目录
1运动方程的建立 (1)
1.1利用达朗伯原理 (1)
1.1.1利用达朗伯原理的直接平衡法 (1)
1.1.2达朗伯原理的拉格朗日形式 (2)
1.2H AMILTON原理 (2)
1.3虚功原理和虚功方程 (2)
1.3.1弹性体的虚功原理和虚功方程 (2)
1.3.2刚体的虚功原理和虚功方程 (3)
1.4最小势能原理 (3)
1.5拉格朗日方程 (4)
1.6拉格朗日乘子法和罚函数法 (5)
2单自由度系统动力反应分析 (6)
2.1无阻尼自由振动 (6)
2.2有阻尼自由振动 (7)
2.3简谐激振 (9)
2.4简谐位移激振 (11)
2.5周期激振 (12)
2.6单位脉冲激振和单位阶跃激振 (12)
2.6.1单位脉冲激振 (12)
2.6.2单位阶跃激振 (13)
2.7任意激振 (14)
2.8频率响应函数（机械导纳） (15)
3多自由度系统动力反应分析 (15)
3.1直接积分法 (15)
3.1.1中心差分法 (16)
3.1.2Newmark方法 (17)
3.1.3威尔逊－ 法 (19)
3.2振型叠加法与反应谱理论 (19)
3.2.1振型分析 (19)
3.2.2振型分解 (20)
3.2.3振型叠加法 (22)
3.2.4振型分解反应谱理论 (22)
4参考书 (26)
1 运动方程的建立
1.1 利用达朗伯原理
1.1.1 利用达朗伯原理的直接平衡法
考察N 个质点的系统，各个质点的质量为i m ，受到i F 的作用力，根据牛顿第二定律：任何质量i m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力
()i i i du d F m dt dt
=
（1.1.1） 移项有 0i i i F m u -= （1.1.2）
式中，第二项i i m u 为抵抗质量加速度的惯性力。质量所产生的惯性力，与它的加速度成正比，但方向相反。这个概念称为达朗伯原理。因而是结构动力学问题中一个很方便的方法。由于它可以把运动方程表示为动力平衡方程，可以认为，i F 包括许多作用于质量上的力：抵抗位移的弹性约束力，抵抗速度的粘滞力，以及独立确定的外荷载。因此，如果引入抵抗加速度的惯性力，则运动方程的表达式仅仅是作用于质量上所有力的平衡表达式。
利用达朗伯原理可以在弹性静力学基本方程的基础上直接建立弹性动力学方程，弹性动力学基本方程是：
动力平衡方程 ,,,0ij j i i tt i t f u u σρμ=+-- （在V 域内） （1.1.3）
几何方程 1
,,2
()ij i j j i u u ε=+ （在V 域内） （1.1.4） 物理（本构）方程 i j ijkl kl ij A D σεε∂=
=∂ ij ijkl i j i j
B D εσσ∂==∂（在V 域内） （1.1.5） 边界条件 i i u u = （在u S 边界上） （1.1.6）
ij j i n T σ= （在S σ边界上）
初始条件 (,,,0)(,,)i i u x y z u x y z = （1.1.7） ,,(,,,0)(,,)i t i t u x y z u x y z =
式(1.1.3)中，ρ是质量密度，μ是阻尼系数，,i tt u 和,i t u 分别是i u 对t 的二次导数和一次导数，即分别表示i 方向的加速度和速度；,i tt u ρ-和,i t u μ-分别代表惯性力和阻尼力，相当于
弹性静力学的体积力的一部分，A 及B 分别为弹性体的应变能密度及余能密度。在此荷载是时间的函数，因此位移、应变、应力也是时间的函数。
1.1.2 达朗伯原理的拉格朗日形式
设有N 个质点的系统，各个质点的质量i m ，受到i F 的作用力，同时每个质点还受有无功约束，约束反力为i R ，根据牛顿第二定律有
0i i i i F R m u +-= （1.1.8）
设i u δ为弹性体在某一瞬时的虚位移，因为无功约束力的总虚功为零，于是
()0i i i i i i W F m u u R u δδδ=-=-= （1.1.9）
式（1.1.9），通常称为达朗伯原理的拉格朗日形式，是动力学的普遍方程。适用于运动的任一瞬间。所以称式（1.1.9）为达朗伯－拉格朗日方程。
1.2 Hamilton 原理
避免建立平衡矢量方程，可以使用以变分形式表示的能量。通常最广泛应用的变分概念为Hamilton 原理，此原理可表达为
()2
2
110t t nc t t T V dt W dt δδ-+=⎰⎰ （1.2.1） 其中，T －体系的总动能；V －体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能；nc W －作用于体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷）所作的功；δ－在指定时间区间内所取的变分。
Hamilton 原理说明：在任何时间区间1t 到2t 内，动能和位能的变分加上所考虑的非保守力所作的功的变分必须等于零。在这个方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。因此，这种建立方程的方法的优点是，它只和纯粹的标量－能量有关。
Hamilton 原理也可用于静力问题。此时，动能项T 消失，而方程（1.2.1）的积分中剩余的项是不随时间变化的，于是方程简化为
()0nc V W δ-= （1.2.2）
这就是广泛应用于静力分析中的最小位能原理。
1.3 虚功原理和虚功方程
1.3.1 弹性体的虚功原理和虚功方程
如果弹性体处于运动状态，则它的动力平衡方程为（1.1.3）。设i u δ为弹性体在某一瞬时的虚位移。由式（1.1.3）可得
,()0i j j i i i i V f u u u dV σμρδ+--=⎰
（1.3.1）
利用Green 公式 ,,,[()]i j i i j i j i j i j i j i j i j i j V V S V
u dV u u dV u n dS u dV σδσδσδσδσδ=-=-⎰⎰⎰⎰ （1.3.2）
