2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法
整体设计
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．
三维目标
1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．
2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．
3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．
重点难点
教学重点：用二分法求方程的近似解．
教学难点：二分法．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测．
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．
2．4．2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
1．了解变号零点与不变号零点的概念． 2．理解函数零点的性质． 3．会用二分法求近似值．
1．函数零点的性质
如果函数 y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．
3．用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤
给定精确度
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点 x1；
(3)计算 f(x1)；①若f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1 (此时零点 x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度，即若|a－b|<，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复 (2)～(4)．
1．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2，4]上的零点必属于区间(
)
A．[－2，1]
B．52，4
C．1，74 D．74，52
解析：选D．由于f(－2)<0，
f(4)>0，f(－2＋42)＝f(1)<0，
f(1＋42)＝f(52)>0，
f(1＋522)＝f(74)<0，
所以零点在区间74，52内．
2．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0．5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( ) A．(0，0．5) f(0．25)
求零点的方法
在数学中，零点是指一个函数在坐标系中与x轴相交的点，也就是函数的根或者零解。求解一个函数的零点，对于数学学习者来说是一个基础而又重要的问题。下面我们将介绍几种常见的求零点的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、图像法。
图像法是一种直观、直接的求解零点的方法。对于给定的函数，我们可以通过作出函数的图像来找到它的零点。具体步骤是先将函数在坐标系中画出来，然后观察函数图像与x轴的交点，这些交点就是函数的零点。通过观察图像，我们可以直观地了解函数的零点分布情况，从而更好地理解函数的性质。
二、因式分解法。
对于一些特定的函数，我们可以通过因式分解的方法来求解它的零点。具体步骤是先将函数进行因式分解，然后分别令每个因式等于零，得到每个因式的零点，最终得到整个函数的零点。因式分解法对于一些简单的多项式函数是非常有效的，能够快速地求解函数的零点。
三、牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求解函数的零点。具体步骤是先选取一个初始值作为迭代的起点，然后通过不断迭代的方式逼近函数的零点。牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但需要选取合适的初始值，并且对一些特定的函数可能会出现迭代不收敛的情况。
四、二分法。
二分法是一种简单而又有效的求解函数零点的方法。具体步骤是先找到函数的两个零点的区间，然后取区间的中点作为当前的估计值，通过比较中点处函数值的符号来缩小区间，最终逼近函数的零点。二分法的优点是简单易行，但需要对函数的零点区间有一定的预估。
五、追赶法。
追赶法是一种用来求解三对角线性方程组的方法，但也可以用来求解函数的零点。具体步骤是将函数表示为三对角形式，然后通过追赶法的迭代过程来逼近函数的零点。追赶法对于特定形式的函数有较好的适用性，能够快速地求解函数的零点。
以上就是几种常见的求零点的方法，每种方法都有其适用的范围和特点。在实际问题中，我们可以根据函数的性质和具体情况选择合适的方法来求解函数的零点，从而更好地理解和应用数学知识。希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！
- 1 - 求函数零点的四种解题方法
函数零点是数学中一个重要的概念，它是指函数图像上单调递增或单调递减部分的交点，而求解函数零点是数学中的重要问题，它是解决各类物理、化学及建筑等工程问题的重要工具。本文将介绍求解函数零点的四种解题方法，希望能为读者提供参考。
第一，利用极值的思想求解函数零点。求函数零点的思路就是，从分析函数的极大值和极小值开始，找出函数零点。比如，设函数y=f(x)，其中f(x)是定义在x1
第二，根据函数的导数的特性来求解函数零点。求函数零点的思路就是，分析函数的导数(即导函数)，如果函数的导数在某个点有极值，则在此点上函数图像必定有零点，而且函数图像在此点有拐点，因此可以根据函数的导数求函数零点。
第三，利用二分法求解函数零点。求函数零点的思路就是，将函数的定义域分为两个部分，再将其中一部分分为两个部分，以此类推，直至求出函数零点。举个例子，设函数y=f(x)是定义在[a,b]上的函数，且函数f(x)在区间[a,b]上单调，那么可以先将定义域[a,b]划分为两部分，[a,(a+b)/2]和[(a+b)/2,b]，其中，区间[a,(a+b)/2]上函数f(x)是单调递增，在区间[(a+b)/2,b]上函数f(x)是单调递减，则可知区间[a,(a+b)/2]上或[(a+b)/2,b]上至少有一个零点，然后将 - 2 - [a,(a+b)/2]或[(a+b)/2,b]二分，重复上述步骤，直至求出函数零点。
第四，用牛顿迭代法求解函数零点。牛顿迭代法又叫牛顿法，是求函数零点的一种数值及其它迭代方法，用于近似求解函数零点。它的基本思想是，以待求解函数f(x)的定义域上某一点x0为初始值，取函数f(x)的导函数f′(x)的直线作为近似的函数，用它来逐步近似求函数f(x)的零点。例如，设函数y=f(x)，取x0为某一初始值，令x1=x0-f(x0)/f′(x0)，将x1作为迭代值，计算迭代公式：x2=x1-f(x1)/f′(x1)，重复上述操作，求函数零点。
