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无穷级数用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。
目录概述历史判断数项级数的性质幂级数泰勒展开式Fourier级数收敛与发散性质概述历史判断数项级数的性质幂级数泰勒展开式Fourier级数收敛与发散性质判别法展开无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。
只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。
算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。
包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。
英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。
研究人员说，一个极有说服力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。
‚无穷级数‛可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。
约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics)的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。
他说：‚现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪)印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。
17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。
他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。
但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)的名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。
无穷级数的概念与性质无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它指的是无数项的和数。
无穷级数的数学公式一般写成∑n=1∞an，其中an表示每一项的系数。
无穷级数在物理、经济等领域应用广泛，是数学研究的重点。
一、收敛与发散在分步分析无穷级数性质前，我们必须先了解收敛与发散的概念。
在无穷级数中，若该级数的部分和Sn满足：Sn趋于某一固定的唯一数L，即limSn=L，则称该无穷级数收敛于L（或收敛于∞，收敛于-∞）。
反之，如果Sn的值不趋于任何一个常数，则称该无穷级数发散。
例如：1+1/2+1/4+···+1/2n+···，其中每一项的系数an=1/2n，这个级数收敛于2。
而1+2+4+···+2n+···，这个级数则是发散的。
二、正项级数正项级数指的是每一项的系数an均为非负数。
对于正项级数，一般用单个符号∑an表示，而不是∑n=1∞an。
正项级数的充分必要条件是部分和单调不降及有界或有上界。
即如果存在一个B使得Sn≤B，那么称该级数有上界，如果B不存在，则称该级数发散。
三、级数收敛判定法在判定一个级数的收敛或发散时，需要掌握一些常用的级数收敛判定法。
（一）比值判别法比值判别法即通过求出级数的相邻两项之比的极限值来判断级数的收敛性。
如果该极限值小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。
例如：an=(n+1)/(2n+1) 则有limn→∞an+1/an=1/2 < 1，所以此级数收敛。
（二）根值判别法根值判别法实际上是比值判别法的特例，即通过求出级数的每一项的n次方根的极限值来判断级数的收敛性。
如果该极限小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。
例如：an=1/n^2，则有limn→∞an^1/n=1，所以此级数收敛。
1无穷级数整理一、数项级数（一） 数项级数的基本性质1•收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2•收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数 ，总存在N 使得对于任何两个 N大于的正整数 m 和n 总有S m S n•（即部分和数列收敛）3•收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛） ，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散4•对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变 5•在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性 （二） 数项级数的性质及敛散性判断 1•正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛 （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数U nn 1V n 收敛时，级数 U n 亦收敛；若I ，则当级数1n 1n 散时，级数V n 亦发散•n 1V n 之间自某项以后成立着关系:n 1存在常数c0，使 U n CV n (n 1,2,），那么 （i ）当级数V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时，级数 n 1V n 亦发散•推论：设两个正项级数U n 和 n 1V n ，且自某项以后有1U n 1 U n4，那么V n（i ）当级数n V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时, n 1V n 亦发散•（3）比较判别法的极限形式 （比阶法）：给定两个正项级数Un n 1和 V n ，若 lim U nn 1nV n那么这两个级数敛散性相同（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若I 0,则当级数U n 发常用度量:①等比级数：q n，当q 1时收敛，当q 1时发散；n 01②P-级数：丄，当p 1时收敛，当p 1时发散（p 1时称调和级数）;n 1 n p1③广义P-级数：p，当p 1时收敛，当p 1时发散•n 2 n In n④交错p-级数：（1）n12，当p 1时绝对收敛，当Op 1时条件收敛•n 1 n pu（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数u n，当lim 口r 1时n U nn 1级数u n收敛；当1血乩r 1时级数u n发散；当r 1或r 1时需进一步判断• n 1 n U n n 1（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数u n，设r lim n u n，那么r 1nn 1时此级数必为收敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断•（6 ）柯西积分判别法：设u n为正项级数，非负的连续函数 f （x）在区间［a,）上单调n 1下降，且自某项以后成立着关系：f（U n） U n，则级数U n与积分° f（X）dx同敛散.n 12•任意项级数的理论与性质（1 ）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数U n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数V n，其中n 1 n 1 Un| U nV n 一!-------- ；将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数W n ,其中2 n 1U n| U nW n 一!------- ，那么若级数U n绝对收敛，则级数V n和W.都收敛；若级数U n 2n 1 n 1 n 1 n 1条件收敛，则级数V n和W n都发散.n 1 n 1③ 绝对收敛级数的更序级数(将其项重新排列后得到的级数)仍绝对收敛，且其和相同④若级数 U n 和 V n 都绝对收敛，它们的和分别为 U 和V ，则它们各项之积按照任何方n 1n 1式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积 U nV n 也绝对收敛，且和也为UV .n 1n 1注:C nU nV n ，这里C nUN n U 2V n 1U n 1V 2 U n V 1n 1n 1n 1且U n 单调减少(即U n U n J,则 (1)"勺山收敛，其和不超过第一项，且余和的符号n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数(一)幕级数1•幕级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西-阿达马定理：幕级数 a n (x x 0)n 在x x oR 内绝对收敛，在 x x 0 Rn 0内发散，其中R 为幕级数的收敛半径•(2)阿贝尔第一定理：若幕级数a n (xx 0)n 在x 处收敛，则它必在x x 0 x 0n 0内绝对收敛；又若a n (x x 0)n 在x处发散，则它必在 x x 0 x 0也发散•n 0推论1：若幕级数a n x n 在x (0)处收敛，则它必在 x 内绝对收敛；又若幕n 0级数a n X n 在x( 0)处发散，则它必在 x 时发散•n 0推论2：若幕级数a n (x X 0)n 在x处条件收敛，则其收敛半径 R I X 。
第五讲无穷级数§1 概念及其性质∞无穷级数（简称级数）：∑un=u1+u2+ +un+ ，un称为第n项式通项一般项。
n=1n∞iSn=u1+u2+ +un=∑ui=1为∑un的前n项和。
n=1∞∞定义：若limSn=S（有限数），则称级数∑un收敛，S为其和，即∑un=S；n→∞n=1n=1∞若limSn不存在，则称级数∑un发散。
n→∞n=1例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。
∞（1）∑n=11∞；（2）∑n=1n∞(n+1)!；（3）∑n=11n(n+1)(n+2)；提示：将通项un写成两项差的形式，即un=vn-vn-1。
解：（1）un=Sn=∞=n1+)+ +=1→∞ (n→∞) ∴∑un=1发散。
（2）un=(n+1)-1=n+1!()1n!-1(n+1)!；⎛1⎫1⎫⎛11⎫11⎛=1-→1 (n→∞) Sn= 1-⎪+ -⎪+ + -⎪⎪2!2!3!n!n+1!n+1!()()⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞∴∑un=1n=1。
⎤1⎡11=⎢- （3）un=⎥ n(n+1)(n+2)2⎣n(n+1)(n+1)(n+2)⎦1Sn=1⎡⎛11⎫⎛11-+-⎢⎪2⎢⎝1⋅22⋅3⎭⎝2⋅33⋅4⎣⎛⎫⎤11⎫+ +-⎥⎪⎪⎪⎭⎝n(n+1)(n+1)(n+2)⎭⎥⎦⎤1⎡111=⎢-→(n→∞) ⎥2⎣1⋅2(n+1)(n+2)⎦4∞∴性质：∑n=1un=14。
∞∞①设c≠0为常数，则∑cun与∑un具有相同的敛散性；n=1n=1∞∞∞②设∑un=S，∑vn=σ，则∑(un±vn)=S±σ；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un收敛，∑vn发散，则∑(un±vn)发散；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un与∑vn均发散，则∑(un±vn)具体分析。
n=1n=1n=1∞③ ∑un去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变；n=1∞④设∑un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和；n=1∞∞设有一个∑un，若对各项加括号后所得新级数发散，则原级数∑un发散；若对其n=1n=1各项任意加括号后收敛，则原级数敛散性要具体分析。
基本函数的傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开公式是将一个周期函数表示为一系列正弦和余
弦函数之和的表达式。
对于基本函数而言，傅里叶级数展开公式可以写作：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0、an、bn分别是傅里叶系数，ω是角频率，x是周期函数中的一点。
对于常见的基本函数而言，它们的傅里叶级数展开公式如下：
1. 正弦函数：
f(x) = Σ(n=1 to ∞) [bn*sin(nωx)]
其中，bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
2. 余弦函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx)]
其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
3. 三角函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
通过以上公式，我们可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数之和，从而更好地进行数学分析和计算处理。
亚纯函数的无穷级数展开我们知道，如果ƒ()z 在0z 的邻域内全纯，则ƒ()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞=；如果z 。
是ƒ(z)的一孤立奇点，它可以在z 。
的去心邻域展成Laurent 级数()nn n z z a ∑+∞-∞=-0。
亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。
这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。
设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即)()()(z g Z h z f =. 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下()()...)(21z z z z a z g --=由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式，()()∑∞-=k n k kkz z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数)即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行深入讨论。
下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。
由于tgz ＝ctg （2π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法即可。
我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。
这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。
因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得()()⋅⋅⋅+⋅⋅⋅---⋅=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 32121sin cos sin (1)若12+=n m 是奇数，用公式()kk x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数的偶次幂后，得()()xP x x n 2sin sin 12sin ⋅=+ （2）其中()u P 为一个n 次幂整多项式。
如果用n u u u ,...,,21表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=n n u u u u u u A u u u u u u a u P 1...11 (2121)从（2）容易定出根n u u u ,...,,21,如果x 使()012sin =+x m ,但0sin ≠x ,则x 2sin 就一定是()u P 的根。
12,...,122,12+++=n n n n x πππ介于0与2π之间，且为递增序列，从而.12sin ,...,122sin ,12sin22221+=+=+=n n u n u n u n πππ是()u P 的n 个相异根。
而系数()0P A =可作为当0→x 时()xx n sin 12sin +的极限来确定,从而.12+=n A 我们得到 ()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+12sin sin 1...12sin sin 1sin 1212sin 2222n n x n x x n x n ππ设12+=n x t ,上式化为()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=12sin 12sin 1...12sin 12sin 112sin12sin 2222n n n t n n t n t n t ππ （3）我们认定t 异于,...,2,,0ππ±±于是0sin ≠t .在条件()t k >+π1下取正整数k,并设.k n >现在把t sin 表为下面乘积的形状:()()..sin n k n k V U t =（4）其中()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=12sin 12sin 1...12sin 12sin 112sin122222n k n t n n t n t n U n k ππ()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-=12sin 12sin 1...121sin 12sin 12222n n n t n k n t V n k ππ 固定k,有()t n tn n =++∞→12sin12lim(),,...,2,112sin12sin 22222lim k h h t n h n tn ==++∞→ππ故()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∞→22222221...411lim πππk t t t t U U n kn k 由于（3）,()n k n k V V lim ∞→= 存在,且..sin K k V U t =下面确定k V 。
普通微分学中有不等式 θθθπ<<sin 2 20πθ<<成立。
所以()2221212sin +<+n t n t并且 ()()n k h n h n h ,...,112.412sin 22222+=+>+πππ 于是()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->>222241...1411n t k t V n k （5）取0h 滿足2204t h >,因为级数∑∞=0.224h h ht 收敛,故无穷乘积∏∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02241h h h t 收敛。
因此余乘积 ∏∞+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122___41k h kh t V1___lim =∞→V kk 。
如果使()VV kn k >>1.我们只加强了不等式（5）,在固定k 下令∞→n 得 .1V V k k >>由此得到,sin ,1lim lim t U V k k k k ==∞→∞→最后得到正弦函数的无穷乘积Euler 展开式...1...4111sin 22222221222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∞=ππππn t t t t n t t t n （6）前面讨论中，我们将,...2,,0ππ±±=t 除外，实际上（6）式对这些值也成立,并且这恰好是正弦函数的全部零点，而（6）也正好是它的“因式分解”。
很显然，（6）式中的t 取一切实数。
下面我们设yi x z +=()∏∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=12221n n z z z f π （7）可见（7）式就是（6）式的解析开拓，由解析函数的唯一性知()∏∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==12221sin n n z z z z f π （8）如果(),...2,1,0±±=≠k k z π,我们对（8）式取对数得∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=12221ln ln sin ln n n z x z π 逐项微分就得∑∞=-+==122221sin cos n n z zz ctgz z z π （9）以上运算的合理性我们就不去验证了，只是对（9）右边的无穷级数的一致收敛性要在πk z ≠的情形下验证，这可以利用Weierstrass 判别法得到结果。
（9）式还可以写作∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=1111n n z n z z ctgz ππ（10）这就是我们需要的结果。
如果注意到⎪⎭⎫⎝⎛--=2πz ctg tgz∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=121212121n n z n z tgz ππ 分析上面的求解过程可以看出，亚纯函数ctgz 的展开式是从实数域开拓到复数域得到的。
是否可以从复数或中直接得到?下面我们来讨论这个问题。
设()ctgz z f =zzsin cos =它的奇点为(),...2,1,0±±==k k z k π,即z sin 的零点为它的极点，又()()()1sin cos ,Re ='===kz z k k z z z z f s R即它的所有极点都是一级的，从而ctgz 在πk z =的Laurent 展开式的主要部分为().,...2,1,01±±=-k k z π（12）根椐（10）及（12）得到启示，我们考虑下面复积分 ζζζπd zctg i n C ⎰-21（13） n C为:π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n z 这样的圆周正向, n 为正整数。
这就使1+n 个奇点()n k z k±±±=,...,2,1,0π全在n C 内部。
由（13）知，被积函数zctg -ζζ在n C 内有一级极点()n k z k ±±±=,...,2,1,0π外，还有奇点z 点，z 是n C 内异于k z 的任一点，且ctgz z z ctg s =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-,Re ζζzz z zctg s k k -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1,Re ζζ 利用留数基本定理，得到ζζζπd zctg i n C ⎰-21=∑∑-=-=--=-+nn k nn k k k z ctgz z z ctgz π11 （14）我们要对上式左边积分值进行估计，下面对（14）进行如下的处理,令0→z ,（14）化为∑⎰≠-=→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nk n k z C k z ctgz d ctg i n0,01121lim πζζζπ其中 01lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛-→z ctgz z （可用L ’Hospital 法验证）从而得到∑⎰≠-==nk n k C k d ctg i n0,121πζζζπ （15）（14）减（15）得()∑⎰≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-no k n k C k k z z ctgz d z ctg i z n,1112ππζζζζπ （16）显然,我们要证∞→n 时，（16）左边的积分趋于零。
下面我们来估计这个积分，这需要先验证ctgz 有界性。
设ρπρ=-k z C k :,其中20πρ<<,即这些小圆互不相交，且每一个小圆ρk C 内只有一个奇点πk ，我们将证明除去所有的ρk C ,ctgz 在z 平面有界。
如果注意到ctgz 以π为周期,所以只考虑它在一个单叶性区域内的有界性即可。
比如带形域π≤≤z D Re 0:去掉ρρ10,C C 在D 内的部分。
在带形域D 的每一个有限部分上，函数ctgz 都是连续的，因ctgz 是有界()yi x z +=。
我们只需证明，当π≤≤x 0而+∞→y 或-∞→y 时, ctgz 有界,由于ixy ixy ixy ix y iz iz iz iz e e e e e e e e i e e e e i ctgz -------+=-+=经过简单的变换有:yyyy e e e e ctgz ---+≤而1lim =-+--±∞→y y yy y ee e e ,因此，当y 的绝对值充分大时，完全可以设2≤ctgz 。
