03-04(773106) 特性矩陈图

第四章
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：

例6. A = aij
( )
3×3
1 2 3 （） = 2 2 1 ，求秩R A . 3 4 3
2 3 −2 −5 0 −1 0 1 0 0 0 → 0 1 0 −1 0 0 1
1 解: A → 0 0 1 0 → 0 −2 0 0
例3. 求A = aij
( )
3× 4
3 2 1 1 = 0 0 0 0 的秩。 4 4 −2 3
其中三阶子式共有4个其值均为0, 例如
3 2 解： 0 0 1 3 2 1 3 2 1 0 = 0 0 0 = 0, 0 0 0 = 0 L ⇒ r < 3 4 4 − 2 4 4 −2 4 4 3
1 2 − 1 4 r − r 1 2 −1 4 3 2 解 A → 0 0 5 − 3 → 0 0 5 −3 r3 + r1 0 0 0 0 0 0 5 −3
r2 − 2 r1
由最后化成的行阶梯矩阵的非零行数
⇒ R ( A) = r = 2.
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT经 ，那么， 由上面的讨论可知， 过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可知， R(AT)=R(BT) 又因为， 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
(4) 若P、Q可逆，则R(PAQ ) = R( A)
(5) max{ R(A)，R( B )} ≤ R( A | B ) ≤ R(A) + R( B ) (6) R(A + B ) ≤ R(A) + R( B ) (7) R(AB ) ≤ min{R(A)，R( B )}

三角矩阵概念
摘要：
1.三角矩阵的定义
2.三角矩阵的性质
3.三角矩阵的分类
4.三角矩阵的应用
正文：
一、三角矩阵的定义
在矩阵论中，三角矩阵是指一个方阵，其非主对角线上的元素全部为零的矩阵。

换句话说，三角矩阵是指一个n 阶方阵，满足以下条件：
1.主对角线上的元素均不为零；
2.非主对角线上的元素不全为零，但只有一个非零元素；
3.非主对角线上的元素和其对应的主对角线上的元素相等，或者相反数。

二、三角矩阵的性质
1.三角矩阵是方阵，所以它的行数和列数相等，且均为n。

2.三角矩阵的行列式不为零，因为主对角线上的元素均不为零。

3.三角矩阵的逆矩阵存在，当且仅当它是一个可逆矩阵。

4.三角矩阵的秩等于主对角线上的非零元素个数。

5.三角矩阵的特征值等于主对角线上的非零元素。

三、三角矩阵的分类
根据主对角线上的元素的符号，三角矩阵可以分为三类：
1.上三角矩阵：主对角线上的元素均为正数。

2.下三角矩阵：主对角线上的元素均为非负数。

3.不规则三角矩阵：主对角线上的元素有正有负。

四、三角矩阵的应用
三角矩阵在数值分析、线性代数以及矩阵论等领域都有广泛的应用。

1.在求解线性方程组时，可以使用前/后代法等快速算法，尤其适用于大三角矩阵。

2.在矩阵的LU 分解、矩阵的特征值计算等方面，三角矩阵也起到了关键的作用。

3.在迭代法中，三角矩阵可以作为过渡矩阵，以减少迭代次数，提高计算效率。

1 0 A = 0 2 0 −2
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解