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2020年10月20日，笔者有幸参加了由中国教育学会中学数学教学专业委员会、福建省教育学会数学教学委员会在福建建宁主办的“中央苏区、革命老区中学数学教师培训”活动.活动中，浙江省杭州市富阳区永兴学校的毛大平老师（以下统称“执教教师”）开设了“整式”一课，以下是笔者从数式通性视角对式的教学展开的思考.从本质上看，由于“式”是“数”的抽象，因此，在式的运算中，数的运算本质不变.从数学的整体性来看，式的运算继承了“数”的运算的法则和运算律，与数的运算保持一致.从思想方法来看，“式”是代数教学的开端，由于“式”是“数”的一般化，与“数”相比，既有继承也有发展，数式通性是在“式”的研究中具有统领地位的思想方法.用好数式通性，从“数”向“式”自然过渡，让学生能够用看“数”的眼光看“式”、能够像运算“数”一样熟练地运算“式”，能够从认知上将“数”与“式”进行统一，能够建立初步的代数观念.那么，如何实现自然过渡？如何体现数式通性？笔者认为，作为一种重要的数学思想，对学生进行数式通性观念的培养是一个逐步渗透、逐步递进的过程，本文将就此展开具体阐述.一、理解“式”，用看“数”的眼光看“式”从发展的角度看，用字母表示数是式的发展基础；从知识领域看，用字母表示数是数的进一步抽象，是更具有一般意义的数.在小学阶段，学生已经知道用字母可以表示数，学习过用字母表示运算律，因此，学生对用字母表示数的学习并不是零基础的.但这并不意味着学生有对“式”进行直接运算的能力，在对“式”进行运算之前，需要学生对“式”有充分的认识，从“数感”过渡到“式感”，对“式”有完备的认识，为运算打好基础.1.理解字母的运算逻辑要对“式”有完整的认识，就要建立起字母的运算逻辑顺序.我们知道，运算有其内在的逻辑顺序——加、减、乘、除、乘方、开方，在这样的运算逻辑下，由于字母表示数中，字母也有加、减、乘、除、乘方、开方，因此，加法和乘法的本质没有发生改变.例如，a +a =2a ，2·a =a +a =2a ，基于这样的理用好数式通性，从“数”向“式”自然过渡收稿日期：2020-11-04作者简介：应佳成（1976—），男，中学高级教师，主要从事数学课程和教学评价研究.应佳成摘要：“式”是“数”的拓展与一般化，作为运算对象，对“式”的学习是真正的代数学习.在教学中如何引导学生实现从“数”到“式”的自然过渡？笔者认为需要用好“数”与“式”之间的具体与一般关系，用好研究方式与研究结构的一致性，即用好数式通性，帮助学生从“数”的学习顺利过渡到“式”的学习.对学生数式通性观念的培养是一个逐步渗透、逐步递进的过程.文章从对“式”的认识、对运算律的遵循、对算理的理解和技能的落实、对代数体系的构建等不同发展阶段阐述如何实现从“数”向“式”的自然过渡，并提出了后续思考.关键词：数式通性；迁移类比；运算能力··8解来看2a+3a的运算，即2a+3a=()a+a+()a+a+a= 5a，表明乘法是源自相加的结果.又如，a·a·a=a3，说明乘方仍旧是源自相乘的结果.另外，2a-3a=2a+ ()-3a，2a÷3a=2a·13a=23等例子表明，在字母的运算中，减法转化为加法、除法转化为乘法等转化方式与数的运算保持一致.这都表明字母的运算兼容了数的运算，这都是数式通性的具体体现.2.明确“式”的构成要素的含义由于数有运算单位，自然需要确定式的运算单位.单项式是式的运算的最小单位，对单项式的构成要素本质的认识决定了整式的运算水平.数式通性是认识单项式构成要素的重要思想，从单项式的结构中可以明确看出构成要素.例如，5a3b表明它的运算关系是5·a·a·a·b，但是此结构与多个因数相乘不同，数是个别的，a3b代表的是类型，是运算结构，系数（5a3b中的5）、字母（5a3b中的a3，b）是单项式的构成要素，说明单项式是式的运算的最小单位.在以上认知过程中，教师需要帮助学生理解字母可以表示数，字母也可以用符合条件的具体的数来替换，这与数字因数是有差异的.基于对数字因数和字母因数的对比与分析，发现式与数之间有继承、有差异.式可以兼容数，是数的运算结构的一般化表示，从“数”过渡到“式”，明确“式”也是运算对象.3.用“式”抽象数量关系随着学生对“式”的认识水平的提升，需要进一步培养学生抽象数量关系，并用“式”表示这些关系的能力.例如，用归纳法表示简单的数列1，2，4，8，16，…，2n-1的通项公式等.在对这个问题的解决过程中，蕴含着“发现数的规律、用字母替换数、用式表示规律”等一系列思维过程，这都是从“数”向“式”过渡的良好载体.二、遵循运算律，像算“数”一样去算“式”整式的运算建立在数的运算基础之上，数的运算是式的运算的特殊情形.但是初学阶段的学生缺少这样的整体视角，因而用好数式通性，帮助学生自然地实现从数的运算迁移到式的运算是学好式的运算的关键.1.用字母替换数，明确“式”可以算整式的加减是融合数与式的学习、培育数式通性思想的最佳载体.整式的加减运算的关键是合并同类项，在学习过程中要为学生设计合理的迁移机会，抓好思维发展的细微环节.学生已经知道“式”是“数”的进一步抽象及推广，是运算对象，那么自然就会产生一个问题：“式”不等同于“数”，那么整式到底能不能相加减呢？因此，在整式的加减的教学时，要充分注意“式”与“数”的联系，类比数的运算探求整式加减运算的法则和规律.例如，可以通过设计具有分配律结构特征的数的运算进行迁移.第一步，先来计算如下三个算式：22×5+78×5；22×52+78×52；22×5×6+78×5×6，显然，以上的运算利用分配律是非常容易完成的；第二步，将上述算式中的“5”和“6”换成其他的任意数，利用分配律依然可以顺利计算出结果，并且发现能够替换“5”和“6”的数有无数组；第三步，联想到用更具有一般性的字母表示数，将上述问题中的“5”换成“a”，“6”换成“b”，就此迁移完成22a+78a，22a2+78a2，22ab+78ab的运算.在对“式”进行运算的初始阶段，要考虑到学生的学习是新旧知识相互影响与整合的过程，处理好从“数”到“式”的过渡，借助“字母表示数的意义”用字母替换数字，明确这样的“式”可以运算是非常重要的.章建跃博士曾经做出阐述：从数字到字母，用字母表示数，其意义是使数学表达趋于抽象性、普遍性，对字母进行运算、推理所获得的结果是普遍成立的.2.分析运算律，明确“式”如何算在前文阐述“式”能不能运算的过程中，已经交织着分配律的使用，事实上，“能不能算”与“怎样算”是相互交织的同一个问题.在计算22a+78a，22a2+ 78a2，22ab+78ab的过程中，离不开运算律，只有使用分配律，才能通过改变运算顺序将两个同类单项式合并，完成从“数”到“式”的学习迁移.因此，教师要引导学生重点思考运算的依据，并利用依据对“式”进行运算，进一步归纳总结出合并同类项法则.从数的运算到式的运算，运算法则和运算律的继承是运算得以实施的核心.帮助学生类比迁移数的运算结构构建式的运算结构，是发展学生代数认知体系的关键环节.··9另外需要注意的一个问题是，在式的运算中归纳出来了一些特有的运算法则，如合并同类项法则和去括号法则等.从学生的认知心理来看，这些法则是针对学生认知发展规律在学习进程中的一些过渡方式，这些法则的根本原理就是分配律，都在使用a·()b+c+d=a·b+a·c+a·d这一运算结构.例如，合并同类项2a+3a=()2+3a=5a，本质上是提取相同的因数a，使用分配律，使两项合并为一项，得到结果；又如，去括号-3()2x2-3x=-6x2+9x，其本质是-3×()2x2-3x=-3×()2x2+()-3×()-3x=()-3×2x2+()3×3x= -6x2+9x，依然是使用分配律.从本质上看，这些法则就是“式”对运算律的遵循，就是数式通性.在多项式加减运算学习之初，会有部分学生对于2x2-5x-2()4x-3x2-2这样的计算题不能理解，导致运算错误率较高.究其原因，还是学生对新法则本质的不理解造成的，抓不住根本的运算规律导致已有基础和目标之间形成了差距，影响学习进程.针对这样的问题，教师在教学中使用运算法则的同时要强调分配律所起的作用，并且不断强调算理，在每个步骤之后都强调运算本质，帮助学生将新法则化归为已有知识经验，在理解的基础上再进行运算，就可以有效解决问题.再如，在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算，各种式（整式、分式、二次根式）的运算都是在用运算律进行等价转换.讲清楚这样的本质对于提升学生的数学整体观念非常重要.三、“数”“式”统一，建立初步的代数观念代数的基本精神就是灵活运用运算律去谋求问题的统一解法.例如，有理数运算的关键在于弄懂算理，理解数的运算过程的实质；多项式的运算性质是数式通性最为直接的发展.抓住数式通性也就抓住了从算术到代数过渡的枢纽.我们知道，有理数运算是整个代数运算的基础，对有理数的研究过程（数−运算和逆运算−运算律−大小关系）提供了研究一个代数对象的基本思路.因此，有理数的研究具有基础地位和作用.基于对有理数运算基础地位的认识，教师需要边学习边构建研究框架，目的不仅仅是使学生学好有理数运算，更重要的是通过研究框架的构建，将代数知识条理化、系统化，为式的运算构建基础.有理数的运算结构如图1所示.图1站在整体视角看式的学习，“式”与“数”在研究结构上是一致的.从“数”拓展到“式”，尽管运算对象发生了变化，但是研究结构并没有发生实质性的变化.概念和运算是两个主要研究的板块，加、减、乘、除是基本运算，利用相反数将减法统一成加法，利用倒数将除法统一成乘法，其根本都是运用了逆运算，这与数的研究也是一致的.“式”的研究结构如图2所示.··10从数式通性的角度看，从数的运算扩展到“式”的运算，之所以研究结构没有发生根本变化，因为“式”与“数”的研究结构是高度抽象后的统一.《普林斯顿数学指南》一书中也指出，从长期看来，数学家慢慢放松“数”或“量”这些模糊的概念，而紧紧抓住代数结构这个比较形式的概念，到头来，每个数系无非就是可以在其上运行的实体的集合.基于以上对比，将数与式的研究结构统一，如图3所示.图3四、用好数式通性，发展学生的能力1.发展学生的运算能力数学运算是解决数学问题的基本手段，运算的过程是演绎推理的过程.式的运算能力是初中阶段需要发展的重要运算能力，培养式的运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理、简洁的运算途径解决问题.与数的运算一致，式的运算技能的落实需要在阐明原理的基础上规范思考、形成解决问题的基本步骤.从能力培养层面看，步骤化操作中蕴含着运算技能的培养：运算对象的认识（如明确观察式子，划出同类项等）—运算方法的认识（如用运算律进行项的交换、结合等）—按步骤进行操作（得到运算结果）—形成自动化（思维和能力的提升）.这样，学生面对一串算式，就能够明确每一步需要做什么，流畅的运算是对概念的进一步巩固，是对基础知识和基本技能的落实，是对思维的逻辑性的有益训练，使解决问题的过程更加有序.从更高层次看，这是数式通性的更高水平的体现.项武义先生在《基础代数学》中指出，在各种各样的代数问题中，我们总是运用各种代数运算（如加法、乘法等）来分析量与量之间的关系，系统、有效地分析代数问题中的量.由于我们常用的数系运算律对于所有数字皆普遍成立，所以其做法都可以广泛地应用到任何一个只需用到那些数系运算律的代数系统（即可以假设所处理的符号满足数系通性）.初中所学的多项式代数就是上述做法的一个典型例子.2.培养学生的迁移能力整式的运算能力只是式的运算的起点，学生在整式学习中所获得的用数式通性研究问题的经验的迁移是更为重要的能力.例如，在后续分式的学习中，数式通性同样发挥着重要作用.分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系，分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性图2··11质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的，根据这种关系，两者具有一致性，也可以说是数式通性.因此，就可以确定分式单元从研究框架到具体研究过程，都是高度类比分数的研究完成的.数式通性依然是自然、合情、合理地实现从分数向分式过渡的方法，整式的研究为其提供可借鉴、可类比的重要经验.基于已有的认知经验去认识新的研究对象，学生的认知不会产生断层.从心理学角度看，数式通性实质上是数的运算迁移或顺应，这种迁移既包括研究框架的迁移，也包括运算法则和运算律的继承.现代心理学关于迁移现象的研究表明，如果学生在学习时，对学过的知识、技能和要领掌握得牢固，且又善于分析思辨，那么所学的知识、技能和概念会对另一种知识、技能、概念产生有益的影响和推动，这是学习的正迁移.在教学中，有效利用正迁移的规律，有利于学生举一反三、触类旁通，发现“式”的研究方法. 3.培养学生思考问题的方式从更高的视角看，人的学习能力是不断发展完善的，用好数式通性统一代数问题的解决方式的过程，也是一种经验的积累，有助于学生形成数学方法与思想，学会有逻辑地思考问题，把握事物之间的关联和发展脉络，形成合乎逻辑的思维品质和理性精神，从而为其他知识领域的学习提供经验，真正提高学生的数学素养.参考文献：［1］TIMOTHY GOWERS.普林斯顿数学指南（第一卷）［M］.齐民友，译.北京：科学出版社，2014.［2］项武义.基础代数学［M］.北京：人民教育出版社，2004.［3］章建跃，鲍建生.深化课程改革，提高数学教育教学质量：暨第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动总结［J］.中国数学教育（初中版），2020（4）：2-20.［4］李海东.承上启下，注重基础，做好算术到代数的过渡：人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册介绍［J］.中学数学教学参考（中旬），2012（8）：8-12.［5］王红权.理清教什么是怎么教的必要条件：谈合并同类项教学设计的要点［J］.中国数学教育（初中版），2020（7/8）：14-18.【设计意图】第1题检测学生是否会区分单项式和多项式.第2题检测学生能否判断单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数.第3题检测学生在实际问题中列整式表示数量关系的能力.六、教学反思1.情境引入，旨在获得研究对象在环节1的情境引入中设置了五道小题，每个问题的背景都不复杂，目的是使学生能够在熟悉的情境中快速列出代数式.在这个过程中不仅回顾了用字母表示数，而且获得了本节课的研究对象.问题情境简单，不会对学生的理解造成干扰，达到了课堂引入“高效率”的效果.2.要素分析，激活学生的数学思维郑毓信教授认为，数学学科核心素养的基本含义是通过数学教学帮助学生学会数学思维.在“整式”这一课的教学中，通过类比数的结构可以研究式的结构.研究单项式，关键是要弄清楚单项式各要素之间的关系.在研究单项式后，研究多项式和整式，体现了式与式之间的关系.这样就使原本碎片化的知识点结构化，激活了学生的数学思维.由整式的学习到后续的分式、根式学习，它们之间也有内在的关联，这就是要素之间的关系.3.步骤化判断，落实基本概念在对要素与要素之间的关系进行分析，形成单项式、多项式和整式的概念后，利用概念进行步骤化的判断训练.例如，在练习1中求单项式的系数；通过问题5的填表巩固落实单项式系数和次数的概念；在练习2和综合练习中巩固落实单项式、多项式和整式的概念.以上练习实现了在课堂上落实基础知识和基本技能，避免了在学习新知识的第一时间产生两极分化.参考文献：［1］章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程：“平面向量的概念”的教学与反思［J］.数学通报，2010，49（1）：25-29，33.（上接第7页）··12。

30 -2021年第4期中学数学教学参考（上旬>f学论教基于核心素#的数学思想方法的滲透—以“直线的点斜式方程”妁例李炜斌(浙江省温岭市第二中学）摘要：基于核心素养的教学，要求教师在教学活动中，让学生在掌握知识与技能的同时，理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学思想。

本文以“直线的点斜式方程”为例，借助课堂实录，以问题链的形式阐述了如何设 计合理的教学方案，把握教学内容的本质，逐步渗透数形结合的思想方法，提升学生数学核心素养。

关键词：核心素养；思想方法；直线的点斜式方程文章编号：1002-2171(2021)4-0030-031问题的提出基于核心素养的教学，要求教师在教学活动中，使学生在掌握知识与技能的同时，理解知识的本质，感悟 知识所蕴含的数学思想。

学生数学思想方法的形成，需要在教师的启发和引导下，通过独立思考“悟”出来，是一种逐渐养成的思维习惯。

因此，如何设计合理的 教学方案，把握教学内容的本质，逐步渗透数学思想方 法，提升学生的核心素养，是教师必须认真思考的问 题。

笔者有幸参加了以“直线的点斜式方程”为课题的 市级课堂教学比赛，下面我们一起谈一谈在解析几何 起始课教学中，如何基于核心素养渗透数学思想方法。

2课前分析解析几何的本质是以坐标系为桥梁，把几何问题 转化成代数问题，再通过代数的方法研究几何问题，其中蕴含了丰富的数学思想（分类与整合思想、特殊 与一般思想、化归与转化思想等），但最重要的思想方 法，即曲线与方程对应关系所体现的数形结合思想。

“直线的点斜式方程”是解析几何的起始章节，如何在 教学中渗透数形结合思想，让学生在感知图形和观察 抽象的过程中提升直观想象和数学抽象素养，对整个 解析几何的学习，具有深远影响。

3课堂实录3.1创设问题情境，引入新课教师：最近，在网上看到一则新闻，福建船员海上 突发疾病，我们温岭的全国道德模范郭文彪先生（平 安水鬼）连夜急救。

连他自己也记不清，这是他第几 次出海营救，令人疑惑的是，出事地点离岸边往往几 百海里，在这大大小小的上千次救援中，为什么每次 救援船只都能够精确地找到救援地点。

“数学文化欣赏”选修课程的开发与研制一.国内外研究综述：近 20 年来，数学文化逐渐引起了国内外学者的关注，浙江省二轮课改的风潮又直接推动了与数学文化相关的选修课程的开发与研制.国内：1.数学文化的兴起：21世纪的中国学校教育所承担的现实责任,不再是简单地传递知识,单纯地强调智力、能力、个性或者其他具体的价值,而是站在时代发展对当代人的整体素质所提出的新的要求的高度,以知识为基础,以人文同化,化育成人为宗旨,在传承知识,培育智能,涵养品性,助长生命等方面,进行历史的、综合的、理性的探索【1】。

长期以来我们缺失对数学的人文关怀，过于重视数学知识,忽视知识背景、学生经验，重视教学过程的预设性,忽视生成性，重视外在目标,忽视内在目标【2】，注重数学的实用价值和形式训练的价值，而忽略了数学的文化价值，甚至不了解数学是一种文化，更谈不上数学教育文化观，数学文化的兴起开启了数学教育文化观：重视外在目标,忽视内在目标20 世纪80 年代，徐利治教授“数学方法论”的研究，为数学文化研究的兴起做出了重要的贡献，郑毓信教授注重数学文化本体论意义上的探索，为“数学文化学”奠定理论基础，而后齐民友先生《数学与文化》，指出了数学思维文化，试图把数学从单纯的逻辑推理图式中解放出来，去充分数学作为一种文化存在的内涵与价值，孙小礼教授的《数学与文化》从自然辩证法角度对数学进行思考。

华东师范大学张奠宙教授作了题为“‘文化数学’课程的构想——兼谈数学与中国文化”的报告，指出我们的数学教学应当架设数学文化与一般社会文化之间的桥梁，一方面让数学融入一般社会文化，一方面让文化常识为数学提供文化支持，教会学生欣赏数学，让学生感受到数学的魅力，这样才能使数学以平易近人的态势服务于广大群众。

他指出：“数学文化必须走进课堂，在实际数学教学中使得学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的品味与世俗的人情味.【1】张广君.教学的人为与人文:关注当代教学的文化历史使命[J].全球教育展望,2008(4):50一52.[2]徐晓芳.基于数学文化的数学教学模式构建[D].浙江师范大学,2009郑毓信教授表示：“数学文化学，笼统地说，即是指从文化视角对数学所作的分析，由于这不仅从一个更为广泛的角度证明了影响数学历史发展的各个因素，而且也直接涉及对于数学本质及其价值更为深入的认识，因此，从整体上说，数学文化学构成了数学哲学、数学史和数学教育现代研究的一个共同热点”。

第一章1.三张"通行证":1.学术通行2.职业通行证3.开拓通行证<填空>2.中学数学教学论（简称数学教学法）<名词解释>它是研究在中学教育系统中数学教学的目标、内容、数学教学的规律、方式、方法和手段的一门科学。

3.综合性和边缘性<简答>（1）数学学科：对象、特点、内容结构、数学方法、数学语言等。

（2）教育学和教法：教育目标、教学规律和方法等。

（3）心理学/数学方法论/逻辑学：心理原则和学习方法、中学数学思维的培养和发展规律。

（4）计算机科学：各种高效率教学方式、方法手段。

（5）哲学：一切重大的教学法问题的解决都离不开唯物辩证法的指导。

4.数学教学工作的特点：a．规律性b.科学性c.复杂性d.艰巨性5.复杂性体现到:(1)在工作一定的社会和学校环境内.(2)在教育方针指导下进行的,在一定的教育工作系统中进行的.(3)多层次,多因素的工作(教材,学生,教师,学法和教法等).6.教学是科学和艺术的完美结合（1）启发学生思维的艺术性.（2）指导学生学习方法的有效性.（3）知识传授的条理性和生动性.（4）板书和演示教具规范性.（5）分析评价学生学习成果正确性.（6）处理学生偶发事件技巧性.（7）学生学习思想教育工作全面性.（8）学生学习质量的测量与评定严肃性（9）个别学生学习辅导针对性.第二章1.中学数学教学工作：有目的、有计划进行2．中学数学教学目标、主要的依据是:（1）中学教育的性质;（2）数学学科的特点;（3）中学生的特点.3.中学数学的教学目的几个基本内容（1）双基:基础知识和基本技能.（2）数学能力:运算能力,思维能力,空间想象能力,解决实际问题能力和搜集整理信息能力,探究能力,建模能力,交流能力和实践能力,应用能力等.（3）德育:创新意识,辩证唯物主义观点和个性品质.4. 国内中学数学教学改革的概况1985年5月，颁发了《中共中央关于教育体制改革的决定》1986年4月，颁发了《中华人民共和国义务教育法》.1999年6月，颁发了《中共中央,国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》. 2000年，教育部对大纲进一步作了修订.2001年6月，《国务院关于基础教育改革与发展的决定》2001年9月，在全国38个国家级实验区进行实验.5. （初中数学课程标准设计思路）目标：结合数学教育的特点，《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能,数学思考,解决问题,情感与态度等四个方面做出了进一步的阐述.6.空间观念主要表现在:能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图,展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系;能描述实物或几何图形的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的位置关系;能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考.推理能力主要表现在:能通过观察,实验,归纳,类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据,给出证明或举出反例;能清晰,有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理,落笔有据;在与他人交流的过程中,能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑.7. 课程的基本理念（1）构建共同基础,提供发展平台（6）与时俱进地认识"双基"（2）提供多样课程,适应个性选择（7）强调本质,注意适度形式化（3）倡导积极主动,勇于探索的学习方式（8）体现数学的文化价值（4）注重提高学生的数学思维能力（9）注重信息技术与数学课程的整合（5）发展学生的数学应用意识（10）建立合理,科学的评价体系第三章1.课程改革的核心理念:为了每位学生的发展<填空>2.新课程阐述的三大关系:学生与自我的关系, 学生与他人和社会的关系, 学生与自然的关系.3.教学大纲和课程标准:教学大纲多是以遵循严密的学科体系而组织起来的,课程标准则是对学生在某一阶段的学习结果做出最低的,共同的要求.而且把"过程与方法","情感态度"作为和"知识与技能"同等重要的目标维度加以阐述.4.新课程设置研究性学习课程的目标主要在于:（1）获得亲身参与研究探索的体验.（2）培养发现问题和解决问题的能力.（3）培养收集,分析和利用信息的能力.研究性学习是一个开放的学习过程.（4）学会分享与合作.（5）培养科学态度和科学道德.（6）培养对社会的责任心和使命感.5.当前课程内容的改革（1）课程内容的基础性（2）课程内容的时代性与实用性（3）课程内容的综合性（4）课程内容的层次性和选择性（5）课程内容的人文性6.学习方式：<名词解释>学习方式又称学习风格,是人们在学习时所具有或偏爱的方式,是学习者一贯表现出来的具有个性特色的学习策略和学习倾向的总和.7.自主学习：自主学习就是"自我导向(规划),自我激励,自我监控"的学习(1)自主学习是一种主动学习。

初探合作探究式教学在高中数学教学中的应用【摘要】合作探究式教学是一种开放性的教学方法，强调学生之间的合作和探究，鼓励他们通过团队合作来解决问题和达成目标。

本文首先介绍了合作探究式教学的概念，随后分析了其在高中数学教学中的可行性，并对其与传统教学方法进行了比较。

接着通过案例分析展示了合作探究式教学在高中数学教学中的应用效果，探讨了其优势和挑战。

展望了合作探究式教学在高中数学教学中的应用前景，并总结了结论。

未来还有待进一步深入研究，以不断完善合作探究式教学在高中数学教学中的实践。

通过本文的探讨，有望为高中数学教学提供新的思路和方法，促进学生在数学学习中的综合能力的提升。

【关键词】合作探究式教学、高中数学教学、应用、可行性、比较、案例分析、优势、挑战、应用前景、结论、未来展望1. 引言1.1 背景介绍背景介绍：合作探究式教学强调学生之间的合作与交流，通过小组合作、探究性学习等方式促进学生的主动参与和发展能力。

这种教学模式注重培养学生的合作精神、创新思维和问题解决能力，符合当今社会对人才培养的要求。

在高中数学教学中，传统的教学模式存在诸多问题，比如学生对数学知识的理解和掌握程度有限，缺乏实际运用能力，学习兴趣不高等。

而合作探究式教学则可以有效地解决这些问题，激发学生学习的积极性和主动性，提高他们的学习效果和兴趣。

通过对合作探究式教学在高中数学教学中的应用进行深入研究和探讨，可以为教育教学提供新的思路和方法，促进教育教学改革的深入发展。

对于如何更好地应用合作探究式教学在高中数学教学中具有重要意义。

1.2 研究意义：合作探究式教学在高中数学教学中的应用具有重要的研究意义。

合作探究式教学能够有效提高学生的学习兴趣和参与度，让学生更加积极主动地参与到学习过程中，促进他们的学习动机和学习效果。

合作探究式教学可以培养学生的团队合作能力和沟通能力，让他们在与他人合作中学会协调和合作，培养出积极的团队精神。

合作探究式教学还能够促进学生的创新思维和解决问题的能力，培养学生的批判性思维和分析能力，提高他们的学习能力和综合素质。

内蒙古师范大学硕士学位论文波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用姓名：***申请学位级别：硕士专业：学科教学·数学指导教师：***20051010中文摘要乔治·波利亚对数学教育的研究麓贡献举世瞩目，他在数学教育上的成就主要包括解题理论、数学教育理论和教师教育理论三个方面，这三个方面的理论对我国的数学谦程与数学教学改蕈、数学教师的培养与培训都有着十分重要的指鼯意义。

本文通过对波翻耍畜关著箨麓磷究，把其中鲶波裂亚关予数学壤嚣思维理论，比较全面系统地整理出来，从宏观和微观两个方丽加以论述，使其形成一个较为完善的体系。

渡利亚的解题理论强调盼是数学憨维的教学，钝把解霪作为一种手段，通过怎样解题的教学，启迪学生的数学思维，达到培养学生分析和解决惩题麓力魏霆鳇。

解题的元认知结构是数学解题认知结构的重要组成部分，波利亚的解题理论给出＿『没有冠以心理学名词的勰题元认知理论体系。

数学解题元认鲡能力盼携高，有赖予解遂学习者善于运霜波翻亚的“穗示语”，以及蒋于提炼具有个人风格的“提示语”。

近年寒，在素质教育滋下，人钔深入｛爨究莠实载波穰亚的解题愚想。

教育创新的提嫩不仅符合时代和社会发展的要求，符合培养全面发展人的需要，而且像符合教育自身发展的客观规律，符合世界教育改革的大趋势，论文遥ｊ建借鉴渡翻驻的数学解遂愚怒，阐述了教学过程孛如俺培养学生良好的思维方式和创新精神。

数学痘发法是波剩亚予１９４５年嚣绕“怎样勰题”提出的一静教学思想。

２０世纪８０年代初期美国提出“问题解决教学思想，给出了数学启发法一种新的解释理论。

另外，本文还对波剁亚著作中的合情推理进行了分析，指出合情推理在数学发现麓创造思维中的重瑟作用，结合我溺的数学谍程改革探讨了合情推理在数学教学中的独特优势。

关键词：波利戏，数学思维，闯题解决，数学教学ＧｅｏｒｇｅＰｏｌｙａ’Ｓｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｗａｓｗｏｒｌｄ－ｆａｍｏｕｓ．Ｈｉｓａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｍａｉｎｌｙｉｎｃｌｕｄｅｄｔｈｅｏｒｙｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇ，ｔｈｅｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｏｒｙｏｆｔｅａｃｈｅｒｅｄｕｃａｔｉｏｎ．ＴｈｅｓｅｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｔｈｅｏｒｉｅｓｈａｄｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｎｔｈｅｒｅｆｏｒｍｏｆｍｏｄｅｒｎｃｉｒｒｏｃｕｍｕｌｉｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｔｅａｃｈｅｒｓｔＯｔｅａｃｈｉｎｇ，ｔｈｅｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｉｎｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｅｒｓ幻ｏｕｒｃｏｕｎｔｒｙ．ＴｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆＰｏｌｙａ’ｓｗｏｒｋｓ，ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｃｌｅａｒｓｕｐｈｉｓｔｈｉｎｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｓｉｔｆｒｏｍｂｏｔｈｍｉｃｒｏａｎｄｍａｃｒｏｐｈａｓｅｓｔｏｄｅｖｅｌｏｐａｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍ．ＴｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓＰｏｌｙａｅｍｐｈａｓｉｚｅｓｉｓａｋｉｎｄｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇ，ｗｈｏｒｅｇａｒｄｓｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓａｓａｍｅａｎｓａｎｄｔｅｌｌｓｐｅｏｐｌｅｈｏｗｔｏｅｎｌｉｇｈｔｅｎｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇｗｈｉｃｈｍａｙａｒｒｉｖｅａｔｔｈｅａｉｍｏｆｅｄｕｃａｔｉｎｇｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ａｂｉｌｉｔｙｔｏａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｏｌｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓ。

我国的数学教学方法分析我国的数学教学方法分析我国对数学教学方法的研究和改革有着优良的传统．自晚清兴办学堂以来，数学教学方法研究方面的书籍，文章就开始出现．至本世纪初所创办的数学杂志就陆续发表了数学教授法等文章，萌芽了启发式的教学思想．建国以后特别是80年代初十三院校协编组编出《中学数学教材教法》以来，数学教学方法的研究有了很大的发展，广大的数学教育工作者将教育理论与教学实践相结合，积累了大量的经验，总结出了许多切实可行的教学方法，但要形成科学的教学方法体系，有效地指导数学实践，实现教育目标，还有很多的工作要做．下面我们从对传统数学教学方法的反思、现今数学教学方法的介绍与分析及未来数学教学方法的展望三个方面谈一些见解．一、传统数学教学方法的反思近几十年来，我国数学教育工作者将国外先进的教育理论与我国数学教育实践相结合，摸索出许许多多的具有中国特色的数学教学方法，如：讲授法、谈话法、演示法、读书指导法、参观法、实验法、实习作业法、练习法、问题法(或发现法)，等等．但随着社会的发展，知识的更新以及教育理论的发展，这些教学方法需要加以反思．传统的数学教学方法主要存在以下几个问题：1)方法及名称繁多，缺乏科学的教育实验．一种数学教学方法的提出，一定要经过严格的科学的教育实验和论证，而我国过去许多教学方法往往带有很多形式的、主观的色彩，缺乏科学的教育实验的检验，有的即使进行了一定程度的教育实验，由于在因素控制、实验指标体系和评估系列的建立、数据的获得和处理等环节上不严密，因而结论也就缺乏科学性，难以指导数学教学．2)强调单一教学方法而忽视教学方法的选择与组合．单一的数学教学方法往往只能解决某一小范围的特定问题，而任何一堂数学课的教学都需要选择多种教学方法并有机地组合，这样才能取得好的效果．这就需要结合数学教学目的、内容、学生年龄特征研究特定教学模式或方法的特定组合，找出最佳的组合选择及内在的作用机制，而传统数学教学则缺乏这方面的研究，往往是教条式地搬用现有的方法．3)理论总结不够，体系混乱．尽管各种文献中出现了大量的教学方法、教学模式、教学思想等术语，但对这些术语的内涵、理论层次叙述不清，对各种具体的教学方法定义含糊，且大都采用循环定义或列举式定义，没有准确地指出其邻近的属和种差，关于教学方法的分类，只根据教学活动的外部形式分类，没有抓住教学活动中学生认识活动的特点，形不成一个具有内在联系的逻辑体系．现代教学论从对学生活动整体性的研究出发，将教学方法分为三类：一是以组织和实施学习认识活动为主的方法；二是激发学习认识活动和形成学习动机为主的方法；三是检查和自我检查学习活动效果为主的方法．三类方法中的任何一个都包含了师生的相互作用，这是值得数学教育工作者借鉴的．4)以教为重心．长期以来，数学教学方法的研究往往侧重于教材和教师，而忽视了学生学习的心理规律，这种“传授+接受”的教学形式与现代教学论倡导的“教为主导，学为主体”的思想是相违背的，它抹杀了学生的主体地位，影响了学生智力的开发和能力的培养．5)重知识轻能力．主要表现在解题以训练为中心，以“讲、练、考”为基本步骤的教学程序，单纯追求分数和升学率，从而造成“高分低能”现象的长期存在，即使注意了培养数学能力，也往往集中于某些特殊的数学能力的培训，如运算能力、推理证明能力、空间想象能力等，而忽略了一般能力如观察能力、理解能力、记忆能力、应用能力等等．6)重结果轻过程．主要表现在不展现知识发生发展的过程和揭示教材中蕴含的数学思想和方法，形成了“概念+例题”或“公式+例题”的教学模式，过分依赖于演绎体系，违背学生的思维规律和数学的发展规律，造成学生缺乏创造性思维能力的后果．7)忽视非智力因素的作用．科学实验证明，非智力因素是思维活动的重要组成部分，传统教学中往往忽视对学生学习动机、态度、兴趣等因素的研究和培养，这对发展学生的数学素质是极其不利的．传统数学教学方法不仅从理论上分析是不完善的，而且从数学教学质量的现状看也存在问题．由国家教委组织、华东师范大学承办的1987年对全国十五个省市的初中数学教学抽样调查表明，目前我国初三学生达到数学合格水平的有62.79％，不合格的有37.21％，连同未进入初中和初中阶段淘汰或辍学的合并计算，1987年在16岁的同龄人中，数学合格水平的学生人数只占31％；在1992年全国义务教育初中数学课程测验情况调查中，这个比例数虽然有所提高，但仍未见有大的改观．另一方面，从1992年“国际教育成就评估协会”发表的报告可以看出，虽然我国中学生的常规计算能力强于其他国家和地区，但数学应用能力、实际操作能力和创造能力却比较低下．例如：在诸如求两城市间的最短线、由统计图回答问题等测验中，中国学生的得分率远低于韩国和我国的台湾，也低于美、苏、英、瑞士和加拿大．欧美的中学生虽然在常规计算方面不及我国，但在用计算机绘图、储存资料、文字处理等方面却比较熟练．上述种种问题不仅反映了我国数学教育在教材、观念等方面存在问题，数学教学方法的不足也是一个重要的原因，因此，数学教学方法的改革势在必行．二、数学教学方法研究的现状当前数学教学方法研究总的来说处于探索、实验阶段．广大教育工作者特别是数学教育工作者吸取现代教学理论的精华，结合我国数学教学的实际情况，正积极探索适应世界数学教育发展潮流的科学教学方法．比较突出和较为成熟的教学方法有下面一些：1)六课型单元教学法．这是从1979年开始，由湖北大学黎世法教授根据长期实践而提出的，现已取得了丰硕的成果．它是将教材分成一个个单元，依次进行六种课型的教学：自学课、启发课、复习课、作业课、改错课、小结课．他们首先对武汉市36所中学的200名学习成绩优秀的中学生、华中理工大学1979届40名少年大学生、武汉大学1980届的60名高分录取的大学生分别进行了学习心理的调查研究．在此基础上运用教育学原理总结出包括学法在内的“最优中学教学方法”即“六课型单元教学法”，它由八个环节组成：制定计划、课前学习、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结、课外学习．2)自学辅导教学法．这是由中科院心理所卢仲衡先生提出的，曾先后在初一代数和初二几何教学中进行实验．他运用心理学方面多年的研究成果，结合数学教育实际，根据人民教育出版社统编教材的内容编写了《中学数学自学辅导教材》，使用这套教材进行教学的过程是教师先布置任务，学生自学，接着自做习题，自对答案，教师个别辅导，最后答题、讲解、小结．教师讲解不超过十分钟，不打断学生自学时的思路．这种数学自学辅导的教学实验，是近年来国内有关自学研究中规模较大，效果较好的实验，这项实验已在全国三十个省、自治区、直辖市的五十多个教学班中推广，该研究是国家教委教育科研“七五”规划重点项目之一，1985年获中科院重大科研成果二等奖．3)“尝试、指导、讲授”教学法．这是从1977年起由顾泠沅主持的上海青浦县大面积提高数学教学质量的改革实验．他们按时间和内容将实验划分为四个阶段；三年教学调查、一年筛选实验、三年实验研究，三年传播推广，到第八年就取得了数学教学质量大面积提高的效果．这个实验的特点是：通过大规模收集、分析、提炼教学经验进行教学改革．通过实验，他们找出了大面积提高数学教学质量的教学结构：1°创设问题情景，激发学生求知欲；2°讲授辅之以指导学生探究、发现、模仿、应用；3°组织变式训练，逐步增加创造性因素；4°随时搜集与评定学习效果，有针对性地进行质疑讲解，对有困难的学生给予第二次学习的机会，帮助过关．这种教学结构，来自实践，切实可行，反映和吸收了现代教学论的新思想，而且与传统经验结合得很自然．1986年，该研究成果获国家教委“建国四十年优秀教育科学成果”一等奖，1992年4月，国家教委在上海召开现场会，将青浦经验向全国推广．4)自学、议论、引导教学法．这是江苏南通市第十二中学数学教师李庚南同志提出的．他总结出优化课堂教学结构的自学、议论、引导教学法．所谓“自学”，就是学生阅读教材和参考书，自我掌握基本知识和基本技能，通过观察、分析、推理，自己去发现问题和解决问题；“议论”是指师生间讨论知识结构、学习思路、解题规律和经验教训；“引导”指教师用点拨、解惑、释疑的方法激发学生学习兴趣．该成果已由全国中学数学教学研究会编辑成录像带出版发行．5)计算机辅助教学的实验．随着计算机科学的发展和国外计算机辅助教学(CAI)的引进，CAI也逐渐运用于数学教学(见§5.5计算机科学与数学教育)，并且取得了一些可喜的成果．华东师范大学等大专院校、中小学的计算机专家、数学教育专家及中小学教师积极参与了CAI应用的研究．1985年9月在华东师范大学召开的全国计算机辅助教育学术交流会及1985年11月在天津师范大学召开的第二次全国教学应用软件讨论会，共交流论文 140多篇，其中小学、中学、大学及社会职业教育均有不少成果．1987年3月在上海成立了计算机辅助教学教育研究会，在数学CAI应用研究方面较突出的是上海师范大学数学系、华东师范大学一附中．上海师范大学附中的计算机专业教师，数学教育专业教师、中学数学教师三结合的计算机辅助教学科研组开展了《计算机辅助教学在中学数学教学中的作用》的实验研究．该实验对整套高中数学教材进行了系统的分析，根据大纲要求，编写中学数学微机辅助教学教案汇编，包括教材分析、微机盘片使用说明、典型教案实录等，还编制了系统盘片，通过两年多的实验，取得了大量的经验(参见1991年全国数学教育年会交流论文)．6)数学方法论的教育方式．数学方法论的教育方式(又称MM教育方式)是无锡市教科所徐沥泉先生于1989年秋开始并先后在66个教学班进行实验之后，首先提出的，这个实验成果于1994年通过了由王梓坤院士、徐利治教授等专家组成的专家组鉴定：这一教育方式的实施“有利于提高学生的一般科学素质，增进社会文化素养、形成和发展数学品质，从而全面提高学生素质．”并且这个教育方式的实施“可以煅炼出一支既能从事教学、又能从事科研的‘Polya型’的数学教师队伍”．因此，认为这一教育方式有进一步研究和推广使用的价值．MM教育方式指的是教师遵循数学方法论的基本原则，遵循学生身心发展和学习规律，促使教学、学习和数学发现的同步发展过程(即教学、学习、研究三者同步协调发展的过程)．这一教育方式的实施，要求教师要有意识地运用数学方法论的基本原则去处理教材、备课、安排教学环节、上课、辅导和布置作业．这一教育方式，要求实现以“提高学生一般文化素养，使他们会合理地思考、清楚地表达和有条不紊地工作的习惯；增进学生道德品质修养，即政治觉悟、科学世界观和良好的行为规范；形成和发展学生的数学品质，即牢固地掌握数学基本知识培养数学才智，发展数学才能”为基本目标的“素质教育”目标．周春荔先生指出：“MM上的仍然是数学课，内容少而精，方法为启发式；不过，它以数学方法论的分析方法作为解剖刀，师生共同参与，注意数学的文化教育功能．”所以这一教育方式的实施要求应用探索发现的启发式，渗透数学方法论的思想处理讲授数学教学内容；每一个教学环节都应为学生创设一定的思维情境，让学生积极参与教学活动，动脑、动手、又动口．所以我们认为MM教育方式既有传统教学方法之优点，又具有深刻体现数学思想方法的特色，是一种值得深入研究、实践的启发式教学方式，是一种探索式的教学方式．以上介绍了我国目前数学教学方法的实验情况．这些实验针对传统教学方法的缺陷，进行了大量的尝试，并取得了可喜的成果，受到了我国数学教育界欢迎．当然，我们认为还有下列诸问题需要做深入的研究．第一，关于推广问题．我们认为凡是取得一定成绩的教法，都应一方面继续进行深入实验，以完善其方法，另一方面要研究大面积推广的问题，以提高我国的数学教育质量．第二，关于我国数学教学方法的体系问题．我国对教学方法的研究是有优良传统的，我们认为应经过几十年的努力，发动广大教育工作者，在实验的基础上，认真地进行理论的总结，形成具有中国特色的数学教学方法体系．第三，关于继续实验问题，我国是一个人口众多，地域广大的国家，条件千差万别，水平也各有差异，各地应根据已取得的经验结合本地的实际深入地进行实验，这是一方面．另一方面，当前开展的任何一种实验都是在教学情景中进行的，变量的操作与控制难免出现失误，因此应努力消除实验结果的误差，认真分析实验的数据与结果，使结论更加科学化，以便上升为教学理论．三、我国数学教学方法发展的趋势与展望教学方法是受教育目的、教材、学生的发展水平等诸多因素制约的，而社会的发展则是上述各种因素发生改变的总根源，随着信息社会的高速发展，数学教学方法的改变也是必然的．纵观近几年来国际数学教育发展的趋势和我国数学教育发展的现状，我国数学教学方法的发展有以下几种趋势：1)计算机辅助数学教学将大面积开展．计算机是当今社会先进生产工具的代表，到21世纪，计算机工业将是全球最大的工业之一．随着计算机的普及，CAI必将渗透到教育的各个领域．到下个世纪，CAI 应用于数学教学有以下几个有利条件：一是计算机价格及软件成本不断下降，这给CAI创立了物质基础．二是随着CAI应用实验的开展，与CAI有关的学习理论问题逐步得以解决，这给CAI的应用提供了理论的指导．三是未来的数学教师的计算机知识日益丰富，使得CAI应用于数学教学有了强有力的生力军．四是CAI[1][2]下一页。

2023年数学研讨会心得体会(15篇)数学研讨会心得体会1来自全国各地的老师汇聚在“东南大学的礼堂”，聆听名师和专家的教诲，吸取教育的营养，我每天总是感觉我的手耳不够用，总是想把大师们所讲每一个观点，所上的每一节课，所讲的每一句话都记在心上。

还好整整二天半的学习，我也把笔记本记得满满的，收获颇多。

现在回到学校看着自己的学生，回想着这二天半的学习内容，我的心得体会记下来，与同行们交流。

数学课堂应该主要培养学生哪些方面的能力?是就教数学知识而纯粹教数学知识，还是在获取数学知识的同时数学思维能力也得到发展?从郑毓信教授的报告《走进数学思维》和张齐华老师的观摩课《交换律》中，让我感悟到一节好的数学课让学生在获取数学知识的同时，还应该培养学生数学思维的能力。

现就张齐华老师的一节《交换律》来看名师是怎样上数学课的，首先张老师从语句中的词语不能交换谈起，比如说“我骑马”不能说成“马骑我”等，此时话题一转，引入数学方面有些情况是能够交换的，从而引入了课题。

呈现两数相加，交换两加数的位置和还是相等的。

接下来就开始让学生进行验证，想办法证明“两数相加，交换加数的位置，和不变”，按理说当学生举出很多例子的时候，教师就可以下结论了，可张老师并没有那么做，而是出示了两位学生所举例子的情况。

一个学生全部举的是一位数与一位数交换位置和不变的情况举得例子很多，而另一位学生只举了三个例子，分别是28+9=9+28132+25=25+132等等，张老师启发学生，问到：“同学们，你们认为老师更欣赏哪位同学的举例”，于是学生就开始想，并说出了理由，通过这一环节让学生明白了在举例证明的过程中，不是例子越多越好，而是所举的例子应该全面，我想通过这样的训练对学生在以后的学习是很有帮助的，张老师是从理论的高度来上这节课的，从数学方法论来思考这一问题的，学生通过自主探索，合作交流得出了加法交换律。

可这时张老师并没有停止学生的探索，而由此引发学生思考：“是不是只有加法有这样的交换律呢?”，于是学生提出了不同的猜想，有的说“在乘法中，交换两个乘数的位置，积不变”，有的说“在除法中，交换除数与被除数的位置，商不变”，有的说“在减法中，交换被减数与减数的位置，差不变”……，这时张老师说：“同伴们，你们现在有这么多的猜想，那就来验证我们的'猜想吧!”。

数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。

这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。

马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。

它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。

因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。

这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。

1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。

在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。

在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。

因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。

而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。

法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。