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平面向量专题 第1练：平面向量线性运算与平面向量基本定理

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训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理．

训练题型 (1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用．

解题策略 (1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB→＋BC→＝AC→，OM→－ON→＝NM→联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.

一、选择题

1．(2016·佛山期中)已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则点P是( )

A．(－8,1) B.－1，－32

C.1，32 D．(8,1)

2．(2017·深圳调研)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是( )

A．a＝－b B．a∥b且方向相同

C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|

3．(2016·山西大学附中期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的值为( )

A．－13 B.13

C．－3 D．3

4．(2016·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足OA→＋λOB→＋(1＋λ)OC→＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为( )

A.12 B．1

C．2 D．3

5.如图，在△ABC中，AD→＝23AC→，BP→＝13BD→，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λμ的值为( )

A．－3 B．3

C．2 D．－2

6.(2016·辽源联考)如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于( )

A.2a－1＋22b B．－2a＋1＋22b

C．－2a＋1－22b D.2a＋1－22b

7．(2016·河北衡水中学调研)已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

8．(2016·南安期中)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝12DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→，则( )

A．m＋n是定值，定值为2

B．2m＋n是定值，定值为3

C.1m＋1n是定值，定值为2 D.2m＋1n是定值，定值为3

二、填空题

9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝______________.

10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是__________．

11．(2016·厦门适应性考试)如图，在△ABC中，AD→·BC→＝0，BC→＝3BD→，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若AM→＝λAB→，AN→＝μAC→(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是________．

12.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)．若AP→＝λED→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是______________.

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平面向量基本定理

平面向量基本定理

平面向量基本定理

平面向量基本定理：

1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：

A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)

将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：

（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则AC⋅CD的值为？

（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？

解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表(无答案)汇总

平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表(无答案)汇总

平面向量专题（1） 2016年9月30日 中海部

【知识清单1】

一、向量的相关概念

1.向量：既有大小有方向的量叫做向量(矢量）. 只有大小没有方向的量称为数量.

2.分类：自由向量（仅由大小和方向确定，与起点位置无关） 、滑动向量（允许起点在向量所在的直线上滑动） 、固定向量（大小与方向确定，且起点位置固定），高中阶段主要研究自由向量.

3.几何表示: 向量可以用有向线段表示.

区别：有向线段包括起点、方向、长度三个要素，向量包括方向、长度两个要素.

4.长度：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记做AB.

向量也可用字母cba、、（印刷用黑体a，手写用a）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示. 例如AB，CD.

5.零向量：长度为0的向量.记做0.

6.单位向量: 长度为1的向量.

7.平行向量: 方向相同或相反的向量. 记作a//b.

规定: 零向量与任一向量平行.

8.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做a=b.

注意: 向量相等与有向线段的起点无关.

9.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，记做ba

规定：零向量的相反向量是零向量.

10. 共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.

二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算)

1.向量加法的三角形法则

已知非零向量a、b， 在平面内任取一点A， 作aAB，bBC，则向量AC叫做a和b的和，记做a+b，

即BCABba. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种方法称为向量加法的三角形法则.

特点：首尾向连！

2.向量加法的平行四边形法则

以同一个点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OB是a与b的和，

平面向量的概念及线性运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

平面向量的概念及线性运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

平面向量的概念及线性运算

一、知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

结论：

(1)O为△ABC的重心的充要条件是OA→＋OB→＋OC→＝0；

(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则AB→＋DC→＝2EF→；

(3)对于平面上的任一点O，OA→，OB→不共线，满足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.

二、例题精讲 + 随堂练习

考点一 平面向量的概念

【例1】 (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a|a|＋b|b|＝0成立的是( )

A.a＝2b B.a∥b

C.a＝－13b D.a⊥b

解析 (1)由a|a|＋b|b|＝0得a|a|＝－b|b|≠0，即a＝－b|b|·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使a|a|＋b|b|＝0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直.

平面向量的线性运算

平面向量的线性运算

平面向量的线性运算

平面向量是平面上的有向线段，可以进行各种线性运算，包括加法、减法、数乘、内积和外积。本文将详细介绍平面向量的线性运算。

一、平面向量的定义

平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示，例如，向量AB用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。平面向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

二、平面向量的加法

设有平面向量→AB和→CD，它们的和向量为→AD=→AB+→CD。向量的加法满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。

加法运算的几何解释是将向量→CD以→AB为起点进行平移，得到以A为起点，D为终点的向量→AD。

三、平面向量的减法

设有平面向量→AB和→CD，它们的差向量为→AC=→AB-→CD。向量的减法满足非交换律，即→AB-→CD≠→CD-→AB。

减法运算的几何解释是将向量→CD以→AB的起点为终点进行平移，得到以A为起点，C为终点的向量→AC。

四、平面向量的数乘 对于平面向量→AB，实数k，k×→AB为平面向量的数乘。数乘的结果是一个新的平面向量，它的长度为原向量的长度乘以数乘系数k，方向与原向量相同（当k>0时），或相反（当k<0时）。

五、平面向量的内积

两个向量→AB和→CD的内积记作→AB·→CD，它等于向量→AB在→CD上的投影长度与→CD的模长之积，即|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD的夹角。

内积运算满足交换律，即→AB·→CD=→CD·→AB；和分配律，即(→AB+→CD)·→EF=→AB·→EF+→CD·→EF。

内积运算可以用来判断两个向量是否垂直，当且仅当向量的内积为0时，它们垂直。

六、平面向量的外积

两个向量→AB和→CD的外积记作→AB×→CD，它是一个新的向量，它的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成平行四边形的平面，并按右手法则确定。