第8讲 函数的零点与二分法

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

函数的零点
1．函数的零点
【函数的零点】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0 的实数根x 叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为 0 的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解法﹣﹣二分法】
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1 就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥
若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【总结】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x 轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
1/ 1。

1．函数零点 概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。

既存在，使得，这个也就是方程的根。

2.二分法 二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）； ③若·<，则令=（此时零点）； （4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。

（二）考点分析题型1：方程的根与函数零点例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A ．(0，1)B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，+∞) （2）设a 为常数，试讨论方程的实根的个数。

解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与y=-x+3的图象(如图)。

它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。

实际上这是要比较与2的大小。

当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。

由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C 。

（2）原方程等价于))((D x x f y ∈=0)(=x f x))((D x x f y ∈=)(x f y =0)(=x f )(x f y =x 0)(=x f ⇔)(x f y =x ⇔)(x f y =)(x f y =],[b a 0)()(<b f a f )(x f y =),(b a ),(b a c ∈0)(=c f c a[]b )(a f )(b f 0<)(x f y =)(x f ε)(x f a []b )(a f )(b f 0<εa ()b 1x )(1x f )(1x f 01x )(a f )(1x f 0b 1x ),(10x a x ∈)(1x f )(b f 0a 1x ),(10b x x ∈εε<-||b a a b )lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-0x 0x 0x 0x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-xa x x x a x x )3)(1(00301即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解； ③当或时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生法求方程lgx+x=3解所在的区间。

用二分法求函数零点二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象连续不间断；②()()0f a f b <．二分法不适合不变号零点的情况．二分法求零点的根本方法是：第一步 取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步 取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，假设11()0f x x =，就是所求零点，计算结束；假设1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步 对已确定的区间，重复第二步，直到到达规定的误差要求，计算结束.实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]n n a b ，，当 2n n a b ε-<时，区间[]n n a b ，的中点1()2n n n x a b =+就是函数()y f x =的近似零点，这时函数()y f x =的近似零点与真正零点的误差不超过ε.这也就是说：函数的零点总位于区间[]n n a b ，内，得到一系列的有根区间0011[][][]n n a b a b a b ，，，[]n n a b ，的长度为n d ，那么00122n n n n n n b a d b a x c d -=-=-<，，即0012n n b a x c +--<〔其中c 为函数的真正零点〕.所以当2n n a b ε-<时，1122n n n n x c d b a ε-<=-<.反过来，由n x c ε-<出发，0000111222n n n n b a b a x c d εε++---<=<>，〔ε为精确度要求，00a b ，为初始区间端点值〕，根据该式可以确定n 的最小值0n ，这样我们做题时就可以事先知道需要0n 次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.例 用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点〔精确到0.01〕.解：3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(0f x x x x x x x x x x x x =+--=+-+=+-=+=∴函数的零点为1-，.23x x ==，，令2()3f x x =-2()3f x x =-的零点， ∵ (1)20(2)10f f =-<=>，，， ∴可取初始区间[12]，用二分法逐次计算.由0012n b a ε+->，知12121000.01n +->=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．。

二分法求函数零点
二分法求函数零点是一种数值解法，它利用二分搜索的思想，通过不断地将函数的定义域划分为较小的子域，来求函数的零点。

假设函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(a)f(b)<0，即函数在区间[a,b]上必定有一个零点。

1. 首先确定区间[a,b]，计算出中点c，即c=(a+b)/2；
2. 计算f(c)，若f(c)=0，则c即为所求零点；若f(c)不等于0，
则根据f(c)与f(a)的符号关系，确定下一个搜索区间；
3. 若f(c)与f(a)异号，则零点位于区间[c,b]，此时a=c，继续重复步骤1；若f(c)与f(a)同号，则零点位于区间[a,c]，此时b=c，继续重复步骤1；
4. 重复步骤1-3，直到搜索区间的宽度小于某一预先设定的精
度值，此时得到的零点即为所求零点。

4-1函数的零点与二分法1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。

类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点．练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( )A ．7B ．72C ．－72 D ．－7类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9D ．a >0或a <0类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．类型四二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)类型五 用二分法求函数零点的近似值例5:求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．练习1:试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0D ．2或13、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4D ．1.55、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－123．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－467．已知函数2f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．8．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 10.已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．。

高中数学：函数零点的概念及求法，用二分法求方程的近似解一、知识点1、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。

2、方程的根与函数的零点的关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

3、函数零点的存在性对函数零点的存在性应从以下几方面进一步理解：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；（3）在函数的某一单调区间内，至多有一个零点；（4）如果函数在一个区间上的图象不间断，并且它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间至少有一个零点。

4、二分法对于在区间[a，b]上连续不断、且f（a）· f（b）＜0的函数y＝f （x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

5、用二分法求方程的近似解步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a，b）的中点x1；（3）计算f（x1）；1）若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；2）若f（a）·f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；3）若f（b）·f（x1）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））。

（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2～4。

说明：1）二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性。

2）二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想，它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值（即方程近似解）。

“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好的运用，希望同学们在学习中要多加领会。

3）二分法求函数零点的不足：二分法的思路虽然简单，但一方面，若函数在上有几个零点时，则只能算出一个零点；另一方面，即使函数在上有零点，也未必有，这就限制了二分法的使用范围。