( 1 ) tnr ( nr ) (1 t1 tnr) t1( 1) tnr ( nr)
零解,则对任意向量 ,都有
23
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
由k1 , k 2 ,, k r 不全为零得知:
1 t1 , 2 t 2 ,, r t r
线性相关.
24
例3 已知向量组 1 , 2 ,, s的秩是r,证明: 1 , 2 ,, s中任意r个线性无关的向量均构成它的
k11 k22 knrnr 0,
k1 k 2 k nr 0,
于是 ,1, 2, , nr线性无关.
34
(2)由线性方程组解的性质知 i (i 1,2,
,n r)都是AX B的解,再证它们线性无关.
令 k0 k1( 1) knr ( nr) 0, 则(k0 k1 knr) k11 knrnr 0, 由(1)的证明知 ,1,2 ,,nr 线性无关,所以

n维向量空间 (2)

n维向量空间 (2)

n维向量空间简介在数学中，向量是一个多维度的数学对象，用于表示方向和大小。

而n维向量空间则是由n个向量组成的空间，可以用于描述和计算n个变量之间的关系。

n维向量空间在各种学科和领域中都有重要的应用，例如线性代数、计算机图形学和机器学习等领域。

本文将介绍n维向量空间的基本概念、性质和常见操作。

基本概念向量一个向量可以由一组有序的数值表示，这组数值被称为向量的分量。

向量通常用小写字母加粗表示，例如v。

在n维向量空间中，一个向量可以表示为：v = (v₁, v₂, …, vₙ)其中v₁, v₂, …, vₙ是向量的n个分量。

n维向量空间n维向量空间可以由n个向量组成，记为{v₁, v₂, …, vₙ}。

这些向量可以是任意长度的向量，但在n维向量空间中，它们的维度必须相同。

n维向量空间中的向量可以进行向量加法和数乘运算。

向量加法是指将两个向量的对应分量相加，数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个标量。

性质n维向量空间具有以下性质：1.封闭性：对于任意两个向量v和w，它们的和v+w仍然是n维向量空间中的向量。

2.交换律：向量加法满足交换律，即v+w = w+v。

3.结合律：向量加法满足结合律，即(v+w)+u =v+(w+u)。

4.数乘结合律：数乘满足结合律，即(a b)v = a(b v)。

5.分配律：数乘和向量加法满足分配律，即a(v+w) =a v + a w 和 (a+b)v = a v +b v。

常见操作向量点乘在n维向量空间中，可以对两个向量进行点乘运算。

点乘（也称为内积或数量积）的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角。

向量点乘的计算公式如下：v·w = v₁w₁ + v₂w₂ + … + vₙwₙ其中v和w分别是n维向量空间中的向量，v₁, v₂, …, vₙ和w₁, w₂, …, wₙ是它们的分量。

向量叉乘除了点乘，n维向量空间还可以进行向量叉乘运算。

向量叉乘（也称为外积或矢量积）的结果是一个新的向量，垂直于原来的两个向量。

北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间

北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间

n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，

, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．

n维向量空间

n维向量空间
(1) 加法：
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量

线性代数-n维向量

第三章 n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2

线性代数--向量空间


dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2

数学线性代数n维向量空间

A = (α1, α2 ,L , αm )，°A = (α1, α2 ,L , αm , β)。
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解

线性代数-知识点总结part 2

线性代数知识点总结—part 2三、向量组的线性相关与线性方程组（1）n 维向量记为a=(a 1,a 2……a n )第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。

（2）向量加减法按照对应项相加减。

（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组0 ,0 ,,,;,0 ,,,,,,, 3.42122112122112121。

可以推出称为线性无关，如果由一向量组则称该向量组线性相关使全为零的数如果存在不给定向量组定义=====+++=+++m m m m mm m m k k k k k k k k k k k k ΛρΛΛρΛΛΛαααααααααααα（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。

（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。

（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。

唯一表示。

可由线性相关，则，线性无关，而设mm m αααββαααααα,,,,,,,,, 212121ΛΛΛ向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=n n T T a a aa a a A M MML L M 222211121121αα（7）若（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。

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,
m
1 1
0 1
1 0
1
1
1
1
1
0
1,2, ,m P
P 0，等价，秩相等。
13
典型例题
一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法
14
一、向量组线性关系的判定
研究这类问题一般有两个方法
方法1 从定义出发
令 k
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
方法类似：
1 0 1
l 2
1, m3
2,1
3
＝1
,
2
,
3
l 0
1 m
01
P
当 P lm 1 0，可逆时，两向量组等价，无关。
12
4. 1 2 3 m,2 1 3 m, ,
m 1 2 m1，判定两向量组秩的关系。
0 1 1 1
解: 1, 2,
, m 1,2,
判断是最大无关组：任意“n个” “线性无关”的“n维 向量”都是 n 的最大无关组。
6
例：1, ,n n无关 任一n维向量可由1, ,n线性表出；
证：) : 是最大无关组，显然。
)
: 1，
,
可由其表出；
n
1，
, n可由1，
,
表出；
n
等价。所以秩相等。
结论:设向量组T的秩为r，则T中任意r个线性无关
1, ,m (m 2)相关 至少有一个向量可由
其余m 1个线性表出
可由1,
,
线性表出，则表达式唯一
n
1,
,
线性无关。
n
4
(2) 线性表出：
x11 x22 xnn“, 有数”就行
可由1,
,
线性表出
n
AX 有解，A (1, ,n )
R( A) R( A)
秩(1, ,n ) 秩(1, ,n, )
k1
k3 0,
2 k1 2 k2 0,
()
3 k1 5 k2 2 k3 0.
线性方程组()的系数行列式
1 0 1 2 2 0 0, 3 5 2
线性方程组()必有非零解,从而 1, 2 , 3
线性相关.
19
解二
1
1 2
,
2
0 2
1
, 3 0 ,
3
5
2
a11
a21
am1 0
k1
a12
k2
a22
km
am2
0
a1n
a2n
amn 0
整理得线性方程组
15
a11k1 a21k2 am1 km 0,
a12 k1 a22 k2 am2 km 0,
()
a1n k1 a2n k2 amn km 0,
1 0
1 1
0 1
P
当 P 0，
1,2,3 1＋2,2＋3,3 1 P1
所以向量组1＋2,2＋3,3 1与1，2，3等价。 当 P＝0时，R(1 2,2 3,3 1)
min R1,2,3 , R(P) 3
11
此方法对很多问题都有效：
3. 1,2,3线性无关，问l, m满足什么条件时， l2 1, m3 2,1 3线性无关。
矩阵A
(
1 ,
2
,
3)
1 2
0 2
1 0 ,
3 5 2
20
1 0 1 初等行变换 1 0 1
A 2 2 0 ~ 0 2 2
第四章 n维向量空间小结
n维向量空间 线性方程组
主要内容：
一．两个重要概念：
线性相关性：
本质上考察 x11 x22
xnn 0
是否“只有”x1＝ ＝xn＝0 时成立；
线性表出：
× 例如:任意向量组，0 1+ +0 n 0 1, ,n线性无关。
2
二、 (1) 向量组1,2,
,
线性相关
“向量组的秩”即为“矩阵的秩”.
对于非齐次线性方程组,首先有没有解，
有唯一解 1, ,n线性无关，R( A) n.
5
三、最大无关组，向量组的秩
最大无关组的两个等价命题： 命题1：(1)线性无关；
(2) 向量组中任何一个可由它们线性表出； 命题2：有r 个线性无关，任意r+1个则相关； 和矩阵的秩类似：有r阶子式≠0，任意r+1阶子式＝0.
8
1. b Rn, Ann X b有解 A 0
任意向量b都可以由A的列向量组线性表出,
1， ,n Rn 线性无关 任一n维向量均可由
其线性表出.
a11x1 a12x2 a1n xn 0
2.
ai1x1
ai2 x2
ainxn 1 对i 1, 2, n都有解
an1x1 an2x2 ann xn 0
若线性方程组()只有唯一零解,则 1 , 2 , , m 线性无关.
若线性方程组()有非零解,则 1 , 2 ,, m
线性相关.
16
方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定
给出一组n维向量1, 2 ,, m ,就得到一个 相应的矩阵A (1, 2 ,, m),首先求出R( A).
若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性相关.
17
例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1
1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
3 5 2 0
18
整理得到
n
AX 0有非零解，A (1, ,n )
R(A) n
n : 未知量个数，向量个数。 矩阵的秩就是向量组的秩。 向量组线性相关 向量组的秩 < 向量个数
3
相关结论：
一个向量线性无关 非零向量 两个向量线性无关 不成比例 向量个数 > 向量维数 相关 部分相关 整体相关，整体无关 部分无关
的向量均为T的最大无关组。
关于向量空间和子空间: 基，维数。
组(I)无关，组(I)可由(II)表出， 则组(I)的个数<组(II)的个数。
7
四、 X AX 0解空间，维数：n - R(A)
任n R(A)个线性无关的AX 0的解向量均为 AX 0的基解系。
x k11 k22 krt
其中k1, k2 , , kt是任意常数.