2.2.1 椭圆的定义与标准方程

§2.1椭圆§2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时)学习目标：1．理解椭圆的定义；2．学会求椭圆标准方程的方法。

学习重点：椭圆的定义及标准方程建立。

教习难点：椭圆标准方程的推导。

学习过程一、课前复习复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程为 。

复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 。

二、自主学习阅读课本P 32页完成下列内容：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 。

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？知识点1：椭圆的定义我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。

椭圆定义的理解：若将常数记为2a ，焦距记为2c. （1）当212F F a >时，其轨迹为 ； （2）当212F F a =时，其轨迹为 ； （3）当212F F a <时，其轨迹为 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．知识点2：椭圆的标准方程（1）回顾求圆的标准方程的的基本步骤： （2）椭圆标准方程的推导：在X 轴的椭圆的标准方程为:思考：焦点在Y 轴上椭圆的标准方程？ .小结三 例1 完成填空（1）.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P 满足1021=+PF PF ，则点P 的轨迹是 ，若点P 满足621=+PF PF ，则点P 的轨迹是 . （2.P 为椭圆1162522=+yx上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a c ==y 轴上；四 当堂达标1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2.在椭圆10042522=+y x 中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点位于________轴上3.椭圆191622=+yx,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF ∆的周长为4.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1).a=4,b=1,焦点在x 轴上. (2).a=4,c=15,焦点在坐标轴上课后练习 1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.2.已知△ABC 的一边长6=BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程.§2.2.1椭圆及其标准方程(第二课时)学习目标：1. 进一步学会和掌握椭圆的定义与标准方程；2. 学会用相关点法求轨迹方程。

鹿邑三高导学案高二年级数学学科 编写人：毛新正审核人：刘雪纯备课组长签字：课题：§2.1.1椭圆及其标准方程(1) 课时：2 本期总课时：9I 、（1）课标考纲解读：理解并掌握椭圆的定义。

（2）状元学习方案：自学与小组讨论相结合。

II 、1.学习目标（1）理解椭圆的定义.（2）掌握求椭圆的方程的方法；2.学习重点：掌握椭圆的定义及其标准方程。

学习难点：椭圆的标准方程的推导与化简。

3.学法指导：通过自学讨论与课堂展示相结合。

4.知识链接：求曲线方程的方法。

III 、学习过程[教材助读]:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作道具，自画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式 ，若2a =21F F ，动点的轨迹是 ，若2a 〈21F F ，动点的轨迹是 ；问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

问题4：指出图中的哪些线段的长度是a___________________。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，阅读教材理解推导椭圆方程过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式__________________________[预习自测]1、设P 是椭圆1162522=+yx上的一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则=+21PF PF ( ) A 、10 B 、8 C 、5 D 、42、 椭圆的顶点为（-5，0），（5，0）和（0，-4），（0，4），则其方程为_________________________3、 椭圆221259xy+=的焦点坐标____________________________。

4椭圆22xy110036+=上一点P 到左焦点的距离是6.5，则到右焦点的距离是_____5、已知椭圆12222=+ya x 的一个焦点为（2,0），则椭圆的方程为( ) A 、12422=+yxB 、12322=+yxC 、1222=+yx D 、12622=+yx[合作探究 展示点评]探究一：椭圆的基本量根据下列方程，分别求出椭圆中 a,b,c 的值 1．椭圆2222146x y +=， 则a= ,b= ,c= 。

椭圆的定义 图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的 判断
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则

MF1 MF2 2a (2a 2c 0)
(1) (2a 2c 0) 焦点在x轴上,中心在原点：
y
M(x,y) F1
(2) 焦点在y轴上,中心在原点：
y
F2
M(x,y)
o
2
F2 x
y
x y 2 1 a b 0 a2 b
2
o
M
x
F1

b a o c F2 x

椭圆的定义
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y M M
F2 x F 2
M
图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的 判断
2
a b F co 1
2
o
F 1
x
x y 2 1 a b 0 a2 b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
11
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
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例 3 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )