最新江苏省2018-2019届高三4月联考数学文科试卷
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2018届高三3月联合考试数学文一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则=P Q （ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2 2.设复数21z i=-，则下列命题中错误的是（ ）A ．z =B ．1z i =-C ．z 的虚部为iD ．z 在复平面上对应的点在第一象限3.若R d c b a ∈,,,，则”“c b d a +=+是“a,b,c,d 依次成等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.对任意非零实数,a b ，若a ♧b 的运算原理如图所示，则)22(log2♧3281-⎪⎭⎫⎝⎛=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟 的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机 数。
依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点 代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。
得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435， 443，251，154，353。
则在此次随机模拟试验中，每天下雨的 概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ） A ．13,28B ．11,28C ．11,35D ．12,396.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若sin 2cos b A a B =，则cos B =（ ）A． B．D7.已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心2C 的渐近线方程为（ ） A．0x = B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条 侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三 视图如图所示，则该几何体的体积（ ）A.B.C.D. 9.已知正方体1111ABCD A BC D -体积为8，面1111ABCD 在一个半球的底面上，AB C D 、、、四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A ．323πB．3C ．12πD． 10.已知,x y 满足,2,2.y x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值4，则实数m 的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．1-D ．111.已知实数0,1a a >≠，函数2,1()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．15a ≤≤B ．25a ≤≤C ．1a ≥D ．5a ≤ 12.对于函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ）①()f x 在x e =处取得极大值1e；②()f x 有两个不同的零点； ③(4)()(3)f f f π<<；④44ππ<.A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个12.若函数)(x f y =图象上的任一点P 的坐标()y x ,满足条件y x ≥，则称函数)(x f “近地函数”，那么下列函数中是“近地函数”的个数为（ ）①ln(1)y x =+; ②1x y e =-;③x y sin =;④tan y x =;⑤[]x y =,[]x 为不超过x 的最 大整数 A ．1B ．2C ．3D ．4二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.已知向量()()2,1,1,3a b =-=，且()a a mb ⊥+ ，则m = ．14.过点(1,4)A -作圆22:(2)(3)1C x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 ．15.在平面直角坐标系xOy 中，点00()P x y ，是单位圆O 上第一象限内的点，xOP α∠=， 若11cos()313πα+=-，则0x 的值为 ． 16.已知数列{}n a 首项1a =1，函数41()cos2(21)n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则数列{}(1)n n a +的前n 项的和为．三. 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[,]1212ππ．将()y f x =的图象先向左平移4π个单位，再将图象上所有点的 横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x （Ⅰ）求()g x 的解析式； （Ⅱ）求()g x 在区间0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18.（本小题满分12分）据统计2018年春节期间微信红包收发总量达到460亿个。
收发红 包成了生活的“调味剂”。
某络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境 下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如下数据：（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出2种型号的手机进行大规模宣传销售．求型号Ⅰ或型号Ⅱ被选中的概率.下面临界值表供参考：参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++19.（本小题共12分）如图，在RT ABC ∆中，3==BC AB ，点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，且//EF BC ，将AEF ∆沿EF 折起到PEF ∆的位置，使得二面角P EF B --的大小为60︒.（Ⅰ）求证：EF PB ⊥；（Ⅱ）当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P EBCF -的侧面积.20.（本小题共12分）已知函数()()x x f x e x ae =- （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 有两个不同的极值点12,x x 12()x x <，求a 的取值范围;21. （本小题满分12分）有一个动圆与曲线M:)0(422>=+y y x 相内切，并且与x 轴相切。
（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹N 的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A 的坐标为（-2,0），如果直线)2(+=x k y 与椭圆)20(14222<<=+b by x 交于点C, 直线)2(+=x k y 与曲线N 交于点B,D 。
求当斜率k 满足什么范围时，存在这样的椭圆使得|||,||,|AD AC AB 的长度成等比数列。
22.（本小题共10分）在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（其中ϕ为参数）.以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 极坐标方程是2)3sin(=+πθρ，射线6:πθ=OM 与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 (1)解关于x 的不等式03|4|<++x x(2)关于x 的不等式a x x <-+|9|2||有解，求实数a 的范围。
数学答案 （文科）一. 选择题：D C B A C B A A B D B C 二. 填空题： 13．5 14.18 15.26116.()1122n n +-⋅+ 三. 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【解析】（1）1151,2212122T πππω=-=∴=,又5sin(2)1123ππϕϕ⋅+=∴=-()sin(2)3f x x π=-， …………6分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴64sin )(πx x g …………8 分（2）g (x )在0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数，在124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上为减函数，所以max ()()112g x g π==，min 1()()42g x g π==-,故函数在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为1和- 12 ……12分18.【解析】（1）通过计算易得104,73x y ==，回归直线y ax b =+一定经过点(,)x y ，又0.714a =,代入可得 1.256b =-； ………………3分参与调查的6名同学中有5名数学不低于90分，随机抽取2名有10种情况，而同时物理成绩均超过70分的有3种情况，故概率为310. ………………6分 (2)填表如下：…………8分由公式可得2260(2418126)10 6.63536243030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故有99%的把握认为物理成绩的好与否和数学成绩有关.…………12分 19.【解析】（Ⅰ）证明： 3==BC AB AB BC ⊥∴//EF BC AB EF ⊥∴,翻折后垂直关系没变，仍有EF PE ⊥,BE EF ⊥ PBE EF 平面⊥∴PB EF ⊥∴ …………4分(Ⅱ) AE EF ⊥,BE EF ⊥PEB ∠∴二面角P EF B --的平面角，60=∠∴PEB ，又1,2==BE PE ,由余弦定理得3=PB , ……5分222PE EB PB =+∴,EB PB ⊥∴,EB BC PB ,,∴两两垂直，又,,EF PE EF BE ⊥⊥,,PBE PBC PEF ∴∆∆∆均为直角三角形 由AEF ABC ∆∆ 可得，223EF BC ==；1112;22222PBC PBE PEF S BC PB S PB BE S EF PE ∆∆∆=⋅==⋅==⋅=……8分在四边形BCFE 中，过点F做BC的垂线，垂足为H；则2222()2F C F HH C B E B C E =+=+-=，所以FC =PFC ∆中，FC PC PF =====有余弦定理可得：2221cos ,24PF FC PC PFC PF FC +-∠==-⋅则sin 4PFC ∠=，1sin 22PFC S PF FC PFC ∆=⋅∠=； ……10分所以四棱锥的侧面积为22PBC PBE PEF PFC S S S S ∆∆∆∆+++=+ ……12分 20．（1）当0a =时，()x f x xe =，()(1)x f x x e '=+，令()0f x '>，可得1x >-，故()f x 在(1,)-+∞上单调递增，同理可得()f x 在(,1)-∞-上单调递减， …………3分 故()f x 在1x =-处有极小值1(1)f e-=-； …………5分 （2）依题意可得，()(12)0x x f x x ae e '=+-=有两个不同的实根.设()12x g x x ae =+-，则()0g x =有两个不同的实根x 1，x 2,()12x g x ae '=-，若0a ≤，则()1g x '≥，此时()g x 为增函数，故()0g x =至多有1个实根，不符合要求；…………7分若0a >，则当1ln2x a <时，()0g x '>，当1ln 2x a >时，()0g x '<， 故此时()g x 在1(,ln )2a -∞上单调递增，在1(ln ,)2a+∞上单调递减，()g x 的最大值为 111(ln )ln 11ln 222g a a a=-+=, …………9分又当x →-∞时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞，故要使()0g x =有两个实根，则11(ln)ln 022g a a =>，得102a <<. （或作图象知要使()0g x =有两个实根，则11(ln )ln 022g a a =>） …………10分设()0g x =的两根为12,x x 12()x x <，当1x x <时，()0g x <，此时()0f x '<； 当12x x x <<时，()0g x >，此时()0f x '>；当2x x >时，()0g x <，此时()0f x '<. 故1x 为()f x 的极小值点，2x 为()f x 的极大值点,102a <<符合要求. ……12分 综上所述：a 的取值范围为102a <<.（分离变量的方法也可以） 21.【解析】（1）由题意可得2=p ，所以(0,1)S ,圆的半径为1，设),(11y x A ，),(22y x D ，由⎩⎨⎧+==142kx y yx得0442=--kx x ，k x x 421=+∴21212()242y y k x x k ∴+=++=+，212121124224AB CD AS DS BC y y y y k BC ∴+=+-=+++-=+=+== 又k>0k ∴=…………6分 (2)124x x k += 21212,()242y y k x x k +=++=+，2(2,21)Q k k ∴+当0=k 时直线l 1与抛物线没有两个交点，所以0≠k用k 1-替换k 可得222P(,1)k k -+，kk k k PQ 222234+-=∴所以PQ 的直线方程为)2(2222)12(342k x kk k k y -+-=+-， 化简得213k y x k-=+，所以直线PQ 过定点（0,3）.…………12分 22.【解析】（1））圆C 的普通方程为1)1(22=-+y x ，又θρθρsin ,cos ==y x所以圆C 的极坐标方程为θρsin 2= …………5分 （2）把6πθ=代入圆的极坐标方程可得1=P ρ；把6πθ=代入直线l 极坐标方程可得2=Q ρ，1=-=∴Q p PQ ρρ …………10分23．解析：（1） ⎩⎨⎧<++<+03)4(-04x x x 或⎩⎨⎧<++≥+03)4(04x x x 解得,72--<x 或13-<<-x所以原不等式的解集是()()1,372,--⋃--∞- ………… 5分（2）依题意，求|9|2||x x -+的最小值，318,9()18,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩所以)(x f 最小值9. 9>∴a …………10分。
