山东省济宁市嘉祥县第一中学2020-2021学年高三上学期期末数学(理)试题数学试卷理科

2020届山东省济宁市高三上学期期末数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合{|11}M x x =-≤≤，{|124}x N x =<<，则MN = A ．{|10}x x -≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x ≤<D ．{|12}x x -≤< 2．若0.1212,ln 2,log 5a b c ===,则( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >> 3．在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．24．已知A ,B ,C 为不共线的三点,则“AB AC AB AC +=-”是“ABC ∆为直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是( )A ．1B ．92C ．9D ．187．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±8．已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>,若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是( )A ．3ln 30,2+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2ln 2+ C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9．下列命题中的假命题是（ ）A ．x R ∀∈，120x ->B ．*∀∈x N ，()210x ->C ．x R ∃∈，lg 1x <D ．x R ∃∈，tan 2x =二、多选题10．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( ) A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 11．己知mn 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )A ．若//,//m n αβ且//,αβ则//m nB ．若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβC ．若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m βD ．若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β12．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( ) A ．S 2019<S 2020 B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．在()8x -的展开式中,含44x y 项的系数是_______.14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =________.15．下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD-的外接球的体积为__________3cm ．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002t N N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）五、解答题17．已知等差数列{}n a 满足246a a +=,前7项和728S =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()()122121n n nn a a b +=++,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．已知()()2sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.19．如图,在平行四边形ABCD 中,1,2,120AB BCBAD ==∠=,四边形ACEF 为正方形,且平面ABCD ⊥平面ACEF .(1)证明:AB CF ⊥;(2)求平面BEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.20．如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.21．已知椭圆E :()222210y x a b a b +=>>的一个焦点为(,长轴与短轴的比为2:1.直线l y kx m =+：与椭圆E 交于P ､Q 两点,其中k 为直线l 的斜率.(1)求椭圆E 的方程;(2)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值,定圆O 恒与直线l 相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.22．已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+.(1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立;(2)求函数()g x 的极值;(3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <.参考答案1．B【解析】因为{|11}M x x =-≤≤，{}|124{|02}x N x x x =<<=<<,所以{|01}M N x x ⋂=<≤，故选B.2．D【解析】【分析】计算得到1a >；01b <<；0c <得到答案.【详解】0.10221a =>=；0ln1ln 2ln 1b e =<=<=；221log log 105c =<=，即a b c >> 故选：D【点睛】 本题考查了比较数值的大小，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.3．C【解析】【分析】根据1AB AC ⋅=-得到1cos 3A =-，即sin A =，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】 11,3,cos 3cos 1cos 3AB AC AB AC AB AC A A A ==⋅=⋅==-∴=-故sin A =，1sin 2S AB AC A =⋅= 故选：C【点睛】本题考查了向量的运算，面积的计算，意在考查学生的计算能力.4．A【解析】【分析】分别判断充分性和必要性：平方得到0AB AC ⋅=，充分性；当B 或C ∠为直角时，AB AC AB AC +≠-，不必要；得到答案. 【详解】若AB AC AB AC +=-，两边平方得到222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，0AB AC ∴⋅=，即AB AC ⊥ 故ABC ∆为直角三角形，充分性；若ABC ∆为直角三角形，当B 或C ∠为直角时，AB AC AB AC +≠-，不必要； 故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.5．B【解析】【分析】先根据函数为偶函数排除A ，D ，再根据()f x 的最值可得正确的选项.【详解】∵22()2cos ()cos()12cos cos 1()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，∴函数()f x 为偶函数.故排除选项A ，D. 2219()2cos cos 12(cos ),,4822f x x x x x ππ⎡⎤=-++=--+∈-⎢⎥⎣⎦， ∵0cos 1x ≤≤，∴当1cos 4x =时，()f x 取得最大值98；当cos 1x =时，()f x 取得最小值0.故排除C. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，注意根据函数的奇偶性、单调性、最值以及特殊点处函数的大小来判断，本题为中档题.6．A【解析】【分析】根据()()490f a f b +-=，得到49a b +=，变换()1111149a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式计算得到答案.【详解】 奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()111111414551999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，均值不等式，变换()1111149a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键.7．B【解析】【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程. 【详解】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题.8．C【解析】【分析】求导得到()()1'1f x a x=+-，计算()11f =，讨论1a ≤，1a >两种情况，得到函数单调区间，得到()20f >且()30f ≤，计算得到答案.【详解】()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，()()1'1f x a x =+-，()()1ln111f a a =+-+= 当1a ≤时，函数单调递增，不成立；当1a >时，函数在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减； 有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >，故()20f >且()30f ≤ 即ln 2220,ln 22a a a +-+>∴<+；ln 33ln 3330,2a a a ++-+≤∴≥故选：C .【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 9．B【解析】【分析】【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B ． 考点：特称命题与存在命题的真假判断．10．ABD 【解析】 【分析】化简得到()cos2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案. 【详解】()sin 2sin 2cos 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos2g x x =-单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最大值为1，当32x π=-时23x π=-，为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 11．BC 【解析】 【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；C. 若//,,m n n α⊂则m α或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力. 12．AB 【解析】 【分析】计算排除0q <和1q ≥的情况得到01q <<，故201920201,01a a ><<，得到答案. 【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；故选：AB 【点睛】本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力. 13．280 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】()8x 的展开式中：()818rr rr T C x-+= ，取4r =得到44x y 项的系数为(448280C =故答案为：280 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 14．83.【解析】 【分析】首先利用相似，求出线段||MQ 长度，然后利用抛物线定义，化QF 为||MQ ， 【详解】设Q 到抛物线准线的垂线段为MQ ，则MQ QF =.抛物线焦点到准线的距离为4，如图，由抛物线定义及3FP FQ =得||243MQ =，83MQ =.∴8||||3QF MQ ==.故答案为：83【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于简单题.15． 【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==，即球的半径R =343V R π==，应填答案．点睛：解答本题的关键是依据题设条件，构造符合题设条件的正方体，借助三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球的事实，求出正方体的对角线长，即三棱锥的外接球的直径，进而求得外接球的半径使得问题获解． 16．124011 【解析】 【分析】（1）根据衰变规律，令5730t =，代入求得012N N =； （2）令035N N =，解方程求得t 即可. 【详解】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 0.757304011t ∴=⨯= ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故答案为12；4011 【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题. 17．(1)n a n = (2)n T 111321n +=-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列公式计算得到答案.（2）裂项得到()()1121121212121n n n n n n a a b ++==-++++，代入数据计算得到答案. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由246a a +=可知33a =,前7项和728S =.44a ∴=,解得11,1a d ==.()111n a n n ∴=+-=.(2)()()()()1112211212121212121n n n n n n n n n a a b +++===-++++++ {}n b ∴前n 项和12n n T b b b =+++……12231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111321n +=-+. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，裂项相消法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18．(1) 725- (2) ,3B π=取值范围是11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）化简得到()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得到3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式计算得到答案.（2）利用正弦定理得到()2sin sin cos sin cos ,A C B B C -=化简1cos 23B B π=∴=，，计算72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】(1)()211cos cos 2cos 222f x x x x x x =-=--1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为11sin 26210f απα⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 所以2223cos 2cos 22sin 1213365πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭725=- (2)因为()2cos cos a c B b C -=,由正弦定理得:()2sin sin cos sin cos ,A C B B C -=所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=, 即()2sin cos sin sin A B B C A =+=, 因为sin 0A >,1cos 23B B π=∴=，，所以22=033A C A ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，, 72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,所以()f A 的取值范围是11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了三角函数化简，二倍角公式，正弦定理，取值范围，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．(1)见解析 (2). 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理得到AC =证明AB AC ⊥，AF AC ⊥，AF AB ⊥得到AB ⊥平面ACEF 得到答案.（2）分别以AB ,AC ,AF 所在直线为,,x y z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面BEF 的一个法向量()3,0,1n =，平面BCF 的一个法向量为()3,1,1m =，计算夹角得到答案. 【详解】(1)在平行四边形ABCD 中,18012060ABC ∠=-=,在ABC ∆中,由余弦定理得:2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅=,即AC =由22290BC AC AB BAC =+∠=得, 所以AB AC ⊥又四边形ACEF 为正方形,所以AF AC ⊥, 又平面ABCD ⊥平面ACEF ,平面ABCD 平面ACEF =AC所以AF ⊥平面ABCD ,所以AF AB ⊥,又=AF AC A ⋂，所以AB ⊥平面ACEF ,CF ⊂平面ACEF 所以AB CF ⊥.(2)由AB ,AC ,AF 两两垂直,分别以AB ,AC ,AF 所在直线为,,x y z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()((0,0,01000000A B C F E ，，，，，， 设平面BEF 的一个法向量(),,n x y z =,()()1,0,3,0,BF EF =-=,则030n BF x n EF ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取()13,0,1,z n =∴=，同理可得平面BCF 的一个法向量为()3,1,1m =设平面BEF 与平面BCF 所成锐二面角的平面角为θ, 则cos 5m n m nθ===⨯.∴平面BEF 与平面BCF .【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．(1) 5km (2) 25小时 【解析】 【分析】 （1）计算3cos 5A =，3AD km =，利用余弦定理计算得到答案.（2）当405t ≤≤时，得到()f t =，当4755t ≤≤时，()753f t t km =-≤，计算得到答案. 【详解】(1)由310,6,8,90cos 5AB km AC km BC km ACB A ===∴∠=∴=，. 设当乙到达C 地时,甲处在D 点,则65310AD km =⨯=所以在ACD ∆中,由余弦定理得:2222231172cos 6323655CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=5CD ∴=即此时甲､ (2)设乙到达C 地后,经过t 小时,甲､乙两交警之间的距离为()f t km , 在BCD ∆中，48,7,cos 5BC km BD km ABC ==∠= 乙从C 地到达B 地,用时45t =小时,甲从D 处到达B 地,用时75t =小时,所以当乙从C 地到达B 地,此时,甲从D 处行进到E 点处,且454,35DE km BE km =⨯== 所以当405t ≤≤时，()t f ==令282()3,1,560,033f t t t t >>∴-+>∴<<或45t >（舍去）又当4755t ≤≤时,甲､乙两交警间的距离()753f t t km =-≤因为甲､乙间的距离不大于3km 时方可通过对讲机取得联系 所以,从乙到达C 地这一时刻算起,经过25小时,甲､乙可通过对讲机取得联系.【点睛】本题考查了函数，余弦定理的应用，意在考查学生的应用能力.21．(1) 2214y x +=(2)存在,2245x y +=.m 的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算出2,1a b ==得到答案.（2）设直线OP 的方程为:,y tx P =点的坐标为()00,x y ,则00y tx =,联立方程组220224414y txx y t x =⎧⎪=⎨++=⎪⎩，解得：，设坐标原点O 到直线l 的距离为d ,则有PQ d OP OQ =，得到5d =，计算得到答案.【详解】(1)由已知得:2222c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得:2,1a b ==∴椭圆E 的方程为2214y x +=(2)假设存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切. 这时只需证明坐标原点O 到直线l 的距离为定值即可.设直线OP 的方程为:,y tx P =点的坐标为()00,x y ,则00y tx =,联立方程组220224414y txx y t x =⎧⎪=⎨++=⎪⎩，解得： ()()22222200024114t OP x y t x t+∴=+=+=+①以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,OP OQ ∴⊥,直线OQ 的方程为:1y x t =-∴在①式中以1l-换t ,得()2222214141=1414t t OQ tt ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭②又由OP OQ ⊥知:()()()()()222222222224141201414144t t t PQ OP OQ t tt t+++=+=+=++++设坐标原点O 到直线l 的距离为d ,则有PQ d OP OQ =()()()()()22222222222241414414,55201144t t OP OQ l l d d PQ t t t ++⋅++∴====+++ 又当直线OP 与y 轴重合时,()()0,2,1,0P Q ±±此时5d = 由坐标原点O 到直线l的距离d =为定值知,所以存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切,定圆O 的方程为:2245x y +=. 直线l 与y 轴交点为()0,m ,且点()0,m 不可能在圆O 内,又当k =0时,直线l 与定圆O 切于点0,5⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭,所以m的取值范围是,55⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．(1)见解析 (2)极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)见解析【解析】【分析】（1）求导得到()1cos f x a x '=-，即()0f x '≥，函数单调递增，得到证明.（2）()()10m x m g x x x x +'=+=>，讨论0m ≥和0m <两种情况，分别计算极值得到答案.（3）()1sin 2f x x x =-在()0+∞，上为增函数，当0m ≥时不成立，不防设120x x << ()()()()1122f xg x f x g x +=+，计算得到()()21213ln ln 02m x x x x -->->，12249x x m <，即证21294m x x >，设211x t x =>,只需证1ln t t->. 【详解】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，1cos 1x -≤≤,()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，, ()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立;(2)由()()()ln ,10m x m g x x m x g x x x x+'=+∴=+=> 当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，上为增函数,无极值 当()()0,00;0m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数,()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,综上知:当()0m g x ≥，无极值,当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值.(3)当()11sin 22a f x x x ==-，在()0+∞，上为增函数, 由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，上为增函数, 这时,()()f x g x +在()0+∞，上为增函数, 所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠所以有0m <现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:111222112sin ln 2sin ln 22x x m x x x m x -+=-+ ()()()2121211ln ln 2sin sin 2m x x x x x x --=---① 1122sin sin x x x x -<-()()212111sin sin 22x x x x -->--② 由①②式可得:()()()2121211ln ln 22m x x x x x x -->---即()()21213ln ln 02m x x x x -->-> 又1221ln ln ,ln ln 0x x x x <->2121302ln ln x x m x x -∴->⨯>-③ 又要证12249x x m <，即证21294m x x > 120,0m x x <<<即证m -> 所以由③式知,只需证明:2121ln ln x x x x ->-2121ln 1x x x x -> 设211x t x =>,只需证1ln t t->即证()ln 01t t ->> 令()()ln 1h t t t =-> 由()()()2101h t t h t '=>>，在()1+∞，上为增函数, ()()10h t h ∴>=2121ln ln x x x x -∴>-, 所以由③知,0m ->>成立, 所以12249x x m <成立. 【点睛】本题考查了函数的极值，函数恒成立问题，证明不等式，意在考查学生对于导数函数知识的综合应用能力.。

2021年山东省济宁市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若i是虚数单位，则复数等于（）A. 1+iB. 1﹣iC. ﹣1+iD. ﹣1﹣i参考答案：C略2. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（A）（B）（C）2 （D）2参考答案：B抛物线的焦点为，即。

双曲线的渐近线方程为，由，即，所以，所以，即，即离心率为，选B.3. 设，若，则的最大值为（）．(A) （B）1 (C)(D)2(A) （B）(C) (D)参考答案：B4. 若将函数的图像向左平移个单位，得到偶函数，则的最小正值是（）A. B. C. D.参考答案：A知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换解析：由，把该函数的图象左移个单位，所得图象对应的函数解析式为：．又偶函数图象关于y轴对称，则，k∈Z．则，k∈Z．∴当k=0时，有最小正值是．故选：A．【思路点拨】把函数式化积为，然后利用三角函数的图象平移得到．结合该函数为偶函数求得的最小正值．5. 下列选项中正确的是（）A．若且，则；B．在数列中，“”是“数列为递增数列”的必要非充分条件；C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”；D．若命题为真命题，则其否命题为假命题；参考答案：B略6. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数的图象求出函数的周期，利用函数的对称性求出ω 和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴函数周期T=π，即T==π，即ω=2，即f（x）=2sin（2x+φ），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）=2sin[2（x+）+φ）]=2sin（2x++φ），若图象关于y轴对称．则+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ=，即f（x）=2sin（2x+），故选：C．7. 若复数是纯虚数，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B略8. 现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（）A．B． C. D．参考答案：D随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的试验结果共有种，号码相同的情况共有种，则号码不同的概率是，故选D.9. 渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A. B. 1C. D. 2参考答案：C【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率.【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.10. 已知偶函数，当时，，当时，．关于偶函数的图象和直线的个命题如下：①当时，存在直线与图象恰有个公共点；②若对于，直线与图象的公共点不超过个，则；③，，使得直线与图象交于个点，且相邻点之间的距离相等．其中正确命题的序号是（）．A．①②B．①③C．②③D．①②③参考答案：D根据偶函数的图象关于轴对称，利用已知中的条件作出偶函数，的图象，利用图象得出：①当时，偶函数的图象如下：存在直线，如，与图象恰有个公共点，故①正确．②若对于，由于偶函数的图象如下：直线与图象的公共点不超过个，则，故②正确．③，偶函数的图象如下：，使得直线与图象交于个点，且相邻点之间的距离相等，故③正确；因此正确命题的序号是①②③．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线y＝－x＋b与5x＋3y－31＝0的交点在第一象限，则b的取值范围是________．参考答案：略12. 圆内的曲线与轴围成的阴影部分区域记为（如图），随机往圆内投掷一个点，则点落在区域的概率为_________________.参考答案：当时，，所以阴影部分的面积为，所以根据几何概型知点落在区域的概率为.13. 函数的零点个数为个．参考答案：考点：零点与二分法.【思路点晴】对于函数与方程，常考：1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.14. 已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数图象确定参数值的方法，属基础题15. （5分）双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．参考答案：1+【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．故答案为：1+．【点评】：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16. 已知抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点为F，过焦点F和点P（0，1）的射线FP与抛物线相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：3，则a= ．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的抛物线的焦点坐标，由丨MF丨=丨MK丨，则丨KN丨：丨KM丨=2：1，根据直线的斜率公式，即可求得a的值．【解答】解：由抛物线抛物线C：y2=ax，焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义丨MF丨=丨MK丨，由|FM|：|MN|=1：3，则|KM|：|MN|=1：3，∴丨KN丨：丨KM丨=2：1，则k FN==，k FN=﹣=﹣2，∴=﹣2，解得：a=，∴a的值．故答案为：．17. 函数y=的定义域是．参考答案：（﹣1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及父母不为0，得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：x+1＞0，解得：x＞﹣1，故函数的定义域是（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2024学年山东省济宁市济宁一中数学高三第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 2．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．4003．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A B ．7C D 4．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度5．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．2C ．3D 6．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ）A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --7．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）9．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 211B ．525-C ．5D ．5110．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．3,2)C ．2,3)D ．2)11．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 31B 31C 132D 13212．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省济宁市嘉祥县第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列说法中，正确的是（）(1)过原点作()f x 图象的切线l ，求直线l 的方程；(2)若()0,x $Î+¥，使()()f x g x £成立，求a 的最小值.16．某手机App 公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款App 人数的满意度统计数据如下：(1)如图1，需要剪去四边形1ACDC ，可以通过对折，沿DC ，AC 裁剪、展开实现.若5cm AD =，45DCA Ð=°，求四边形1ACDC 的面积；(2)如图2，需要剪去四边形1CEC D ，可以通过对折，沿DC ，EC 裁剪、展开实现.若10cm AC =，30DCE Ð=°，求镂空的四边形1CEC D 的面积最小值.19．若函数()f x 在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称()f x 具有性质P .(1)试写出一个具有性质P 的一次函数；(2)判断函数()e x g x ax =-是否具有性质P ；(3)若函数()2ln h x x ax =-具有性质P ，求实数a 的取值范围.因为它们有两个不同的交点，所对A：由图象可得()f x不关于直线π4x=-对称，对B：由图象可得()f x的最大值为22，故对C：当ππ,22xæöÎ-ç÷èø时，()ππsin,2ππxf xì-ïï=íï当x®+¥时，0y®，(0,+∞).\>，即0a20a>，故实数a的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题.。

2024—2025学年度第一学期10月月考高三数学试题2024．10本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数z 满足（i 是虚数单位），则等于（）AB ．CD3．设向量，，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．与垂直4．在中，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在中，E 为边AB 的中点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知，，，，则（ ）{}2log 1A x x =>{}04B x x =<<A B = {}24x x <<{}24x x <<{}02x x <≤{}2x x ≤()1i 3i z +=-+z 54()1,0a = 11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ a b= a b ⋅=a b ∥ a b - b ABC △π6A >1sin 2A >ABC △23BD BC = DE =1263AB AC -+ 5163AB AC + 1263AB AC + 1263AB AC-sin y x =12π3πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π02α<<π02β<<()3cos 5αβ+=()1sin 5αβ-=tan tan αβ=A ．B ．C ．D ．8．设是定义在R 上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是（）A ．若，，则B ．若是锐角三角形，则C ．若点G 为的重心，则D ．命题：，的否定是：，．10．设正实数a ，b 满足，则下列结论正确的是（ ）A ．有最小值1B有最小值2C有最大值D ．有最大值811．已知，．若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（）A ．函数在处的切线与函数在处的切线相同B ．当时，C ．当时，D ．若恒成立，则第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若，且，则的面积为______．13．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正实数a 的取值范围是______3103553103()f x ()()2f x f x +=-10x -≤<()()2log 62f x x =-+253f ⎛⎫⎪⎝⎭a b ∥ b c ∥ a c∥ ABC △sin cos AB>ABC △0GA GB GC ++=x ∀∈R 21x >-x ∃∈R 21x ≤-4a b +=11a b+22a b +()e xf x x =()lng x x x =1x ∈R ()20,x ∈+∞()()12f x g x t +=()y g x =11,e e g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =()()1,1f --0t >12x x t =0t >12eln t x x ≤()()f x g x mx >+2m ≤ABC △sin sin 4sin sin a B b A c A B +=222a b c +-=ABC △()()223,02,0x x f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩14．已知函数，若对恒成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．16．（15分）已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的角平分线交AB 于点D ，若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．17．（15分）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最小值为，求a 的值．18．（17分）如图，已知平面四边形ABCD 中，，．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．()()e ln 0xaf x a x x x a =+-->()0f x ≥()1,x ∀∈+∞()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<()f x ()()sing x f x x =()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦),cos a x x =()cos ,cos b x x =- ()32f x a b =⋅+ ()y f x =ABC △ACB ∠()f C ()f x ()CD f C =34a b +()2exx ax af x -+=a ∈R 0a =()y f x =()()1,1f 0a >()f x []0,a 1eAB BC ==2CD =4AD =19．（17分）已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）当时，求证：（参考数据）．()2sin sin 2f x x x =-0πx ≤≤()f x ππ32x ≤≤()()ln 1f x x >+2πln 0.7393=。

山东省济宁市2020-2021学年高三上学期期末数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题1．设集合{}220A x x x =--≤∣，(){}ln 1B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）A ．(]1,2B ．(]0,2C ．(]2,+∞D ．[)2,+∞ 2．若复数32a i i++（i 为虚数单位）为纯虚数，则是数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．323．若tan 2α=，则2sin 21cos αα=+（ ） A ．16 B ．13 C ．23D ．1 4．“1a =”是“直线()2130ax a y +-+=与直线()210a x ay -+-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．144种6．函数()2ln 1x f x x e =--的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知抛物线()2:20C y px p =>的交点为F ，过F l 交抛物线C 与A 、B 两点，若线段AB C 的方程是（ ）A ．23y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =、 8．已知函数()()f x x ∈R 的导函数是()f x '，且满足x ∀∈R ，()()11f x f x +=--，当1x >时，()()()1ln 101f x x f x x '+-⋅>-，则使得()()20x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()0,12,⋃+∞B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．()()2,11,2--⋃D ．()(),12,-∞⋃+∞ 二、选择题9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，下列说法正确的是（ ）A ．若0a b >>，则c c a b >B ．若a b >，c d >，则a d b c ->-C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若1a b +=，则444a b +≥10．直线l 过点()1,2P 且与直线30x ay +-=平行，若直线l 被圆224x y +=截得的弦长为则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．34C ．43D ．43- 11．已知函数()()sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=-是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为B ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．点5,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函()f x 图象的一个对称中心 D ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，可得到()sin 2g x x =的图象 12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60ABC ∠=︒，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，连接1B C 和1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）A ．1AMBC ⊥B ．CN 的长为定值C ．1AB 与CN 的夹角为6π D ．当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是8π三、填空题13．已知函数()22,1,ln ,1,x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩则()()f f e ________． 14．二项式63x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是________． 15．如图，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，P 是矩形ABCD 内的动点，且点P 到点A 距离为1，则PC PD ⋅ 的最小值为________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，两渐近线分别为1:b l y x a =，2:b l y x a=-，过F 作1l 的垂线，垂足为M ，该垂线交2l 于点N ，O 为坐标原点，若OF FN =，则双曲线C 的离心率为________．四、解答题17．在①sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②2cos cos cos c A a B b A =+；③222b c a bc +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知3b =，ABC S =△______，求a 的值．18．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是正项等比数列，且111a b ==，328a b +=，53a b =．（1）求数列{}n a 、数列{}n b 的通项公式；（2）若()11n n n n c b n a a *+=+∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 19．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，E 是1BB 的中点，F 是1AC 与1A C 的交点．（1）求证：//EF 地面ABC ；（2）求BC 与平面1A AB 所成角θ的正弦值．20．某市为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形ABCD 区域是休闲健身区，以CD 为底边的等腰三角形区域PCD 是儿童活动区，P ，C ，D 三点在圆弧上，AB 中点恰好为圆心O ．设COB θ∠=，健身广场的面积为S ．（1）求出S 关于θ的函数解析式；（2）当角θ取何值时，健身广场的面积最大？21．已知函数()()1ln 11f x x a a x ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x >在()1,+∞上恒成立，求整数a 的最大值．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率3，点在椭圆C 上．A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，动直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，满足AP AQ ⊥，AH PQ ⊥，垂足为H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求ABH △面积的最大值．2020~2021学年度第一学期高三质量检测数学试题参考答案及评分标准说明：（1）此评分标准仅供参考；（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分．一、选择题1-8：A B C A C D C D二、选择题9．BD 10．AD 11．AC 12．ABD三、填空题13．-3 14．-540 15．2- 16．3 四、解答题17．若选①：因为sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以sin sin sin sin 3A C C A π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以1sin sin sin cos 322A A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即1sin 2A A =所以tan A =0A π<<，所以3A π=．所以11sin 322ABC S bc A c ==⨯==△4c =，所以2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 若选②：因为2cos cos cos c A a B b A =+，所以2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+， 所以()()2sin cos sin sin sin C A A B C C π=+=-=因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为0A π<<，所以3A π=，所以11sin 322ABC S bc A c ==⨯==△4c =，所以2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 若选③：因为222b c a bc +=+，所以222b c a bc +-=， 所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=，所以11sin 32224ABC S bc A c c ==⨯⨯==△4c =，所以2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则由已知可得212814,d q d q ++=⎧⎨+=⎩ 解得23d q =⎧⎨=⎩或615d =⎧⎨=-⎩（舍）， 所以21n a n =-，()n *∈N ()13n n b n -*=∈N（2）由（1）知11111133(21)(21)22121n n n c n n n n --⎛⎫-+--+ ⎪-+-+⎝⎭， 所以1111111311311123352121132212n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()213142n n n +-=+ 19．证明：（1）方法一：取1CC 的中点M ，连接EM ，FMF 是1AC 与1A C 的交点，且侧面11ACC A 为菱形F ∴是1AC 的中点//FM AC ∴FM ⊄底面ABC ，ACC 底面ABC//FM ∴底面ABC11//BB CC ，11BB CC =，E 为1BB 中点//BE CM ∴，BE CM =∴四边形BCME 为平行四边形//EM BC ∴又EM ⊄底面ABC ，BC ⊂底面ABC//EM ∴底面ABCEM FM M ⋂=，EM ⊂平面EFM ，FM ⊂平面EFM∴平面//EFM 底面ABCEF ⊂平面EFM//EF ∴底面ABC证法二：取AC 中点O ，练就OB ，OF F 是1AC 与1A C 的交点，且侧面11ACC A 为菱形F ∴是1A C 的中点1//OF AA ∴，112OF AA = 又E 是1BB 的中点，11//AA BB ，11AA BB =//OF BE ∴，OF BE =∴四边形OBEF 为平行四边形，故//EF OB又EF ⊄底面ABC ，OB ⊂底面ABC//EF ∴底面ABC（2）解：连接1OA ，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒1A AC ∴△为正三角形1A O AC ∴⊥侧面底面11ACC A ⊥底面ABC ，侧面11ACC A ⋂底面ABC ABC AC =，1AO ⊂侧面11ACC A 1A O ∴⊥底面ABC底面ABC 为正三角形，O 为AC 的中点BO AC ∴⊥以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．底面ABC 是边长为2的正三角形()0,1,0A ∴-，)B ，()0,1,0C，(1A ()3,1,0AB ∴=，(1AA=，()BC =-200sin BC θ=设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =由100n AB n AA ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=得00y y +=+=⎪⎩，令y =11x z =⎧⎨=⎩ ()1,3,1n ∴=-3sin cos ,2BC nBC n BC n θ--⋅∴====⨯⨯ 20．解：（1）由已知得，200cos OB θ=，等腰PCD △底边CD 上的高为200200sin θ-，所以()12200cos 200sin 400cos 200200sin 2S θθθθ=⨯⨯+⨯- ()()80000sin cos 40000cos cos sin 400002sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ=+-=+-()40000sin cos cos θθθ=+所以()40000sin cos cos 02S πθθθθ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭． （2）()sin cos cos f θθθθ=+，则()()2221cos sin sin 2sin sin 12sin sin 12f θθθθθθθθ⎛⎫=--=--+=--+ ⎪⎝⎭'，由()0f θ'>得06πθ<<，()0f θ'<得62ππθ<<， 所以()f θ在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以 6πθ=时，()max 6424f f πθ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以max 400004S ==即6πθ=时，健身广场的面积最大，最大值为2．21．解：函数()f x 的定义域为()0,+∞．（1）因为()1ln 11f x x a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以()221a x a f x x x x='-=-． 当0a ≤时，()0f x '>对()0,x ∈+∞恒成立；当0a >时，由()0f x '>得x a >，()0f x '<得0x a <<．综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（2）由()0f x >得1ln 110x a x ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，所以()1ln 1a x x x -<+， 即ln 1x x x a x +<-对()1,x ∈+∞恒成立． 令()ln 1x x x g x x +=-，则()()()()()22ln 111(ln )ln 211x x x x x x x g x x x ++--+--==--'， 令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x '-=-=，因为1x >，所以()0h x '>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增，因为()31ln30h =-<，()42ln 40h =->，所以存在()03,4x ∈满足00ln 20x x --=当01x x <<时，()0h x <，()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()()00000min 021x x x g x g x x x -+===-， 所以0a x <，因为03x <<4，a ∈Z ，所以a 的最大值为3．22．解：（1）由题意知222223321c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=． （2）由题意知PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，其中2m ≠ 由22164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223263120k x kmx m +++-=， ()()()22222236123242464k m k m k m =-+-=+-△，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122632km x x k -+=+，212231232m x x k -=+， 因为AP AQ ⊥所以，()()()()121212122222AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+- ()()()2212121(2)20k x x k m x x m =++-++-=， 所以()()()22222312612203232m km k k m m k k --++-+-=++，即()()()()()222221312622320k m k m m m k +---+-+= 因为2m ≠，所以()()()2221(36)62320k m k m m k ++-+-+= 所以222223636632640k m k m k m k m m k +++-++--=， 所以25m =-，满足0>△． 所以直线PQ 的方程为25y kx =-，即直线PQ 的定点20,5⎛⎫- ⎪⎝⎭． （解法一）因为ABH △存在，所以0k ≠，所以AH 的斜率为1k -，方程为12y x k=-+， 联立2512y kx y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1215H x k k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（H x 为H 点的横坐标）， 所以1112241242251155ABH H S AB x k k k k =⨯=⨯⨯=≤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1k k =即1k =±时等号取得，即ABH △面积的最大值为125． （解法二）设PQ 所过定点为D ，因为AH PQ ⊥， 所以点H 在以AD 为直径的圆上，所以() max 2211125422225МВH AD S AB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⨯=⨯⨯=△， 即ABH △面积的最大值为125．。

2019—2020学年度第一学期质量检测高三数学试题本试卷满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}11,12x M x x N x M N =-≤≤=<<4⋂=，则 A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}1x x ≤<2D ．{}1x x -≤<22．若0.1212,ln 2,log 5a b c ===，则 A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>3．在ABC ∆中，1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r，则ABC ∆的面积为A.12B ．1C ．2D ．2 4．已知A ，B ，C 为不共线的三点，则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r”是“ABC ∆为直角三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数22cos cos 1,,22y x x x ππ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为6．已知奇函数()f x 在R 上单调，若正实数,a b 满足()()11490f a f b a b+-=+，则的最小值是 A ．1B ．92C ．9D ．187．已知12,F F 是双曲线()222210,x y a b a b-=>>0的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．y x =±C ．y =D ．y =8．已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是A ．3ln 30,2+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2ln 2+ C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题中的真命题是 A ．1,20x x R -∀∈>B ．()2,10x N x *∀∈->C ．00,11x R gx ∃∈<D ．00,tan 2x R x ∃∈=10．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数B ．最大值为1，图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11．己知m n 、为两条不重合的直线，αβ、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A ．若//,//////m n m n αβαβ且，则B ．若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则C ．若//,,////m n n m m ααβββ⊂⊄，,则D ．若//,,//m n n m ααββ⊥⊥，则12．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1201920201,1a a a >>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是A ．S 2019<S 2020B ．S 2019S 2021－1<0C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在()82x y -的展开式中，含44x y 项的系数是_______．14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为,l P l 是上一点，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，若3=PF QF QF =u u u r u u u r，则_______．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t(单位：年)的衰变规律满足N =1573002N -⋅(0N 表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来1325至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．(参考数据：log 23≈1.6，log 25≈2.3)(本题第一空2分，第二空3分)16．如图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A —BD —C ，则三棱锥A —BCD 的外接球的体积为______cm 3．四、解答题：本题共6小题，共70分。

山东省济宁市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分）(2020·肥东模拟) 已知集合，，，则a的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·崇礼期中) 已知复数z= ，则z的共轭复数的虚部为（）A . ﹣1B . ﹣iC . 1D . i3. （2分）对于函数y=f(x)，如果存在区间[m,n]，同时满足下列条件：①f(x)在[m,n]内是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]是该函数的“梦想区间”．若函数存在“梦想区间”，则a的取值范围是（）A . (1,3)B . (0,2)C .D . (0,1)4. （2分） (2019高二下·中山期末) “ ”是“ ”（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2019·黄冈模拟) 黄冈市有很多处风景名胜，仅级景区就有10处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1人，则这5名职工共有种安排方法A . 90B . 60C . 210D . 1506. （2分）(2017·高台模拟) 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 2π+8B . 8π+8C . 4π+8D . 6π+87. （2分）(2019·黄浦模拟) 已知梯形，，设，向量的起点和终点分别是、、、中的两个点，若对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，那么的个数为（）A . 6B . 8C . 10D . 128. （2分） (2020高一上·南阳月考) 某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（）A . 10B . 11C . 12D . 13二、填空题： (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________10. （1分） (2019高一下·汕头期末) 己知为数列的前项和，且，则 ________．11. （1分） (2016高二下·湖南期中) 某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为________．12. （1分） (2016高三上·北区期中) 在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是________13. （1分）(2017·金华模拟) 若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a 的值为________．14. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设x＞0，y＞0，已知（﹣x+1）（﹣y+1）=2，则xy﹣2=________三、解答题： (共6题；共60分)15. （10分）(2018·张家口期中) 设向量a＝（，sinx），b＝（cosx，sinx），x∈[0， ]．（1）若|a|＝|b|，求x的值；（2）设函数f（x）＝a•b，求f（x）的最大值与最小值．16. （15分）(2017·武威模拟) 某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：组号第一组第二组第二组第四组分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数642220频率0.060.040.220.20组号第五组第六组第七组第八组分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数18a105频率b0.150.100.05（1）若频数的总和为c，试求a，b，c的值；（2）为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）估计该校本次考试的数学平均分．17. （10分） (2017高一上·福州期末) 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AB、CD的中点．（1）证明：BN⊥平面PCD；（2）在线段PC上是否存在点H，使得MH与平面PCD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置；若不存在，请说明理由．18. （5分） (2015高二上·抚顺期末) 已知椭圆在x轴两焦点为F1 ， F2 ，且|F1F2|=10，P为椭圆上一点，∠F1PF2= ，△F1PF2的面积为6 ，求椭圆的标准方程？19. （10分）已知：f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0．（1）求：常数a、b的值；（2）求：f（x）的单调区间．20. （10分） (2019高一下·东莞期末) 东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：年龄人数②若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率.参考答案一、选择题： (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题： (共6题；共6分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题： (共6题；共60分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

山东省济宁市第一中学2020-2021学年高三上学期第二阶段检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|20,{1,0,1,2}M x x x N =+-≤=-，则M N ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 2．已知复数2z i =+，则1z i +在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ）A ．﹣5B ．﹣7C ．﹣9D ．﹣11 4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）A ．3()f x x x =+B ．()31x f x =-C ．1()f x x=- D ．3()log ||f x x =5．cos()24πθ+=-，则cos2θ的值为（ ） A ．18 B ．716 C ．18± D ．13166．已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b 为钝角的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．若向量,a b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 8．函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()2f x +关于2x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．(][),04,-∞+∞D ．[]0,4A ．2B ．-2C ．2019D ．-201910．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把()1sin 22g x x x ωω=-的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 11．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A ．49B ．49-C ．43D ．43- 12．定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1f x f x +>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+ 的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C ．(－∞,0)∪(0,+∞)D ．(3,+ ∞)二、填空题13．若等差数列{}n a 的前5项和为25，则3a =________14．已知()3,4a =，(),6b t =-，且a ，b 共线，则向量a 在b 方向上的投影为__________． 15．设()sin 22f x x x =+，将()f x 的图像向右平移0φφ>（）个单位长度，得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值为________．16．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______．三、解答题17．已知函数x y a =（a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+． （1）求a 的值；（2）证明()(1)1f x f x +-=；（3）求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 18．已知函数()2cos cos )1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标；（2）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．19．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积.20．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和. 21．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x （x 为正整数）台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为k ），若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7800元.（1）记全年所付运费和保管费之和为y 元，求y 关于x 的函数.（2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 22．已知a 为常数，函数()2x f x eax -=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <.（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：122x x +>.参考答案1．C【分析】解出集合M 中的不等式即可【详解】因为{}}{2|2021M x x x x x =+-≤=-≤≤， {1,0,1,2}N =- 所以{}1,0,1M N ⋂=-所以M N ⋂的子集个数为328=故选：C【点睛】含有n 个元素的集合的子集个数为2n .2．D【分析】 利用复数的运算法则算出1z i+即可 【详解】 2z i =+，2131122z i i i i -∴==-++， 在复平面对应的点的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，所在象限是第四象限. 故选：D【点睛】 本题考查的是复数的运算及几何意义，较简单.3．B【分析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案.【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，∵a 3＝5，S 4＝24，∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2，则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.4．A【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案.【详解】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意：3()f x x x =+，()3()f x x x f x -=--=-，奇函数. 2'()310f x x =+>恒成立，故函数单调递增.故选：A .【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．A【解析】【分析】先利用诱导公式求解sin θ=，再利用二倍角公式求解即可 【详解】因为cos 24πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 4θ=，所以21cos 212sin 8θθ=-=. 故选A .【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题6．B【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，则cos ,5a ba b a b ⋅==⋅若12m <，则cos ,05a b a b a b ⋅==<⋅， 但当2m =-时， ,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，若,a b 为钝角，则cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <； 因此，“12m <”是,a b 为钝角的必要不充分条件. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.7．B 【分析】 结合数量积公式可求得(2)a a b +、2a b +、a 的值，代入向量夹角公式即可求解． 【详解】 设向量2a b +与a 的夹角为α，因为,a b 的夹角为3π，且2a =，1b =， 所以221(2)()22cos 4221632a a b a a b a a b π+=+=+=+⨯⨯⨯=，2222(2)()4(2)a b a b a a b b +=+=++114=⨯⨯+=，所以(2)cos 2222a a b a a b α+===⨯+， 又因为[0,]απ∈所以6πα=，故选B【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题． 8．D【解析】由于()2f x +关于2x =-对称,则()f x 关于y 轴对称,由于()()221f f =-=,故[]222,0,4x x -≤-≤∈,故选D.9．B【分析】先判断函数奇偶性，进而可求出函数值,【详解】 因为2sin cos ()x x x f x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x x f x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-.故选B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于基础题型.10．B【分析】先由图象求出()f x 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可【详解】由题意知1A =，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得3πϕ=， 故()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()1sin 2x x g x ωω=sin 26x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x . 故选：B本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单.11．B【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC ⋅+ 2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA = ∴()49PA PB PC ⋅+=-故选B ．【点睛】 判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．12．A由()3x x e f x e >+变形得，[()1]30x e f x -->，构造函数()[()1]3xg x e f x =--，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集．【详解】由()3x x e f x e >+变形得，[()1]30x e f x -->，设()[()1]3xg x e f x =--，所以原不等式等价于()(0)g x g >，因为()[()1]()[()()1]0x x xg x e f x e f x e f x f x '''=-+⋅=+->，所以()g x 在定义域R 上递增，由()(0)g x g >，得0x >，故选A ．【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力．13．5【解析】由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：153533255525,522a a a S a a +=⨯=⨯==∴=. 14．5-【分析】根据向量共线求得t ；再利用cos ,a b a a b b ⋅<>=求得结果. 【详解】由a 与b 共线得：()3640t ⨯--=，解得：92t =- ∴向量a 在b 方向上的投影为：()93462cos ,5a b a a b b ⎛⎫⨯-+⨯- ⎪⋅⎝<>===- 本题正确结果：5-【点睛】本题考查向量共线定理、向量a 在b 方向上的投影的求解问题，属于基础题.15．512π 【分析】先化简函数f(x),再求出()2sin(22)3g x x πφ=-+，由题得,122k k Z ππφ=-+∈，给k 赋值即得解. 【详解】()sin 22sin(2)3f x x x x π==+，将()f x 的图像向右平移0φφ>（）个单位长度得到()2sin(22)3g x x πφ=-+，因为函数g(x)是偶函数， 所以2,,32122k k k Z ππππφπφ-+=+=-+∈，0（）φ>所以min 512πφ= 故答案为512π 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，得()y f x =与y ax =有2个交点，利用数形结合得a 的不等式求解即可 【详解】由题可知方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，所以()y f x =与y ax =有2个交点， 因为a 表示直线y ax =的斜率，当1x >时，1()f x x'=，设切点坐标为00,x y ，01k x =，所以切线方程为()0001y y x x x -=-，而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e=，所以直线1l 的斜率为1e ，直线2l 与113y x =+平行，所以直线2l 的斜率为13，所以实数a 的取值范围是11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题 17．（1）4； （2）见解析； （3）1009. 【分析】（1）由指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的单调性和题设条件，得到220a a +=，即可求解；（2）由（1）知4()42x x f x =+，结合指数幂的运算性质，即可求解.（3）由（2）的结论，得到1201810091010()()()()12019201920192019f f f f +==+=，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1，2]上的最大值与最小值之和为20， 因为指数函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1，2]上单调递增或单调递减， 可得220a a +=，得4a =或5a =-（舍去），所以4a =.（2）由（1）知4()42xx f x =+，则11442(1)4242424x x x xf x ---===++⋅+， 所以4242()(1)1422424x x x x xf x f x ++-=+==+++.（3）由（2）知，120182************()()()()()()1201920192019201920192019f f f f f f +=+==+=， 所以1220181201822017()()....()[()()][()()]2019201920192019201920192019f f f f f f f +++=+++ 10091010[()()]100920192019f f +++=，即123201810092019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及函数值的计算，其中解答中熟记指数函数的性质，以及指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18．（1）T π=，(,0),122k k Z ππ-+∈；（2）函数()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，可得()2sin(2)6f x x π=+,结合正弦函数周期公式及对称性可求.(2)由(1)化简得结果，结合正弦函数的单调性可求解. 【详解】（1）由题意，函数2()2cos cos )1cos 2cos 1f x x x x x x x =+-=+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+，所以函数()f x 的最小正周期222T w πππ===， 令()0f x =，即2sin(2)06x π+=，即2,6x k k Z ππ+=∈，解得122k x ππ=-+,k Z ∈ 所以函数()f x 的对称中心为(,0),122k k Z ππ-+∈. （2）由（1）可知()2sin(2)6f x x π=+，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 又因为[0,]2x π∈，当0k =时，函数()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用及正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题．19．(1) 120.C =（2【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2BB C C <<∴≠∴=-=即 （2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆ 20．（Ⅰ）21n （Ⅱ）11646n -+ 【分析】（I ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n }的通项公式： （Ⅱ）求出b n 11n n a a +=，利用裂项法即可求数列{b n }的前n 项和． 【详解】解：（I ）由a n 2+2a n ＝4S n +3，可知a n +12+2a n +1＝4S n +1+3 两式相减得a n +12﹣a n 2+2（a n +1﹣a n ）＝4a n +1，即2（a n +1+a n ）＝a n +12﹣a n 2＝（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）， ∵a n ＞0，∴a n +1﹣a n ＝2， ∵a 12+2a 1＝4a 1+3， ∴a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3，则{a n }是首项为3，公差d ＝2的等差数列， ∴{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1： （Ⅱ）∵a n ＝2n +1， ∴b n ()()111121232n n a a n n +===++（112123n n -++），∴数列{b n }的前n 项和T n 12=（11111135572123n n -+-++-++）12=（11323n -+）11646n =-+. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 21．（1）()108000120y x x N x*=+∈；（2）30台. 【分析】（1）若每批购入20台，则需要进购18批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出k 的值，若每批购入x 台，则需要进购360x批，进而可得出y 关于x 的函数解析式； （2）利用基本不等式求出y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 的值，即可得解.【详解】（1）若每批购入20台，则需要进购3601820=批，总运费为183005400⨯=元， 每批购入电脑的总价值为300020⨯元，由题意可得54003000207800k +⨯=， 解得125k =， 若每批购入x 台，则需要进购360x批， 所以，()3601108000300300012025y x x x N xx*=⨯+⨯=+∈； （2）由基本不等式可得1080001207200y x x =+≥=（元），当且仅当108000120x x=时，即当30x =时，等号成立. 因此，当每批购入30台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少. 【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 22．(1)见解析.（2）（i ）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；证明见解析.【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导得()2e xf x a -='-，对实常数a 分情况讨论，由'()f x 的正负得出函数()f x 的单调性；（2）（ⅰ）由（1）的讨论，得出0a >，再根据极小值为负数，得出a 的范围；（ⅱ）由2e 0x ax --=，得()2ln ln ln x ax a x -==+，即2ln ln x x a --=，令()2ln g x x x =--，对()g x 求导，得出单调性，要证122x x +>，只需证2121x x >->就可得出结论，构造()()()2h x g x g x =--，01x <<，求导得出单调性转化求解即可． 试题解析：（1）()2ex f x a -='-.当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()2e0x f x a --'==，得2ln x a =+.若2ln x a >+，则()0f x '>，函数()f x 在()2ln ,a ++∞上单调递增； 若2ln x a <+，则()0f x '<，函数()f x 在(),2ln a -∞+上单调递减. （2）（ⅰ）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，没有两个不同的零点. 当0a >时，()f x 在2ln x a =+处取得极小值. 由()()ln 2ln e2ln 0af a a a +=-+<，得1a e>.所以a 的取值范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（ⅱ）由2e 0x ax --=，得()2ln ln ln x ax a x -==+，即2ln ln x x a --=.所以11222ln 2ln ln x x x x a --=--=. 令()2ln g x x x =--，则()11g x x'=-. 当1x >时，()0g x '>；当01x <<时，()0g x '<. 所以()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以1201x x <<<. 要证122x x +>，只需证2121x x >->.因为()g x 在()1,+∞递增，所以只需证()()212g x g x >-.因为()()12g x g x =，只需证()()112g x g x >-，即证()()1120g x g x -->. 令()()()2h x g x g x =--，01x <<，则()1122h x x x ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭'. 因为()1111122222x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+-+≥ ⎪⎣⎦--⎝⎭，所以()0h x '≤，即()h x 在()0,1上单调递减.所以()()10h x h >=，即()()1120g x g x -->， 所以122x x +>成立.点睛：本题主要考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数零点的判断，函数最值的应用，属于难题．考查分析问题解决问题的能力．。

[推荐]山东省济宁市高三上学期期末考试数学（理）试卷精选资料[推荐]山东省济宁市高三上学期期末考试数学（理）试卷-精选资料老师总结：虽然他们不是名人，但他们没有做出很大的贡献。

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我们的生活离不开他们。

因此，我们应该理解他们，尊重他们，感激他们！山东省济宁市2021届高三上学期期末考试数学（理）试卷数学（科学与工程）试题第一卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设置，然后（a={x | x2-3x×10}B={x | y=LG（2-x）}aab.C.D.{x | 0？x2.已知，然后（）a=（m，3）B=2}{x|1?x3}{x|2b=(-2,2)a-b∥bm=()a.b.c.1d.3-3-13.已知函数的图象经过定点，若幂函数的图象过点，则的值等于()()g(x)=loga(x-3)+2(a>0,a?1)mf(x)=xamaa.b.c.2d.3-1124.命题：若，则，；命题：，使得，则下列命题中为真命题的是()pa0lnx0=1-x0wangfeiandweiqingaremendingsomebroenchairs.thechildrenarelisteningtotheradio whiletheyareworking.theclassroomlosniceandbrightafterthecleaning.thechildrenar everyhappy.theygohomeforlunchatnoon.1/12师小结：他们虽然不是名人，也没有做过巨大贡献。

但是他们在我们的身边默默地服务着，我们的生活离不开他们，因此我们理解他们、尊重他们，更应该感激他们！a.b.c.d.pùqp谪p)(q)(刭q(刭p)(?q)5.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为()a.76b.96c.146d.188ìx-y?0?6.已知实数满足条件，则的最大值为()x,y?íx+y?0z=y-???x￡1x骣1琪琪2桫a.b.c.1d.-3-1122p7.已知，，则()cos琪琪骣33骣p骣pp琪琪-0b>0a.16b.9c.5d.49.函数，的图象大致为()y=-2cos2x+cosx+1x?轾pp犏,犏22臌111a+9ba2babcdwangfeiandweiqingaremendingsomebroenchairs.thechildrenarelisteni ngtotheradiowhiletheyareworking.theclassroomlosniceandbrightafterthecleaning.t hechildrenareveryhappy.theygohomeforlunchatnoon.2/12。