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常用十个泰勒展开公式泰勒公式，泰勒公式[1]真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。
即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。
我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。
最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。
泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。
这也是我自学这么久总结出来的规律。
泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。
所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。
从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。
我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。
否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。
我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。
泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。
泰勒公式的定义我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。
但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。
举个例子：这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δx的减小，点P0 和P 也会越来越接近，这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。
当然，当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。
由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是(x-x0)^n 的高阶无穷小。
第四章 级 数第二节 泰勒展式4、解析函数泰勒展式：定理4.1、设函数f (z )在圆盘R z z U <-|:|0内解析，那么在U 内，...)(!)(...)(!2)(")(!1)(')()(00)(200000+-++-+-+=n n z z n z f z z z f z z z f z f z f证明：设D z ∈。
以0z 为心，在U 内作一个圆C ，使z 属于其内区域。
我们有⎰-=C d zf i z f ,)(21)(ζζζπ 由于当C ∈ζ时，100<=--q z z z ζ。
又因为 )1|...(|...1112<+++++=-αααααn 所以∑+∞=+--=---⋅-=---=-010000000)()(111)(11n n nz z z z z z z z z z z ζζζζζ 上式的级数当C ∈ζ时一致收敛。
把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα其中，)1!0,...;2,1,0(,!)()()(210)(1==⎰=-=+n n z f d z f i C n n n ζζζπα 由于z 是U 内任意一点，定理的结论成立。
定理4.2 函数f (z )在一点0z 解析的必要与充分条件是：它在0z 的某个邻域内有定理4.1中的幂级数展式。
注解：在定理4.1中，f (z )在U 内的幂级数展式我们称为它在U 内的泰勒展式。
系4.1 幂级数...)(...)()()(020201000+-++-+-+=∑-+∞=n n n n n z z z z z z z z ααααα是它的和函数f (z )在收敛圆内的泰勒展式，即,...).2,1,0(!)(),(0)(00===n n z f z f n n αα 因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理：系4.2 在定理4.1中，幂级数的和函数f (z )在U 内不可能有另一种形式的幂级数。
泰勒公式与函数展开的操作方法01说在前面的话传说早在亚里士多德时代（相当于我国的战国），就有人在探寻将一般函数展开成简单多项式的方法，但因为条件所限，一直未能成功。
不过在漫长的历史长河中，在具体数值求解方面仍有很多经典实例让后世的我们眼前一亮，比如古人制定十二平均律规范了音律。
另外，通过割圆术计算圆周率更可以认为是近似计算的经典范例。
古人在长期观测中注意到天体运行轨道速率与加速度变化产生的视运动变化，在天文历算（主要是编订历法）过程中引入了内插法。
东汉时，刘洪编订《乾象历》引入一次内插。
隋朝刘焯编订《皇极历》引入二次内插。
唐代僧一行（俗名张遂）编订《大衍历》时，修正了刘焯的方法。
元代郭守敬、王恂在编订《授时历》过程中引入了三次内插，辅以差分表计算，并将此法命名为“招差”（南宋秦九韶称之为“招法”），即“招差术”之由来。
元朝的朱世杰在《四元玉鉴》中，讨论了更一般情况下的“招差法”。
从《九章算术》盈不足术的直线内插法历经东汉刘洪、隋刘焯、唐一行与徐昂, 到元郭守敬与朱世杰的四次招差术, 实质上已到达了牛顿的一般插值公式,此时实际上距离泰勒展开式已只一步之遥。
300多年后的1712年（相当于中国清朝康熙51年），传说牛顿的门生英国人泰勒（Brook.Taylor），找到了一个方法，成功将函数展开为多项式。
下面，我们探讨从微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）出发，通过运用分部积分法把函数展开。
因为是科普文所以这里不做严格的推导、论证，且遣词用句可能有乡间哩语。
鉴于此文俗不可耐的文风，可能须要您在摇头叹息中才能读完全文。
但还是希望既使您已完全忘了微积分的内容也可从这篇科普文里有所收获！02函数的展开式根据微积分基本公式：这个∫符号就大名鼎鼎的积分号啦，她其实是个拉长的S，是著名的莱布尼茨大神在与牛顿大叔骂战前就开始使用的，在她右上侧的x叫做积分上限，她下面的a自然就名叫下限啦（因为人家是s形身材所以称“她”，有任何人不服气吗？），当然如果你感觉她旁站这两个字母不够帅气的话也可以换另外两个，随便你！接下来的ƒ代表一个函数（相信你仍然记得），这个右上面的小撇就代表导函数了（简称导数），u代表自变量（不喜欢的话你也可以换成t、l、v、w、z，总之你随意），后面我看到了d这个字母是代表微分符号。
