山东省济宁市嘉祥一中2013-2014学年下学期高二年级5月质量检测考试数学试卷(理科)

高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。

嘉祥一中2013—2014学年高一5月质量检测数学一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一145cos15cos 45sin15-的值为 ( ) 2．下列结论正确的是 ( ) A ．当1,0≠>x x 时，的最小值为2C. 当R x ∈时，x x 212>+ D ．当0>x 时，的最小值为23．已知2tanx =,（ ）D. 3-4. 的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A BC D 5． 的图像向右平移(0)ϕϕπ<<个单位可以得到函数()g x 的图像，若()g x 为偶函数，则ϕ的值为（ ）A6. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+ ,恒成立，则()f x 的单调递增区间是（ ）7. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ）A.7B.9C.10D.158. 已知f （x ）＝asin2x ＋bcos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f （x ）≤｜f x∈R 恒成立，且f 0，则f （x ）的单调递增区间是（ ）A ．[k πk π（k ∈Z ）B ．[k πk π（k ∈Z ）C ．[k π，k π（k ∈Z ）D ．[k πk π]（k ∈Z ）9. sin(600)°-= （ )10A C 11A )3,1(12()OA OB AB +⋅= ( )A ．若()()1,4,1,0a b ==，则2a b +的值为确的命题是 ．三、解答题:（ 本大题共6小题, 共70分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

） 17．已知函数()2()23sin cos 2cos 1f x x x x x R =+-∈)．(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．定义在区间2[,]3ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6x π=对称,当 2[,]36x ππ∈-时函数()sin()(000)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<图象如图所示.(1)求函数)(x f y =在2[,]3ππ-的表达式; (2)求方程()2f x =的解;(3)是否存在常数m 的值,使得2|)(|<-m x f 在2[,]3x ππ∈-上恒成立;若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.19. （本小题满分12分）受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象.通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口. 某港口在某季节每天港口水位的深度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时，0t =表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为(),y f t =()sin()f t A t K ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>><. 已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米. （1）试求函数()y f t =的表达式；（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？ 20．ABC ∆的三个内角(1,1)m =-，(cos cos n B =，且m n ⊥． （1）求A 的大小；（2）现在给出下列三个条件：①1a =；②；③45B =，试从中再选择两个条件以确定ABC ∆，求出所确定的21. （1（2的最大值与最小值及相应的x 的值．22. （本小题满分12分）y ＝f(x)的图象关于直线x x ∈f(x)＝Asin(ωx ＋φ(1)求函数y ＝f(x)(2)求方程f(x)参考答案13． 5 14．．．②③④ 17. (1)由f (x )x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. （6分）(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.（12时∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口.因为m n⊥，所以3030,1,a=430,1,45,105a B C===62 sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin604+=+=+=sin105630=21.(1)由图象知A＝2，T＝8，∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.（6分）(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.（12分） 22.(1)当xA ＝1T ＝2π，ω＝1． 且f(x)＝sin(x ＋φ)φ＝π，φf(x)＝当－π≤xx而函数y ＝f(x)的图象关于直线x则f(x)＝即f(x)＝sinx ，－π≤x，由f(x)＝得x x当－π≤x f(x)＝－sinx sinx得x∴x。

山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（ ）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（ ） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-） （2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。

山东省济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题一、单选题1．已知空间两点()()0,1,2,2,3,1A B -，则A B ､两点间的距离是（）A ．2B ．3C ．4D ．92．若直线l 经过点()(1,0,2,A B -，则直线l 的斜率是（）AB ．CD ．3．甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是14，甲获胜的概率的是13，则乙不输的概率是（）A ．512B ．712C ．23D ．344．已知直线0x y +=与圆22:(2)8C x y +-=相交于,A B 两点，则AB =（）A ．B ．4CD ．25．已知空间三点()()()2,0,0,0,0,0,1,1,2P O A -，则点P 到直线OA 的距离是（）A ．6B ．306C D ．36．甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（）A ．118B ．19C ．16D ．297．在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱AB 的中点，1BC 与1B C 交于点E ，若1AB AA =，则1B D 与1A E 所成角的余弦值是（）A B C D 8．若过直线34120x y ++=上一点P 作圆22:20C x y x +-=的两条切线，切点为,A B ，则PC AB ⋅的最小值是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．设直线12:20,:0l x ay a l ax y a -+=++=的交点为()00,M x y ，则（）A ．1l 恒过定点0,2B ．12l l ⊥C ．2200x y +的最大值为52D ．点()3,2-到直线1l 的距离的最大值为510．某学校数学、物理两兴趣小组各有3名男生、3名女生，假设物理兴趣小组的3名女生为甲、乙、丙，现从数学、物理两兴趣小组各随机选出1名同学参加比赛.设事件1M 为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件2M 为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件3M 为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件4M 为“从两兴趣小组中选出的是1名男生和1名女生”，则（）A ．()116P M =B ．()314P M =C ．2M 与4M 相互独立D ．2M 与4M 互斥11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 满足DP xDA yDC =+，其中][0,1,0,1x y ∈∈⎡⎤⎣⎦，则（）A ．存在唯一点P ，使得1C P ⊥平面11B DC B ．存在唯一点P ，使得1//A P 平面11BD CC ．当1x y +=时，点1B 到平面11PA DD ．当2214x y +=时，三棱锥1P ACB -的体积的最小值为43-三、填空题12．若实数,x y 满足方程250x y +-=的最小值为.13．某商场调查500名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：不满意一般满意女性2564x男性1536y若160198x ≤≤，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为.14．已知正四棱柱11111,24,ABCD A B C D AA AD O -==为对角线1AC 的中点，过点O 的直线与长方体表面交于,E F 两点，M 为长方体表面上的动点，则ME MF ⋅的取值范围是.四、解答题15．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，124AA AD AB ===，设AC BD E = .(1)证明：1B E ∥平面11AC D ；(2)求平面11A B E 与平面11C B E 夹角的余弦值.16．在某电视民间歌手挑战赛活动中，有4位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选2名歌手.其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另外在其他歌手中随机选1名；观众乙、丙对4位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在4名歌手中随机选2名歌手.(1)求观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手的概率；(2)设3号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为X ，求2X =的概率.17．已知直线l 经过直线12:230,:30l x y l x y -+=+-=的交点P ，且3,2､()1,2B --两点到直线l 的距离相等.(1)求直线l 的一般式方程；(2)若点A B ､在直线l 的同侧，且Q 为直线l 上一个动点，求AQ BQ +的最小值.18．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将ADC △折起，点D 到达点P 的位置，使点P 在平面ABC 的射影H 落在边AB 上.(1)证明：PA BC ⊥；(2)求点B 到平面PAC 的距离；(3)若2CM MP = ，求直线AC 与平面AMB 所成角的正弦值.19．在平面直角坐标系中，已知圆C 经过原点和点()2,0P ，并且圆心在x 轴上.(1)求圆C 的标准方程；(2)设12PP 为圆C 的动弦，且12PP 不经过点P ，记12k k ､分别为弦12PP P P ､的斜率.（i ）若121k k ×=-，求12PPP 面积的最大值；（ii ）若123k k ⋅=，请判断动弦12PP 是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.。

山东省济宁市嘉祥一中2013-2014学年高二5月质量检测 数学文试题一、选择题（每小题5分，共60分。

）1. 函数f （x ）=23420122013123420122013x x x x x x ⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知S={x|x=2n,n ∈Z}, T={x|x=4k ±1,k ∈Z},则 （ ） A.S ⊂≠T B.T ⊂≠S C.S ≠T D.S=T3.若函数f(x)=2x +2(a-1)x+2在区间(,4]-∞内递减，那么实数a 的取值范围为（ ） A.a ≤-3 B.a ≥-3 C.a ≤5 D.a ≥34.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ） A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,3] D.[0,2]5.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A .⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数） C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 6. “a = 1”是“复数21(1)a a i -++(a R ∈,i 为虚数单位)是纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ ） A ．148B ．124C ．112D ．168. 从椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120，那么此椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．2 C D 9. 命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ）A ．042,2≥+-∈∀x x R xB ．042,2>+-∈∃x x R xC ．042,2≤+-∉∀x x R xD ． 042,2>+-∉∃x x R x10. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为( )AB ．．3 D ． 2 11.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。

山东省日照第一中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷一、单选题1．以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（ ） A ．33i -B ．3i +C ．22i -+D ．22i +2．已知空间向量()1,2,3m =u r ，空间向量n r 满足//m n u r r且7⋅=u r r m n ，则n r ＝（ ）A ．13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭D ．31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3．在下列条件中，使P 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．2OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r B ．111332OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u rC ．0PA PB PC +-=u u u r u u u r u u u r rD ．20OP OA OB OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r4．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则BM u u u u r等于（ ）A ．1122-+r r r a b cB ．1122++r r ra b cC ．1122--+r r r a b cD ．1122a b c -++r r r5．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=o .以D 1为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（ ）A ．π2B C ．πD ．26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin A B a b C b c +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则b c +的最小值为（ ）A ．12B ．24C ．27D ．367．如图，边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使1AD BC ⋅=u u u r u u u r，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A B C D ．48．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A B ．12C D ．2二、多选题9．关于复数z ，下列说法正确的是（ ） A ．2023i 1=-B ．若1z =，则2z -的最小值为1C ．22z z =D ．若43i -+是关于x 的方程：()20,R x px q p q ++=∈的根，则8p =10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=o ，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =u u u u r u u u r，则（ ）A ．1BDB ．直线1BD 与AC C ．1A E ⊥平面11BDD BD ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π411．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，M 是AD 的中点，将ABM V 沿着直线BM 翻折得到1A BM △．记二面角1A BM C --的平面角为α，当α的值在区间(0,π)范围内变化时，下列说法正确的有（ ）A ．存在α，使得1AB CM ⊥ B ．存在α，使得1A B CD ⊥C ．若四棱锥1A BCDM -的体积最大时，点B 到平面1A MD D ．若直线1A M 与BC 所成的角为β，则2cos sin 2αβ=三、填空题12．已知空间向量()6,2,1a =r ，()2,,3b x =-r，若()2a b a -⊥r r r ，则x =.13．设ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,60a c b B -==o ，则ac=.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，111CC C D =111C B =，点P 为线段1B C 上一点，则11C P D P ⋅u u u r u u u u r的最小值为 ．四、解答题15．已知z 是复数，2i z +和i 1z -均为实数，11i 1=+--mz z m m ，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 的共轭复数z ;(2)若复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面ABCD ，,//AD DC AB DC ⊥，112AB AD PD CD ====，PC =M 为棱PC 的中点.(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)求平面PDM 与平面BDM 夹角的余弦值.17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.(1)求角C 的大小；(2)若ABC Vc 的取值范围.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD 120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD ，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c =r ，点0000(,,)P x y z .若平面α以u r为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=.(1)若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为2α、2β、γ，其中平面2α经过点(4,0,0)A ，点(3,1,1)B -，点()1,5,2C -，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求出点B 到平面γ的距离；(3)已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W . （ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.。

济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。

2024—2025学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题(★★) 1. 若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．(★★) 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（）A．B．C．D．(★★) 3. 如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（）A．是必然事件B．是必然事件C．与一定互斥D．与不可能互斥(★★) 4. 甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）A． 0.9B． 0.8C． 0.7D． 0.2(★★★) 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 在四棱柱中，，，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A．在轴上的截距为B．过定点C．若，则或D．若，则(★★★) 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（）A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是三、填空题(★★★) 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______(★★) 13. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为 ________________ .(★★★) 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 _______ .四、解答题(★★) 15. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.(1)求边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程.(★★) 16. 亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，(1)求频率分布直方图中的值；(2)估计这600名学生成绩的中位数；(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．(★★) 17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．(1)证明：；(2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.(1)求证：平面；(2)若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.(★★★) 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。

山东省济宁市嘉祥县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题C ．函数()F x 在区间[1,1]-上单调递增D ．函数()F x 有4个单调区间三、填空题四、双空题五、解答题17．已知集合2{|121},{|3100}A x a x a B x x x =+≤≤-=--≤.（1）当3a =时，求()R A B I ð；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知二次函数()f x 满足条件()01f =，及()()12f x f x x +-=.(1)求()f x 的解析式；(2)解不等式()1f x ax a <+-.19．已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2g x x k =-.(1)当[)1,2x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别为集合A ，B ，设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.(2)设()()21F x f x kx k =-+-，且在[]0,1上单调，求实数k 的取值范围.20．设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =-.(1)当60x =时，求海报纸（矩形(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形小）？22．设函数()2x f x ka a =-(1)确定k 的值.(2)若()13f =，判断并证明(3)若3a =，使得()(2f x λ≤。

2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。

2021—2022学年度第一学期期中考试 高二数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教A 版2019必修第一册前三章及第四章前两节。

5．考试结束后，将答题卡交回。

第I 卷（选择题 共40分）一、单选题(本题共8小题,每小题5分，共40分)1．已知直线的方程为03=++b y x ，则该直线的倾斜角为（ ）A ． 30B ． 120C ． 150D ． 602．下列命题中正确的是（ ）A ．若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B ．若b a =，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反C ．a b a b −=+是非零向量a 、b 共线的充要条件D ．对空间任意一点P 与不共线的三点A 、B 、C ,若(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈，则P 、A 、B 、C 四点共面3．在四面体PABC 中,PC PB PA ,,两两垂直且相等,E 是AB 的中点,则AC 与PE 的夹角为( )A.6π B.4π C.3π D.32π 4．无论m 为何值，直线21y mx m =−+所过定点的坐标为（ ） A ．(2,1)−− B ．(2,1)− C ．(2,1)− D ．(2,1)5．方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则（ ） A ．0m n >>B ．0>>m nC ．0>mnD ．0<mn6．以下四个命题表述正确的是（ ）①若点()1,2A ，圆的一般方程为222410x y x y ++−+=，则点A 在圆上②圆C ：2228130+−−+=x y x y 的圆心到直线4330x y −+=的距离为2③圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +−−+=外切④两圆22440x y x y ++−=与222120x y x ++−=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④7．已知Q 为双曲线22221x y a b−=(0a >，0b >)的右顶点，M 为双曲线右支上一点，若点M 关于双曲线中心O 的对称点为N ，设直线QM ，QN 的倾斜角分别为α，β且1tan tan 4αβ=，则双曲线的离心率为（ ） ABCD8．如图，在正方体1111D C B A ABCD −中，O 是AC 中点，点P 在线段11C A 上，若直线OP 与平面11BC A 所成的角为θ，则θsin 的取值范围是（ ）．.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,32 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31 .C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,43 .D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,41 二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．设{,,}m n t 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）A ．基底{,,}m n t 中的向量可以为任意向量B ．空间中任一向量a ，存在唯一有序实数组(,,)x y z ，使a xm yn zt =++C ．,,m n t 两两共面D ．{2,2,2}m n n t t m +++也可以构成空间的一组基底10．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R −=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．b 11．已知圆22:4C x y +=，P 为直线:l y x b =+上的动点，则下列结论正确的为（ ）A ．若Q 为C 上的动点，且PQ 的最小值为2，则||b =B ．当4b =时，l 与C 相交C ．若6b =，则C 上恰有2个点到l 的距离为4D ．若b =P 为圆心1为半径的圆与圆C 可能相切12．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，143PF =，2143PF =．过点()2,1M −的直线交椭圆于,A B 两点，且,A B 关于点M 对称，则下列结论正确的有（ ）A ．椭圆的方程为22194x y += B C ．椭圆上存在2个点Q ，使得120QF QF ⋅= D ．直线l 的方程为89250x y −+=第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知空间中单位向量a ，b ，且,60a b ︒<>=，则3a b −的值为 .14．已知椭圆2222:1x y C a b +=的一个焦点坐标为)0,3(，离心率为23，则椭圆C 的方程为____ .15．在棱长2为正方体1111D C B A ABCD −1111D C B A ABCD −中，O 为平面11ABB A 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线E A 1的距离为 .16．已知2F 是双曲线C ：()22210x y a a−=>的右焦点，则2F 到双曲线C 的渐近线的距离为__________；过点2F 且斜率为B A ,两点（其中点A 在x 轴上方），且满足2215AF F B =，则双曲线的离心率为___________.四、解答题(本题共6小题，共70分)17．（10分）已知直线10x y −−=与直线230x y −+=交于点P ．（1）直线1l 过点P 且平行于直线3420x y −+=，求直线1l 的方程；（2）直线2l 经过点P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线2l 的方程． （注：结果都写成直线方程的一般式）18．（12分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.求：（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 夹角的余弦值.19．（12分）已知圆C 经过点(1,1)A 和点(2,2)B −，且圆心C 在直线:10l x y −+=上.（1）求圆C 的方程；（2）若与直线l 平行的一条直线与圆C 相交于,M N 两点，求CMN △面积最大值.20．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的其中一个焦点为)，一条渐近线方程为20x y −=（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知倾斜角为34π的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程.（注：结果写成直线方程的一般式）21．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，,//,222,AB AD AB CD AB AD CD E ⊥===是PB 的中点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AC E −−，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．22．（12分）已知C ：22221x y a b+=，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ､N 两点，直线m 的方程为：2x a =−，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E .（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） (i )求证线段EN 必过定点0(,0)P x ，并求0x 的值.(ii )点O 为坐标原点，求OEN ∆面积的最大值.。

山东省济宁市嘉祥一中2013-2014学年高二5月质量检测 数学理试题一、选择题 (每小题5分，共60分)1. 命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是（ ）A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则C ．若则0,0022≠+==b a b a 则且D ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或 2. 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 若双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2,则a 等于（ ）A ．2 BC ．32D ．15. 已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于( )A ．2B ．10C ．9D ．166. 巳知中心在坐标原点的双曲线C 与拋物线x 2=2py(p >0)有相同的焦点F,点A 是两 曲线的交点，且AF 丄y 轴，则双曲线的离心率为（ ）A. 215+B. 12+C. 13+D. 2122+7. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1122x xax x axx x f ,则” 2-≤a ”是” ()x f 在R 上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨ >⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()f x =若1230x x x <<<，则312123()()()f x f x f x x x x 、、的大小关系是（ ） A .312123()()()f x f x f x x x x <<B.312132()()()f x f x f x x x x <<C.321321()()()f x f x f x x x x <<D.321231()()()f x f x f x x x x <<10．设离散型随机变量X 的概率分布列如下表：则p 等于( )A.110B.210C.25D.1211．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，P (B )＝34，则P (B |A )＝( )A.950B.12C.25D.91012. 双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．21 B ．22C ．1D ．2二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若命题“∃x ∈R, x 2＋ax ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为.14. 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(离心率ce a =)15. 设函数1(), 0()2(), 0xx f x g x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩ ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 .16．每次试验的成功率为p(0＜p ＜1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分。

山东省济宁市第一中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性测试数学试题一、单选题1．已知()0,1,1A -，()1,1,4B ，平面α的法向量为()2,,6t ，若//AB α，则t =（ ） A ．10-B ．3C ．4D ．52．如图，G 是ABC V 的重心，,,OA a OB b OC c ===r r r u u u r u u u r u u u r ，则OG =u u u r（ ）A ．122333a b c ++r r r B ．221333a b c ++r r rC ．222333a b c ++r r r D ．111333a b c ++r r r3．已知向量()2,1,2a =-r ，()4,2,b x =-r ，//a b r r，则a b +=r r （ ）A ．3B ．9C ．27D ．814．已知事件A ，B 是互斥事件，()16P A =，()23P B =，则()P A B =U （ ）A ．118B ．49C ．12D ．235．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，若正实数,x y 满足2OD xOA yOB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2x yxy+的最小值为（ ） A ．52B ．92C ．2D ．46．已知()2,1,3a =-r ，()1,4,2b =--r ，()7,5,c λ=r ，若a r ，b r ，c r三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为（ ） A ．0B ．5C ．9D ．6577．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧面积是底面积的E 为四边形11ABB A 的中心，点F 为棱1CC 的中点，则异面直线BF 与CE 所成角的余弦值为（ ）A B C D 8．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x 表示第一次抛掷骰子的点数，用y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记“7x y +=”为事件A ，“()*21N xy k k =-∈”为事件B ，“3x ≤”为事件C ，则（ ）A ．A 与B 相互独立 B ．A 与B 对立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立二、多选题9．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）A ．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B ．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确.C ．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D ．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3710．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==u u u r u u u r 与向量()1,1,1OC =u u u r 的夹角都等于π4，则c o s A O B ∠=（ ）A BC D 11．（多选）如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段1DD 的中点，点F 为线段1BB 的中点，则（ ）A ．点1A 到直线1B E B ．直线1FC 到直线AE C ．点1A 到平面1AB E 的距离为13D ．直线1FC 到平面1ABE 的距离为13三、填空题12．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A ，则事件A 出现的频率为．13．如图，平面ABFE 与平面CDEF 夹角为60o ，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为2的正方形，则B ，D 两点间的距离是.14．如图所示，在正方体ABCD A B C D -''''中，AB ＝3，M 是侧面BCC B ''内的动点，满足AM BD '⊥，若AM 与平面BCC B ''所成的角θ，则tan θ的最大值为.四、解答题15．已知空间中三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ----，设,a AB b AC ==u u ur u u u r r r(1)已知()a kb b +⊥r r r ，求k 的值；(2)若6c =r ，且c BC λ=u u u r r ，求c r 的坐标.16．如图，正四面体ABCD (所有棱长均相等)的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是正四面体ABCD 中各棱的中点，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r .(1)用,,a b c r r r 表示EF u u u r，并求EF 的长；(2)求EF u u u r 与GH u u u r夹角的大小．17．已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个. (1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD ⊥，PC PD =，O 为CD 的中点，二面角A -CD -P 为直二面角.(1)求证：PB PD ⊥；(2)求直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值； (3)求平面POB 与平面P AB 夹角的余弦值.19．甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为23.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；(3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.。

2024届山东省梁山一中、嘉祥一中高一数学第二学期期末统考模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若0a b >>，则下列结论成立的是（ ） A ．22a b < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．a bb a+的最小值为2 D ．2a bb a+> 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线22y x =-与圆O :2222n x y a +=+交于()*,n n P Q n N ∈两点，且214n n n S PQ =.记n n b na =，其前n 项和为n T ，若存在*n N ∈，使得22n n T a λ<+有解，则实数λ取值范围是（ ）A ．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()0,∞+3．若集合，则A ．B ．C ．D ．4．某中学高一年级甲班有7名学生，乙班有8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是82，若从成绩在[80,90)的学生中随机抽取两名学生，则两名学生的成绩都高于82分的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ︒=，a =b =则B =（ ） A ．75︒B ．30︒C ．45︒D ．135︒6．ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列命题：（1）三边a 、b 、c 既成等差数列，又成等比数列，则ABC ∆是等边三角形；（2）若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰三角形；（3）若a b >，则cos cos A B <；（4）若2a b c +>，则3C π<；（5）4a =，30A =︒，若ABC ∆唯一确定，则04b <≤.其中，正确命题是（ ） A ．（1）（3）（4）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（2）（5）D ．（3）（4）（5）7．已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题p 的否定为（ ） A ．2 : (1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+≤B ．2:(1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+<C ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+≤D ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+<8．下列极限为1的是（ ） A ．lim(0.999)n →∞（n 个9）B ．lim (1)(0.9999)n nn →∞-⋅⎢⎥⎣⎦C ．2lim n n n π-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2273lim 714n n n n n →∞++++9．函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．关于点（－6π，0）对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 10．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79-B ．29- C ．29D ．79二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年度第二学期质量检高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}220,2,1,0,1,2A xx x B =−−=−−∣ ，则A B ∩的元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（ ） A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀> C.230,x x x ∀ D.230,x x x ∃>3.已知随机变量()21,X N σ∼，若()20.8P X = ，则(01)P X <<=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）III IIIIVA.60种B.120种C.180种D.240种5.已知定义在R 上的偶函数()f x ，若对于任意不等实数[)12,0,x x ∞∈+都满足()()12120f x f x x x −>−，则不等式()()22f x f x >−的解集为（ ） A.(),2∞−− B.()2,∞−+ C.22,3− D.()2,2,3∞∞−−∪+6，已知两个变是x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，斥利用最小二乘法求得的回归方程是0.280.16yx +，其相关系数是1r .由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m ，具体数据如下表所示：x1 2 3 4 5 y0.50.6m1.41.5若去掉数据()3,m 后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是2r ，则（ ） A.12r r = B.12r r >C.12r r <D.12,r r 的大小关系无法确定7.已知函数()22222,0e ,0xx ax a x f x ax x −+−= −> 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]0,1 B.[]1,e C.[]0,2e D.[]1,2e 8.若2023ln2ln32023,,232024ab c ==，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0,0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.若11a b>，则a b < C.若2a b +=，则14a b+的最小值为9D.若221a b +=，则a b + 10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()4,22f x f x f x f x =−+=−.当[]2,0x ∈−时，()243f x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的图象关于直线2x =对称 B.()f x 是奇函数C.()f x 在[]4,6上单调递减D.20251()1012k f k ==∑11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n 次后质点位于位置n X ，则下列结论正确的是（ ）A.()55116P X =−= B.()50E X = C.()63D X =D.移动6次后质点位于原点O 的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()2()1m f x mm x =−−为幂函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则实数m =__________.113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.14.已知,P Q 分别是函数()e ln xf x x x x =+−和()23g x x =−图象上的动点，测PQ 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量X 为这3人中男生的人数，求X 的分行列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b a c c d b d χ−==+++++++. α0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 a x2.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）在(21)n x −的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等. （1）求12(21)nx x +−的展开式中的常数项； （2）若230123(21)n nn x a a x a x a x a x −=+++++ ，求012323n a a a a na +++++ .17.（15分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x +−=，且当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）若()()2ln f x x f x a ++ 恒成立，求实数a 的取值范围.18.（17分）已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是12，甲正确回答每道题的概率均为89，乙正确回答每道题的概率均为59，且两人每道题是否回答正确均相互独立.（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X 为比赛结束时两人的答题总个数，求X 的分布列和数学期望. 19.（17分）已知函数()()e 1xf x ax a =+−∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x 恒成立，求a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：()ln f x x >.2023—2024学年度第二学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准2024.07一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A8.提示：设()ln ,0xf x x x=>，易知()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减， 因为()()ln2ln4ln34,3243a fb f =====，所以()()()43e f f f <<，即1e a b <<. 因为1ln 1x x− （当且仅当1x =时等号成立）（选择性必修二94页），所以202320241ln1202420232023>−=−，所以2023lnc 2023ln 12024=>−，所以1e c >. 所以1ea b c <<<.故选A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD 10.ACD 11.ABD10.提示：设随机变量ξ表示“移动n 次后质点向右移动的次数”，则1,2B n ξ∼， 由题意知()n X n ξξ=−−，即2nX n ξ=−. 对于A ：()()52551512C 216P X P ξ=−==== ，A 正确； 对于B ：()()()51252525502E X E E ξξ=−=−=××−=，B 正确； 对于C ：()()()61126446622D X D D ξξ=−==×××=，C 错误；对于D ：6626,X X ξ=−的所有可能取值有6,4,2,0,2,4,6−−−，当3i =时，661C 2i最大，()()603P X P ξ===最大，D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1− 13.13四､解答题：本题共5小题，共77分.15.解：（1）零假设为0H ：该班学生的数学建模能力与性别无关因为2250(6121418)2254.327 6.6352426203052χ×−×==≈<×××，所以，依据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据证明推断0H 不成立， 因此可以认为0H 成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量X 服从超几何分布，X 可能取1,2,3.()123235C C 31C 10P X ===， ()213235C C 632C 105P X ====， ()303235C C 13C 10P X ===. 则X 的分布列为所以()39355E X =×=. 16.解：（1）因为29C C n n =， 所以11n =. 所以111111112(21)2(21)(21)x x x x x+−=×−+×−所以1112(21)x x +−的展开式中的常数项为 111101112(1)C 2(1)20x x×−+×××−=. （2）因为112311012311(21)x a a x a x a x a x −=+++++ 令0x =得01a =−.因为102101231111(21)22311x a a x a x a x ×−×=++++令1x =得12311231122a a a a ++++=. 所以01232312221n a a a a na +++++=−+= . 17.解：（1）当()1,x ∞∈+时，()2,1x ∞−∈−所以()()3332(21)(1)(1)f x f x x x x =−−=−−−=−−=− 所以当()1,x ∞∈+时，()3(1)f x x =−，又当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−，所以()3(1),f x x x =−∈R （2）因为()23(1)0f x x =−′ ，所以()3(1)f x x =−在R 上为增函数.又()()2ln f x x f x a ++ ，所以2ln x x x a ++ ，即2ln x x x a −+ .设()2ln ,0g x x x x x =−+>.则()212112x x g x x x x −++=−+=′ ()()211,0x x x x−+−>，令()0g x ′>得01x <<；令()0g x ′<得1x >.所以()g x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[)1,∞+故()max ()10g x g ==，所以0a ，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.18.解：（1）设i A =“第i 道题甲得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，i B =“第i 道题乙得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，C =“答完前两道题后两人各得1分”.则i A 与i B 独立，所以()181********i P A =×+×−= ， ()()211133i i P B P A =−=−=， ()()()()()()()()121212121212P C P A B B A P A B P B A P A P B P B P A =∪=+=+ 2112433339=×+×=. （2）随机变量X 的取值为3,5,7.()332113333P X ==+=()2222223321212125C C 3333339P X ==×××+×××= ()()()12471351399P X P X P X ==−=−==−−=所以随机变量X 的分布列为所以()124473573999E X =×+×+×=. 19.解：（1）()e xf x a ′=+①当0a 时，()()0,f x f x ′>在R 上单调递增.②当0a <时，令()0f x ′>得()ln x a >−；令()0f x ′<得()ln x a <−. 所以()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()f x 在()(),ln a ∞−−上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）①当0a 时，()f x 在R 上单调递增，又()00f =， 所以当0x <时，()0f x <，所以()0f x 不恒成立.②当0a <时，()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.所以()f x 的最小值为()()()ln ln 1f a a a a −=−+−−. 因为()0f x 恒成立，所以只要()()()ln ln 10f a a a a −=−+−− . 设()()ln 1(0)g a a a a a =−+−−<，则()()()1ln 1ln g a a a =−+−+=−′， 所以当1a <−时，()0g a ′>；当10a −<<时，()0g a ′<. 所以()g a 在(),1∞−−上单调递增，在()1,0−上单调递减.所以()()10g a g −=，即()()ln 10g a a a a =−+−− .（当且仅当1a =−时等号成立） 所以当且仅当1a =−时，()()()ln ln 10f a a a a −=−+−−=. 所以1a =−.（3）由（2）可知，()e 1xf x x =−−.设()()ln e 1ln (0)x h x f x x x x x =−=−−−>，下面证明()0h x >.所以()()211e 1(0),e 0xx h x x h x x x′=−−>=+′>′， 所以()h x ′在()0,∞+上单调递增. 又()11e 20,302h h=−>=−<′′， 所以01,12x ∃∈，使得()00h x ′=，即001e 1xx =+.所以当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′<在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x ′>在()0,x ∞+上单调递增.所以()()00000001e 1ln ln xh x h x x x x x x =−−−=−− .因为01,12x∈，所以00010,ln 0x x x −>−>，所以()()00001ln 0h x h x x x x =−−> ， 所以()ln f x x >成立.。