函数的应用(零点、二分法)(含答案)

二分法的定义与应用
【二分法的定义】
二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
【二分法的应用】
我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：
例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是
解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
有图象可得，只有③能满足此条件，
故答案为③．
在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．
【二分法求方程的近似解】
二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．
例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．
解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，
而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，
故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，
故答案为[1.5，2]．
通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．三维目标1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．重点难点教学重点：用二分法求方程的近似解．教学难点：二分法．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测．师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究 提出问题①解方程2x －16＝0.②解方程x 2－x －2＝0.③解方程x 3－2x 2－x ＋2＝0.④解方程x 2－2x 2－3x ＋2＝0.⑤我们知道，函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦什么叫二分法？⑧试求函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点. 讨论结果： ①x＝8.②x＝－1，x ＝2.③x＝－1，x ＝1，x ＝2 ④x＝－2，x ＝2，x ＝1，x ＝2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x ＝a ＋b 2称为区间(a ，b)的中点〕⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．⑦对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．⑧因为函数f(x)＝lnx ＋2x －6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝lnx ＋2x －6的对应值表． x 1 2 3 4 5 6 789f(x)－4－1.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89.945 9 12.079 4 14.197 2由表可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x 0，取区间(2,3)的中点x 1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x 0∈(2.5,3)．同理，可得表(下表)与图象(如下图)．区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 －0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 (2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009 (2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010 (2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x ＝2.531 25作为函数f(x)＝lnx ＋2x －6零点的近似值．⑨用二分法求函数零点的一般步骤如下：第一步 在D 内取一个闭区间[a 0，b 0] D ，使f(a 0)与f(b 0)异号，即f(a 0)·f(b 0)＜0.零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步 取区间[a 0，b 0]的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0)．计算f(x 0)和f(a 0)，并判断：(1)如果f(x 0)＝0，则x 0就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 0)·f(x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f(a 0)·f(x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步 取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1)．计算f(x 1)和f(a 1)，并判断：(1)如果f(x 1)＝0，则x 1就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 1)·f(x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f(a 1)·f(x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. ……继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y ＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．应用示例思路1例1求函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正实数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝6 [1,2] x 0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x 0)＝0.625＞0 [1,1.5] x 1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x 1)＝－0.984＜0 [1.25,1.5] x 2＝(1.25＋1.5)/2＝1.375 f(x 2)＝－0.260＜0 [1.375,1.5] x 3＝(1.375＋1.5)/2＝1.437f(x 3)＝0.162＞0[1.375,1.437 5]1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如下图．实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效．如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果．算法更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点．有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值．本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．在思路2例1求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解(精确到0.01)．解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．3至此，可以看出，区间[0.742 187 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．点评：利用二分法求方程近似解的步骤：①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；②利用二分法求近似解.，发现x1∈(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小，先画出函数图象的简图，如上图．＝2＞0，x2－2x－1＝0有一解，记为x1.，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5.知能训练1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案：D2．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称__________次就可以发现这枚假币？解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：43．求方程x 3－3x －1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x 3－3x －1，设x 1为函数的零点，即方程x 3－3x －1＝0的解．作出函数f(x)＝x 3－3x －1的图象如下图．因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x 3－3x －1＝0有一个解，记为x 1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x 1＜2.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x 1＜2. 如此继续下去，得f(1)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1,2)， f(1.5)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.5,2)， f(1.75)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.75,2)， f(1.875)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.875,2)，f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0 ⇒x 1∈(1.875,1.937 5)，因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，所以1.9是方程x 3－3x －1的实数解． 拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识) 答案：至少需要检查接点的个数为4. 课堂小结①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用． ②思想方法：函数方程思想、数形结合思想． 作业课本习题2—4 A 7.设计感想 “猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．备课资料基本初等函数的零点个数 结合基本初等函数的图象得：①正比例函数y ＝kx(k≠0)仅有一个零点0； ②反比例函数y ＝kx (k≠0)没有零点；③一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)仅有一个零点；④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＞0时，二次函数有两个零点－b ±Δ2a ；当Δ＝0时，二次函数仅有一个零点－b2a；当Δ＜0时，二次函数无零点．。

2．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解变号零点与不变号零点的概念．2．理解函数零点的性质．3．会用二分法求近似值．1．函数零点的性质如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．3．用二分法求函数 f (x ) 零点近似值的步骤 给定精确度(1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点 x 1；(3)计算 f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则 x 1 就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令 b ＝x 1 (此时零点 x 0∈(a ，x 1))；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点 x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度，即若|a －b |<，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 (2)～(4)．1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2，4]上的零点必属于区间( ) A ．[－2，1] B ．⎣⎡⎦⎤52，4 C ．⎣⎡⎦⎤1，74 D ．⎣⎡⎦⎤74，52解析：选D ．由于f (－2)<0， f (4)>0，f (－2＋42)＝f (1)<0，f (1＋42)＝f (52)>0， f (1＋522)＝f (74)<0， 所以零点在区间⎣⎡⎦⎤74，52内．2．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0．5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0，0．5) f (0．25)B ．(0，1) f (0．25)C ．(0．5，1) f (0．75)D ．(0，0．5) f (0．125)解析：选A ．因为f (0)<0，f (0．5)>0， 所以函数f (x )的一个零点x 0∈(0，0．5)， 第二次计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0．25)．3．函数的零点都能用“二分法”求吗？解：不一定．例如：函数y ＝x 2的零点为x ＝0，但不能用二分法求解．判断函数在某个区间内是否有零点(1)指出方程 x 5－x －1＝0 的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0 的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．【解】(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1 个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，所以方程x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内．(2)证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是不间断的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，所以方程x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1<0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3<0，所以方程的另两根分别在区间(0，1)和(1，2)内．本题考查的是如何判断方程的根所在的大致区间问题，它是用二分法求方程近似解的前提．对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．已知f(x) 为偶函数，且当x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，求函数f(x)的零点，并判断哪些零点是变号零点，哪些零点是不变号零点．解：因为x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，而当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝(－x－1)2－1，而f(x) 为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以 f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≥0），（x ＋1）2－1（x <0）.解方程 (x －1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝2． 解方程 (x ＋1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝－2，故函数 f (x ) 共有 3 个零点为 －2，0，2，如图所示，可知函数 f (x )的变号零点为 －2，2，不变号零点为 0．用二分法求方程近似解用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0．1)．【解】由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表．1．5，所以1．5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．借助计算器，用二分法求方程(x＋1)(x －2)(x－3)＝1在区间(－1，0)内的近似解(精确到0．1)．解：令f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1<0，f(0)＝5>0，可取区间[－1，0]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：5－0．9即为区间(－1，0)内的近似解．1．函数零点判定定理的应用判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内必有零点．对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间[a，b]内不一定有零点，反之，f(x) 在区间[a，b]内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．即此方法只适合变号零点的判断，不适合不变号零点．2．二分法的使用条件和范围(1)二分法的理论依据：如果函数y＝f(x)是连续的，且f(a)与f(b)的符号相反(a<b)，那么方程f(x)＝0至少存在一个根在(a，b)之间．(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．(3)每一次二分有根区间(a，b)为两个小区间，区间的长度都是原来区间长度的一半．用零点存在性定理判断函数的零点时，两个条件是缺一不可的．因此，在判断已知函数在区间上的零点是否存在时，应首先确定图象是不间断的．1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析：选C．由二分法的定义知．2．设f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内() A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D3．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循，无法在计算机上完成；④只有在求函数零点时才用二分法． 答案：②4．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不间断曲线，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0， 则[a ，x 0]为新的区间． 答案：[a ，x 0][A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选D ．因为f (2)·f (3)＝(8－6－3)·(27－9－3)＝－15<0， 所以f (x )有零点的区间是(2，3)．2．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2．1，－1]B ．[1．9，2．3]C ．[4．1，5]D ．[5，6．1]解析：选B ．由不变号零点的特征易判断该零点在[1．9，2．3]内． 3．方程2x 3－4x 2＋7x －9＝0在区间[－2，4]上的根必定属于区间( ) A ．(－2，1) B ．(52，4)C ．(π4，1)D ．(1，74)解析：选D ．设f (x )＝2x 3－4x 2＋7x －9， 由f (1)·f (74)<0知选D ．4．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C ．由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2．72－4＝－1．28，f (2)＝g (2)－2－3＝7．39－5＝2．39，所以f (1)·f (2)<0．所以f (x )的一个零点所在的区间为(1，2)．5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正整零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1．2B ．1．3C ．1．4D ．1．5解析：选C ．由零点的定义知，方程的根所在区间为[1．406 25，1．437 5]，故精确到0．1的近似根为1．4．6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ． 答案：a 2＝4b7．方程x 3＝2x 精确到0．1的一个近似解是________． 解析：令f (x )＝x 3－2x ，f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，所以在区间[1，2]上求函数f (x )的零点，即为方程x 3＝2x 的一个根，依照二分法求解得x ＝1．4．答案：1．48．某方程有一无理根在区间D ＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0．1．解析：由3－12n ≤0．1，得2n ≥20，n >4，故至少等分5次． 答案：59．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点． (1)f (x )＝3x －6； (2)f (x )＝x 2－x －12； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1； (4)f (x )＝(x －2)2(x ＋1)x ． 解：(1)零点是2，是变号零点． (2)零点是－3和4，都是变号零点． (3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1，0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程 f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32． 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32． 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．[B 能力提升]11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：选C．根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上无法确定，可能有，也可能没有，如图所示：12．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点个数至少有3个．答案：313．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子．则：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)算一算要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：(1)如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7 次就够了．14．(选做题)求方程3x2－4x－1＝0的根的近似值．解：令f(x)＝3x2－4x－1，列出x，f(x)的一些对应值如下表：00若x0∈[－1，0]，取区间[－1，0]的中点x1＝－0．5，则f(－0．5)＝1．75，因为f(－0．5)·f(0)<0，所以x0∈[－0．5，0]．再取区间[－0．5，0]的中点x2＝－0．25，则f(－0．25)＝0．187 5，因为f(－0．25)·f(0)<0，所以x0∈[－0．25，0]．同理，可得x0∈[－0．25，－0．125]，x0∈[－0．25，－0．187 5]，x0∈[－0．218 75，－0．187 5]，区间[－0．218 75，－0．187 5]的左、右端点精确到0．1所取的近似值都是－0．2．所以把x0＝－0．2作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0∈[1，2]时，方程的根的近似值为1．5．2±7综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x1，2＝3，近似值为－0．2或1．5．。

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

第三章：函数的应用考纲要求：1.方程的根和函数的零点：（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念 （2）领会函数零点与相应方程根的关系 （3）掌握零点存在的判定条件． 2.用二分法求方程的解：（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解 （2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备 3.函数模型的应用：（1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性（2）能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题（3）能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题第一课时;方程的根和函数的零点：（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

（2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

（3）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。

§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0， 所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ， 当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2， 又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0， 故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解， 即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二 函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解， 必须－4<－1k<0， 所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。

精品文档5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：（1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε；（2）求区间(a ，)b 的中点1x ；（3）计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）；③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；(4)判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤(2)-(4)．11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

函数的应用之零点问题11.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）2.（2020•兴庆区校级期中）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，1）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）3.（2020•河东区期中）函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，F（x）＝，函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为．A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）4.（2020•洛阳期中）方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（）A．0B．1C．2D．35.（2020•岳麓区校级期中）已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（）A．B．C．D．6.（2020•岳麓区校级期中）函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7.（2020•武侯区校级期中）方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（）A．（，5）B．（﹣，5）C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，）8.（2020•天河区校级期中）设函数f（x）＝xlnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点9.（2020•番禺区校级期中）函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．410.（2020•和平区期中）函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）11.（2020•新乡期中）若函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0.1）C．（1，2）D．（﹣∞，1）12.（2020•临夏市校级期中）函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）13.（2020•雁塔区校级期中）函数f（x）=x2﹣的零点个数为（）A．0B．1C．2D．314.（2020•滨州期中）已知函数f（x）=若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（+）（x3+x4）=（）A．6B．7C．8D．915.（2020•惠山区期中）函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有个．16.（2020•榕城区校级期中）已知函数f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）内有零点，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，若m为整数，则m的值为．17.（2020•雁塔区校级期中）对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）＝x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点，由此，函数f（x）＝4x+2x﹣2的零点差绝对值不超过0.25，则满足条件的g（x）有．①g（x）＝4x﹣1；②；③g（x）＝e x﹣1；④．18.（2020•丹阳市校级期中）若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝﹣．19.（2020•无锡期中）若函数y＝，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的范围为．20.（2020•常州期中）已知函数f（x）＝2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为．21.（2020•温州校级期中）已知函数f（x）＝﹣1+log a（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）＝．（1）函数y＝f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的图象过点（2，），证明：方程F（x）＝0在x∈（1，2）上有唯一解．22.（2020•西城区期中）已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x2+bx+c，若f（1）＝f（3），f（2）＝2．（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；（2）求f（x）在x＜0时的表达式；（3）若关于x的方程f（x）＝ax（a∈R）有解，求a的取值范围．23.（2020•柯城区校级期中）已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）＝是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．24.（2020•白云区校级期中）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2]＝2，已知0≤x＜4．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）记函数g（x）＝x﹣f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；（Ⅲ）若方程g（x）﹣log a（x﹣）＝0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．25.（2020•深圳校级期中）设f（x）为二次函数，且f（1）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝﹣4x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）＝f（x）﹣x﹣a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．26.（2020•椒江区校级期中）已知二次函数f（x）＝x2﹣（m﹣1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．27.（2020•道里区校级期中）已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）＝2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）＝t有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值范围．28.（2020•姜堰市期中）规定maxf（x），g（x）＝，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F（x）＝max1﹣log2x，1+log2x．（1）求F（x）的解析式，并写出F（x）的单调区间；（2）若方程F（x）＝m有唯一实数解，求实数m的值；（3）求t＞0时，函数y＝F（x）在x∈[t，2]上的值域．1.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9是连续函数，f（﹣1）＝﹣8，f（0）＝﹣9，f（1）＝﹣8，f（2）＝1，根据零点存在定理，∵f（1）•f（2）＜0，∴函数在（1，2）存在零点，故选：C．【知识点】函数零点的判定定理2.（2020•兴庆区校级期中）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，1）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：作出函数的图象如图，令t＝f（x），要使方程[f（x）]2﹣af（x）＝0恰有三个不同的实数解，则方程t2﹣at＝0一个根为0，另一根a∈（0，1]．故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系3.（2020•河东区期中）函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，F（x）＝，函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为．A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）【解答】解：函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝2x+2，可得f（x）＞g（x），即为x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1；则F（x）＝，作出函数F（x）的图象，函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，即为y＝F（x）的图象和直线y＝a有3个不同交点，由图象可得当﹣1＜a＜0时，y＝F（x）和y＝a有3个不同的交点，即函数G（x）＝F（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围为（﹣1，0）．故选：B．【知识点】函数零点的判定定理4.（2020•洛阳期中）方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：方程x+log3x=3的解为x0，就是方程log3x=3﹣x的解为x0，在同一坐标系中做出y=log3x和y=3﹣x的图象，如图，观察可知图象的交点在（2，3）内，所以n=2．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数零点的判定定理5.（2020•岳麓区校级期中）已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝k，则：a，b，c，d为f（x）＝k的四个不同的实数根，于是a，b为方程x2+2x+k＝0的不同实根，所以a+b＝﹣2，由|lgc|＝|lgd|可知：且由于0＜lgd＜1，可知1＜d＜10，于是c+2d＝2d+∈（3，），于是：a+b+c+2d∈（1，）．故选：B．【知识点】函数的零点与方程根的关系6.（2020•岳麓区校级期中）函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：函数，函数是连续减函数，f（2）＝1+ln1＝1＞0，f（3）＝+ln＝＝ln＜0．因为f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：C．【知识点】函数零点的判定定理7.（2020•武侯区校级期中）方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（）A．（，5）B．（﹣，5）C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：∵方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，∴函数f（x）＝4x2+（m﹣2）x+m﹣5的两个零点一个在区间（﹣1，0）内，另一个在区间（0，2）内，则，解得﹣＜m＜5．∴m的取值范围是（﹣，5）．故选：B．【知识点】二分法的定义与应用8.（2020•天河区校级期中）设函数f（x）＝xlnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点【解答】解：令函数f（x）＝xlnx＝0，解得x＝1，∴函数f（x）有唯一的零点x＝1，故选：B．【知识点】函数零点的判定定理9.（2020•番禺区校级期中）函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）＝（x﹣2）2﹣8+a（2x﹣2+2﹣x+2）令t＝x﹣2，则函数f（x）等价为g（t）＝t2﹣8+a（2t+2﹣t），则函数g（t）为偶函数，若函数f（x）＝x2﹣4x﹣4+a（2x﹣2+2﹣x+2）有且只有一个零点，等价为g（t）只有一个零点，即g（0）＝0，则g（0）＝﹣8+2a＝0，∴2a＝8，即a＝4．故选：D．【知识点】函数零点的判定定理10.（2020•和平区期中）函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：∵f（﹣1）＝2﹣1﹣1＝﹣＜0，f（0）＝1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，函数f（x）＝2x+x的零点所在的一个区间是（﹣1，0）故选：C．【知识点】函数零点的判定定理11.（2020•新乡期中）若函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0.1）C．（1，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，函数的对称轴为：x=1，可得：，即：，解得：0＜a＜1．则a的取值范围为：（0，1）．故选：B．【知识点】函数零点的判定定理12.（2020•临夏市校级期中）函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：函数f（x）=2x﹣2+x，是连线函数，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=2×1﹣2+1=1＞0，满足f（0）f（1）＜0．∴函数f（x）=2x﹣2+x的零点所在的区间为（0，1）．故选：D．【知识点】函数零点的判定定理13.（2020•雁塔区校级期中）函数f（x）=x2﹣的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：f（x）=x2﹣的零点即为方程x2+1=的实根，作出y=x2+1与y=的图象，可得它们的交点个数为1，即f（x）的零点个数为1．故选：B．【知识点】函数零点的判定定理14.（2020•滨州期中）已知函数f（x）=若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（+）（x3+x4）=（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，f（x）=m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，可得x3+x4=8，且|log2（x1﹣1）|=|log2（x2﹣1）|，即为log2（x1﹣1）+log2（x2﹣1）=0，即有（x1﹣1）（x2﹣1）=1，即为x1x2=x1+x2，可得（）（x3+x4）=x3+x4=8．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系、分段函数的应用15.（2020•惠山区期中）函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有个．【解答】解：函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点与两个函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的交点个数相同由右图知，函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的图象仅有一个交点故函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有1个故答案为1【知识点】函数的零点16.（2020•榕城区校级期中）已知函数f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）内有零点，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，若m为整数，则m的值为．【解答】解：∵f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）上单调递增，g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）单调递增，∴若f（x）＝e x+x﹣m在（1，2）内有零点，则f（1）f（2）＜0，即（e+1﹣m）（e2+2﹣m）＜0，解得e+1＜m＜e2+2；若g（x）＝ln（x﹣m）在（4，6）内有零点，由g（x）＝ln（x﹣m）＝0得x﹣m＝1，即x＝m+1，由4＜m+1＜6，解得3＜m＜5，综上，则e+1＜m＜5，若m为整数，则m的值等于4，故答案为：4【知识点】函数零点的判定定理17.（2020•雁塔区校级期中）对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）＝x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点，由此，函数f（x）＝4x+2x﹣2的零点差绝对值不超过0.25，则满足条件的g（x）有．①g（x）＝4x﹣1；②；③g（x）＝e x﹣1；④．【解答】解：∵f（x）＝4x+2x﹣2在R上连续，且f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝2+1﹣2＝1＞0．设f（x）＝4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．又g（﹣x）＝4x﹣1零点为x＝；的零点为x＝；g（x）＝e x﹣1零点为x＝0；零点为x＝，满足题意的函数有①②．故答案为：①②．【知识点】函数零点的判定定理18.（2020•丹阳市校级期中）若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝﹣．【解答】解：由f（﹣1）＝﹣3＜0，f（0）＝1＞0，及零点定理知f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，∴零点所在的一个区间是（a，a+1）＝（﹣1，0）∴a＝﹣1，故答案为：﹣1【知识点】函数零点的判定定理19.（2020•无锡期中）若函数y＝，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的范围为．【解答】解：当x≤0时，y＝x2﹣a≥﹣a，函数是减函数，x＞0时，y＝x﹣a+lnx是增函数，在区间（﹣2，2）上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得a∈[0，2+ln2）．故答案为：[0，2+ln2）．【知识点】函数零点的判定定理20.（2020•常州期中）已知函数f（x）＝2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（1）＝2+0＞0，当x＝0时，20＝1，当→0+时，log3x→﹣∞，∴f（0）＜0∴函数f（x）＝2x+log3x的零点一定在区间（0，1），∴k＝0，故答案为：0【知识点】二分法的定义与应用21.（2020•温州校级期中）已知函数f（x）＝﹣1+log a（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）＝．（1）函数y＝f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的图象过点（2，），证明：方程F（x）＝0在x∈（1，2）上有唯一解．【解答】解：（1）由log a1＝0可得f（﹣1）＝﹣1+log a1＝﹣1，故A（﹣1，﹣1）（2）∵∴a＝2∴∵分别为（﹣2，+∞）上的增函数和减函数∴F（x）为（﹣2，+∞）上的增函数∴F（x）在（﹣2，+∞）上至多有一个零点又（1，2）⊂（﹣2，+∞）∴F（x）在（1，2）上至多有一个零点而∴F（x）＝0在（1，2）上有唯一解【知识点】对数函数的单调性与特殊点、函数与方程的综合运用、函数的零点与方程根的关系22.（2020•西城区期中）已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x2+bx+c，若f（1）＝f（3），f（2）＝2．（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；（2）求f（x）在x＜0时的表达式；（3）若关于x的方程f（x）＝ax（a∈R）有解，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）＝f（3），∴函数图象的对称轴x＝＝2，得b＝4，又∵f（2）＝﹣4+4×2+c＝2，∴c＝﹣2，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+4x﹣2．（2）由（1）得，当x＞0时f（x）＝﹣x2+4x﹣2，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）﹣2＝﹣x2﹣4x﹣2，∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+4x+2．（3）由题意，只需﹣x2+4x﹣2＝ax在（0，+∞）上有解，∴a＝﹣x﹣+4≤，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2+4]．【知识点】函数的零点、函数解析式的求解及常用方法23.（2020•柯城区校级期中）已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）＝是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，∴p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5在（0，3）上有零点．∴△＝（4k2﹣8k+4）﹣12k﹣60≥0，解得k≤﹣2，或k≥7．若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则p（0）p（3）＝（k+5）（7k+26）＜0 ①，或②，或③，或④．解①得﹣5＜k＜﹣，解②得k∈∅，解③得k＝﹣，解④可得k＝﹣2，或k＝7．当k＝7时，p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5＝3x2+12x+12的零点是﹣2，不符合题意所以k＝7舍去．若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得﹣＜k≤﹣2．综上所述，实数k的取值范围为（﹣5，﹣2]．（2）函数q（x）＝，即q（x）＝．显然，k＝0不满足条件，故k≠0．当x≥0时，q（x）＝2k2x+k∈[k，+∞）．当x＜0时，q（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5∈（5，+∞）．记A＝[k，+∞），B＝[5，+∞）．①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＜0，且A⊆B，故k≥5；②当x2＜0时，q（x）在（﹣∞，0）上是减函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＞0，且B⊆A，故k≤5；综上可得，k＝5满足条件．故存在k＝5，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）．【知识点】函数的零点、函数与方程的综合运用24.（2020•白云区校级期中）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2]＝2，已知0≤x＜4．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）记函数g（x）＝x﹣f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；（Ⅲ）若方程g（x）﹣log a（x﹣）＝0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，①当0≤x＜1时，f（x）＝[x]＝0；②当1≤x＜2时，f（x）＝[x]＝1；③当2≤x＜3时，f（x）＝[x]＝2；④当3≤x＜4时，f（x）＝[x]＝3；所以f（x）＝．（Ⅱ）g（x）＝x﹣f（x）＝，图象如图所示：（Ⅲ）方程g（x）﹣＝0仅有一根等价于g（x）与h（x）＝图象仅有一个交点，由图象可知0＜a＜1 时，h（1）＝，解得；a＞1时，h（2）＝或，解得1＜a≤或．综上，a的范围是[，1）∪（1，]∪（，]．【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的零点、函数的图象与图象的变换25.（2020•深圳校级期中）设f（x）为二次函数，且f（1）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝﹣4x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）＝f（x）﹣x﹣a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）则f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b所以2ax+a+b＝1﹣4x对一切x∈R成立．故所以，又因为f（1）＝1，所以a+b+c＝1，所以c＝0．故f（x）＝﹣2x2+3x（2）g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝﹣2x2+2x﹣a，函数g（x）在实数R上没有零点，则函数图象与x轴没有交点故△＝4﹣8a＜0，解之得【知识点】函数的零点与方程根的关系26.（2020•椒江区校级期中）已知二次函数f（x）＝x2﹣（m﹣1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当方程x2﹣（m﹣1）x+2m＝0在[0，1]上有两个相等的实根时，△＝（m﹣1）2﹣8m＝0且0，此时无解．（2）当方程x2﹣（m﹣1）x+2m＝0有两个不相等的实根时，①有且只有一根（[0，1）上时，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得﹣2＜m＜0，②当f（0）＝0时，m＝0，f（x）＝x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1，符合题意．③f（1）＝0时，m＝﹣2，方程可化为x2+3x﹣4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4，符合题意，综上可得，实数m的取值范围为：[﹣2，0]【知识点】函数的零点27.（2020•道里区校级期中）已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）＝2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）＝t有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，因为f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（II）可知t的范围与g（x）的值域相同，g（x）＝2x+1﹣22x，令t＝2x∈[，2]，则g（x）＝﹣t2+2t的值域为[0，1]；（III）由f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0得f（g（x））≤﹣f（3am﹣m2﹣1），由（I）得f（g（x））≤f（﹣3am+m2+1），即有g（x）≤﹣3am+m2+1对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，则（g（x））max≤（﹣3am+m2+1）min，设h（a）＝﹣3am+m2+1，则h（a）≥1对一切a∈[﹣2，2]恒成立，若m＝0则恒成立；若m≠0则，即，解得m∈（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．综上所述m的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）∪{0}．【知识点】函数的零点、函数恒成立问题28.（2020•姜堰市期中）规定maxf（x），g（x）＝，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F（x）＝max1﹣log2x，1+log2x．（1）求F（x）的解析式，并写出F（x）的单调区间；（2）若方程F（x）＝m有唯一实数解，求实数m的值；（3）求t＞0时，函数y＝F（x）在x∈[t，2]上的值域．【解答】解：（1）根据题意和奇函数的定义得，，由函数解析式和对数函数的图象作出此函数图象如右图：由图得，F（x）增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1），减区间为（0，1），（﹣1，0），（2）由函数的解析式和图象得，方程F（x）＝m有唯一实数解时，有m＝﹣1，0，1，（3）由函数解析式求得，，故分三种情况求值域：当时，则函数在此区间上是减函数，故y＝F（x）值域为[1，1﹣log2t]，当时，则函数在此区间上是减函数，故y＝F（x）值域为[1，2]当1＜t≤2时，则函数在此区间上是增函数，故y＝F（x）值域为[1+log2t，2]．【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的零点与方程根的关系、函数的值域。

4.5 函数的应用(二)【题组一 零点的求解】1.若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16 B ．1和16- C ．12和13 D ．12-【答案】B 【解析】函数()2f x x ax b=-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2=x ax b -+的两根为2和3.结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨⨯=⎩,即56a b =⎧⎨=⎩, ∴()2651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和16-,故选B.2．(2020·北京高一期中)已知函数21ln ()xf x x-=，那么方程f (x )＝0的解是( ) A ．1=x eB ．x ＝1C ．x ＝eD ．x ＝1或x ＝e【答案】C【解析】依题意()21ln 0xf x x-==，所以1ln 0,ln 1,x x x e -===.故选：C 3.(2020年广东湛江)若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16 B ．1和16- C ．12和13 D ．12-【答案】B 【解析】函数()2f x x ax b=-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2=x ax b -+的两根为2和3.结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨⨯=⎩,即56a b =⎧⎨=⎩, ∴()2651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和16-,故选B.【题组二 零点区间的判断】1．(2020·浙江高一课时练习)在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 2．(2020·浙江高一课时练习)设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00,x y ，则0x 所在的区间是( )A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则23102x x -⎛⎫< ⎪⎝⎭-,而当x=2时，则23102x x -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故选B.3.(2020天津高一期中)在下列个区间中，存在着函数3()239f x x x =--的零点的区间是( ) A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C 【解析】由()()1239100,2166910f f =--=-=--=.由零点存在定理知函数()3239f x x x =--在()1,2上必有零点。

第3讲函数的应用考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的区间是()A ．(12，1)B ．(1，e －1)C ．(e －1,2)D ．(2，e)(2)(2014·辽宁)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x－1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)C (2)A解析 (1)因为f (12)＝ln 32－4<0，f (1)＝ln 2－2<0，f (e －1)＝1－2e －1<0，f (2)＝ln 3－1>0，故零点在区间(e －1,2)内．(2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标．令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.(2)∵f (x )＝2x －log 21x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x －log 21x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0.热点二 函数的零点与参数的范围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围． 答案 D解析 解不等式：x 2－1－(4＋x )≥1，得：x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3). 函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2， x ≤0ln x ， x >0(k ∈R )，若函数y ＝|f (x )|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ≤2 B ．－1<k <0 C ．－2≤k <－1 D ．k ≤－2 答案 D解析 由y ＝|f (x )|＋k ＝0，得|f (x )|＝－k ≥0，所以k ≤0，作出函数y ＝|f (x )|的图象，要使y ＝－k 与函数y ＝|f (x )|有三个交点， 则有－k ≥2，即k ≤－2，选D. 热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49，∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)．所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x )(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，此时，当x ＝10 000x 即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．因为950<1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，x ， x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 答案 A解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m (x ＋1)，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.2．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ∈[－1，0)1f (x －1)－1， x ∈[0，1)，若方程f (x )－kx ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－12，0)C ．[－12，0]D ．(－∞，－12]答案 B解析 要使方程f (x )－kx ＋k ＝0有两个实数根，则函数y ＝f (x )和y ＝k (x －1)的图象有两个交点，而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ∈[－1，0)1f (x －1)－1，x ∈[0，1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0)11－x－1，x ∈[0，1)，画出图象，由于y ＝k (x －1)过定点(1,0)，要使函数y ＝f (x )和y ＝k (x －1)的图象有两个交点，由下图可知k AB ＝－12≤k <0，选B.3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1,2)内．2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点；f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83，因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故ln e<ln 8， 即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0，f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.故f (x )在(2,3)存在零点．3． f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]答案 C解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值范围为(－14，0)．5．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ，则AN ＝OM ＝cos x 2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x2，则AE ＝233cos x 2，∴EB ＝233－233cos x2.∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 答案 C解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7. 二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，31x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．9．已知函数f(x)＝1x＋2－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．答案m>1解析函数f(x)有三个零点等价于方程1x＋2＝m|x|有且仅有三个实根．∵1x＋2＝m|x|⇔1m＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足：0<1m<1，故m>1.10．我们把形如y＝b|x|－a(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.答案 4解析由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝1|x|－1＝⎩⎨⎧1x－1(x≥0且x≠1)，－1x＋1(x<0且x≠－1).在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．三、解答题11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210. (1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a ≤140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大，当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x ，满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“局部奇函数”． (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )，试判断f (x )是否为“局部奇函数”？并说明理由； (2)若f (x )＝2x ＋m 是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 解 f (x )为“局部奇函数”等价于关于x 的方程f (x )＋f (－x )＝0有解． (1)当f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )时，方程f (x )＋f (－x )＝0即2a (x 2－4)＝0有解x ＝±2， 所以f (x )为“局部奇函数”．(2)当f (x )＝2x ＋m 时，f (x )＋f (－x )＝0可化为2x ＋2－x ＋2m ＝0，因为f (x )的定义域为[－1,1]，所以方程2x ＋2－x ＋2m ＝0在[－1,1]上有解．令t ＝2x ∈[12，2]，则－2m ＝t ＋1t .设g (t )＝t ＋1t ，t ∈[12，2]．根据：“对勾函数”的单调性知 g (t )＝t ＋1t 在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，所以函数g (t )＝t ＋1t ，t ∈[12，2]的值域为[2，52]，由2≤－2m ≤52，得－54≤m ≤－1，故实数m 的取值范围是[－54，－1]．。

函数与方程[知识梳理]1．函数的零点,（1）零点的定义：对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的,实数x叫做函数y＝f（x）的零点．函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.（2）零点的几个等价关系：方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c 也就是方程f（x）＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[常用结论]有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一: 函数零点所在区间判断1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选B∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)解析：选A ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13， 则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 f (x )－4－2147在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)解析：选B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.[解题技法]确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二:判断函数零点个数[例1] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0[解析] 法一：(直接法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．[答案] B[解题技法]函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．(2019·南宁模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x (x ＞0)，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.考点三:函数零点的应用考向(一) 根据函数零点个数求参数[例2] (2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1][解析] 令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得e x (x ＋2)＜0，即x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得e x (x ＋2)＞0，即－2＜x ＜0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1，故选D.[答案] D考向(二) 根据函数零点的范围求参数范围[例3] 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．[解析] 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，12考向(三) 求函数多个零点(方程根)的和[例4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x ，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3.答案：12＋ 3[规律探求]看个性考向(一)是根据函数零点的个数求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解.考向(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围. 考向(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线y ＝m 与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等). 找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况. (2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.[跟踪训练]1．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 解析：选D 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 2．若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________．解析：因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.[课时过关检测] __A 级——夯基保分练1．(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1，2)．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.4．(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．当x >0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x <0时，函数f (x )也有1个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.6．(多选)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．d ＜aB ．d ＞bC ．d ＞cD ．d ＜c解析：选ABD 由y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．7．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0， 即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1； 当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2. 因为x ≤0，所以x ＝－1. 综上，函数f (x )的零点为1，－1. 答案：1，－19．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)． 答案：[5，10)10．(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．答案：－1 (0，1)11．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x . 又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1， 故实数a 的取值范围为(－1，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则有t ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1＜1，而原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. B 级——提能综合练13．(2019·宣城二模)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >d >bB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选A 根据题意，设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝g (x )＋2 019，若g (x )＝0，则x ＝a 或x ＝b ，即函数g (x )的图象与x 轴的交点为(a ，0)和(b ，0)．f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )＝0即g (x )＝－2 019，若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则g (x )的图象与直线y ＝－2 019的交点坐标为(c ，－2 019)和(d ，－2 019)，由图象知a >c >d >b ，故选A.14．(2019·湖南娄底二模)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 分别与函数y ＝1x的图象的公共点A ，B 的横坐标，而A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于直线y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1. 答案：115．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b . (1)求证：a >0且－3<b a <－34； (2)求证：函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2， ∴c ＝－32a －b .∵3a >2c ＝－3a －2b ， ∴3a >－b .∵2c >2b ，∴－3a >4b .若a >0，则－3<b a <－34； 若a ＝0，则0>－b ，0>b ，不成立；若a <0，则b a <－3，b a >－34，不成立． (2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a 2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2>0. 当c >0时，f (0)>0，f (1)<0，∴f (x )在(0，1)内至少有一个零点．当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)<0，f (2)＝4a ＋2b ＝a >0，∴f (x )在(0，2)内有一个零点．当c <0时，f (0)<0，f (1)<0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c >0， ∴f (x )在(0，2)内有一个零点．综上，f (x )在(0，2)内至少有一个零点．C 级——拔高创新练16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x )＋f (2－x )＝0；②f (x －2)＝f (－x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos ⎝⎛⎭⎫π2x ，x ∈（0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A 由①f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )的图象关于点(1，0)对称；由②f (x －2)＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．如图，作出f (x )在[－1，1]上的图象，再由对称性，作出f (x )在[－3，3]上的图象，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在[－3，3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为5.故选A.。

计算函数零点的二分法一. 求黄金数与查找线路故障许多人都知道黄金分割和黄金数0.618，但对怎么得到的这个黄金数并不十分清楚，至于谈到黄金数与查找线路故障的关系更觉得莫名其妙。

下面我们就来探讨这个问题. 其实所谓黄金分割是指线段上一点把这条线段分成这样两部分，使其中一部分是另外一部分和整条线段的比例中项。

在下图中，点C 为线段AB 的黄金分割点,即有ACCB ABAC =.设线段AB=1,AC=x,CB=1-x,则有x x -=12,012=-+x x .换句话说我们要求的黄金数就是方程012=-+x x 的解,就是函数1)(2-+=x x x f 的零点.通过计算知1)0(-=f ,1)1(=f ,可见函数1)(2-+=x x x f 图象上的点))0(,0(f 在x 轴下方,点))1(,1(f 在x 轴上方,因此函数1)(2-+=x x x f 图象在0和1之间穿过x 轴.1)(2-+=x x x f 的零点是0与1之间的一个数.对于这样的答案我们显然不满意,太粗糙了!能否提高一些精确度?这就需要缩小搜索区间.借助计算机我们可以计算)1.0(f ,)2.0(f ,)3.0(f 等等的值,看什么时候函数值由负值变为正值,这样就可以缩小搜索区间提高函数零点的精度了.这样我们可以确定函数的零点在0.6和0.7之间,但是说黄金数是0.6或0.7还是显得粗糙,这就需要继续缩小搜索区间,提高函数零点的精确度.怎么办?依次计算)61.0(f ,)62.0(f ,⋯⋯,吗?我们相信如此继续下去总可以继续提高函数零点的精确度.但这样搜素下去工作量很大,能否减少搜索的工作量呢?现在换个话题:如何查找线路故障? “ 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。

这是一条10km 长的线路，在这条线路上大约有200多根电线干。

想一想：维修工人怎样查找最合理？象我们上面搜素函数的零点那样从水库闸房出发逐段地查找吗？维修工人不是这样工作的，他首先从线路的中点C 查起，如果CB 段正常，就选择CA 的中点D 测试，如果DA 段正常，就选择DC 的中点E 继续测试,⋯⋯。

函数与方程一、目标认知学习目标(1)进一步了解函数的广泛应用；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解.难点对函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.二、知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)；(2).思路点拨：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.解：(1)由得，所以函数的零点是；(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是1，-1.总结升华：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.解：(1)由求根公式解得(2)方程可化为由知所以函数的零点为1，-3；函数的零点为-3，1，2.总结升华：三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．无法确定思路点拨：可以利用函数图象或方程的判别式.解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.类型三、用二分法求函数的零点的近似值3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).解：由于，可取区间作为计算的初始区间，由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.总结升华：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）解：⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；⑵取的区间中点；⑶计算；⑷由于，则有零点的新区间为⑸取的区间中点；⑹计算；⑺由于，则有零点的新区间为；⑻取的区间中点；⑼计算；⑽由于，则有零点的新区间为；⑾取的区间中点；⑿计算；⒀由于，则有零点的新区间为；⒁取的区间中点⒂计算；⒃由于，则有零点的新区间为；⒄取的区间中点；⒅计算；⒆由于，⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500，1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格.总结升华：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).。

第2讲 函数的应用考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根 （1）函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． （2）函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．（4）二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是（1）阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；（2）数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；（3）解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；（4）实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一 函数的零点例1 （1）函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的区间是( )A ．(12，1) B ．(1，e －1) C ．(e －1,2) D ．(2，e)（2）已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．（1）已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（2）已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定 热点二 函数的零点与参数的范围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围．思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )． （1）令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).（1）写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)1．函数与方程（1）函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． （2）函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，x ， x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B ．⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D ．⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 2．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．2．函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3)2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]5．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是()6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．10．我们把形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 三、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． （1）当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；（2）若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？例1 (1)C (2)A 变式训练1 (1)C (2)C 例2 D 变式训练2 a <－12例3 解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．变式训练3 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．AB 1．4 2．(－1e ，0) 3．5 8CBBCDC7．(0,1] 8．(－∞，8] 9．m >1 10．4 11．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大， 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0， ∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.。