现代分析基础

第一章 电子与物质的相互作用1. 电子显微分析材料的理化性质与材料的内部显微结构(晶体结构、微观形貌、化学成分)有关。

材料研究的需要发展了多种电子光学仪器，帮助人们更深入地了解电子与物质的相互作用。

反过来，电子光学仪器的完善与发展也是与人们对电子与物质相互作用物理过程的充分理解分不开的，只有充分了解该作用过程中产生的各种信息，才能更好地使用并发展新的仪器和分析方法。

2. 电子与物质相互作用一束电子束打到试样后，电子束穿过薄膜试样或从试样表面掠射而过，电子的轨迹要发生变化。

这种变化决定于电子与物质的相互作用，即决定于物质的原子核及核外电子对电子的作用。

其结果将以不同的信号反映出来。

使用不同的电子光学仪器将这些信息加以搜集、整理和分析，就可得出材料的微观相貌、结构和成分等信息。

这就是电子显微分析。

电子与物质相互作用涉及的面很广，在此只简单介绍在透射电镜、扫描电镜及电子探针等常用的电子显微分析仪器中经常出现的物理过程。

3. 电子的弹性散射当一束电子入射到样品上，电子和样品物质的原子核及核外电子发生相互作用，使入射电子的能量和方向改变，有时还会发生电子消失、重新发射或产生别种粒子、改变物质形态等现象，这些现象统称为电子的散射。

根据散射过程中能量是否发生变化，又可进一步分为弹性散射和非弹性散射。

弹性散射是电子衍射和电子衍衬像的基础；非弹性散射将伴随能量的衰减。

能量衰减部分转变为热、光、X 射线、二次电子发射等，它是扫描电镜像、能谱分析电子能量损失谱的基础。

3.1 原子核对入射电子的散射原子核外电子对入射电子的散射主要是非弹性散射，过程较复杂。

当为大角度散射时，入射电子可以从试样表面反射出去，这称为背散射现象。

原子核对入射电子不仅产生大角度弹性散射，入射电子还受到原子核的电势场作用而制动，电子损失的能量以连续X 射线方式辐射，这称为韧致辐射由于这种散射产生连续的无特征波长值的X 射线辐射，因而并不反映样品结构或成分的任何特征，反而会产生背景信号，影响成分分析的灵敏度和准确度。

现代经济学的基本分析框架与研究方法上海财经大学经济学院院长田国强近些年来，不时看到有人从研究方法到结论对现代经济学大肆进行批判，否认现代经济学及其研究方法，并宣称要创造出自己的经济学。

但这些所谓的经济学往往只给出了观点，既没有明确的前提假设条件和分析框架，也没有逻辑推理和严格证明；既拿不出周密可靠的数据做依据，又不引用基本的经济理论，随随便便就得出了自己的结论，并将所谓“自己创新的观点”的作用无限放大。

另外，我们还不时听到有人耸人听闻地宣称：自己或某人的理论对现代经济学造成了冲击，他们往往用中国问题的特殊性来否定现代经济学。

这些在很大程度上误导了大众以及学生。

不少人还以为现代经济学的分析框架和研究方法只能用来研究规范市场制度安排下的经济问题，从而对现代经济学以及它的分析框架和适应范围持怀疑、批判、甚至否定的态度，认为不能用现代经济学来研究中国经济及其转型问题。

这也就是为什么一直到现在“西方经济学”一直是“现代经济学”最流行的代名词。

许多人直观地认为，现代经济学的理论仅适用于“西方”社会，中国的经济学家应该研究适用于发展中国家的“东方”经济学，甚至“中国特色”的经济学。

持有这些观点和说法的学者中还有一些著名的“海龟”经济学家，由于他们的海外留学背景，使得他们的观点更具有误导性。

笔者认为，其实是这些人对现代经济学最基本的分析框架和研究方法还没有弄清楚，不知道现代经济学的分析框架和研究方法具有非常的普遍性、高度的规范性和逻辑的一致性。

这些观点和说法误导了不少人，特别是对现代经济学还不太了解的人。

并且，由于相对其他学科，经济学与经济社会更休戚相关，甚至会影响到经济政策的制定，因而非常有必要正本清源，讨论清楚。

当然，产生这些现象的原因，可能是由于现代经济学主要研究现代市场制度，而大多外文教科书的作者和读者对象都生活在市场经济制度相对完善的发达国家中，这些教科书一般也不讨论现代经济学的分析框架和研究方法。

另外，由于现代经济学存在着各式各样的理论，许多理论似乎导致了截然不同的结论，其中不少理论还用到了高深的数学，这些让不少人感到现代经济学的基本分析框架和研究方法难以把握，从而对现代经济学产生了误解或畏惧。

材料现代分析方法知识点汇总1.基础分析技术：材料现代分析方法常用的基础分析技术包括光学显微镜、电子显微镜、X射线衍射、扫描电子显微镜等。

这些技术可以用于材料样品的形态、结构和成分的分析和表征。

2.元素分析方法：材料中元素的分析是材料研究中的重要内容。

现代元素分析方法包括原子吸收光谱、原子发射光谱、原子荧光光谱、质谱等。

通过这些方法可以获取样品中各个元素的含量和分布情况。

3.表面分析技术：材料的表面性质对其性能有着重要影响。

表面分析技术包括扫描电子显微镜、原子力显微镜、拉曼光谱等。

这些技术可以用于研究材料表面形貌、结构和成分，以及表面与界面的性质。

4.结构分析方法：材料的结构对其性能有着决定性的影响。

结构分析方法包括X射线衍射、中子衍射、电子衍射等。

这些方法可以用于确定材料的晶体结构、非晶态结构和纳米结构，从而揭示材料的物理和化学性质。

5.磁学分析方法：材料的磁性是其重要的性能之一、磁学分析方法包括霍尔效应测量、磁化率测量、磁滞回线测量等。

这些方法可以用于研究材料的磁性基本特性，如磁场效应、磁滞行为和磁相互作用。

6.热学分析方法：材料的热性质对其在高温、低温等条件下的应用具有重要意义。

热学分析方法包括热重分析、差示扫描量热法、热导率测量等。

这些方法可以用于研究材料的热稳定性、相变行为和导热性能。

7.分子分析技术：材料中分子结构的分析对于研究其化学性质具有重要意义。

分子分析技术包括红外光谱、拉曼光谱、核磁共振等。

通过这些技术可以确定材料的分子结构、键合方式和功能性分子的存在情况。

8.表征方法：材料的表征是指对其特定性能的评估和描述。

表征方法包括电阻率测量、粘度测量、硬度测量等。

这些方法可以用于研究材料的电学、力学和流变学性质。

总之，材料现代分析方法是一门综合应用各种科学技术手段对材料样品进行分析与表征的学科。

掌握这些现代分析方法的知识，可以帮助科学家和工程师更好地了解材料的性质和特点，为材料设计和应用提供科学依据。

一, 名词说明1. 原子汲取灵敏度：也称特征浓度，在原子汲取法中，将能产生1％汲取率即得到0.0044的吸光度的某元素的浓度称为特征浓度。

计算公式： S=0.0044×C/A （ug/mL/1%）S——1％汲取灵敏度 C——标准溶液浓度 0.0044——为1％汲取的吸光度A——3次测得的吸光度读数均值2. 原子汲取检出限：是指能产生一个确证在试样中存在被测定组分的分析信号所须要的该组分的最小浓度或最小含量。

通常以产生空白溶液信号的标准偏差2～3倍时的测量讯号的浓度表示。

只有待测元素的存在量达到这一最低浓度或更高时，才有可能将有效分析信号和噪声信号牢靠地区分开。

计算公式：D＝c Kδ/A mD——元素的检出限ug/mL c——试液的浓度δ——空白溶液吸光度的标准偏差 A m——试液的平均吸光度 K——置信度常数，通常取2~3 3．荧光激发光谱：将激发光的光源分光，测定不同波长的激发光照耀下所放射的荧光强度的变化，以I F—λ激发作图，便可得到荧光物质的激发光谱4．紫外可见分光光度法：紫外—可见分光光度法是利用某些物质分子能够汲取200 ~ 800 nm光谱区的辐射来进行分析测定的方法。

这种分子汲取光谱源于价电子或分子轨道上电子的电子能级间跃迁，广泛用于无机和有机物质的定量测定，协助定性分析（如协作IR）。

5．热重法：热重法（TG）是在程序限制温度下，测量物质质量及温度关系的一种技术。

TG基本原理：很多物质在加热过程中常伴随质量的变化，这种变化过程有助于探讨晶体性质的变化，如熔化, 蒸发, 升华和吸附等物质的物理现象；也有助于探讨物质的脱水, 解离, 氧化, 还原等物质的化学现象。

热重分析通常可分为两类：动态（升温）和静态（恒温）。

检测质量的变化最常用的方法就是用热天平（图1），测量的原理有两种：变位法和零位法。

6．差热分析；差热分析是在程序限制温度下，测量物质及参比物之间的温度差及温度关系的一种技术。

李雅普诺夫现代概率论在现代分析基础上再生2011-06-14李雅普诺夫现代概率论：在现代分析基础上再生李雅普诺夫现代概率论：在现代分析基础上再生苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903.4.25-1987.10.20，1980年荣获Wolf数学奖)1920年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学，并决心以数学为终身职业。

Kolmogorov大学三年级时就发表了论文构造了一个处处发散的傅立叶级数，表现出卓越的数学才能，载誉国际。

1924年他念大学四年级时就和当时的苏联数学家辛钦一起建立了关于独立随机变量的三级数定理。

1925年大学毕业后，当研究生。

1928年他得到了随机变量序列服从大数定理的充要条件。

1929年得到了独立同分布随机变量序列的重对数律。

1930年得到了强大数定律的非常一般的充分条件。

1931年发表了《概率论的解析方法》一文，奠定了马尔可夫过程论的基础，马尔可夫过程在物理、化学、生物、工程技术和经济管理等学科中有十分广泛的应用，仍然是当今世界数学研究的热点和重点之一。

[1906-1912年，安德烈?马尔可夫(A.A.Markov，1856.6.14-1922.7.20)开始了马尔可夫链的研究。

]1931年起他担任莫斯科大学教授。

1932年得到了含二阶矩的随机变量具有无穷可分分布律的充要条件。

1933年担任莫斯科大学数学力学研究所所长，创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室。

1934年出版了《概率论基本概念》一书，在世界上首次以测度论和积分论为基础建立了概率论公理结论，这是一部具有划时代意义的巨著，在科学史上写下原苏联数学最光辉的一页。

1935年提出了可逆对称马尔可夫过程概念及其特征所服从的充要条件，这种过程成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构的重要模型。

1935年获得苏联首批博士学位，1936-1937年给出了可数状态马尔可夫链状态分布。

1.什么是数学，数学的内涵是什么？第一章19世纪时由恩格斯给出的定义，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学按照恩格斯所说，数与形是数学的两大基本柱石之一。

整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。

20世纪初的定义，数学是研究模式与秩序的科学,数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。

一、对数学进行分类（1）从纵向划分：初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。

（2）从横向划分：基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）应用数学；计算数学；概率统计；运筹与控制论。

二、数学的独特思考方式分类化归类比抽象化符号化公理化最优化模型化三、1近代数学的特征：分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。

2现代数学的六大特征从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；计算机的应用。

四、现代对数学的认识数学即包括数学思维，数学文化，数学素质。

（1）数学思维：一种能够通过分析、类比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维，一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维，一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维，一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。

（2）数学文化：现代科技文化的核心，是现代科技的形式语言，是理性主义观念。

（3）数学素质：是具有“数学思维”能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力的一种特殊素质。

五、现代数学的三大趋势：分支多、交叉多交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势；数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。

六、数学形成与发展的因素与轨迹1. 数学的形成与发展的因素实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成与发展，第一动力：解决因社会需要而直接提出的问题。

第二动力：提供自然现象的合理结构。

第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。

学习现代分析基础心得体会学习现代分析基础心得体会在我所学的计算机科学与技术专业的课程中，现代分析基础是一个非常重要的基础课。

在这门课中，我学到了很多关于分析方法和技巧的知识，这些对于我今后深入学习和研究计算机科学领域非常重要。

首先，现代分析基础课程教学内容非常系统全面，从最基础的数学概念开始，逐步拓展到更高级的分析工具和方法。

在学习过程中，我逐渐了解到了分析方法的基本原理和应用。

通过学习这门课程，我掌握了很多基本的数学知识，例如极限与连续、微积分、级数等等。

这些基本概念对于我今后学习和研究其他高级课程非常重要，为我打下了坚实的数学基础。

其次，现代分析基础课程培养了我一种严谨的学习态度和分析思维。

在课程中，教师强调了分析方法的严密性和精确性，要求我们在理解概念的基础上进行逻辑推导，运用数学方法进行严密的证明。

在学习的过程中，我不仅要掌握基本的数学知识，还要能够运用这些知识解决实际问题。

这种培养了我很好的学术意识和问题解决能力，不仅提高了我的学习成绩，也有助于我今后的工作和研究。

此外，现代分析基础课程也注重了实践性教学。

在课堂上，教师通过大量的例题和习题来巩固我们的知识，让我们能够熟练运用所学的方法和技巧。

同时，还组织了实验和项目，让我们能够把所学的理论知识应用到实际中，提高我们的动手能力和实际操作经验。

通过这些实践性的教学方法，我不仅加深了我对分析方法的理解，还培养了我解决实际问题的能力。

在学习现代分析基础课程的过程中，我也遇到了一些困难和挑战。

首先，学习分析方法需要具备一定的数学基础，对于我这种并不擅长数学的学生来说，初期的学习过程非常艰难。

我需要花费更多的时间和精力来理解数学概念和方法，并进行练习和巩固。

其次，分析方法需要我们进行严谨的逻辑推导和证明，这对于我来说也是一种挑战。

我需要提高我的逻辑思维和证明能力，加强自己的数学思维能力。

然而，这些困难和挑战并未阻止我对现代分析基础课程的热情。

我通过不断地学习和思考，积累了一些学习经验和方法。

1.什么是数学，数学的内涵是什么？第一章19世纪时由恩格斯给出的定义，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学按照恩格斯所说，数与形是数学的两大基本柱石之一。

整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。

20世纪初的定义，数学是研究模式与秩序的科学,数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。

一、对数学进行分类（1）从纵向划分：初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。

（2）从横向划分：基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）应用数学；计算数学；概率统计；运筹与控制论。

二、数学的独特思考方式分类化归类比抽象化符号化公理化最优化模型化三、1近代数学的特征：分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。

2现代数学的六大特征从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；计算机的应用。

四、现代对数学的认识数学即包括数学思维，数学文化，数学素质。

（1）数学思维：一种能够通过分析、类比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维，一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维，一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维，一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。

（2）数学文化：现代科技文化的核心，是现代科技的形式语言，是理性主义观念。

（3）数学素质：是具有“数学思维”能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力的一种特殊素质。

五、现代数学的三大趋势：分支多、交叉多交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势；数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。

六、数学形成与发展的因素与轨迹1. 数学的形成与发展的因素实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成与发展，第一动力：解决因社会需要而直接提出的问题。

第二动力：提供自然现象的合理结构。

第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。

题目：?现代分析根底?读书报告学院：自动化学院班级：自动化2班学号：：任课教师：目录第一章现代分析根底开展过程4第二章集合论72.1 元素与集合72.2 布尔代数82.3 两个集合的直积92.4 映射与基数10第三章拓扑空间113.1 拓扑空间的定义113.2 拓扑空间的性质11第四章赋空间134.1 赋空间的根本概念134.2 数的等价性与有限维赋空间17 第五章现代分析根底与自动化控制22 参考文献23摘要在这篇文章中,首先我将对本学期所学课程“现代分析根底〞中的开展历史进展了简单的介绍,然后对书中的主要容进展梳理,对其知识架构做出自己的概括总结,然后对相关知识进展扩展,着重介绍了集合论、拓扑空间与赋线性空间的定义、定理、性质,以便形成更深层次的理解认识,最后结合自己的专业谈谈现代分析根底在自动化控制中的应用.关键词：集合可测函数拓扑空间赋空间自动化控制Fourier变换第一章现代分析根底开展过程谈到现代分析根底就不得不谈一谈微积分的开展.微积分作为一门学科,是在十七世纪产生的.它的主要容包括两局部：微分学和积分学.然而早在古代,微分和积分的思想就已经产生了.公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体体积等问题中,就隐含着近代积分学的思想. 到了十七世纪,人们因面临着许多科学问题需要解决,如研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等,这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作.十七世纪下半叶,在前人工作的根底上,英国大科学家Newton和德国数学家Leibniz分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作.在创立微积分方面, Leibniz与Newton功绩相当.这两位数学家在微积分学领域中的卓越奉献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征,并提醒出微分学与积分学之间的本质联系.两人各自建立了微积分学根本定理,并给出微积分的概念、法那么、公式及其符号.这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步开展奠定了坚实而重要的根底.微积分学根本定理指出,求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程,而把上下限代入不定积分即得到积分值,微分那么是导数值与自变量增量的乘积.作为一种数学的思想微分就是“无限细分〞,而积分就是“无限求和〞. Leibniz与Newton建立微积分的出发点是直观的无穷小量,但是理论根底是不结实的,因为“无限〞的概念是无法用已经拥有的代数公式进展演算.直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论.在“极限〞的定义中,它绕过了用一个数除以0的麻烦,相反引入了一个过程任意小量ε,即除的数不是零,所以有意义.同时ε可以取任意小,只要满足在δ区间都小于ε,我们就说他的极限就是这个数.虽然这个概念给出的比拟取巧,但是它的实用性证明,这样的定义还算比拟完善,给出了正确推论的可能性,因此这个概念是成功的.后来康托尔等人又建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化,使得微积分在十九世纪后期成熟.微积分学的创立,极推动了数学的开展,过去很多初等数束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力.微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造.微积分为创立许多新的学科提供了源泉.它给出一整套的科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强与加深了数学的作用.微积分的产生不仅具有伟大的科学意义,而且具有深远的社会影响.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代化的社会.在微积分的帮助下,万有引力定律发现了.可以说微积分学的诞生是数学开展的一个里程碑式的事件,但是随着研究问题的深入人们也发现经典微积分所存在的一些重大缺陷. 例如设是[0,1]中的全体有理数,作函数列〔n=1,2,…〕.显然有12()()f x f x ≤≤…1()()n n f x f x +≤≤…1≤,且有这里,每个都是[0,1]上Riemann 可积函数切积分为0.但极限函数不是Riemann 可积的,所以110lim ()0lim ()n n n n f x dx f x dx →∞→∞=≠⎰⎰.这说明Riemann 积分的定义太窄,我们应该定义的积分满足11()lim ()n n f x dx f x dx →∞=⎰⎰.19世纪下半叶,随着对微积分各种课题的深入研究,人们开场认识到积分问题与点集面积如何界定以及度量密切相关.随后, .G Peano 提出点集外容量的观念,在.G Peano 工作的根底之上.C Jordan 1892年建立了Jordan 测度理论.1898年.E Borel 从开集出发构造了σ-代数,从而使他的测度理论有了可数可加性.上例说明,对于定义在[,]a b 上的有界正值函数,按照Riemann 积分的思想对[,]a b 划分后,只有在小区间上的振幅足够小,才是可积的.这就把很多具有剧烈震荡的函数排除在可积函数之外.对此, Lebesgue 提出对的值域进展划分而不对定义域划分.设,m M 分别是在[,]a b 的下界和上界,对任意的0δ>,作,其中<δ.记1{:()},(1,2,i i i E x y f x y i -=≤<=…,1)n -;{:()}.n n n E x y f x y =≤<这样,在i E 上的振幅就不会大于δ.再计算1i ||()=y ()|E|()i i I -⨯矩形面积高底边长度，并作和nn1i i=1i=1|E |=.i i yI -∑∑它是在[,]a b 上面积的近似值.然后令0δ→,定义1[,]()lim ||.ni i a b i f x dx y E δ-→==∑⎰上述积分理论即Lebesgue 积分理论,它不仅蕴含了Riemann 积分所能到达的成果,而且还较大程度上克制了它的局限性,成为现代应用上最为广泛的测度积分系统.第二章集合论2.1 元素与集合集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. 集合我们一般用大写字母表示.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 元素我们一般用小写字母表示. 假设X 是一个集合,那么x X ∈表示x 是集合X 的元素,或者x 属于X ；其否认关系写成x X ∉.假设一个集合不包含任何元素,那么称这个集合为空集,记作∅.2.2 布尔代数给定两个集合,A B ,称集合{}: or x x A x B ∈∈为A 与B 的并集,记作A B .称{}: and x x A x B ∈∈为集合A 与B 的交集,记作AB .特别的,假设A B =∅,那么称A 与B 互补相交.根据上述定义,集合的交与并运算具有如下性质： 〔2.2.1〕交换律：, A B B A A B B A ==；〔2.2.2〕结合律：()()()()B C, A B C A A B C A B C ==；〔2.2.3〕分配律：()()()B ,A B C A A C = ()()()ABC A B AC =.〔2.2.4〕关系“,X Z Y Z ⊂⊂〞等价于“X Y Z ⊂〞；关系“,X Z X Y ⊂⊂〞等价于“X Z Y ⊂〞.(2.2.5) 假设X Y ⊂,那么,XY Y X Y X ==.(2.2.6) , X X X X -=∅-∅=;, X X X X X X ==,特别的,, X X X ∅=∅=∅.类似地,可以定义任意多个集合的交集与并集.设集合有集合簇{}I A αα∈,我们定义如下并集与交集：(){} :IA x x A I αααα∈=∈∃∈,(){} :IA x x A I αααα∈=∈∀∈.并且上述交换律、结合律、分配律任然适用于任意多个集合的情形. 设,X Y 是两个集合,那么集合{}:,x x X x Y ∈∉称为,X Y 的差,记为X Y -或者\X Y .特别的,假设X 是全集,B X ⊂,称\X Y 为B 的补集,记为c B .显然,我们有如下简单事实： 〔i 〕()c,,ccc AA X AA AA ==∅=;〔ii 〕,c c X X =∅∅=; (iii) \c A B A B =;(iv) 假设A B ⊃,那么c c A B ⊂；假设A B =∅,那么c A B ⊂. 定理2.2.1〔De.Morgan 法那么〕 〔i 〕()c c IIA A αααα∈∈=; 〔ii 〕()cc IIA A αααα∈∈=. 证：〔i 〕假设()cIx A αα∈∈,那么Ix A αα∈∉,即对任意的I α∈,有cx A α∈.故cIx A αα∈∈.反之,假设cIx A αα∈∈,那么对一切I α∈,有c x A α∈,即cx A α∉,cIx A αα∈∉,()cIx A αα∈∈.(ii) 假设()cIx A αα∈∈,那么Ix A αα∈∉,即对任意的I α∈,有x A α∉,cx A α∈,所以cIx A αα∈∈.反之,假设cIx A αα∈∈,那么对一切I α∈,有x A α∉,Ix A αα∈∉,所以()cIx A αα∈∈. 证毕.2.3 两个集合的直积给定任意两个集合,X Y 存在着唯一的一个集合,其元素是所有的(),x y 〔其中X x y Y ∈∈，〕.这个集合即为,X Y 的直积〔笛卡儿积〕,记作X Y ⨯. 相应的我们直积具有如下性质：〔2.3.1〕关系X Y ⨯=∅等价于X =∅或Y =∅.〔2.3.2〕假设X Y ⨯=∅,那么关系''X Y X Y ⨯⊂⨯等价与'X X ⊂与'Y Y ⊂. 〔2.3.3〕()()()''X Y X Y X X Y ⨯⨯=⨯. 〔2.3.4〕()()()()''''X Y XY XX YY ⨯⨯=⨯.2.4 映射与基数映射设,X Y 是两个非空集合.假设对x X ∀∈,有唯一的y Y ∈与之对应.这种关系我们称为映射,记作:,()f X Y xf x →.并称f 是从X 到Y 的一个映射.根据不同的对应关系,映射可分为单射、满射和双射： (i)假设,,x y X x y ∈≠时,总有()()f x f y ≠,那么称f 为单射; (ii)假设()f x y =,那么称f 为满射;(iii)假设f 既是单射又是满射,那么称f 为双射.基数设,A B 是两个集合.假设存在一个从A 到B 的双射,那么称集合A 与B 对等,记作A ~B .且满足如下性质： (i)A ~B ;(ii)假设A ~B ,那么B ~A ; (iii)A ~B ,B ~C 假设,那么A ~C .第三章拓扑空间3.1 拓扑空间的定义设X是一个集合,假设⎰是X的一个非空子集族.假设果⎰满足如下条件：(i) (i),X∅∈⎰；(ii) 假设,A B∈⎰,那么A B∈⎰;(iii) 假设{}Vα是⎰的任何集簇Vα∈⎰.α那么称⎰是X的一个拓扑.如果⎰是集合X的一个拓扑,那么称偶对〔X,⎰〕是一个拓扑空间,或称集合X是一个相对于拓扑⎰而言的拓扑空间；或者当拓扑⎰早已约定或在行文中已有说明而无须指出是,称集合X是一个拓扑空间.此外⎰的每一个元素都叫做拓扑空间〔X,⎰〕〔或X〕中的一个开集.设〔X,ρ〕是一个度量空间.令⎰为由X中的所有开集构成的集族.〔X,⎰〕是X的一个拓扑.我们称∫为X的由度量ρ诱导出来的拓扑.此外我们约定：如果没有另外的说明,我们提到度量空间〔X,ρ〕的拓扑时,指的就是拓扑⎰；在称度量空间〔X,ρ〕为拓扑空间时,指的就是拓扑空间〔X,⎰〕.3.2 拓扑空间的性质拓扑空间具有如下性质：(3.2.1)设,,X Y Z都是拓扑空间.那么→是一个连续映射;(i)恒同映射:i X X〔ii〕如果:f X Y→也是连续映射.g f X Z→和:g Y Z→都是连续映射,那么:(3.2.2)设,,X Y Z 都是拓扑空间,那么 〔i 〕恒同映射:i X X →是一个同胚；(ii)如果:f X Y →是一个同胚,那么f ¹:Y →X 也是一个同胚；(iii)如果:f X Y →和:g Y Z →都是同胚,那么:g f X Z →也是一个同胚. (3.2.3)：设,,X Y Z 都是拓扑空间,那么 (i) X 与Y 同胚；(ii)如果X 与Y 同胚,那么Y 与X 同胚；(iii)如果X 与Y 同胚,Y 与Z 同胚,那么X 与Z 同胚.第四章赋空间4.1 赋空间的根本概念线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有数的完备空间,以后为了纪念他称之为Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了数,第三组给出了空间的完备性.定义4.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,假设||||⋅是X 到R 的映射,且满足以下条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ; (3) ||||||||||||y x y x +≤+,对任意X y x ∈,.那么称||||⋅为X 上的数,而||||x 称为x 的数,这时称||)||,(⋅X 为赋线性空间. 明显地,假设||)||,(⋅X 为赋线性空间,那么对任意X y x ∈,,定义||||),(y x y x d -=时,),(d X 为度量空间,但对一般的度量空间),(d X ,当X 为线性空间时,假设定义)0,(||||x d x =,那么||||x 不一定就是X 上的数.例设s 数列全体,那么明显地,s 为线性空间,对任意的s y x ∈,, 定义∑=-+=1|)|1(!),(i iii i y x i y x d那么∑∞=+=1|)|1(!||)0,(i i i x i x x d但)0,(|||)|||1(!||||)0,(1x d x i x x d i i i λλλλ≠+=∑∞=取)0,,0,1(0 =x ,210=λ,那么 3121121)0,(00=+=x d λ 而412121)0,(||00=⨯=x d λ因此)0,(||)0,(0000x d x d λλ≠所以,)0,(0x d 不是s 上的数.定理4.1.2 设X 是线性空间,d 是X 上的度量,在X 上规定)0,(||||x d x =,那么X 成为赋线性空间的条件是：(1) )0,(),(y x d y x d -=,对任意X y x ∈,；(2) )0,(||)0,(x d x d λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ.由于赋线性空间在度量||||),(y x y x d -=下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋线性空间中使用.定义4.1.2 设X 是赋空间X x X x n ∈⊂0,}{, 假设n x 依度量||||),(y x y x d -=收敛于0x , 即0||||lim 0=-∞→x x n n ,那么称n x 依数||||⋅收敛于0x ,记为0n 在赋线性空间中,仍然用}|||||{),(00r x x X x r x U <-∈=记以0x 为球心,r 为半径的开球,用}|||||{),(00r x x X x r x B ≤-∈=记以0x 为球心,r 为半径的闭球. 为了方便,用}1|||||{=∈=x X x S X 记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用}1|||||{≤∈=x X x B X 记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用}1|||||{<∈=x X x U X 记以0为球心,1为半径的开单位球.定理4.1.8 假设||)||,(⋅X 是赋空间00,y y x x n n →→,那么00y x y x n n +→+. 证明由||||||||||)()(||0000y y x x y x y x n n n n -+-≤+-+可知定理成立. 定理 4.1.9 假设||)||,(⋅X 是赋空间,0x x n →,那么||||||||0x x n →. 证明由||||||||||||00x x x x n n +-≤和||||||||||||00n n x x x x +-≤,可知||||||||||||||00x x x x n n -≤-,因此||||||||0x x n →.定义4.1.3 设||)||,(⋅X 是赋线性空间,假设),(0||||,}{∞→→-⊂n m x x X x n m n 时,必有X x ∈,使0||||→-x x n , 那么称||)||,(⋅X 为完备的赋线性空间.根据M.]1928,,,[Paris Villars Gauthier abstraits Espaces Frechet -的建议,完备的赋线性空间称为Banach 空间.不难证明,∞∞<≤l p l c R p o n ),1(,,都是Banach 空间.在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋线性空间中,也可定义无穷级数.定义4.1.4 设||)||,(⋅X 是赋线性空间,假设序列}{}{21n n x x x S +++= 收敛于某个X x ∈时,那么称级数∑∞=1n n x 收敛,记为∑∞==1n n x x .定义4.1.5 设||)||,(⋅X 是赋线性空间,假设数列||}||||||||{||21n x x x +++ 收敛时, 那么称级数∑∞=1n n x 绝对收敛.定理4.1.10 设||)||,(⋅X 是赋线性空间,那么||)||,(⋅X 是Banach 空间的充要条件为X 的每一绝对收敛级数都收敛.证明设||)||,(⋅X 是Banach 空间,且∑∞=1n n x 绝对收敛,那么由∞<∑∞=1||||n n x 可知,对于n n x x x S +++= 21,有)(0||||||||||||||||11∞→→++≤++=-+++++n x x x x S S p n n p n n n p n ,因此n S 是X 的Cauchy 列,由||)||,(⋅X 的完备性可知,存在X x ∈使x S n n =∞→lim ,即x xn n=∑∞=1反之,设X 的每一个绝对收敛级数都收敛,那么对于X 的Cauchy 列n x ,对kk 21=ε,有 <<<<<+121k k n n n n , 使得),2,1(21||||1 =<-+k x x kn n k k因而+∞<-∑∞=+1||||1n n n k k x x .由假设可知+∞<-∑∞=+1)(1n n n k k x x 收敛于某个X x ∈,即}{k n x 收敛x ,所以n x 必收敛于x ,从而||)||,(⋅X 完备.事实上,在实数空间R 中,正是由于R 的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义4.1.6 设||)||,(⋅X 是赋线性空间,假设X M ⊂是X 的线性子空间,那么称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的子空间,假设M 还是||)||,(⋅X 的闭集, 那么称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的闭子空间.明显地,假设||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的闭子空间,那么||)||,(⋅M是Banach 空间,反之亦然.定理4.1.11 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的子空间,那么||)||,(⋅M 是Banach 空间当且仅当M 是X 的闭集.证明设||)||,(⋅X 是Banach 空间,当M x n ∈,且x x n →时,那么}{n x 为M 的Cauchy 列,因而}{n x 收敛于M 上的一点,故M x ∈,即M M ∈',所以M 是闭集.反之,设M x n ⊂}{为Cauchy 列,那么}{n x 为||)||,(⋅X 的Cauchy 列,由于||)||,(⋅X 是Banach 空间,因此}{n x 是收敛列, 即存在X x ∈使x x n →,又由于M 是||)||,(⋅X 的闭子空间,因此M x ∈,即n x 在M 中收敛于x ,所以||)||,(⋅M 是Banach 空间.定义4.1.7 设X 是线性空间,p 为X 上的一个实值函数,且满足： 〔1〕0)0(=p ；〔2〕)()()(y p x p y x p +≤+,对任意X y x ∈,； 〔3〕)(||)(x p x p λλ=,对任意X x ∈,任意K ∈λ.那么称p 为X 上的半数.明显地,X 上的数一定是半数,但对X 上的半数p ,由于0)(=x p 时不一定有0=x ,因此半数不一定是数.4.2 数的等价性与有限维赋空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X 上的几种不同数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不一样,这主要是X 上的序列依数收敛的不同引起的.定义2.2.1 设X 是线性空间,1||||⋅和|2||||⋅是X 上的两个不同数,假设对X 中的序列}{n x ,当0||||10→-x x n 时,必有0||||20→-x x n ,那么称数1||||⋅比数2||||⋅强,亦称2||||⋅比1||||⋅弱.假设对X 中的序列}{n x ,0||||10→-x x n 当且仅当0||||20→-x x n 那么称数1||||⋅与2||||⋅等价.定理4.2.1 设1||||⋅和2||||⋅是线性空间X 上的两个不同数,那么数1||||⋅比2||||⋅强当且仅当存在常数0>C ,使得对任意X x ∈都有12||||||||x C x ≤.证明假设存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,那么明显地0||||1→-x x n 时,有0||||||||12→-≤-x x C x x n n ,因而1||||⋅比2||||⋅强.反过来,假设数1||||⋅比2||||⋅强,那么必有0>C ,使12||||||||x C x ≤. 假设不然,那么对任意自然数n ,存在X x n ∈,使12||||||||n n x n x >. 令2||||n nn x x y =,那么 nx x y n n n 1||||||||||||211<=故0||0||1→-n y ,因而0||0||2→-n y ,但这与1||||||||||0||222==-n n n x x y 矛盾,所以必存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,对任意X x ∈成立.推论2.2.2 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同数,那么数1||||⋅与2||||⋅等价当且仅当存在常数0,021>>C C ,使得对任意X x ∈,有12211||||||||||||x C x x C ≤≤推论4.2.3 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个等价数,那么)||||,(1⋅X 是Banach 空间当且仅当)||||,(2⋅X 是Banach 空间.定义4.2.2 设X 是n 维线性空间,||||⋅是X 上的数,那么称||)||,(⋅X 为n 维赋线性空间.有限维赋线性空间是Minkowski 在1896年引入的,因此有限维赋线性空间也称为Minkowski 空间.假设||)||,(⋅X 为n 维线性空间,n e e e ,,,21 为X 的一组线性无关组,那么称n e e e ,,,21 为||)||,(⋅X 的Hamel 基,此时对任意X x ∈,x 都可以唯一地表示成∑==nn i i e x 1α定理4.2.4 设||)||,(⋅X 是n 维线性空间n e e e ,,,21 是X 的Hamel 基,那么存在常数1C 及02>C 使得2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα对任意∑==nn i i e x 1α都成立.证明对于任意n i K ∈=)(αα,定义函数||||)(1∑==nn i i e f αα那么对任意n i K ∈=)(αα,n i K ∈=)(ββ,有21122112211211111)||()||||()||(|||||||||||||||||||||)()(|∑∑∑∑∑∑∑∑========-=-≤-≤-≤-=-n i iin i in i iini i i ini ni ii ii ni ii n n ii M ee e e e ef f βαβαβαβαβαβα这里2121)||||(∑==nn i e M ,因此f 是n K 到R 的连续函数.由于nK 的单位球面}1)||(|){(2112=∈=∑=ni i n i K S αα是紧集,因此f 在S 上到达上下确界,即存在S i i ∈==)(),()0(0)0(0ββαα,使得10}|)(inf{)(C S f f =∈=ααα 20}|)(sup{)(C S f f =∈=ααβ因此对任n i K ∈=)(αα,有S ni iK n∈=∑=2112)||(||||αααα故21)||||(C f C nK≤≤αα即211221121121)||(||||)||(∑∑==≤++≤ni i n n ni i C e e C αααα下面证明01>C ,容易知道02>C 的证法是类似的.假设01=C ,那么有0||||)(1)0(0==∑=nn i i e f αα,故01)0(=∑=nn i i e α 由}{i e 是X 的Hamel 基可知,0)0(=i α,从而00=α,但这与S ∈0α矛盾.定理 4.2.5 设X 是有限维线性空间,1||||⋅与2||||⋅是X 上的两个数,那么存在常数01>C , 02>C 使得12211||||||||||||x C x x C ≤≤定理 4.2.6 有限维的赋线性空间一定是Banach 空间.证明假设}{m x 为n 维赋线性空间||)||,(⋅X 的Cauchy 列,那么对于X 的Hamel 基n e e e ,,,21 有i ni m i m e x ∑==1)(α,由2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα可知}{)(m i α亦为Cauchy 列,故存在R i ∈α,使得i m i αα→)(,因而有)(i αα=,使得0)||(2112)(→-∑=ni i m iαα令i ni i e x ∑==1α,那么0||||→-x x m ,因此}{m x 是收敛序列,所以X 是完备的.在n R 中,M 是列紧的当且仅当M 是有界闭集,在有限维赋空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋线性空间||)||,(⋅X 中紧集与有界闭集的关系.定理4.2.7 设||)||,(⋅X 是有限维的赋线性空间,那么X M ⊂是紧的当且仅当M 是有界闭集.证明设n e e e ,,,21 为||)||,(⋅X 的Hamel 基,那么对任意X x ∈,有i ni i e x ∑==1α定义n K 到X 的算子T :i ni i e T ∑==1)(αα那么存在0,021>>C C ,使得2112221121)||(||)(||)||(∑∑==≤≤ni i i ni i C T C ααα从而T 是n K 到X 的连续算子,且是一一对应的.由||)(||)||(21121ααT C ni i ≤∑=可知1-T 是X 到n K 的连续算子, 因此T 是n K 到X 的拓扑同构.所以M 的紧集当且仅当)(1M T -为n K 的紧集,从而M 是X 的紧集当且仅当M是有界闭集.第五章现代分析根底与自动化控制Fourier变换是现代分析根底的重要容,在本科期间学过的信号系统分析、自动控制理论的频域分析中很多容涉及到了Fourier的相关知识.傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的根底上开展而产生的.这方面的问题也称为傅立叶分析.傅立叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年.1822年法国数学家傅立叶提出并证明了将周期函数展开为正弦函数的原理,莫定了傅立叶变换的理论根底.进入20世纪以后.人们认识到在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中,采用频率域的分析方法较之经典的时同域(时域)方法有许多突出的优点.当今.傅立叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具.随着计算机、数字集成电路技术的开展.在傅立叶变换方法中出现了所谓的〞快速傅立叶变换〞.目前快速傅立叶变换的研究与应用已相当成熟,而且仍然在不断更新与开展.傅立叶变换不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中．而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关效学、物理和工程技术领域中得到广泛普遍的应用.滤波、调制和抽样,将模拟信号数字化；对信号进展处理改善信号性能,产生新的较理想信号.另外通过调制,使不同频率、不同时域信号可同时发送,从而到达节省频带的目的,即所谓时分复用、频分复用.,电视等也都涉及到傅里叶的变换.傅里叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史,涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究.当今傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。