2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5第1课时学案文北师大版

§9.5 椭 圆

最新考纲

考情考向分析

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

椭圆的定义、标准方程、简单性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.

1．椭圆的概念

把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a

2．椭圆的标准方程和简单性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距

|F1F2|＝2c

离心率 e＝ca∈(0,1)

a，b，c的关系 a2＝b2＋c2

知识拓展

点P(x0，y0)和椭圆的位置关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.

(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ³ )

(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )

(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ³ )

(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(

√ )

(5)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( ³ )

(6)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )

题组二 教材改编

2．椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于( )

A．4 B．8

C．4或8 D．12

答案 C

解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，

10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.

当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8. ∴m＝4或8.

3．过点A(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )

A.x215＋y210＝1 B.x225＋y220＝1

C.x210＋y215＝1 D.x220＋y215＝1

答案 A

解析 由题意知c2＝5，可设椭圆方程为x2λ＋5＋y2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，

∴所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.

4．已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．

答案 152，1或152，－1

解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，

所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x>0，所以x＝152，

所以P点坐标为152，1或152，－1.

题组三 易错自纠

5．若方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )

A．(－3,5) B．(－5,3)

C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)

答案 C

解析 由方程表示椭圆知 5－m>0，m＋3>0，5－m≠m＋3，

解得－3

6．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为( )

A．－21 B．21 C．－1925或21 D.1925或21

答案 C

解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.

7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )

A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1

C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1

答案 A

解析 ∵△AF1B的周长为43，∴4a＝43，

∴a＝3，∵离心率为33，∴c＝1，

∴b＝a2－c2＝2，∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.

故选A.

第1课时 椭圆及其性质

题型一 椭圆的定义及应用

1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．圆 答案 A

解析 由条件知|PM|＝|PF|，

∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.

∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．

2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )

A．2 B．4 C．8 D．22

答案 B

解析 椭圆方程变形为y21＋x214＝1，

∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.

3．(2017²承德模拟)椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( )

A.72 B.32

C.3 D．4

答案 A

解析 F1(－3，0)，∵PF1⊥x轴，

∴P－3，±12，∴|PF1→|＝12，

∴|PF2→|＝4－12＝72.

4．(2017²呼和浩特模拟)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．

答案 6＋2 6－2

解析 椭圆方程化为x29＋y25＝1，

设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，

∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，

又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，

∴|PA|＋|PF|≤6＋2，|PA|＋|PF|≥6－2.

思维升华 椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

题型二 椭圆的标准方程

命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程

典例 (1)(2018²济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )

A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1

C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1

答案 D

解析 设圆M的半径为r，

则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，

所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，

且 2a＝16,2c＝8，

故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.

(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )

A.x225＋y29＝1(y≠0) B.y225＋x29＝1(y≠0)

C.x216＋y29＝1(y≠0) D.y216＋x29＝1(y≠0)

答案 A

解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是x225＋y29＝1(y≠0)．

命题点2 利用待定系数法求椭圆方程

典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为______________________________________．

答案 y210＋x26＝1

解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)． 由 －322m＋522n＝1，3m＋5n＝1，

解得m＝16，n＝110.

∴椭圆方程为y210＋x26＝1.

(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．

答案 y220＋x24＝1

解析 方法一 椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.

由椭圆的定义知，2a＝3－02＋－5＋42

＋3－02＋－5－42，解得a＝25.

由c2＝a2－b2可得b2＝4，

∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.

方法二 ∵所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，

∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.

设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．

∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①

又点(3，－5)在所求椭圆上，

∴－52a2＋32b2＝1，

即5a2＋3b2＝1.②

由①②得b2＝4，a2＝20，

∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.

思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．

(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．

跟踪训练 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0