山东省济宁市泗水一中高一上学期期末模拟 数学 Word版含答案.pdf

山东省济宁市第一中学2024-2025学年高一上学期11月阶段性学业检测数学试题一、单选题1．命题“R x ∃∈，使210x x +-=”的否定是（）A ．R x ∃∈，使210x x +-≠B ．不存在x ∈R ，使210x x +-=C ．R x ∀∉，使210x x +-≠D ．R x ∀∈，使210x x +-≠2．图中的U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，则表示()()U U A B ⋂痧）的阴影部分是（）A ．B ．C ．D ．3．“函数()211f x ax ax =-+的定义域为R ”是“4a <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数y =2﹣|x |的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．已知0x ≥，2y >，且11112x y +=+-，则x y +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．96．设21225253252,,,5535a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a b c d ,,,的大小关系是（）A ．a c b d >>>B ．c a d b >>>C ．c a b d >>>D ．c d a b>>>7．定义在上的奇函数()f x 在0,+∞上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x ≥-的解集为（）A ．110,33∞⎡⎫⎛⎫⎤-⋃⋃+⎪ ⎪⎢⎦⎣⎭⎝⎭B ．({}1,0,3∞⎡-⋃⋃⎢⎣C ．)110,33∞⎛⎤⎡⎤-⋃⋃+ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．(11,,033∞⎡⎤⎡-⋃-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣8．已知幂函数()2242(1)mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()[)12,1,5xg x a x =-∀∈时，总存在[)22,5x ∈使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是（）A ．∅B ．[]3,7C ．()3,7D ．[)3,7二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“3x <”是“3x ≤”的必要不充分条件B ．1y x=在()(),00,-∞+∞ 上单调递减C ．函数24312m m y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2D ．设a ∈R ，则方程220x x a ++=有两个负实数根的充要条件是01a <≤10．已知函数)1fx =+则（）A ．()()²1R f x x x =-∈B ．()f x 的最小值为1-C ．()23f x -的定义域为[2,)+∞D ．1(f x的值域为[0,)+∞11．对于任意的[],x x ∈R 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A ．函数[],y x x =∈R 的图象关于原点对称B ．函数[],y x x x =-∈R 的值域为[)0,1C ．对于任意的,x y ∈R ，不等式[][][]x y x y +≤+恒成立D ．不等式[]22[]10x x +-<的解集为{01}xx ≤<∣三、填空题12．20.523513105(1)216427--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-÷+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．已知函数()3,0,0x x x y f x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则(2)f =．14．若定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 满足：对任意的()(),,00,x y ∈-∞+∞ ，都有：()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,0x y >时，还满足11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则不等式()1f x x ≤-的解集为．四、解答题15．已知集合{}2230,20,01x A x B x x mx m m x ⎧⎫+=≤=--≤>⎨⎬-⎩⎭．(1)当2m =时，求A B ⋂和B R ð；(2)若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，这样的实数m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．16．已知幂函数()()()2252kf x k k x k =+-∈R 在区间()0,∞+上单调递增．(1)求k 的值；(2)若()12f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()221f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；17．已知函数()()()2111f x m x m x m =+--+-．(1)若不等式()0f x ≥对一切实数x 恒成立，求m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()32f x x m ≥+-；18．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本200万元，每生产x （千部）手机，需另外投入成本()R x 万元，其中()210100800,050100005046450,502x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪-⎩，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完．(1)求2024年该款手机的利润y 关于年产量x 的函数关系式；(2)当年产量x 为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？19．设函数()x xf x a a -=-（R x ∈，0a >且1a ≠）．(1)若01a <<，证明()y f x =是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；(2)若()10f <，求使不等式()()24f x tx f x ++-<0恒成立时，实数t 的取值范围；(3)若()312f =，()()222x xg x a a mf x -=+-，且()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求实数m 的值．。

2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题一、单选题1．sin390°的值是（）A ．12B ．2C ．D ．12-【正确答案】A【分析】根据终边相同的角，将390-︒化成30-︒，再利用30︒的三角函数值与sin()α-的公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，得()()1sin 390sin 30360sin 302︒=︒+︒=︒=故选：A．2．“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求θ；必要性判断：应用诱导公式化简()f x 并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f x x θ=+为偶函数时sin(2)sin(2)x x θθ-=+，则2sin 2cos 0x θ=恒成立，即2k πθπ=+，Z k ∈；当,2πθ=时，()sin(2)cos 22f x x x π=+=为偶函数；综上，“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的必要不充分条件.故选：B3．已知函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（）A ．2或1-B ．1-C ．4D ．2【正确答案】D【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.【详解】由幂函数的定义知211m m --=，解得1m =-或2m =．又因为()f x 为偶函数，所以指数222m m --为偶数，故只有2m =满足．故选：D ．4．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】C【分析】可以看出0,0,0a b c ><<，直接排除A 、B ，再比较1,1b c >-<-，从而选出正确答案.【详解】可以看出37π是一个锐角，故3sin07a π=>；又4cos cos 72ππ<，故10b -<<；又34tan tan77ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而43274πππ<<，故1c <-；从而得到c b a <<，故选C.比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.5．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数()22sin 2cos f x x x =-+的最大值和最小值分别是（）A ．2,2-B ．52,2-C ．12,2-D ．5,22-【正确答案】B 【分析】，函数可化简为()2152cos 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,本题转化为函数215222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,[]1,1t ∈-的最值求解即可.【详解】根据题意()222152sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,则[]1,1t ∈-,因为函数的对称轴为12t =-,所以根据二次函数的图像和性质得:当12t =-时,min 52y =-;当1t =时,max 2y =.故选:B.7．要得到函数214y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度【正确答案】B根据212148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断.【详解】21sin 2148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到218y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.故选：B.8．已知函数24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．119,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．119,4216⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【正确答案】C【分析】由log (1)1a y x =++在[0，)∞+上单调递减，得01a <<，由()f x 在R 上单调递减，得114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，利用数形结合思想能求出a 的取值范围．【详解】解：由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上单调递减，得01a <<，又由24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上单调递减，得204(0)1a f +≥=，解得1a 4≥，所以114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，由图象可知，在[0,)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解，当42a >，即12a >时，联立2|4|2x a x +=-，即242x a x +=-，则214(42)0a ∆=--=，解得：916a =，当142a ≤≤时，即1142a ≤≤，由图象可知，符合条件．综上：119,4216a ⎡⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．故选：C ．二、多选题9．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【正确答案】AC【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到sin y x =、sin y x =、cos y x =的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确.【详解】函数tan y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故①正确；函数sin y x =不是周期函数，故②不正确；函数sin y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；函数cos y x =的周期为2π，故④不正确.故选：AC.10．已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）A ．12sin cos 25αα=B ．7sin cos 5αα+=C ．0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4tan 3α=【正确答案】ABD【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα故选：ABD11．设函数()ln ,0,cos ,30,2x x f x xx π>⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩则（）A ．()f x 的定义域为[)3,∞-+B ．()f x 的值域为[)1,-+∞C ．()f x 的单调递增区间为[)2,-+∞D ．()12f x =的解集为23⎧-⎨⎩【正确答案】AD【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分0x >，30x -≤≤，利用对数函数和余弦函数的性质求解判断；C.利用函数的图象判断；D.分0x >，30x -≤≤，令1()2f x =求解判断.【详解】因为函数ln ,0()πcos ,302x x f x xx >⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为[30](0)[3,)∞-⋃+=-+∞，，，故A 正确；当0x >时，()(),f x ∈-∞+∞，当30x -≤≤时，[]()1,1f x ∈-，所以()f x 的值域为[11]()()-⋃-∞+∞=-∞+∞，，，，故B 错误；如图所示：当0x >时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，当30x -≤≤时，()f x 的单调递增区间为[20]-，，但在[2)∞-+，上不单调，故C 错误；当0x >时，1()ln 2f x x ==，解得x =当30x -≤≤时，π1()cos 22x f x ==，解得23x =-，D 正确.故选：AD ．12．存在实数a 使得函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，则实数m 可以取值为（）A ．14-B ．0C ．14D ．12【正确答案】ABC【分析】把问题转化为22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，利用换元法求22x x y -=+的最小值，再转化为关于a 的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【详解】函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，即方程22230x x ma a -+-+-=有唯一根，也就是22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，令2x t =，则112222x x xx y t t-=+=+=+，由“对勾函数”的单调性可知，当1t =，即0x =时，y 有最小值2，可得232ma a -+=，即210ma a -+=，当0m =时，1a =符合题意，当0m ≠时，则2(1)40m ∆=--，解得14m且0m ≠．综上，实数m 的取值范围是(-∞，1]4．故选：ABC三、填空题13．化简：22(1tan )cos αα+=_____.【正确答案】1【详解】()222222cos sin 1tan cos cos 1cos αααααα++=⋅=，故答案为1.14．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.【详解】由已知4π<α＋4π<34π，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭>0，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3.15．若42log (34)log a b +=a b +的最小值为_____.【正确答案】7+【详解】试题分析：由42log (34)log a b +=34ab a b =+，即304ab a =>-，所以4a >，312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--4a =+时取等号，所以a b +的最小值为7+1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．已知函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移π3个单位长度，纵坐标不变，可得到()g x 的图象，若()()()122120g x g x x x ⋅=>>，则12x x +的最小值为____________．【正确答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而根据()g x 的有界性可知()()122g x g x ==，根据最值点即可由三角函数的性质求解.【详解】有题意得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于对任意的x ∈R ，()g x ,故根据()()()122120g x g x x x ⋅=>>得()()12g x g x ==()()12g x g x ==若()()12g x g x ==，因此12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+且m k >,因此12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为13π12，若()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2且m k >,因此121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为25π12，故12x x +取最小值，且最小值为13π12，故13π12四、解答题17．已知集合{}2|560A x x x =--<，集合{}2|6510B x x x =-+≥，集合()(){}|90C x x m x m =---<.（1）求A B ⋂；（2）若A C C = ，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1|13A B x x ⎧⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）31m -≤≤-.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ⋂；（2）由A C C = ，可知A C ⊆，得到不等式组，解得.【详解】解：（1）{}2|560A x x x =--< ，{}2|6510B x x x =-+≥，()(){}|90C x x m x m =---<{|16}A x x ∴=-<<，1|3B x x ⎧=≤⎨⎩或12x ⎫≥⎬⎭，{|9}C x m x m =<<+1|13A B x x ⎧∴⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）由A C C = ，得A C ⊆，961m m +≥⎧∴⎨≤-⎩解得31m -≤≤-.本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边经过点(,3)A a ，4cos 5α=-.(1)求a 和tan α的值；(2)求sin()2sin()233sin()sin()2πααπαπα-++++-的值.【正确答案】(1)4a =-，3tan 4α=-；(2)1115-.【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出tan α；（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.【详解】（1）由题意得：4cos 5α==-，解得4a =-，所以3tan 4α=-.（2）原式32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534αααααα+-+-+====--+-+--.19．已知函数()2sin(2)6f x x π=+．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴；(2)求()f x 在ππ[,]64-上的最大值和最小值．【正确答案】(1)最小正周期为π，对称轴ππZ 62k x k =+∈，(2)最小值为1-，最大值为2【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论π26x +的取值范围即可求解最值.【详解】（1）()f x 的最小正周期为2ππT ω==，令ππ2π,Z 62x k k +=+∈，可得ππZ 62k x k =+∈，即为对称轴.（2）ππππ2π1π,,2,sin(2)16466326x x x ⎡⎤∈-∴-≤+≤∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦,π12sin(2)26x ∴-≤+≤，所以当ππ266x +=-，即π6x =-时()f x 的最小值为1-，当ππ262x +=，即π6x =时()f x 的最大值为2.20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量()/P mg L 与过滤开始后的时间t （小时）的关系为0kt P P e -=.其中0P 为过滤开始时废气的污染物数量，k 为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？（2）求污染物减少50%所需要的时间.（计算结果参考数据：ln 20.7=，ln 3 1.1=，ln 5 1.6=）【正确答案】（1）81%；（2）35个小时【分析】（1）由当5t =时，()0110%P P =-，可得()500110%k P P e --=，从而可求出参数1ln 0.95k =-，进而可知，当10t =时，081%P P =；（2）当050%P P =时，可求出ln 0.5ln 25351ln 2ln52ln 3ln 0.95t ==⋅+-.【详解】解：（1）由0kt P P e -=可知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%P P=-.于是有()500110%k P P e --=，解得1ln 0.95k =-，那么1ln 0.950P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=，所以，当10t =时，1ln 0.910ln 0.81500081%P P e P e P ⎛⎫⨯⎪⎝⎭===，∴过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物.（2）当050%P P =时，有1ln 0.950050%t P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=.解得15lnln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时.本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数k 的值是本题的关键.本题的易错点是误把()/P mg L 当成了已消除的污染的数量.21．已知函数()2233()log log 3f x x a x =--，x ∈[13，9].(1)当a =0时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值为-6，求实数a 的值.【正确答案】(1)[]3,1-(2)2-【分析】（1）由题意可得()23()log 3f x x =-，结合定义域，逐步可得函数的值域；（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）当a =0时，()23()log 3f x x =-，x ∈[13，9].∴[]3log 1,2x ∈-，()[]23log 0,4x ∈，∴()[]23()log 33,1f x x =-∈-，∴函数f (x )的值域为[]3,1-；（2）令[]3log 1,2t x =∈-，即函数[]2()23,1,2g t t at t =--∈-的最小值为6-，函数2()23g t t at =--图象的对称轴为t a =，当1a ≤-时，()min ()1226g t g a =-=-=-，解得2a =-；当1a 2-<<时，()2min ()36g t g a a ==--=-，解得a =当2a ≥时，()min ()2146g t g a ==-=-，解得74a =（舍）；综上，实数a 的值为2-22．已知定义域为R 的函数()22x x b n f x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）{}40a a -<<；（Ⅲ）{}0a a ≥.【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到b 的值，再利用奇函数得到()00f =，进而得到n 的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断()f x 的单调性，再利用奇偶性和单调性得到23x x a x +=-，把23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，得到221t a at -≤-，把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，利用二次函数的图像特点求解即可.【详解】（Ⅰ）由指数函数x y b =的图象过点(2,4)，得2b =，所以2()222x x n f x +=-⋅-，又()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-，经检验，当1n =-时，符合()()f x f x -=-，所以121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）12111()22221x x x f x +-+==-+++，因为21x y =+在定义域内单调递增，则121xy =+在定义域内单调递减，所以()f x 在定义域内单调递增减，由于()f x 为R 上的奇函数，所以由()23()0f x x f a x ++-+=，可得()()23()f x x f a x f a x +=--+=-，则23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，即()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，则()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩，所以实数a 的取值集合为{}40a a -<<.（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，由()22(1)0f t a f at -+-≥，得()()221f t a f at -≥-，所以221t a at -≤-，即2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，由题意()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，得0a ≥，所以实数a 的取值范围为.{}0a a ≥关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.。

2021-2022学年山东省济宁市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|0≤x ≤3}，B ={x|1<x <4}，则A ∪B =( )A. {x|1<x ≤3}B. {x|0≤x <4}C. {x|1≤x ≤3}D. {x|0<x <4}2. “x >2”是“x 2−2x >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0log 12x,x >0，则f[f(−2)]=( )A. −1B. 0C. 1D. 24. 函数f(x)=√x −(12)x−2的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 设a =log 20.5，b =log 0.50.2，c =212，则a ，b ，c 三个数的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. b <c <a6. 函数f(x)=x 3⋅ln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.7. 2021年，我国先后发射天河核心舱、问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站——“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设．“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为( )千米．(参考数据：π≈3.14)A. 471.70B. 450.67C. 235.85D. 225.338.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，都有x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0成立，则不等式mf(m)−(2m−1)f(2m−1)>0的解集为()A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (−1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列命题为真命题的是()A. 若a>b，c<d，则a−c>b−dB. 若ab>0且a>b，则1a <1bC. 若a>b>0，c<d<0，则ac<bdD. 若a<b<0，则a2<ab<b210.下列说法正确的是()A. 函数y=sinx+1sinx的最小值为2B. 若正实数a，b满足a+b=1，则12a +2b的最小值为92C. 关于x的不等式ax2+bx+1<0的解集是(1,2)，则a+b=−1D. 函数f(x)=log a(x2+mx+1)(a>0且a≠1)的定义域为R，则实数m的取值范围是(−∞,−2)∪(2,+∞)11.已知θ∈(0,π)且满足sinθ⋅cosθ=−1225，|sinθ|>|cosθ|，则下列说法正确的是()A. θ∈(π2,π) B. tanθ=−43C. tanθ=43D. sinθ+cosθ=1512.函数y=[x]的函数值表示不超过x的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2，设函数f(x)={1−x 2,x<0,x−[x],x≥0,则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x≥0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x+a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是[0,+∞)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“∃x ∈R ，x 2−x +1>0”的否定是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P(−1,2)，则sinθ=______．15. 已知y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23+m(m ∈R)，则f(−8)=______． 16. 已知函数f(x)=x +kx 具有以下性质：如果常数k >0，那么函数f(x)在区间(0,√k)上单调递减，在区间[√k,+∞)上单调递增．若函数y =x +a−1x(x ≥1)的值域为[a,+∞)，则实数a 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集为R ，集合A ={x|1≤x ≤2}，B ={x|x <m 或x >2m +1，m >0}．(1)当m =2时，求A ∩B ；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．18. 已知f(α)=sin(π2+α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2−α)cos(2π−α)tan(π−α)．(1)化简f(α)；(2)若f(π3−α)=13，求cos 2(π6+α)+cos(2π3+α)的值．19.已知函数f(x)=ax2−x+a2+1(a∈R且a≠1))．(1)若函数f(x)在区间[0,1]内为单调函数，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)>a(a+1)x(a>0)．20.已知函数f(x)=e x+e−x．(1)证明：函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增；(2)若x∈[−1,t](t>−1)时，记函数f(x)的最大值为g(t)，求g(t)．21.某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元且开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为km2，二月底测得该水生植物的面积为24m2，三月底测得该水生植物的面积为40m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y= ka x(k>0,a>1)；另一个是同学乙提出的y=px12+k(p>0,k>0)，记2021年元旦最初测量时间x的值为0．(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)22.已知函数f(x)=kx+log3(3x+1)(k∈R)为偶函数．(1)求实数k的值；x+log3(a⋅3x−a)(a∈R)有且仅有一个实数根，求实数a的取(2)若方程f(x)=12值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A ={x|0≤x ≤3}，B ={x|1<x <4}， 则A ∪B ={x|0≤x <4}． 故选：B ．利用集合并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由题，解不等式x 2−2x >0，可得x >2或x <0， 因为{x|x >2}是{x|x >2或x <0}的子集，所以“x >2”是“x 2−2x >0”的充分不必要条件， 故选：A ．可先求解不等式“x 2−2x >0”，再由充要条件的定义进行判断即可． 本题考查了充分条件，必要条件，充要条件，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)={2x ,x ≤0log 12x,x >0，∴f(−2)=2−2=14，f[f(−2)]=f(14)=log 1214=2．故选：D ．推导出f(−2)=2−2=14，从而f[f(−2)]=f(14)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为[0,+∞)，易知函数在[0,+∞)上单调递增，∵f(1)=1−2<0，f(2)=√2−1>0，∴函数f(x)的零点一定在区间(1,2)，故选：B．确定函数的定义域为[0,+∞)与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵log20.5<log21=0，∴a<0，∵log0.50.2>log0.50.25=2，∴b>2，又∵c=212=√2，且1<√2<2，∴a<c<b，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x3⋅ln|x|的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(−x)=−x3⋅ln|x|=−f(x)，可得f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故排除选项A、C；当x>1时，f(x)>0，故排除选项B．故选：D．首先判断f(x)的奇偶性，再讨论x>1时，f(x)的符号，由排除法可得结论．本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为2×(388.6+6371.4)π90≈2×6760×3.1490=471.7千米．故选：A．以(388.6+6371.4)千米为轨道半径，计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：令g(x)=xf(x)，因为f(x)为R上的偶函数，即f(−x)=f(x)，所以g(−x)=−xf(−x)=−xf(x)=−g(x)，所以g(x)为R上的奇函数，因为对任意的x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，都有x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0成立，即对任意的x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，都有g(x1)−g(x2)x1−x2<0，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，根据奇函数的对称性可知g(x)在(−∞,0)单调递减，即在R上单调递减，则不等式mf(m)−(2m−1)f(2m−1)>0可转化为g(m)>g(2m−1)，所以m<2m−1，解得，m>1．故选：C．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.【答案】ABC【解析】解：对于A，a>b，c<d⇒a>b，−c>−d⇒a−c>b−d，故A正确；对于B，因为ab>0，所以a>b⇒aab >bab⇒1b>1a，故B正确；对于C，a>b>0，c<d<0⇒−c>−d>0⇒−ac>−bd>0⇒ac<bd，故C正确；对于D ，取a =−2，b =−1，代入结论，显然错误，故D 错误． 故选：ABC ．根据不等式的基本性质，逐项判断即可．本题考查不等式的基本性质及其应用，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于A ，当sinx =−1时，函数y =sinx +1sinx 的值为−2，故A 错误； 对于B ，若正实数a ，b 满足a +b =1， 则12a+2b =(12a+2b )(a +b)=2a b+b 2a+52≥2√2a b⋅b 2a+52=92，当且仅当2ab =b2a 时，12a +2b 的最小值为92，故B 正确； 对于C ，关于x 的不等式ax 2+bx +1<0的解集是(1,2)， 则{a >01,2是方程ax 2+bx +1=0的两个根， ∴{1+2=−ba 1×2=1a，解得a =12，b =−32，∴a +b =−1，故C 正确；对于D ，函数f(x)=log a (x 2+mx +1)(a >0且a ≠1)的定义域为R ， ∴x 2+mx +1>0的解集为R ， ∴Δ=m 2−4<0，解得−2<m <2， 实数m 的取值范围是(−2,2)，故D 错误． 故选：BC ．当sinx =−1时，函数y =sinx +1sinx 的值为−2，由此判断A ；对于B ，利用均值不等式判断B ；对于C ，利用一元二次不等式的性质判断C ；利用对数函数的性质判断D ． 本题考查命题真假的判断，考查正弦函数的性质、均值不等式、一元二次不等式的性质、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：θ∈(0,π)且满足sinθ⋅cosθ=−1225，| ∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ∈(π2,π)，∵|sinθ|>|cosθ|， ∴sinθ>−cosθ， ∴sinθ+cosθ>0，∵sin 2θ+cos 2θ=1，sinθ⋅cosθ=−1225， ∴sin 2θ+cos 2θ+2sinθ⋅cosθ=125，∴sinθ+cosθ=15，由{ sinθ+cosθ=15sinθcosθ=−1225，解得sinθ=45，cosθ=−35， ∴tanθ=−43． 故选：ABD ．根据同角的三角函数的关系，即可求出sinθ=45，cosθ=−35，可得答案． 本题考查了同角的三角形函数的关系，考查了运算求解能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：当x ∈[0,1)时，[x]=0，所以f(x)=x −[x]=x ； 当x ∈[1,2)时，[x]=1，所以f(x)=x −[x]=x −1； 当x ∈[2,3)时，[x]=2，所以f(x)=x −[x]=x −2； 当x ∈[3,4)时，[x]=3，所以f(x)=x −[x]=x −3； ……当x ∈[n,n +1)，n ∈N 时，[x]=n ，所以f(x)=x −[x]=x −n ； 作出函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ≥0,的图象，如下图所示：由图象可知，函数f(x)的值域为(−∞,1)，故A错误；由图象可知，若x≥0，则f(x)∈[0,1)，所以[f(x)]=0，故B正确；由图象可知，函数f(x)与y=1没有交点，所以方程f(x)=1无实数根，故C错误；在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=−x+a的图象，如下图所示：由图象可知，若方程f(x)=−x+a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是[0,+∞)，故D正确．故选：BD．由题意可知，当x∈[n,n+1)，n∈N时，[x]=n，所以f(x)=x−[x]=x−n，作出函数f(x)和y=1的图象，由图象即可判断A，B，C是否正确；在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=−x+a的图象，由图象即可判断D是否正确．本题属新概念题，考查了数形结合思想和分类讨论思想，理解新概念的定义是解答本题的关键，作出图象是难点，属于中档题．13.【答案】∀x∈R，x2−x+1≤0【解析】解：根据题意，命题“∃x∈R，x2−x+1>0”是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2−x+1≤0，故答案为：∀x∈R，x2−x+1≤0．根据题意，由特称命题的否定方法分析可得答案．本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．14.【答案】2√55【解析】解：因为在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(−1,2)，所以sinθ=√(−1)2+22=2√55．故答案为：2√55．直接根据任意角三角函数的定义求解即可．本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题．15.【答案】−4【解析】解：由y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23+m(m∈R)，可得f(0)=0，即0+m=0，解得m=0，则f(−8)=−f(8)=−823=−4，故答案为：−4．由奇函数的性质可得f(0)=0，求得m，再由奇函数的定义计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】(−∞,2]【解析】解：当a−1≤0，即a≤1时，y=x+a−1x在[1,+∞)上单调递增，故y|x=1=a，满足题设；当a−1>0，即a>1，若a−1≥1，即a≥2时，函数在[1,√a−1)上单调递减，在(√a−1,+∞)上单调递增，故y|x=√a−1=2√a−1=a，可得a−2；若a−1<1，即1<a<2时，函数在[1,+∞)上单调递增，故y|x=1=a，满足题设．综上，a∈(−∞,2]．故答案为：(−∞,2]．当a≤1判断单调性，进而确定最值即可求范围，当a>1再讨论√a−1和1的大小关系，结合f(x)=x+kx的性质，判断[1,+∞)上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围．本题主要考查函数的单调性，函数的值域，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当m=2时，B={x|x<2或x>5}，且A={x|1≤x≤2}，∴A∩B={x|1≤x<2}；(2)∵∁R B={x|m≤x≤2m+1,m>0}，且A⊆∁R B，∴{m>0m≤12m+1≥2，解得12≤m≤1，∴实数m的取值范围是[12,1]．【解析】(1)得出集合B，然后进行交集的运算即可；(2)可求出∁R B，然后根据A⊆∁R B即可得出m的范围．本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意得，f(α)=cosα⋅(−cosα)⋅(−sinα)−cosα⋅cosα⋅(−tanα)=cosα；(2)若f(π3−α)=13，则cos(π3−α)=13，∴cos2(π6+α)=cos2(π2−(π3−α))=sin2(π3−α)=1−cos2(π3−α)=1−19=89，cos(2π3+α)=cos(π−(π3−α))=−cos(π3−α)=−13，则cos2(π6+α)+cos(2π3+α)=89−13=59．【解析】(1)直接利用三角函数的诱导公式化简；(2)利用诱导公式及三角函数的恒等变换化简求值．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．19.【答案】解：(1)①当a=0时，则f(x)=−x+1在区间[0,1]内为单调减函数，当a≠0时，函数f(x)=ax2−x+a2+1的图象对称轴为x=12a，②当a>0时，若函数f(x)在区间[0,1]内为单调函数，则12a ≥1，即0<a≤12，③当a<0时，12a<0，∴函数f(x)在区间[0,1]内为单调减函数，∴实数a的取值范围为(−∞,12].(2)因为f(x)>a(a+1)x，即ax2−x+a2+1>a(a+1)x，整理得，ax2−(a2+a+1)x+a2+1>0，即(x−1)[ax−(a2+1)]>0，即(x−1)[x−(a+1a)]>0，因为当a>0时，a+1a>1，所以关于x的不等式f(x)>a(a+1)x的解集为{x|x<1或x>a+1a}．【解析】(1)分类讨论a的值，再利用二次函数的单调性求解即可．(1)利用一元二次不等式的解法求出解集即可．本题考查二次函数的性质，含有字母系数的一元二次不等式的解法，是中档题．20.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1<x2，则f(x2)−f(x1)=(e x2+e−x2)−(e x1+e−x1)=e x2−e x1+1e x2−1e x1=(e x2−e x1)(1−1e x2e x1)=(e x2−e x1)e x2e x1−1e x2e x1，因为0≤x1<x2，所以e x2>e x1，e x2e x1>1，所以ex 2−ex 1>0，e x 2e x 1−1e x 2e x 1>0，所以(e x 2−e x 1)e x 2e x 1−1e x 2e x 1>0，所以f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增．(2)解：因为f(−x)=e −x +e x =e x +e −x =f(x)， 所以函数f(x)为偶函数，因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，所以当−1<t <1时，x =−1时函数f(x)取得最大值，即g(t)=f(−1)=e +e −1， 当t ≥1时，x =t 时函数f(x)取得最大值，g(t)=f(t)=e t +e −t ， 所以g(t)={e +e −1,−1<t <1e t +e −t ,t ≥1．【解析】(1)利用单调性的定义证明即可，(2)先判断函数为偶函数，则结合(1)可得f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，然后根据偶函数图象的对称性和函数的单调性可求出f(x)的最大值．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)由三月底面积增量几乎是二月的一倍，根据幂函数，指数函数，对数函数增长快慢的比较，选择y =ka x 比较合适；由题意可得{24=ka 240=ka3，∴{a =53k =21625， ∴y =21625×(53)x ；(2)由(1)知，一月底时水生植物的面积为21625×(53)1=21615；假设x 月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即21625×(53)x ≥10×21615，∴(53)x ≥503，∴xlg 53≥1+lg 53，因lg 53>0，即x ≥1+1lg 53=1+11−lg2−lg3≈5.5，即6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．【解析】(1)根据幂函数，指数函数，对数函数增长快慢的比较，易判断出选择哪个模型；(2)利用(1)得出的函数模型，即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，指数与对数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴−kx +log 3(3−x +1)=kx +log 3(3x +1)， ∴2kx =log 3(3−x +1)−log 3(3x +1)=log 33−x +13x +1=log 313x =log 33−x =−x ，∴k =−12．(2)方程f(x)=12x +log 3(a ⋅3x −a)(a ∈R)有且仅有一个实数根，∴方程−12x +log 3(3x +1)=12x +log 3(a ⋅3x −a)(a ∈R)有且仅有一个实数根， 即方程x =log 33x +1a(3x −1)(a ∈R)有且仅有一个实数根，即方程3x =3x +1a(3x −1)(a ∈R)有且仅有一个实数根， 令t =3x ，则t >0，∴方程at 2−(a +1)t −1=0只有一个正根， ①当a =0时，t =−1<0，不符合题意； ②当a >0时，Δ=(a +1)2+4a >0，∴方程at 2−(a +1)t −1=0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2， 则t 1⋅t 2=−1a <0，∴t 1，t 2异号，即一正一负，符合题意； ③当a <0时，设f(t)=at 2−(a +1)t −1，注意到f(0)=−1，要使方程at 2−(a +1)t −1=0只有一个正根，则{−−(a+1)2a>0Δ=(a +1)2+4a =0，解得a =−3−2√2，综上所述，实数a 的取值范围为{a|a >0}∪{−3−2√2}.【解析】(1)利用f(−x)=f(x)，结合对数的运算性质即可求出k 的值．(2)方程f(x)=12x +log 3(a ⋅3x −a)(a ∈R)有且仅有一个实数根，等价于方程−12x +log3(3x+1)=1x+log3(a⋅3x−a)(a∈R)有且仅有一个实数根，即方程3x=23x+1(a∈R)有且仅有一个实数根，令t=3x，则t>0，所以方程at2−(a+1)t−1=0 a(3x−1)只有一个正根，再对a分三种情况讨论，结合二次函数的图象和性质分别求出a的取值范围，最后取并集即可．本题主要考查了偶函数的性质，考查了对数的运算性质，以及一元二次方程根的分别，属于中档题．。

2024学年山东省济宁市济宁一中数学高三第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 2．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．4003．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A B ．7C D 4．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度5．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．2C ．3D 6．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ）A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --7．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）9．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 211B ．525-C ．5D ．5110．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．3,2)C ．2,3)D ．2)11．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 31B 31C 132D 13212．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

泗水一中2013届高三期末模拟试题 数学（理） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 的图象关于直线及直线对称，且时，，则 ( ) A． B． C． D． 5．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为 ( ) A． B． C． D． 6．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 A． B． C． D． ，则不等式的解集为（ ）A .B . C. D. 8．已知,且,则的最小值为 A． B． C． D．的图象如图所示，为得到函数的图象，可将的图象（ ）个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 10．已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（ ） B． C． D． 11．已知函数满足，当时，，若在区间内， 函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 12．设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的，成等差数列，设数列的前项和为，且，则对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，小于的最小正整数为（ ） A．B．C．D． 填空题：本大题共4小题，每小题分，共分． 满足约束条件，则的最大值是 。

[ 14．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是 。

15．点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题： ①三棱锥的体积不变；②∥平面； ③；④平面平面其中正确的命题序号是 若，使得成立，则实数的取值范围是 三、解答题：本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分l0分) 已知圆的圆心为，半径为。

直线的参数方程为（为参数），且，点的直角坐标为，直线与圆交于两点，求的最小值。

18．(本小题满分l2分) 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形， ABC=60，EC面ABCD，FA面ABCD，G为BF的中点， 若EG//面ABCD． (1)求证：EG面ABF； (2)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值． 19.（本小题满分12分） 某项计算机考试按科目A、科目B依次进行，只有大拿感科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试，已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目均合格方快获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试合格的概率为，假设各次考试合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得证书的概率； （2）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求随即变量的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分） 已知椭圆M的中心为坐标原点 ，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交M于A，B两点。

2020-2021学年度第一学期质量检测高一数学试题2021.02一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合A={x|-2<x<1},B={-2,- 1,0,1,2},则A ∩B=A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1} 2.已知命题p:21,40,x x ∃>-<则¬p 是2.1,40A x x ∃>-≥ “”2.1,40B x x ∃≤-< 2.1,40C x x ∀≤-≥2.1,40D x x ∀>-≥3.“2πϕ=”是“函数sin()y x ϕ=+为偶函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.若0.5222,sin,log 0.2,5a e b c π===则a ､b ､c 的大小关系为 A.b>a>c B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a5.函数cos(2)4y x π=+的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos2x 的图象 A.向左平行移动4π个单位长度B.向右平行移动4π个单位长度 C.向左平行移动8π个单位长度 D.向右平行移动8π个单位长度 6.函数y=xcosx+sinx 在区间[-π,π]上的图象大致为7.已知角A ､B ､C 分别是△ABC 的三个内角,且4cos 25A =则cos(B+C)= 7.25A - 16.25B - 7.25C 16.25D 8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术",即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a ､b ､c,则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---,其中p 为三角形周长的-半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为 3.2A B.3 .7C .11D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是.A a b >2211.B a b < 22.C ac bc > D.a-c>b-c 10.若方程220x x λ++=在区间(-1,0)上有实数根,则实数λ的取值可以是A.-3 1.8B 1.4C D.111.已知1(0,),sin cos 5θπθθ∈+=-,则下列结论正确的是.(,)2A πθπ∈ 3.cos 5B θ=- 3.tan 4C θ=- 7.sin cos 5D θθ-= 12.已知实数12,x x 为函数21()()|log (1)2x f x x =--|的两个零点,则下列结论正确的是 12.(2)(2)(,0)A x x --∈-∞12.(1)(1)(0,1)B x x --∈ 12.(1)(1)1C x x --= 12.(1)(1)(1,)D x x --∈+∞三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡31log 22513.39lg 2lg 22+++=____. 14.已知函数1()2(0x a f x a x a -=++>且a ≠1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标为____.15.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为____.16.若实数x,y 满足x>y>0,且22log log 1,x y +=则22x y x y+-的最小值为____.四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(10分)在①A ∪B=B;②"x ∈A"是“x B ∈”的充分不必要条件;③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(II)问的横线处,求解下列问题.问题:已知集合A={x|a-1≤x ≤a+1},B={x|-1≤x ≤3}.(I)当a=2时,求A ∪B;(II)若______,求实数a 的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)如图,角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,若点P 的坐标为04(,).5y - (I)求tanθ-sin2θ的值;(II)若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40°,得到角α,设tanα=m,求tan(θ+85°)的值.19.(12分)目前,"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制,但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要,某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒,药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比;当药熏过程结束,药物即释放完毕,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值.此后,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为1()32t a y -=(a 为常数).已知从药熏开始,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化 曲线如图所示.(I)从药熏开始,求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;(II)据测定,当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时,学生方可进入教室,那么从药熏开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?20.(12分)已知函数1()2sin cos().62f x x x π=-- (I)求函数f(x)的最小正周期;(II)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间.21.(12分)设函数2()(2) 3.f x ax b x =+-+(I)若不等式f(x)>0的解集为(-1,1),求实数a,b 的值;(II)若f(1)=0,且存在x ∈R ,使f(x)>4成立,求实数a 的取值范围.22.(12分)已知函数()sin cos ,()sin 2().f x x x g x x f x =+=- (I)求函数y=f(x)图象的对称轴的方程;(II)当[,0]2x π∈-时,求函数g(x)的值域;(III)设91()91x x h x -=+,存在集合M,当且仅当实数m ∈M,且在x ∈(0,+∞)时,不等式()()02x mh h x ->恒成立.若在(II)的条件下,恒有ag(x)∉M(其中a>0),求实数a 的取值范围.。

2023-2024学年山东省济宁市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则两者的交集为（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |x ≤3或x ≥4}D ．{x |2≤x <4}【正确答案】A【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则两者的交集为{x |2<x ≤3}故选：A.2．若幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【正确答案】D先求出幂函数的解析式，从而可求出()3f 的值【详解】解：设幂函数()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点()2,4，所以24α=，解得2α=，所以()2f x x =，所以()2339f ==，故选：D 3．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（）.A ．102x <<B ．1x >C ．2x >D ．0x <【正确答案】C解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式101x<<，∴011x x>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1x >，故不等式的解集为：(1,)+∞，则其一个充分不必要条件可以是2x >，故选：C ．本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．4．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角的弧度数是（）A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.【详解】设扇形所在圆半径为r ，则扇形弧长为62r -，依题意，1(62)22r r -=，解得2r =或1r =，所以扇形的中心角的弧度数是62621r r r -=-=或62624r r r-=-=.故选：C5．已知sin cos αα+=π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22cos sin αα-=（）A B ．C ．D 【正确答案】A【分析】原式平方可得12sin cos 4αα=，然后可求cos sin αα-的平方，结合α的范围即可求解.【详解】∵()215s 2in cos sin cos 4αααα=++=，∴12sin cos 4αα=，∵()213cos sin 12sin cos 144αααα-=-=-=，∴cos sin 2αα-=±，又∵π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0sin cos αα<<∴cos sin αα-=.∴22cos sin αα-=()()cos sin cos sin =αααα+-4故选.A6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度．若25aT =℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：lg 30.48≈，lg 50.70≈，lg11 1.04≈）（）A ．3.5分钟B ．4.5分钟C ．5.5分钟D ．6.5分钟【正确答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算可得1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25a T =℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11501025511h⎛⎫== ⎪⎝⎭，又水温从75℃降至55℃，所以()1552575252h t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13032505t h⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11110322115tt t hh ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以10113lg3lg 3lg 50.480.75log 5.51051lg111 1.04lg 11t --===≈=--，所以水温从75℃降至55℃，大约还需要5.5分钟.故选：C.7．函数sin cos x xy x+=在区间[]2,2ππ-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C判断函数非奇非偶函数，排除选项A 、B ，在计算x π=-时的函数值可排除选项D ，进而可得正确选项.【详解】因为()sin cos x xf x x-+-=，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，所以sin cos x xy x+=既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A 、B ，因为()()()sin cos 10f πππππ-+---==<-，排除选项D ，故选：C思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．已知函数2()21x x af x -=+为奇函数，2()ln(+)g x x b =，若对任意12,x x R ∈，12()()f x g x ≤恒成立，则b 的取值范围为（）A ．(0,e]B ．(),e -∞C ．[e,)+∞D ．[e,0)-【正确答案】C【分析】根据奇函数求出1a =，进而求出()1f x <，然后结合题意可知要使对任意12,x x R ∈，12()()f x g x ≤恒成立，只需max min ()()f x g x ≤，进而结合复合函数的单调性求出()g x 的最小值，从而可求出结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，又()f x 为奇函数，∴1(0)011af -==+，解得1a =，∴21()21x x f x -=+，所以2122()112121x x x f x +-==-<++，要使对任意12,x x R ∈，12()()f x g x ≤恒成立，只需max min ()()f x g x ≤，显然0b >，由复合函数的单调性可知2()ln(+)g x x b =在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又min ()ln()g x b =，∴ln()1b ≥，即e b ≥，故选：C 二、多选题9．设a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a bc c >B ．a b>C ．33a b >D ．a c b c>【正确答案】AC【分析】A 选项，由不等式的基本性质求解；BD 选项，可举出反例；C 选项，作差法比较大小.【详解】因为a b >，2c 为分母，所以20c >，由不等式的基本性质可知：22a bc c >，A 正确；不妨设0,1a b ==-，满足a b >，但a b <，B 错误；()()()222332324b a b a ab b a a b b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为a b >，所以0a b ->，且223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，所以()33223024b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故33a b >，C 正确；当0c =时，a c b c =，D 错误.故选：AC10．已知函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】BCD【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==，故A 错误；1cos 2cos 1111124224f ππππ⎛⎫⨯+=⎛⎫= ⎪⎝⎪⎭⎭=- ⎝，所以函数()f x 的图象关于直线1124x π=对称，故B 正确；2cos 2coscos 0122277244f πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎛⎫⨯+=-== ⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,7121212x πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，因为cos y x =在[]0,π上单调递减，所以()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确；故选：BCD11．若函数()f x 满足：当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[]0,1，则称()f x 为局部0~1的函数，下列函数中是局部0~1的函数的是（）A ．1()2x f x-=B ．()f x =C ．2()1f x x =+D ．2()log (1)=+f x x 【正确答案】BD【分析】利用给定的定义，逐项分析函数的单调性，并求出函数值域判断作答.【详解】对于A ，1()2x f x -=在R 上是增函数，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是1[,1]2，A 不是；对于B ，()f x ==32x 在[)0,∞+上单调递增，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是[]0,1，B 是；对于C ，2()1f x x =+在(1,)-+∞上单调递减，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是[]1,2，C 不是；对于D ，2()log (1)=+f x x 在(1,)-+∞上单调递增，当[]0,1x ∈时，函数()f x 值域是[]0,1，D 是．故选：BD12．已知函数221,0()|ln 2,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-⎪⎩，若关于x 的方程()()R f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A ．01k <<B ．121x x +=-C ．23e ex <<D ．412340ex x x x <<【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，探求出函数()f x 的性质，作出函数图象，把方程()f x k =有四个不同的实数解转化为函数()y f x =的图象与直线y k =有4个公共点求解作答.【详解】当0x <时，函数2(1)2f x x x =++在(,1)-∞-上递减，函数值集合为(0,)+∞，在(1,0)-上递增，函数值集合为(0,1)，当0x >时，函数()|ln 2|f x x =-在2(0,e )上递减，函数值集合为(0,)+∞，在2(e ,)+∞上递增，函数值集合为(0,)+∞，作出函数()y f x =的部分图象，如图，方程()f x k =有四个不同的实数解，等价于函数()y f x =的图象与直线y k =有4个公共点，观察图象知，当01k <<时，函数()y f x =的图象与直线y k =有4个公共点，即方程()f x k =有四个不同的实数解，A 正确；因为二次函数221y x x =++图象对称轴为=1x -，因此122x x +=-，B 不正确；当2(0,e )x ∈时，()2ln f x x =-，由()2ln f x x k =-=，01k <<，得2e e x <<，因此23e e x <<，C正确；当0x >时，234e e x x <<<，由34()()f x f x k ==，得342ln ln 2x x -=-，解得434e x x =，1210x x <-<<且122x x +=-，则212222(2)(1)1x x x x x =--=-++，有1201x x <<，所以412340e x x x x <<，D 正确.故选：ACD思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.三、填空题13．命题“0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x <”的否定是______．【正确答案】00,4x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin cos x x ≥【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果.【详解】因为“sin cos x x <”的否定是“sin cos x x ≥”，∴“0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x <”的否定是“00,4x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin cos x x ≥”，故00,4x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin cos x x ≥14．已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【正确答案】9【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】 正数x ，y 满足：111x y+=，∴()114445529y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时“=”成立，故答案为.915．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据复合函数单调性即可求得a 的取值范围.【详解】()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上单调递增所以23x ax a -+在区间[)1,+∞上单调递增所以对称轴12ax =≤，解得2a ≤当1x =时，230x ax a -+>，解得12a >-a 的取值范围是1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦故1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦16．已知π3sin()34x -=，且π06x <<，则π2πsin()cos()63x x +-+的值为___________.【分析】利用换元法令π3t x =-，则结合诱导公式可得π2πsin()cos()2cos 63x x t +-+=，求cos t 的值注意符号的判断．【详解】令πππ,363t x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π,π623x t x t +=-+=-∵π3sin()sin 34x t -==，则cos 4t =()π2ππsin cos sin cos π2cos 6322x x t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=---==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．四、解答题17．求值：（1）113231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅++++【正确答案】（1）32-（2）1792【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.【详解】（1）1103231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭13271()18=-+133312()12⨯=--+32=-（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅++++421log 32221log ln 2lg 4lg 54e =++++-1281lg10022=-+++-1792=本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.18．从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合1|2324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，2}²440|R {B x x x m m =-+-≤∈,.(1)若m =3，求A B ⋃；(2)若存在正实数m ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的，求正实数m 的取值范围.【正确答案】(1)[2,5]-；(2)条件选择，答案见解析.【分析】（1）把3m =代入，分别求出集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答.（2）选①，由AB 列式求解即可；选②，由BA 列式求解作答.【详解】（1）依题意，25222x -≤≤，解得25x -≤≤，即[2,5]A =-，当3m =时，解不等式2450x x --≤得：15x -≤≤，即[1,5]B =-,所以[2,5]A B =-U .（2）选①，由（1）知，[2,5]A =-，0m >，解不等式2²440x x m -+-≤得：22m x m -≤≤+，即[2,2]B m m =-+，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，则有AB ，于是得2225m m -<-⎧⎨+≥⎩或2225m m -≤-⎧⎨+>⎩，解得4m >或4m ≥，即有4m ≥，所以正实数m 的取值范围是4m ≥.选②，由（1）知，[2,5]A =-，0m >，解不等式2²440x x m -+-≤得：22m x m -≤≤+，即[2,2]B m m =-+，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的必要不充分条件，则有BA ，于是得2225m m -<-<+≤或2225m m -≤-<+<，解得03m <≤或03m <<，即有03m <≤，所以正实数m 的取值范围是03m <≤.19．已知不等式2320ax x -+>的解集为{|<1x x 或}()>>1x b b ，(1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式2(2)20cx ac x -++<．【正确答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【分析】（1）由题意知一元二次方程2320ax x -+=的解为121,x x b ==，再由韦达定理列出方程组，即可解出答案；（2）由题意知()2(2)22(1)0cx c x cx x -++=--<，讨论c 与0，2的大小关系，即可写出答案.【详解】（1）由题意知一元二次方程2320ax x -+=的解为121,x x b ==，且1b >，0∆>，由韦达定理有.12123+==1+=1,=22==x x b a a b x x b a ⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（2）由（1）知1,2a b ==，则原不等式等价于2(2)20cx c x -++<，因式分解得：()2(1)0cx x --<，当0c =时：不等式的解集为：{>1}x x ；当0c <时：不等式的解集为：2<x x c ⎧⎨⎩或}>1x ；当02c <<时：不等式的解集为：21<<x x c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；当=2c 时：不等式的解集为：∅；当2c >时：不等式的解集为：2<<1x x c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；20．研究发现，在40分钟的一节课中，注力指标p 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩.(1)在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；(2)根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【正确答案】(1)82；(2)不能.（1）014t <≤，216464p t t =-++，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；（2）求出80p >时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论.【详解】（1）014t <≤，2211646(12)8244p t t t =-++=--+，当12t =时，p 取最大值为82，在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），注意力指标的最大值为82；（2）由80p >得，()201411282804t t <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩或()3144083log 580t t <≤⎧⎨-->⎩整理得()2014128t t <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或()31440log 53t t <≤⎧⎨-<⎩，解得1214t -≤或1432t <<，80p >的解为1232t -<<，而32(122025--=+<，所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容.本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题.21．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称.(1)若()f x 的最小正周期为2π，求()f x 的解析式；(2)若4x π=-是()f x 的零点，且()f x 在75(,)189ππ上单调，求ω的取值集合.【正确答案】(1)()sin()4f x x π=+；(2){}1,3.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数性质求出,ωϕ即可作答.（2）根据函数()f x 的零点，及图象的对称轴，求出ω的表达式，再结合单调性确定ω范围，讨论验证即可作答.【详解】（1）因()f x 的最小正周期为π，则22ππω=，解得1ω=，因()f x 的图象关于直线4x π=对称，有42k ππϕπ+=+，Z k ∈，而||2πϕ≤，则0k =，4πϕ=，所以函数()f x 的解析式是()sin()4f x x π=+.（2）因4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为函数()f x 图象的对称轴，则有14k πωϕπ-+=，42k ππωϕπ+=+，1Z ,k k ∈，因此()122k k ππωπ=-+，1)2(1k k ω=-+，又0ω>，于是得21,N n n ω=+∈，即ω为正奇数，因()f x 在75(,)189ππ上单调，则函数()f x 的周期2572()9183T ππππω=≥-=，解得06ω<≤，当5ω=时，154k πϕπ-+=，1k Z ∈，而||2πϕ≤，则4πϕ=，()sin(5)4f x x π=+，当75189x ππ<<时，79109536436x πππ<+<，显然5542x ππ+=，即75(,)189920x πππ=∈时，()f x 取得最大值，因此函数()f x 在75(,)189ππ上不单调，不符合题意，当3ω=时，134k πϕπ-+=，1k Z ∈，而||2πϕ≤，则4πϕ=-，()sin(3)4f x x π=-，当75189x ππ<<时，1117312412x πππ<-<，而11173(,)()121222ππππ⊆，因此函数()f x 在75(,)189ππ上单调，符合题意，当1ω=时，14k πϕπ-+=，1k Z ∈，而||2πϕ≤，则4πϕ=，()sin(4f x x π=+，当75189x ππ<<时，232936436x πππ<+<，而2329(,)(,)36362ππππ⊆，因此函数()f x 在75(,)189ππ上单调，符合题意，所以ω的取值集合是{}1,3.22．已知函数()()12log 2sin 1 3.f x x =+-(1)求f (x )的定义域；(2)若0,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，求f (x )的值域;(3)设R a ∈，函数()2232g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01 g x f x =成立，求a 的取值范围.【正确答案】(1)7{|22,Z}66x k x k k ππππ-<<+∈；(2)[4,3]--；(3)53(,][1,]32-∞- .【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数2sin 1y x =+在[0,]6π上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【详解】（1）函数12()log (2sin 1)3=+-f x x 有意义，有2sin 10x +>，即1sin 2x >-，解得722,Z 66k x k k ππππ-<<+∈，所以函数f (x )的定义域为7{|22,Z}66x k x k k ππππ-<<+∈.（2）当06x π≤≤时，10sin 2x ≤≤，则12sin 12x ≤+≤，121log (2sin 1)0x -≤+≤，4()3f x -≤≤-，所以f (x )的值域是[4,3]--.（3）由（2）知，1[0,]6x π∈，14()3f x -≤≤-，函数()2232g x x a x a =--图象对称轴232a x =，而[0,1]x ∈，当2312a ≤，即a (0)23g a =-≥-，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则必有2(1)1324g a a =--≤-，解得53a ≤-或1a ≥，显然无解，当2312a >，即3a <-或3a >时，函数()2232g x x a x a =--在[0,1]上单调递减，()()()10g g x g ≤≤，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则(0)3(1)4g g ≥-⎧⎨≤-⎩，于是得2231324a a a -≥-⎧⎨--≤-⎩，解得53a ≤-或312a ≤≤，满足a <a >，因此53a ≤-或312a ≤≤，所以a 的取值范围是53(,][1,]32-∞- .结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

2023-2024学年山东省济宁市高一上学期期末质量检测数学模拟试题一、单选题．．．．”是“)0a b -<1a b <+二、多选题三、填空题四、解答题(1)求t与x之间的关系式；(2)求y关于x的函数解析式；参考答案：1．C【分析】根据交集运算求解即可.【详解】由题意可得：.A B = {}3,1,1--故选：C.2．D【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：“，”的否定是“，”.x ∀∈R e 10x x --≥x ∃∈R e 10xx --<故选：D.3．A【分析】以0和1为中间值比较即可.【详解】因为，所以，22log 3log 21>=1a >因为，所以，33log 0.3log 10<=0b <因为，所以，0.20033-<<01c <<所以.a c b >>故选：A.4．B【分析】利用函数奇偶性的定义逐个选项分析即可.【详解】对于A ，令，，故，即()()sin g x y x f x ==+()()sin g x x f x -=--()()g x g x =--是奇函数，故A 错误，()g x 对于B ，令，而，故()()sin h x y x f x ==⋅()()()()sin (1)sin h x y x f x x f x h x -==-⋅-⋅=⋅=是偶函数，故B 正确，()h x 对于C ，令，，显然当时，不是偶()()cos m x y x f x ==+()()cos m x x f x -=-()0f x ≠()m x 函数，故C 错误，对于D ，令，而,故，即是奇函数，()()cos t x y x f x ==⋅()()cos t x x f x -=⋅-()()t x t x =--()t x 故D 错误.由图像得共有个交点，故有个零点，即C 正确.3()f x 3。