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小专题(一)：利用勾股定理解决最短轨迹问题引言本文将介绍如何利用勾股定理解决最短轨迹问题。
最短轨迹问题是一种经典的数学问题，它关注如何在给定的起点和终点之间找到一条最短路径。
通过运用勾股定理，我们可以得到一个简单而有效的解决方案。
勾股定理的基本原理勾股定理是一个三角学中的基本定理，它描述了直角三角形中三条边的关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边的平方和。
具体公式如下：$a^2 + b^2 = c^2$其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。
解决最短轨迹问题的步骤要解决最短轨迹问题，可以按照以下步骤进行操作：1. 确定起点和终点的坐标。
起点的坐标记为 $(x_1, y_1)$，终点的坐标记为 $(x_2, y_2)$。
2. 计算起点和终点之间的直线距离。
直线距离可以使用勾股定理计算，即 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
3. 寻找最短路径。
通过选择合适的路径，使得路径长度最小。
根据勾股定理，路径长度与直线距离相等。
4. 绘制最短轨迹。
将起点、终点和最短路径绘制在坐标系上。
示例以下是一个示例，说明如何利用勾股定理解决最短轨迹问题。
假设起点的坐标是 $(2, 3)$，终点的坐标是 $(5, 7)$。
根据步骤2，计算直线距离：$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$根据步骤3，最短路径长度等于直线距离。
因此，最短路径长度为5。
根据步骤4，绘制起点、终点和最短路径在坐标系上，可以得到以下图像：结论本文介绍了如何利用勾股定理解决最短轨迹问题。
通过计算直线距离和选择最短路径，我们可以有效地解决这个问题。
勾股定理是一个简单而强大的工具，在许多数学和几何问题中都具有重要的应用价值。
请注意，本文仅为示例和概述，并不涉及具体的实践细节和数学计算。
《勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题》教案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学过程分析第一环节：情境引入创设情景：如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB为12cm,BC是上底面的直径。
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到C点，试求出蚂蚁爬行的最短路线长。
意图：创设引入新课，从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，激发学生探究热情．第二环节：合作探究内容：引导学生分析题意，明确已知信息，明确题目问题，引导学生合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论汇总方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，四种方案：A A A（1）（2）（3）（4）通过具体分析，得出最短路线，并计算出最短路线长。
让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，分析能力，发展空间观念．就此问题的解决进行思路小结：将立体图形问题转化为平面图形问题，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，渗透了建模思想。
练习：1.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？第三环节：拓展一：正方体内容：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路线长又是多少呢？1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到BBA渗透解题思路：即 1、展 -----（立体图形转为平面图形）2、找-----起点A，终点B或B′3、连-----最短路线AB和AB ′4、算-----利用勾股定理总结：对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A⇒R⇒B D．A⇒S⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．AB= 51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD1=132322212=+=+DDMD．5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：如图，AB=()1012122=++．故选C．9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。
解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB= =25．A BA1B1D CD1C121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形，∴AC1=()5342142222212=+=++=+BCAB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
勾股定理最短路径问题
勾股定理最短路径问题是一种在数学和计算机科学领域中常见的问题。
该问题
的目标是找到两个给定点之间的最短路径，并且路径中的每个线段都恰好满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理，它表明在一个直角三角形中，斜边的平方等
于两个直角边的平方和。
勾股定理最短路径问题则是将这个定理应用到路径规划中。
为了解决这个问题，我们可以使用图论中的最短路径算法，如Dijkstra算法或
A*算法。
首先，我们将给定的起点和终点转化为图中的节点，节点之间的连接表
示可以直接连接的路径。
在每个节点中，我们需要计算到达该节点的路径长度。
以起点为起始节点，我
们开始遍历每个相邻节点，并通过计算其与起点的距离来更新节点的路径长度。
这个过程会持续进行，直到所有节点的路径长度都被计算出来。
接下来，我们需要根据勾股定理来评估路径的长度。
对于连接起点和终点的路
径上的每一段线段，我们可以根据勾股定理计算其长度。
通过将每一段线段的长度累加，我们可以得到整条路径的长度。
最后，我们可以使用最短路径算法来确定具有最短长度的路径。
这将帮助我们
找到勾股定理最短路径问题的解决方案。
总结而言，勾股定理最短路径问题是一个涉及路径规划和数学定理应用的问题。
通过使用最短路径算法，我们可以找到满足勾股定理的最短路径，从而有效地解决这个问题。
勾股定理的应用计算船只航行的最短距离在几何学中，勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两边的平方和。
这个定理由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
勾股定理在数学和物理学中有广泛的应用，其中一个具体的应用就是计算船只航行的最短距离。
假设有一艘船从港口A出发，经过一片开阔的海域，要到达港口B。
在这个海域中存在着一个小岛C，船只需要绕过这个小岛才能到达目的地。
我们需要计算船只绕过小岛航行的最短距离。
为了方便计算，我们将海域坐标系建立在岛屿C的中心，让岛屿C的坐标为(0, 0)。
船只出发点A的坐标为(x1, y1)，目的地B的坐标为(x2, y2)。
现在的问题是，如何计算船只绕过小岛C航行的最短距离。
根据勾股定理，我们可以计算船只从A点到达B点的直线距离。
直线距离是两点之间的直线段长度，可以利用勾股定理计算：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这个结果是船只在不绕岛的情况下的最短距离。
然而，由于岛屿C的存在，船只需要绕过岛屿才能到达目的地B。
为了计算船只绕过岛屿C航行的最短距离，我们需要找到一个离A点和B点最近的点D，这个点位于岛屿C上。
然后，我们可以计算船只从A点到达D点的距离，再计算船只从D点到达B点的距离。
将这两个距离相加，就可以得到船只绕过岛屿C航行的最短距离。
那么，如何找到离A点和B点最近的岛屿上的点D呢？这里我们可以运用数学中的最小值原理。
设岛屿上的点D的坐标为(xd, yd)，由于D点是岛屿上的点，所以满足勾股定理：CD = √(xd^2 + yd^2)AD = √((x1 - xd)^2 + (y1 - yd)^2)BD = √((x2 - xd)^2 + (y2 - yd)^2)要使得船只绕过岛屿C航行的距离最短，我们需要最小化AD + BD。
因此，我们的目标是找到使得AD + BD最小的点D的坐标(xd, yd)。
最短距离公式最短距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用来计算两个点之间的最短距离。
在实际生活中，最短距离公式被广泛应用于地图导航、工程设计、运输物流等领域。
本文将对最短距离公式的原理、应用和优化进行详细介绍。
一、最短距离公式的原理最短距离公式是基于勾股定理的推导而来的。
勾股定理指的是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
根据勾股定理，我们可以得出最短距离公式的基本形式：d = √((x2-x1) + (y2-y1))其中，d表示两点之间的最短距离，x1和y1分别表示第一个点的横纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横纵坐标。
最短距离公式的原理就是通过勾股定理计算出两点之间的距离。
二、最短距离公式的应用1.地图导航地图导航是最短距离公式的常见应用之一。
在地图上，我们可以将地点的坐标表示为经纬度或平面直角坐标系中的坐标，通过最短距离公式计算两个地点之间的距离，从而确定最短路径。
地图导航软件如高德地图、百度地图等都是基于最短距离公式实现的。
2.工程设计在工程设计中，最短距离公式可以用来计算两个点之间的距离，从而确定物体的大小、位置、形状等参数。
例如，在建筑设计中，可以利用最短距离公式计算出建筑物的高度、宽度、长度等参数；在机械设计中，可以利用最短距离公式计算出机械零件之间的距离，从而确定机械的尺寸和形状。
3.运输物流在运输物流中，最短距离公式可以用来计算货物的运输距离、时间和成本。
例如，在物流配送中，可以利用最短距离公式计算出配送点之间的距离，从而确定最短路径和最优配送方案；在货物运输中，可以利用最短距离公式计算出货物的运输距离和时间，从而确定运输成本和时间。
三、最短距离公式的优化最短距离公式的计算量较大，特别是在大规模数据的情况下。
为了提高计算效率，可以采用以下优化技术：1.分段计算将距离的计算分成多个步骤，每次计算两个点之间的距离，然后将这些距离相加得到总距离。
这种方法可以避免单次计算量过大，提高计算效率。
最短路程问题.一.圆柱问题（1）如图所示。
有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。
在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（п的值取3）（2）有一圆柱形油罐,如图所示,要以A点开始环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米）二.正方体：如图，正方体的棱长为1cm,一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，怎样爬行路线最短？(请画出表面展开图)。
三.长方体：如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？（分三种情况讨论）解：长方体侧面展开图一共有三种情况，如上图，其距离分别是：第一种：第二种：第三种：总结：长方体给出的长、宽、高三个数据，把较小的两个数据的和作为一条直角边的长，最大的数据作为另一条直角边的长，这时斜边的长即为最短距离。
练习:1. 如图,是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是______________2. 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_________3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点(点B为所在棱的中点)，那么它所爬行的最短路线的长度是_____．四.如图，一个长方体鱼缸长30，宽24，高18，鱼缸内A处有一只金鱼想要游到B处吃食物，那么，它从A处游到B 处的最短距离是多少？专题：两条动线段的和的最小值问题————关键找出两个定点．．．．（点A 和点B ）和一条定直线．．．（对称轴）练习1：如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？练习2：如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？练习3：有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm ，高AB=60cm ，水深为AE=40cm ，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG=60cm ；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？如图，定点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点．．，当点C 在直线l 的什么位置时，AC +CB 的和最小？ 作法： (1)作点A 关于直线l 的对称点A ′； (2)连接A ′B ，与直线l 相交于点C ． 则点C 即为所求． (3)连接AC A • B •l。
勾股定理在最短路径问题中的应用标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用导言：最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。
数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。
本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。
一、勾股定理概述1.1 勾股定理定义勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。
它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。
二、最短路径问题介绍2.1 最短路径问题的定义最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。
这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用3.1 最短路径问题的建模在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。
对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边的长度作为两个节点之间的距离。
3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。
3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题中的应用。
假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。
4. 总结与回顾通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。
勾股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最短路径问题的求解提供了便利。
通过建立一个适当的数学模型，我们可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。
勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．AB⇒R⇒B D．A⇒S⇒解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB= 51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1，根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，MD 1= 132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）第7题1解：如图，AB=C ．9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB== cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体1A B A 1B 1D C D 1C 12410．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形，∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．解：在Rt△ABD中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．所以AB=17cm．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。
解：由题意得，路径一：AB== ；路径二：AB==5；路径三：AB== ； ∵ ＞5，AB C D.12830∴5米为最短路径．13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．解：（1）AB的长就为最短路线．然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），或（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是cm．（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm．15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，则所走的最短线段是=6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，所以走的最短线段是= cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，所以走的最短线段是=2 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短．51．圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故答案为25．17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。
解：将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．圆柱21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬B5行的最短距离 .解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ，D 分别是BE ，AF 的中点． AF=2π•5=10π．AD=5π． AC=22CD AD ≈16cm ．故答案为：16cm ．22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为.第2题第3题解：AB=1312522=+m．解：因为圆柱底面圆的周长为2π×π6=12，高为5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 =13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则1=12cm．AD=24×2又因为CD=AB=9cm，所以AC= =15cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm．故答案为：15．25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子表示）解：QA=3，PB1=2，即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，根据勾股定理得：QP=最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
Ⅰ.求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案例1．为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。
已知A、B、C 之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
（1）可设计AB+AC路径；（2）可设计AD+BD+CD路径；（3）可设计AE+EB+EC路径。
通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）Ⅱ。
求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点，求BN＋MN＋MC的最小值。
Ⅲ。
求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3．已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。
解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。
而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。
Ⅰ。
在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程Ⅱ。
在长方体（正方体）中，求最短路程例5．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则最短路程为多少.解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：（1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：s1=（2）将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为：s2=（3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为：s3=然后比较s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点C1处。
