亚纯函数

亚纯函数微分多项式的一个正规定则张兆迎;鲍文竹【摘要】证明了下面两个定理:(1)设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k.(A)f,g∈F,fLn(f)与gLn(g)IM 分担a.则F在D上正规,其中L(f)为f(k)+a1f(k-1)+…+fkf,这里a1,…,ak为常数.(2)设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,且fLn(f(z))=a能够推出∣f(k)(z)∣≤A,其中A为正数,则F在区域D上正规.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2010(025)002【总页数】3页(P218-220)【关键词】基础数学;函数论;亚纯函数;正规族;分担值【作者】张兆迎;鲍文竹【作者单位】成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225【正文语种】中文【中图分类】O174.521 引言及结果扈培础等在文献[1]中得到了下述结果：定理A 设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k.如果∀f,g∈F,f(f(k))n与g(g(k))nIM分担a,则F在区域D上正规.定理B 设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,且f(f(k)(z))n=a⇒|f(k)(z)|≤A,其中 A为正数,则F在区域D上正规.设L(f)=f(k)+a1f(k-1)+…+akf,a1,…,ak为常数.将f(k)推广为微分多项式L(f),得到了下述结果.定理1 设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k.∀f,g∈F,fLn(f)与gLn(g)IM分担a,则F在D上正规.定理2 设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,且fLn(f(z))=a⇒|f(k)(z)|≤A,其中A为正数,则F在区域D上正规.由定理1及定理2可得如下推论.推论1 设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,如果∀f∈F,fLn(f)≠a,则F在区域D 上正规.2 几个引理设区域D⊂C,F为区域D上的亚纯函数族,称 F在区域D上是正规的,如果任一{fn}⊂F有一个子列{fnj}在D上按球距内闭一致收敛于一个亚纯函数或∞.引理1[2] 设k是一个正整数,F是单位圆盘Δ上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,如果F在z=0处不正规,则对于任一α,0≤α≤k,存在：(1){zn}⊂Δ,zn→0;(2){fn}⊂F;(3)正数列{ρn},ρn→0(n→∞);使得gn(ζ)=ρ-αnfn(zn+ρnζ)在复平面上按球距内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数g(ζ),并且g(ζ)的零点重级至少为k,g#(ζ)≤g#(0)=1,g(ζ)的级至多为2.引理2[1] 设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,如果f为复平面上的一个非常数亚纯函数,零点重级至少为k,则 f(f(k))n-a至少有两个判别的零点.引理3[1] 设n≥2为正整数,a为有穷非零复数,如果f为复平面上的一个非常数亚纯函数,则f(f′)n-a至少有一个零点.3 定理证明定理1的证明：若F在D上不正规.不失一般性,设F为单位圆盘Δ={z∈C：|z|＜1}上的亚纯函数族且在原点z=0处不正规.由引理1知,存在点列{zj}⊂Δ且zj→0(j→∞),函数列{fn}⊂F,正数列{ρn},ρn→0,使得gj(ζ)=在复平面上按球距内闭一致收敛一个非常数亚纯函数g(ζ),并且g(ζ)的零点重级至少为k,g(ζ)的级至多为2.因此对ζ求导有所以经过简单的计算由于ρj→0(j→∞)知,在复平面上除去g(ζ)的极点外,若g(ζ)(g(k)(ζ))n≡a,则g既无零点又无极点,又因g为一个级至多为2的非常数亚纯函数,所以存在常数ci(i=0,1,2)使得(c1,c2)≠(0,0),g(ζ)=ec0+c1ζ+c2ζ2,显然g(ζ)(g(k)(ζ))n不恒等于a,矛盾.所以g(ζ)(g(k)(ζ))n不恒等于a.由引理 2,函数g(ζ)(g(k)(ζ))n-a至少有两个判别的零点,设其中两个为ζ0,ζ*0.取适当小的δ0＞0,使得B(ζ0,δ0)∩B(ζ*0,δ0)=Ø 且在B(ζ0,δ0)∪B(ζ*0,δ0)上除去ζ0,ζ*0 外没有其他零点,这里B(ζ0,δ0)={ζ||ζ-ζ0|＜δ0},B(ζ*0,δ0)={ζ||ζ-ζ*0|＜δ0}.由式(1)及Hurwitz定理知,当 j充分大时,存在点ζj∈B(ζ0,δ0),ζ*j ∈ B(ζ0*,δ0)使得由假设f1Ln(f1)和 fjLn(fj)IM分担a知,由非常数亚纯函数零点孤立性,f1Ln(f1)≡a.同理∀f∈F,fLn(f)≡a.而矛盾 .定理1证毕.定理2的证明：应用定理1证明过程中的符号记法.由Hurwitz定理知g(ζ)的零点重数至少为k,由引理2,引理3知g(ζ)(g(k)(ζ))n-a 至少有一个零点ζ0,所以g(ζ0)≠∞.因此由Hurwitz定理 ,存在{ζj},ζj→ζ0,使得fj(zj+ρjζj)Ln(fj(zj+ρjζj))=a,由假设知,其中 A 为正数.因此由此定理2证毕.参考文献：[1]Hu Pei-Chu,Meng Da-Wei.Normality criteria of meromorphic functions with multiple zeros[J].J.Math.Anal.Appl.,2009,357：323-329.[2]L Zalcman.Normal familes：Newperspectives[J].Bull.Amer.Math.Soc.,1998,35 ：215-230.[3]Y X Gu,X C Pang,M L Fang.Normal Families and ItsApplication[M].Beijing：Science Press,2007.。

Pure Mathematics 理论数学, 2022, 12(1), 209-217 Published Online January 2022 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm https://doi.org/10.12677/pm.2022.121025

文章引用: 邱仕林, 郑瑞林, 刘丹. 涉及亚纯函数差分算子的唯一性定理[J]. 理论数学, 2022, 12(1): 209-217. DOI: 10.12677/pm.2022.121025

涉及亚纯函数差分算子的唯一性定理 邱仕林，郑瑞林，刘 丹* 华南农业大学数学与信息学院，广东 广州 收稿日期：2021年12月20日；录用日期：2022年1月20日；发布日期：2022年1月27日

摘 要 本文运用Nevanlinna值分布论研究了有穷级亚纯函数与其差分算子分担函数的问题，得到了如下结果。设()fz是有穷级超越亚纯函数，()()()/,azbz≡∞是()fz的Borel例外函数且()()(),azbzSf∈，其中()az是满足()()1azρfz∆

η

CM分

担()(),azbz∆η，那么，()0az=，()bz=∞，()eAzfzB=，其中,AB是非零常数。本文是对陈创鑫和张然然结果的改进和推广。

关键词 亚纯函数，唯一性，差分算子

Uniqueness of Meromorphic Function Concerning Difference Operator

Shilin Qiu, Ruilin Zheng, Dan Liu* College of Mathematics and Informatics, South China Agricultural University, Guangzhou Guangdong

Received: Dec. 20th, 2021; accepted: Jan. 20th, 2022; published: Jan. 27th, 2022

亚纯函数的无穷级数展开我们知道，如果ƒ()z 在0z 的邻域内全纯，则ƒ()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞=；如果z 。

是ƒ(z)的一孤立奇点，它可以在z 。

的去心邻域展成Laurent 级数()nn n z z a ∑+∞-∞=-0。

亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。

这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。

设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即)()()(z g Z h z f =. 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下()()...)(21z z z z a z g --=由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式，()()∑∞-=k n k kkz z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数)即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行深入讨论。

下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。

由于tgz ＝ctg （2π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法即可。

我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。

这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。

因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得()()⋅⋅⋅+⋅⋅⋅---⋅=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 32121sin cos sin (1)若12+=n m 是奇数，用公式()kk x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数的偶次幂后，得()()xP x x n 2sin sin 12sin ⋅=+ （2）其中()u P 为一个n 次幂整多项式。