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n维向量组a1a2a3a4线性相关线性相关，指的是两个或多个变量之间存在着一定程度上的相关性。
只要任意两个变量间有任何线性关系，它们就被认为是线性相关的。
维向量组a1a2a3a4之间存在线性相关性，那么关于它们的内容有：1. 维向量组a1a2a3a4可以表示为m维空间里的n个线性方程，即a1、a2、a3、a4都可以表示为：$x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3 + x_4c_4 = 0$ 。
2. a1a2a3a4之间的线性关系可以表示为：一个变量值的变化会改变其他变量的值，或者说某一变量的变化会引起其他变量的变化。
3. 根据a1a2a3a4的线性相关性，在满足一定约束条件时，可以求出4个变量之间的相对关系。
4. a1a2a3a4之间的线性相关性包括两个方面：一是它们本身存在线性关系，二是它们之间存在线性关系。
5. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以通过线性回归分析等方法来进行评估和确定。
6. 定量分析维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性，可以通过Kendall系数法，Spearman等秩相关系数等方法来测定。
7. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以用多元线性回归模型进行预测和分析，来验证其定量分析结果。
8. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以分析多个指标之间的关系，从而实现建模和预测。
9. 如果维向量组a1a2a3a4之间的线性关系很强，那么可以用回归模型来表示，从而可以实现估算变量值，也可以给出变量的可信区间。
10. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性关系可以计算特征向量的投影，可以解决多维特征间相关性的研究问题，使特征维度减少，数据表达更加简洁。
向量组的线性相关性1、n 维向量由n 个数组成的有序数组()12,,,n a a a 称作一个n 维向量，记作()12,,,n a a a α= ，其中i a 称作α的第i 个坐标。
设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β= ，当()1,2,,i i a i n b == 时，称α与β相等，记作αβ=。
称()12,,,n a a a α= 为n 维列向量，αT 为n 维行向量。
分量全为0的向量称为零向量。
向量()12,,,n a a a α= 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记作α-，即()12,,n a a a α=---- 。
向量加法定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ+=+++ ；向量减法定义：()()1122,,,n n a b a b a b αβαβ-=+-=--- 。
向量α与数乘积定义；k 为任意实数，则()12,,,n k k k k αααα= n 维向量的加法和数乘运算满足下面性质（设α、β、γ表示n 维向量，k 、l 表示数量）。
（1）αββα+=+；（2）()()αβγαβγ++=++；（3）0αα+=；（4）()0αα+-=；（5）()k k k αβαβ+=+；（6）()k l k l ααα+=+。
2、向量的线性表示设12,,,s ααα ，β均为n 维向量，若存在一组数12,,,s k k k ，使得1122k k αβα=+++ s s k α，则称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合，也称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示。
3、向量组的线性相关性对于m 个n 维向量12,,,m ααα ，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ，则称这m 个向量线性相关；否则，称它们线性无关。
通过线性相关和线性无关的定义可推出：（1）单独一个0向量，线性相关；高 数向量组的线性相关性知识点速记（2）含有0向量的向量组，线性相关；（3）单独一个非0向量，线性无关；（4）由n 个标准单位向量()11,0,0,,0=ε ，()20,1,0,,0=ε ，…，()0,,0,1n =ε 组成的向量组，线性无关。
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
