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数学思想史课后总结数学思想史课后总结数学思想史是一门研究数学的发展历程和思想变革的学科。
通过学习数学思想史，我加深了对数学的理解，同时也认识到数学思想的进化对人类社会的发展起到了重要的推动作用。
下面我将对我在学习数学思想史这门课程中的心得体会进行总结。
首先，数学思想的发展是与人类文明进程紧密相连的。
随着人类社会的发展，人们对数学的需要也越来越多样化。
原始人类在解决实际问题时开始产生一些数学思想，比如使用自然界的事物来进行计数，或是使用几何形状来规划土地。
这些最初的数学思想打下了数学的基础，并为后来数学的发展铺平了道路。
其次，早期数学思想的产生与应用特定的社会背景息息相关。
古巴比伦人提出了著名的“巴比伦法则”，它是古代最早的写成明文的法律体系。
通过研究巴比伦法则的计算问题，我们可以了解到当时古巴比伦人所面临的实际问题，这些问题迫使他们积极寻找解决问题的方法，从而促进了数学的进一步发展。
此外，数学思想的发展也与不同文明之间的交流与借鉴密切相关。
古希腊的数学思想，如毕达哥拉斯学派和欧几里得的几何学，受到了埃及和巴比伦的影响。
希腊人将这些学问进一步发展，他们的数学思想也对后来的数学发展产生了深远的影响。
古希腊的数学思想被阿拉伯人广泛传播，进入西班牙后又被欧洲各国所接受和发展。
这种文明交流与借鉴推动了数学思想的全球发展。
另外, 数学思想的进步也与数学家们的探索精神密不可分。
例如, 牛顿和莱布尼茨的微积分学说的发现解决了许多复杂问题，推动了科学技术的进步。
数学家们的天才和创新精神为数学思想的发展提供了源源不断的动力。
最后, 数学思想还与社会需求有密切的联系。
随着工业革命和信息时代的到来，对数学的需求日益增长。
数学思想不仅仅是学术研究的一部分，也渗透到了社会的方方面面。
比如，现代密码学的发展就依赖于数论和抽象代数的研究成果，而人工智能的发展则需要数值计算和统计学的支持。
社会对数学人才的需求不断促进着数学思想的发展，这也使得数学在社会中的地位越来越重要。
数学思想史论文习作专题01．数系的扩充与奠基论数的起源。
论第一次数学危机产生的原因和影响。
论复数的起源。
论数系奠基的一般过程。
论实数理论的建立及其历史意义。
论皮亚诺建立自然数公理体系的历史意义。
主要参考文献（美）V.J.卡茨，《数学史通论》（第二版），李文林等译，高等教育出版社，2004（美）H.伊夫斯，《数学史概论》，欧阳绛译，山西人民出版社，1986；山西经济出版社，1993（美）H.伊夫斯，《数学史上的里程碑》，欧阳绛等译，上海科学技术出版社，1990 （美）T.丹齐克，《数——科学的语言》，苏仲湘译，通俗数学名著译丛，上海教育出版社，2000，2001（美）卡尔文·C·克劳森，《数学旅行家：漫游数王国》，袁向东、袁钧译，上海教育出版社，2001（美）约翰·塔巴克，《数——计算机、哲学家及对数的含义的探索》，王献芬、王辉、张红艳译，数学之旅，商务印书馆，2008（美）保罗·J·纳欣，《虚数的故事》，朱惠霖译，通俗数学名著译丛，上海教育出版社，2008（美）约翰·巴罗，《天空中的圆周率——计算、思维及存在》，苗华建译，中国对外翻译出版公司，2000（美）莫里斯·克莱因，《古今数学思想》，张理京、张锦炎、江泽涵等译，上海科学技术出版社，2002（美）兰佐斯，《无穷无尽的数》，吴伯泽译，北京出版社，1979王建午、曹之江、刘景麟编，《实数的构造理论》，人民教育出版社，1981朱求长，关于复数产生之说，《数学的实践与认识》，1981年第4期李文林主编，《数学珍宝──历史文献精选》，科学出版社，1998（美）M.克莱因，《西方文化中的数学》（1953），张祖贵译，复旦大学出版社，2004专题02．几何三大难题论几何三大难题的起源及其对希腊数学发展的影响。
论圆锥曲线概念的起源与发展。
论几何三大难题的历史地位。
主要参考文献（美）莫里斯·克莱因，《古今数学思想》，张理京、张锦炎、江泽涵等译，上海科学技术出版社，2002（美）Victor J.Katz（卡茨），《数学史通论》（第二版），李文林等译，高等教育出版社，2004（美）H.伊夫斯，《数学史概论》，欧阳绛译，山西人民出版社，1986；山西经济出版社，1993（美）H.Eves，《数学史上的里程碑》，欧阳绛等译，上海科学技术出版社，1990（美）约翰·塔巴克，《几何学——空间和形式的语言》，张红梅、刘献军译，数学之旅，北京：商务印书馆，2008吴文俊主编，《世界著名数学家传记》（上下集），科学出版社，1995，2003（美）E.T.贝尔，《数学精英》，徐源译，商务印书馆，1991李文林主编，《数学珍宝──历史文献精选》，科学出版社，1998（德）Felix Klein，《初等几何的著名问题》，沈一兵译，高等教育出版社，2005徐诚浩编著，《古典数学难题与伽罗瓦理论》，复旦大学出版社，1986H.Dorrie（德里），《100 个著名初等数学问题—历史和解》，上海科学技术出版社，1982钱曾涛，《你会不会三等分一角?》，中国青年出版社，1956，1984秦裕瑗，《一元代数方程纵横谈》，湖北教育出版社，1984梅向明、周春荔编著，《尺规作图话古今》，中学生数学视野丛书，湖南教育出版社，2000 邱贤忠、沈宗华，《尺规作图不能问题》，中学生文库，上海教育出版社，1983（美）M.克莱因，《西方文化中的数学》（1953），张祖贵译，复旦大学出版社，2004专题03．数形结合论数与形的关系在希腊数学中的演变。
数学思想史（四）——希腊数学（1）古希腊有着灿烂的文明，不仅仅有着美丽的众神传说，还有引人深思的数学哲理。
希腊数学在数学史上有着极高的地位，其对现代西方数学影响巨大，不仅仅是知识的传承，同样希腊的很多哲学思想深深的影响着现代数学的发展。
希腊数学也是现代数学的奠基石，没有古希腊的数学，今天的数学也就无从谈起。
希腊人在欧洲所居住的地方不仅仅是今天的希腊，也有意大利的部分地区，希腊人定居后做了一件非常伟大的事情，就是将各种象形文字综合利用然后改成了拼音字母，当象形文字变为拼音时，希腊人的表达更加顺畅于合理，也非常有利于思想的传承和表达。
当希腊人定居后，便与巴比伦人和埃及人进行商业贸易往来。
在古希腊有一个城市叫做米利都，希腊的哲学数学和其他科学皆诞生于此。
在古希腊有着很多有名的著作但是很多都失传了，留下来的著作中有两本著作非常有名，一本是欧几里得的《几何原本》另一本是阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》，这两本书可以说是古希腊数学的集大成者。
在当时的希腊数学的发展也是以多中心的方式进行的。
也就是有多个城市都在发展数学，此起彼伏的发展数学，当然也形成了多个学派。
爱奥尼亚学派第一个学派是爱奥尼亚学派，阿基米德便是这个学派的。
爱奥尼亚的创始人是Thales，这个哥们据说是用已知的影长测量出金字塔的高度，也就是相似三角形的应用。
pythagoras(毕达哥拉斯)学派第二个学派是pythagoras(毕达哥拉斯)学派，数学的抽象概念要归功于这个学派，这个学派曾经认为这个世间就是由整数组成的，整个宇宙皆是如此，在他们眼中数可以看做组成物质的原子一样。
pythagoras学派喜欢将数比作沙子，他们将沙子按其可以排列的形状来分类，如1,3,6,10为三角数，因为这些数可以摆成三角形。
如下图当然他们也知道，1,1+2，1+2+3,1+2+3+4等等都是三角形数，1+2+3+....+n=(1+n)n/2;这个学派还研究了正多边形，质数，等比数列。
数学思想史教学大纲一、课程基本信息二、课程目标1．帮助学生从整体上理解数学。
数学史的首要任务就是帮助人们从整体上了解数学的内容、方法和思想，以及它们的演变。
此外，通过研究现代数学中的概念、问题、方法、思想、理论体系等的来龙去脉，更深刻地理解现代数学问题，并使一些已被遗忘或不被人注意的古代思想重新获得生命力。
通常的数学课程所介绍的是一些似乎没有什么关系的数学片断，历史却可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来。
优秀的数学家研究好的问题，而好的问题都有其历史。
实际上，常常是历史使其成为好的问题，因为历史展示出了它与其他问题的解的联系以及它在数学内外的应用。
数学史不是纷繁往事的杂乱记录，而是事物有规律地展开的因果序列。
它可以帮助我们理解数学作为一种社会历史现象和作为一种人类认识现象在其发展过程中所本来必须遵循的客观规律，数学的当代发展特点和发展趋势，以及它在现代社会中的地位和作用，从而使学生关注数学发展的主流和趋势，有眼光选择有价值的研究方向。
2．揭示数学的创造过程。
开设数学思想史课程的目的之一是揭示数学创造性思想的萌芽、成长、发展的客观的历史过程，反映数学成果（一般表现为数学模型及其建构）的发现、发明、创制的动力、契机及其增殖发展的规律，总结并扬弃前代数学家的思想方法。
数学不只是一些定理、命题和推论的机械而简单的罗列，也不仅仅是一些技巧和工具，它是自有人类文明以来，人类在认识自然、完善自己和适应改造自然与社会的过程中一种高度智慧的结晶。
我们不能只讲述知识和技巧，更要讲述数学思想：新的概念为什么要引进，定理是如何想出来的，有什么作用。
3．揭示数学的文化内涵。
数学思想史可以使学生认识到数学发展的历史进程，数学在整个人类文明中的重要地位和作用。
数学为人类探索、理解宇宙和人类自身提供了一种最强有力的工具，而这种探索与理解始终都是数学发展的主要源泉与动力。
当代文化发展的重要特征之一是数学化，数学的方法、思想与精神不仅已遍及传统意义上的全部科学技术领域，而且正在以越来越快的速度渗透到人文、社会科学的各个领域，显示出巨大的推动作用和启发作用，成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法。
古今数学思想
古代数学思想史可以追溯到古埃及、古印度、古希腊等文明，其中最著名的是古希腊数学思想史。
古希腊数学思想史的发展可以分为三个阶段：
1. 古典时期（公元前六世纪至公元前四世纪）：古希腊数学思想发展的起点，由古希腊哲学家和数学家如柏拉图、色诺克斯、尤里乌斯等人推动。
他们提出了许多关于几何、代数、概率等数学问题的解决方案，为后来的数学思想发展奠定了基础。
2. 中世纪（公元四世纪至十五世纪）：中世纪的数学思想发展主要受到伊斯
兰数学家的影响，他们把古希腊数学思想发展到了一个新的高度，提出了许多新的数学概念，如算术、代数、几何、概率等。
3. 新古典时期（十五世纪至十八世纪）：新古典时期的数学思想发展受到英国、法国、德国等欧洲国家的影响，他们把古希腊数学思想发展到了一个新的高度，提出了许多新的数学概念，如微积分、概率论、几何学等。
近代数学思想史
近代数学思想史的发展可以分为三个阶段：
1. 工业革命时期（十八世纪至十九世纪）：这一时期的数学思想发展受到英国、法国、德国等欧洲国家的影响，他们把古希腊数学思想发展到了一个新的高度，提出了许多新的数学概念，如微积分、概率论、几何学等。
2. 现代时期（十九世纪至二十世纪）：这一时期的数学思想发展受到美国、
英国、法国、德国等欧洲国家的影响，他们把古希腊数学思想发展到了一个新的高度，提出了许多新的数学概念，如抽象代数、几何学、拓扑学等。
3. 现代时期（二十世纪至今）：这一时期的数学思想发展受到世界各国的影响，他们把古希腊数学思想发展到了一个新的高度，提出了许多新的数学概念，如计算机科学、数学建模、数学物理学等。
中国古代十部数学著作中国古代数学文化悠久，其发展历程充满着辉煌与智慧。
而在这些数学成果中，充斥着许许多多伟大的数学家的青春与热血，他们的杰出思维与理论对于后世的学术发展产生了巨大的影响。
本文将介绍中国古代的十部数学著作，并按类划分。
一、古代算经《九章算术》和《孙子算经》是中国古代最著名的两部算学著作，两书皆为匿名所著。
《九章算术》被认为是中国数学之母，它的内容涉及到代数方程、分数表示以及计算方法等方面。
《孙子算经》中的算法被认为是中国古代算学的代表之一，题材涉及回归术、平均除法、平均数、倍加错减等等。
二、数学思想史《朱子算经》是朱熹所著，是一部反映中国数学思想史的重要文献，此书中提出了纵横比、三分术及求正分数等理论。
三、几何学《周髀算经》为涂载所撰，是一部反映古代几何学的重要著作。
此书中的“周髀算经九章”，是中国古代保存存在的最早几何学著作。
其中将勾股定理作为计算三角形面积的基础，并以几何图形形象的方式展示其应用。
四、计算方法《孟子算经》为孟子所著，是一部与商业经济息息相关的计算方法著作。
主要论述了买卖、盈亏、利率、折扣计算等方面的问题。
五、天文数学《张衡算经》被誉为中国古代天文学得以发展的奠基之作。
其中介绍了太阳、月亮、星星等天体的运动规律、天文观测仪器的制作及海中仙山等神秘现象的解释等。
六、数学教材《算学启蒙》为清代陈景元所著，是一部比较系统的初级数学教材。
书中大量举例讲解代数式、方程、几何、三角等数学概念，为初学者提供了一份较为完整的初级数学学科介绍。
七、算盘术《周髀算经》、《九章算术》中都有关于算盘术的讲解，而《算经十书》则是中国古代算盘术的代表之一。
此书中介绍了算术、代数、几何、天文等各个方面的数学知识，是世界范围内迄今为止最完整、最系统的古代算盘策略体系。
八、秦汉算学《汉书》中记载的《数书九章》是中国古代代数方程理论发展历程的重要文献。
而《算法统宗》则是秦代所创，系统论述了秦代数学的各方面内容。
数学思想史1.数学的词源“数学”英文为mathemtics，其源于希腊文μαθηματικα，取自于毕达哥拉斯，原意是指那些获得较高深知识的人，后来演化为数学，相当于全部的课程或知识。
毕达哥拉斯将全部的学习课程分为：数的绝对理论－算术，数的应用－音乐，静止的量－几何，运动的量－天文，合起来称为“四道”。
中国最早出现在《周礼·地官·大司徒》中，“三曰六艺：礼、乐、射、御、书、数”，这里的“数”是指数学。
《殷虚文字甲编》中有字，从字形来理解，左边是一根杆上打了许多结，上下是散乱的绳头，有结绳记数的含义。
中国古代称为算术，古代“算”字有三种写法：筭、算、祘。
许慎《说文解字》，“筭，长六寸，计历数者。
从竹从弄，言常弄乃不误也。
”“算，数也。
从竹从具，读若筭。
”“算术”一词最早源于《周髀算经》：“昔者荣方问于陈子曰：今者窃闻夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，……陈子曰：然。
此皆算术之所及。
”算术与数学至少从宋元时期就混用。
如秦九韶《数书九章》：“尝从隐君子受数学。
”1933年，民国时期成立数学名词审查委员会，进行了专门讨论。
1939年6月，相关部门曾作过民意调查，使用算术与数学各占一半。
最后由教育部决定用“数学”而废“算术”，其理由是我国古代六艺中有“数”，人们接受当时的名称“数理”，当时高等学校以“数学”、“数理”、“数学天文”命名据多。
1939年8月，教育部正式通令使用“数学”一词作为英文mathemtics 译名。
2.数学的定义或数学观从数学本身的角度来理解数学。
公元前6世纪前，数学主要是指关于“数”的研究。
公元前6世纪，数学是关于数与形的研究。
公元前4世纪，亚里士多德指出“数学是量的科学。
”16世纪，培根将数学分为纯粹数学和混合数学（相当于应用数学），纯粹数学是“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学”。
17世纪，笛卡儿认为，“凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。
”19世纪，恩格斯在《反杜林论》认为“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
”19世纪，康托认为“数学是绝对自由发展的科学，它只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念的联系。
”1939年，布尔巴基学派在《数学原本》认为“数学是研究结构的科学。
”怀特海在《数学与善》的报告中指出：“数学是模式的研究”。
斯蒂恩解释：“数学是模式的科学，数学家从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式，数学理论阐明了模式间的关系；函数和映射、算子和映射把一类模式与另一类模式联系起来，从而产生稳定的数学结构。
数学应用即是运用这些模式对相应的自然现象做出‘解释’和预言。
模式揭示了别的模式，并常常导致了模式的模式。
正是以这种方式遵循着自身的逻辑：以源于科学的模式为出发点，并通过补充所有的由先前的模式导出的模式，使这种图像更加完备。
”从数学同其它学科的角度来理解数学。
数学是文化，文化是指人类在社会实践过程中所创造的一切物质财富和精神财富的总和。
数学文化是指在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。
数学是思维。
柯朗在《数学是什么》中指出，“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理以及对完美境界的追求。
它的基本要素是:逻辑和直觉、分析和构造、一般性和个别性，……正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的力量才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。
”康托认为：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于:必须是无矛盾的并且和先前由确切定义所引进的概念相协调，……数学的本质就在于它的自由。
”数学是语言。
美国数学家M.克莱因曾经指出:“数学也用符号来表示数量关系和空间形式，与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意识地而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严格性和简洁性，数学家们可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言来表达，就会显得冗长不堪，这种简洁性有助于思维效率”数学是艺术。
1907年，罗素在其论文《数学的研究》中指出，“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。
正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。
这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种圆满的境地。
”波莱尔在讲演《数学—艺术与科学》中提出:“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导，据以评价的。
对于凡夫俗子来说，如果听到在数学这样一门令人毛骨惊然的学科里居然可以谈论美学准则，往往是会大吃一惊的。
但是，这种看法在数学家身上是很强烈的”数学是猜想。
波利亚在《数学与猜想》中提出:“数学猜想是一种直觉思维，利用它不仅可以预测解决现有问题的思路，而且还可以提出有价值的新问题”。
3.数的起源人类具有认识世界和改造世界的综合性技巧的能力，能够通过数（shŭ）或计的实践活动形成数的概念。
为了计数的需要，在实践中不断数（shŭ）的活动，数就是在数（shŭ）过程中形成的。
起初，人们只能认识“有”与“没有”，后来，分辨出“多”与“少”，认识1与多是关键的一步。
人类在计数的过程中，建立物体集合之间的一一对应关系来达到计数的目的，这是数数（shŭ）活动的基本方式。
这样逐渐脱离了具体事物的量，抽象出纯粹的数的概念。
在数的概念形成的过程中，对集合间等数性的认识具有决定意义，它促使人们使用某种特定的方式利用等数性来反映集合元素的多少。
例如，小石子、沙粒、树枝等物积集的方法，打绳结、在兽骨、泥块上刻痕的方法。
拉丁文calculi原意就是石子，abacus的希腊文原意是沙粒，汉字“算”古文通“策”，意思是一种不加人工制作的细木枝。
这些仅表明物体集合蕴含着数量特性的形式转移，不是现在意义上的数。
数概念的形成第二步是进位制的完成。
由于人类使用手来进行计数，必然遇到手指不够用的境地，随之可能形成10进制记数法。
人类历史曾产生很多种进位制记数法，如2进制、5进制、12进制、20进制等。
进位制的采用和记数符号的发明标志着数概念的形成，抽象的数的概念通过具体的记数形式来体现。
历史上，人类也曾发明各种古老的记数法。
记数方式有两种：一是数的语言的形式。
在数的符号产生之前，人类发明数的语言来表示数的个数。
例如，汉语“二”源于“耳”，“我”表示1，苜蓿叶表示3，兽中蹄表示4等。
其特点是分散的，同一个数常常有不同的名称，用于不同的事物。
二是数的符号形式。
最初，人类都曾经历过刻划记数的阶段，物体与刻痕形成一一对应，用来表示集合中元素的数量。
后来，由于人类文明的发展，记帐成为必然，人类创造了比刻痕较为简单的记数法，用独立的记号表示基数（如图）。
量的概念。
毕达哥拉斯学派把度量视为量与量的一种比较。
在这种观念中，一条线段的长度单位被认为是为另一长度以一定的倍数所包容。
因此，在他们的词汇中长度被解释成两条线段的比，当其中一条线段被确定为单位时，这个比以一个整数反映出来。
比的概念是对几何量和整数赋于同一性的结果。
在原始认识上，数只是用于表明“一种从某一单位开始的累加，或止于该单位的累减。
”“而且正如它们的几何形式一样，它们本身是为自然界所固有的。
每个数在空间具有一定的地位，占有一定的位置。
如果说几何抽象是构成真实事物的元素，那么数就是这种抽象的终极元素，从而也就是物质实体和整个自然界的终极元素。
”4.算法的形成估算能力与精算能力: 脑与认知科学的研究成果及其对数学教育的启示（董奇，张红川，教育研究，2002年第5期）运算是伴随着数概念的形成与发展，其内容不断扩展和丰富，从自然数的四则运算扩展到小数、分数的四则运算，以及简单的乘方运算。
心算（估算）早于器算和笔算。
估算能力( approximation ) 则指个体在利用一些估算策略的基础上, 通过观察、比较、判断、推理等认知过程, 获得一种概略化结果的能力。
例如，印第安人认为26是两个10再加6，18是20减2。
但心算存在缺点是信息量有限，不适宜传授。
器算优于笔算而广泛地得到运用，出现算盘和算筹两种形式。
算盘多见于欧洲，算筹为中国独创。
历史遗留下来的数学遗产主要是笔算。
埃及没有位置制记数法，是用特殊的符号表示十、百、千等位值。
加减法可以对符号进行增减或调换。
乘除法比较复杂些。
例如，26×33，又如，1988585281626481324662331数的性质的研究。
当数的概念形成之后，人们可能出于好奇心或理性思维，对数本身进行研究。
首先将数进行分类是毕达哥拉斯学派，将数分为奇数和偶数。
由于毕达哥拉斯学派的哲学信条是“万物皆数”，认为万物的本质是数，因此，毕达哥拉斯学派对数的研究情有独钟。
毕达哥斯学派首次将数与形结合起来，创造形数，如三角形数、四边形数、五边形数。
素数也是人类比较早发现的，进一步发现所有自然数可以由素数相乘而得到。
欧几里得证明：素数是无限多个。
由于素数与合数混乱在自然数，人们开始研究寻找素数的方法，试图找到素数的规律和公式。
最早做出这项工作的是埃拉托塞尼，即埃拉托塞尼筛法。
一直到高斯时代，人们认为素数公式是不存在的，高斯认为素性判定是数论中最困难的问题之一。
此后，有一大批数学研究者参与到研究行列中，他们只对特殊的数作了些讨论，或者只对素数作了一般性的讨论。
20世纪初，手摇计算机的诞生促使研究者使用计算机对素性进行判定。
1950年后，由于电子计算机的发明大大促进了人们对素性的研究工作，创造了许多新方法，并取得了好成果。
大约在2500年前，中国古代数学家发现：是2的倍数，是3的倍数，是5的倍数，是7的倍数，是11的倍数，而2,3,5 811*412*214216*18。
