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n维向量

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3.2 n维向量空间

3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量

α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；

(完整版)2.3n维向量的概念

(完整版)2.3n维向量的概念
第三章 第一讲
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．

第二章 n维向量

第二章 n维向量

2
k m
2
m m
1 1 0
0
向量组 1 , 2 , , m 线性相关
.
性质2: 两个向量线性相关 的充要条件是它们的 各对应分量成比例.
证明 : 设两个向量 比例系数为 k,则
1 , 2的各对应分量成比例
,

2
k 1
第二章
n 维向量
§1. n维向量 的概念 §2.向量组的线性相关性 §3.向量组的秩 §4.向量空间
§ 1. n维向量的概念
定义1：n个有顺序的数 a 1 , a 2 , , a n 组成的有 序数组记为 ( a , a , , a ) ，称为n维向量. 数 a ( i 1, 2 , n ) 叫做它的第i个分量. 用小写希腊字母，，，…来表示n 维向量，即 ( a , a , , a ) .
注意:
1. 两个向量只有维数相等,才有相等或不 相等的概念. 例:维数不等的零向量是不相等的. 2. 两个向量只有维数相等,才可能进行加法 或减法运算. 思考:为什么向量不定义向量间的乘除法?
§2.向量组的线性相关性
1 , 2 , , m , 都是n维向量，如果 设 存在一组数 k 1 , k 2 , , k，使得 m
即
k , 1不全为零
k 1 ( 1) 2 0
, 1 , 2 线性相关
.
k1 , k 2 ,
反之 , 设 1 , 2 线性相关 使得
, 按定义 , 有不全为零的数
2
k 1 1 k 2
k2 k1
0,
不妨设 k 1 0 , 则 1
2 , 证毕

n维向量空间

n维向量空间
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1

第四章 n维向量

第四章 n维向量

§4.2
向量组的线性相关性
可写成
( a1 a 2
x1 x2 an ) =b xn
即
x1a1 + x2a 2 + + xna n = b ,
T
其中a j = (a1 j , a2 j ,, amj ) ( j = 1,2,, n)
b = (b1, b2 ,, bm )T
§4.2
向量组的线性相关性
给定向量组T：a1,a2, …,am和向量b, 如果存在一组 实数 k1 , k2 , … , km , 使 b = k1a1+k2a2+…+kmam 则称向量 b 是向量组T的线性组合或称向量 b 可由向 量组 T 线性表示 例4.5 若记 e1=(1,0, …,0),e2=(0,1, …,0)，…，en=(0,0, …,1)
分量全是实数的向量叫做实向量，
分量是复数的向量叫做复向量。
§4.1 n 维向量及其线性运算
注： 1.a = ( x1 ,x2 , … ,xn) ——n维行向量；
x1
a=
x2
——n维列向量;
xn
2.若向量的所有分量都等于0，则称该向量为零向 量，在不引起混淆的情况下，简记为0.
§4.1 n 维向量及其线性运算
的n+s维 向量组b1,b2, …,bm仍线性无关。
§4.3 向量组的秩
§4.3
向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
定义4.5 设向量组T的一个部分组 {a1 , a 2 , , a r } T， 若满足 (1) a1 , a 2 , , a r 线性无关；
(2)向量组T 中每一个向量均可由 {a1 , a 2 , , a r } 线性表示 则称 {a1 , a 2 , , a r } 是向量组T的一个极大

第4章 n维向量空间

第4章 n维向量空间
T
# 实 向 量 a : 向 量 a的 分 量 都 是 实 数 ; # 复 向 量 b : 向 量 b的 分 量 都 是 复 数 。 定 义 4 . 1 所 有 n维 实 向 量 ( r e a l v e c t o r )的 集 合 称 为 , n维 实 向 量 空 间 ， 记 为 ， 即
例 4.1 判 断 向 量 β = -3, 2, 0, 5 是 否 可 由 向 量 ,
T
e 1 (1, 0, 0, 0 ) , e 2 ( 0, 1, 0, 0 ) ,
T T
e 3 ( 0, 0, 1, 0 ) , e 4 ( 0, 0, 0, 1 )
T
T
线性表示。 解 因 = - 3 e 1 2 e 2 0 e 3 5 e 4， 所 以 β 可 由 e 1 , e 2 , e 3 , e 4

T
a1 a2 a n

复习若干概念： # 向 量 α a1 , a 2 , , a n

T
和 β b1 , b 2 , , b n

T
相等
对应分量都相等 a i bi 1 i n # 向 量 α , β的 和 : α β a 1 b2 , a 2 b2 , , a n bn # 向 量 0 ,0 , , 0 称 为 零 向 量 ， 用 O 表 示 。
即 ： x1 α1 x 2 α 2 x m α m β
定 理 4.1 ( 1 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) ( 2 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 惟 一 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) m 。 证 (1 ) β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 x1 α1 x 2 α 2 x m α m 方 程 组 A X β 有 解 其中A 存 在 m 个 数 x 1 , x 2 , , x m ， 使 得

第二三节n维向量

第二三节n维向量线性方程第二节线性方程一,向量的概念定义n个数组成的有序数组α=(a1,a2,,an)称为维向量.一个n维向量.的分量或坐标.a1,a2,,an称为向量α的分量或坐标.行向量α=(a1,a2,,an)a1a2α=an列向量或α=(a1,a2,,an)T线性方程维向量.一般用希腊字母α,β,γ等表示n维向量.分量全部为零的向量称为零向量,分量全部为零的向量称为零向量,记为θ.向量可视为特殊的矩阵,因此,向量的相等加减法,相等,向量可视为特殊的矩阵因此向量的相等,加减法,数乘等概念完全与矩阵相同等概念完全与矩阵相同.数乘等概念完全与矩阵相同设α=(a1,a2,,an),β=(b1,b2,,bn),则α+β=(a1+b1,a2+b2,,an+bn),kα=(ka1,ka2,,kan).线性方程向量的线性运算满足以下八条运算律:向量的线性运算满足以下八条运算律:(1)α+β=β+α(2)α+(β+γ)=(α+β)+γ(3)α+θ=α(4)α+(α)=θ(5 )(k+l)α=kα+lα(6)k(α+β)=kα+kβ(7)(kl)α=k(lα)(8)1α=α维向量,为实数.其中α,β,γ都是n维向量k,l为实数4线性方程除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:(1')0α=θ,kθ=θ(其中0为数零,k为任意数);(2')若kα=θ,则或者k=0,或者α=θ;(3')向量方程α+某=β有唯一解某=βα.移项规则例1设3(α1α)+2(α2+α)=5(α3+α),其中α1=(2,5,1),α2=(10,1,5),α3=(4,1,1),求α.解3α13α+2α2+2α=5α3+5α,6α=3α1+2α25α3,1α=(3α1+2α25α3)=(1,2,3).6线性方程练习:练习:P141习题三线性方程第三节线性方程一,向量组的线性组合定义给定n维向量α1,,α和β,若存在个数k1,,k,使β=k1α1++kα,则称β是向量的一个线性组合组α1,,α的一个线性组合,或称β能被向量组α1,,α线性表示(线性表出).线性表示(线性表出)如果向量组(如果向量组(Ⅰ)α1,,α中每个向量均可由向量组(量组(Ⅱ)β1,,线性表出,则称向量组(βt线性表出,则称向量组(Ⅰ)可由向量组(线性表出;向量组(Ⅱ)线性表出;如果两个向量组可以互相表出,则称等价.如果两个向量组可以互相表出则称等价.则称等价8线性方程例如,例如β=(2,1,1),α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1),因为β=2α1α2+α3,的线性组合,即β是α1,α2,α3的线性组合线性表示.或者说β可由α1,α2,α3线性表示零向量能被任何向量组α1,,α线性表示:线性表示:θ=0α1++0α.中每个向量可被该向量组线性表示:向量组α1,,α中每个向量可被该向量组线性表示:αj=0α1++1αj++0α.9线性方程称ε1=(1,0,,0),ε2=(0,1,,0),,εn=(0,0,,1)为n维基本单位向量组.维基本单位向量组.任意一个n维向量α=(a1,a2,,an)都能被向量线性表示:组ε1,ε2,,εn线性表示:α=a1ε1+a2ε2++anεn.线性方程某1b1某2b2对线性方程组A某=b,某=,b=,某bnn将系数矩阵A分裂成列向量A=(α1,α2,,αn),则方程组改写为某1α1+某2α2++某nαn=b,解的问题,线性方程组A某=b解的问题,等价于常数列b被A的列向量组线性表示的问题.列向量组线性表示的问题.线性表示的问题线性方程1122例1设α1=0,α2=2,α3=1,β=5,1104线性表示β能否由α1,α2,α3线性表示11221122解(α1,α2,α3,β)=0215→0215,11040022某1=1某2=3,∴β=α1+3α2α3.某=1312线性方程例2设向量组α1=(1,4,0,2),2=(2,7,1,3),αTTα3=(0,1,1,a)T,β=(3,10,b,4)T,问:a,b满足什么条件时,(1)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示法唯一;线性表出,且表示法唯一;(2)β不能由α1,α2,α3线性表出;线性表出;(3)β可由α1,α2,α3线性表出,但表示法不唯一,线性表出,但表示法不唯一,并求一般表达式.并求一般表达式.解1402122030371100112→011b11b01a23a4线性方程1212030301120112→→00a01b2,0011b01a200a01b20(1)b≠2时,β不能由α1,α2,α3线性表出;线性表出;(2)b=2且a≠1时,β可由α1,α2,α3唯一表出;唯一表出;(3)b=2且a=1时,β可由α1,α2,α3线性表出;线性表出;但表示法不唯一.但表示法不唯一.线性方程二,向量组的线性相关性定义设向量组α1不全为零的,,α,若存在个不全为零的数k1,,k,使k1α1+k2α2++kα=θ,线性相关,则称向量组α1,,α线性相关,线性无关.否则称向量组α1,,α线性无关.线性方程242121例3设α1=,α2=,α3=,354141有3α1α2α3=θ,于是α1,α2,α3线性相关.线性相关相关.包含零向量的向量组一定线性相关:包含零向量的向量组一定线性相关0α1++1θ++0α=θ.单个向量线性相关当且仅当它为零向量:单个向量线性相关当且仅当它为零向量kα=θ,k≠0α=θ.16线性方程定理在≥2情况下,向量组α1,,α线性相关的充分情况下,必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示.必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示.其余向量线性表示证若α1,,α线性相关,即存在不全为零的数k1,,k,线性相关,k1α1+k2α2++kα=θ,k2k不妨设k1≠0,则α1=α2α,k1k1线性表示;即α1可由α2,,α线性表示;使反过来,线性表示,反过来,不妨设α1可由α2,,α线性表示,即α1=k2α2++kα,于是1α1+k2α2++kα=θ,17线性相关.故α1,,α线性相关.线性方程线性无关的含义的含义:向量组α1,,α线性无关的含义:由k1α1+k2α2++kα=θk1=k2==k=0定理设α1,,α为列向量,则向量组线性相关为列向量,(线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组线性无关非零解,有(无)非零解无非零解A某=θ其中A=(α1,,α).这又取决于r(A)<或r(A)=.18线性方程例4判断下列向量组的线性相关性:判断下列向量组的线性相关性103130(1)α1=,α2=1,α3=7,24214(2)解α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,6),10310103130→033→010******* 00022421431,0019线性相关.r(A)=2<3,线性相关.。

线性代数2.2n维向量


06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意 标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个 新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当 这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和 标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例 如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像 处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大 小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个 标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如 果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则 两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反 。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直 关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且 该向量组可以生成整个向量空间，则 该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、 向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵 形式，便于求解。

第二章n维向量


解：
A
1
2
3 4
1 2 2 1
1 1 3 3
1 3 2 1
1 2 2 1
2
1
3 5
0 0 0
1 1 1 2
1 1 0 2
1 0 0 0
2
1
1
2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
A 0
0 0
1 1 2
1 0 2
0 0 0
1
1
2
0
0 0
1 0 0
解：设k11 k22 k33 O 即 (k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 O
1,2 ,3
k1
线性无关，
k2 k3 0
k1 k3 1, 2
0 ,
3k1线性k2无关0.
k2 k3 0
例3：设向量组 1,2 , ,m 线性无关，且
1 2 m
k2 km 0
01 1
k1
k3
km
0
系数行 1
列式为
0
1 (m 1)(1)m1 0
(m 1)
k1 km1 0
11 0
向量组 1, 2 , ， m线性无关。
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 , ,r (II ) : 1, 2 , , s
也线性无关。 用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
证明：
1 a11 a12
A
2 m
a21 am1
a22
am2

第二章 n维向量


第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
4. 矩阵等价与向量组等价
a11 a 21 A= ⋯ a m 1 a12 ⋯ a1n b11 初等行 b21 a 22 ⋯ a 2 n 初等行变换 B= ⋯ ⋯ ⋯ 初等行变换 初等行 ⋯ a m 2 ⋯ a mn bm 1
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向 组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由 例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由 但 线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
0 0 … … 1
.
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n 任何一个n维向量
α=
a1 a2 an … …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, 线性表示. 事实上,
α = a1
1 0 … … 0
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 推论2.4. 若α1, α2, …, αs线性相关, 线性相关, 则α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt也线性相 关. 反之, 反之, 若α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt线性 无关, 无关, 则α1, α2, …, αs也线性无关. 线性无关.
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当n维向量α记为α＝（a1, a2, …, a n）时，称 它为n维行向量。行向量其实就是行矩阵。当n
维向量α记为
⎡a1 ⎤
α
=
⎢ ⎢
a
2
⎥ ⎥
⎢#⎥
⎢⎢⎣a n ⎥⎥⎦
时，称为n维列向量。列向量其实就是列矩阵。
行向量和列向量可以通过转置运算互换。若单 就向量的概念而言，它强调的是n个数排成的 有序数组，它可以排成行向量的形式，也可以 排成列向量的形式。
定义2 设α＝（a1, a2, …, an），β＝（b1, b2, …, bn）是两个n维向量，如果这两个向量的 对应分量相等，即
aj＝bj, ( j＝1, 2, …， n ) 则称α＝β。分量全为0的向量称为零向量，记
为0。
定义3 设α＝（a1, a2, …, a n）， β＝（b1, b2, …, b n）
注意：n维向量作为3维向量的直接推广, 有很多性质是和3维向量类似的。但是， 三维向量可以用空间中的有向线段直观 地表示出来，而n维向量（当n > 3时）就 没有这种直观的几何意义了，只是沿用 几何的术语而也。以后大家在学习n维向 量的性质时，如果要分析其几何意义，
那么最好是回到三维的情形来思考。
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为 向量α，β的和，记为α＋β。即
α＋β＝（a1 + b1, 2 + b2, …, a n + b n）。 （2）向量（λa1, λa2, …, λa n）称为数λ与向量
α的乘积，记为λα或αλ，即
第三章 向量组的线性相关性
第一节 n维向量
定义1 n个有顺序的数a1, a2, …, a n所组成的有序数 组
α＝（a1, a2, …, a n） 称为n维向量。数a1, a2, …, an叫做向量α的分量， ai称为向量α的第i个分量。若一个向量的分量都为 实数，则称此向量为实向量；若向量的分量为复 数，则称此向量为复向量。本章只讨论实向量。一 般小我写们字用母小αG ,写βG黑, γG体…字…母表α示,β向，量γ。…… 或带箭头的
λα＝αλ＝（λa1, λa2, …, λa n）。 （3）向量（−a1, −a2, …, −a n）称为向量α的负向
量， 记为－α，即:－α＝（−a1, −a2, …, −an）。 求向量的和向量的运算称为向量加法，求数与向
量的乘积运算称为向量乘数或向量的数乘。向量的加 法和向量的数乘运算统称为向量的线性运算。
当对向量进行运算时，我们实际上是把行向量 和列向量分别看成是行矩阵和列矩阵来进行运 算的，因此这时α和它的转置向量αT是两个 不同的向量。行向量即行矩阵，列向量即列矩 阵。
对于一个m行n列的矩阵A，它的每一行 都是一个n维向量，而其每一列都是一个 m维向量，我们分别称之为A的行向量和 列向量。