平面向量的数量积及平面向量的应用一轮复习专练

2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲平面向量的数量积及应用含解析第3讲平面向量的数量积及应用基础知识整合1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!∠AOB就是a与b 的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是020°≤θ≤180°错误!θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，错误!θ＝90°⇔a⊥b2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量错误!｜a｜｜b｜·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影错误!|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，错误!|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于错误!a的长度｜a｜与错误!b在a的方向上的投影｜b|cosθ的乘积3．向量数量积的运算律交换律a·b＝错误!b·a分配律(a＋b）·c错误!a·c＋b·c数乘结合律(λa）·b＝λ（a·b)＝12a·（λb)4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1），b＝(x2，y2），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模｜a｜＝错误!｜a｜＝错误!错误!夹角cosθ＝错误!cosθ＝错误!错误!a⊥b的充要条件a·b＝0错误!x1x2＋y1y2＝0|a·b｜与｜a|｜b|的关系｜a·b|≤|a|｜b｜|x1x2＋y1y2|≤错误!1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足结合律，即（a ·b)·c≠a·(b·c)．3．当a与b同向时,a·b＝｜a｜|b｜；当a与b反向时,a·b＝－｜a||b|，特别地,a·a＝a2或｜a|＝错误!.4．有关向量夹角的两个结论：（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立（因为a与b夹角为0时也有a·b>0)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b〈0，反之不成立(因为a与b夹角为π时也有a·b〈0)．1．（2019·重庆模拟)已知向量a＝(k,3),b＝(1,4),c＝(2,1)，且(2a －3b）⊥c,则实数k＝（）A．－错误!B．0C．3 D.错误!答案C解析因为2a－3b＝（2k－3，－6)，（2a－3b）⊥c，所以(2a －3b）·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.2．(2019·全国卷Ⅱ）已知向量a＝(2，3）,b＝(3，2），则|a－b|＝()A.错误!B．2C．5 2 D．50答案A解析∵a－b＝(2，3)－（3，2)＝(－1，1)，∴｜a－b｜＝错误!＝错误!.故选A。

第四章§3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)满足条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于A ．6B ．5C ．4D ．32．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则M A →·M D →等于A ．1B ．2C ．3D ．43．已知向量|a|＝|b|＝3，且(a ＋b)·(2a －b)＝92，则b 在a 方向上的投影等于 A ．－332 B ．－32 C ．32 D ．3324．已知向量O A →＝(3，1)，O B →＝(cosθ，sinθ)，θ∈R ，其中O 为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为A ．2B ． 3C ．1D ．325．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．a ＝(2,1)，b ＋a ＝(1，k)，若a ⊥b ，则实数k ＝________.7．已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|2a －b|＝2，则a 与a ＋b 的夹角的余弦值为________．8．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，已知a·b ＝a·c ＝b·c ，则△ABC 的形状是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b.求(b·c)·a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(cosx，cosx)，p＝(23，1)．(1)若m∥p，求sinx·cosx的值；(2)△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角θ的取值集合为M.当x∈M时，求函数f(x)＝m·n的值域．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：(8a －b)＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，∴由(8a －b)·c ＝30得6×3＋3x ＝30，∴x ＝4. 答案：C2．解析：由已知得|B C →|＝2，B A →，B C →夹角为45°，∴M A →·M D →＝(12CB →＋B A →)·(－12C B →＋CD →) ＝－14C B →2＋12C B →·C D →－12C B →·B A →＋B A →·CD → ＝－12＋12C B →·(12B A →)－12C B →·B A →＋|BA →|·|CD →|·cos0° ＝－12－14C B →·B A →＋2＝32－14·2·2·cos135°＝2. 答案：B3．解析：设a 与b 的夹角为θ，∵(a ＋b)·(2a －b)＝92， ∴2a 2＋a·b －b 2＝92. 又∵|a|＝|b|＝3，∴2×9＋3×3cosθ－9＝92， ∴cosθ＝－12. ∴b 在a 方向上的投影为|b|cosθ＝3×(－12)＝－32. 答案：B4．解析：|OA →|＝2，|OB →|＝1，cos 〈O A →，O B →〉＝O A →·O B →|OA →||OB →|＝sin(π3＋θ)， S △AOB ＝12|O A →||O B →|sin 〈O A →，O B →〉＝12×2×1×1－[sin (π3＋θ)]2， 当sin(π3＋θ)＝±1时，△AOB 面积有最大值，且最大值为1. 答案：C5．解析：∵(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，∴(BC →＋BA →)·AC →－AC →2＝0，∴(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，∴(BC →＋BA →＋CA →)·AC →＝2BA →·AC →＝0，∴BA →⊥AC →.∴∠A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知得b ＝(1，k)－a ＝(－1，k －1)，又a ⊥b ，∴a·b ＝0，∴－2＋k －1＝0，k ＝3.答案：37．解析：∵|2a －b|2＝4，∴4a 2－4a·b ＋b 2＝4，∴4a·b ＝1，即a·b ＝14. ∴(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋12＝52， ∴|a ＋b|＝102. ∴cos θ＝a·(a ＋b )|a|·|a ＋b|＝1＋14102＝104. 答案：1048．解析：∵a·b ＝a·c ，∴a·(b －c)＝0，如图，∠CBD ＝π2， ∴|AB →|＝|AC →|，同理|AB →|＝|BC →|，|BC →|＝|AC →|.∴△ABC 为正三角形．答案：正三角形三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)·a ＝0·a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52. (3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a|cosθ. ∴|a|cosθ＝a·b |b|＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵m ∥p ，∴3sinx －23cosx ＝0.∴tanx ＝2.∴sinx·cosx ＝sinxcosx sin 2x ＋cos 2x ＝tanx tan 2x ＋1＝25. (2)f(x)＝m·n ＝3sinxcosx ＋cos 2x ＝32sin2x ＋12cos2x ＋12＝sin(2x ＋π6)＋12. ∵b 2＝ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12. ∴0＜B ≤π3， ∴M ＝{θ|0＜θ≤π3}． ∵x ∈M ，∴π6＜2x ＋π6≤5π6. ∴1≤f(x)≤32，即f(x)的值域为[1，32]．。

课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2021河北石家庄一模)设向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，且(a +b )⊥a ，则实数m=( ) A.-3B.32C.-2D.-322.在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD=√2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.-1B.1C.√2D.23.(2021广东珠海二模)已知向量a ，b 满足|a |=2，a ·b =-1，且(a +b )·(a -b )=3，则|a -b |=( ) A.3B.√3C.7D.√74.在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ，2x )(x>0)，则当BC 最小时，∠ACB=( ) A.90° B.60° C.45°D.30°5.已知向量a =(1，x-1)，b =(x ，2)，则下列说法错误的是 ( )A.a ≠bB.若a ∥b ，则x=2C.若a ⊥b ，则x=23D.|a -b |≥√26.已知向量a =(1，2)，b =(m ，1)(m<0)，且向量b 满足b ·(a+b )=3，则( ) A.|b |=2B.(2a+b )∥(a+2b )C.向量2a-b 与a-2b 的夹角为π4 D.向量a 在向量b 上的投影数量为√557.(2021全国乙，理14)已知向量a =(1，3)，b =(3，4)，若(a -λb )⊥b ，则λ= . 8.已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，c =(-1，0). (1)求向量b+c 的模的最大值;(2)设α=π4，且a ⊥(b+c )，求cos β的值.综合提升组9.若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则下列结论正确的是( ) A.∠BOC=90°B.∠AOB=90°C.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45D .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1510.设O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，P 是线段AB 上的一个动点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值不可能为( ) A.1B.12C.13D.1411.(2021山东滨州二模)已知平面向量a ，b ，c 是单位向量，且a ·b =0，则|c -a -b |的最大值为 .12.已知△ABC 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边上的高.若P 为线段OC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ;若P 为线段OC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .创新应用组13.“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图).在直角三角形CGD 中，已知GC=4，GD=3，在线段EF 上任取一点P ，线段BC 上任取一点Q ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A.25B.27C.29D.3114.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|PA||PB|=√3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为 ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用1.A 解析:由题意，向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，可得a +b =(m+1，1). 因为(a +b )⊥a ，所以(a +b )·a =m+1+2=0， 解得m=-3. 故选A .2.D 解析:由题可知，因为四边形ABCD 为直角梯形，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为√2， 由数量积的几何意义可知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2)2=2，故选D .3.D 解析:由(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=3，可得|b |=1， 因为|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=4+2+1=7，所以|a -b |=√7. 故选D .4.A 解析:∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x-1，2x-2)， ∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-x -1)2+(2x -2)2=√5x 2-6x +5.令y=5x 2-6x+5，x>0，当x=35时，y min =165，此时BC 最小， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,-65),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =85,45，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×85−65×45=0， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠ACB=90°，故选A . 5.B 解析:显然a ≠b ，故A 正确;由a ∥b 得1×2=(x-1)x ，解得x=2或x=-1，故B 错误; 由a ⊥b 得x+2(x-1)=0，解得x=23，故C 正确;|a -b |2=(1-x )2+(x-3)2=2(x-2)2+2≥2，则|a -b |≥√2，故D 正确.故选B .6.C 解析:将a =(1，2)，b =(m ，1)代入b ·(a+b )=3，得(m ，1)·(1+m ，3)=3，得m 2+m=0，解得m=-1或m=0(舍去)，所以b =(-1，1)，所以|b |=√(-1)2+12=√2，故A 错误;因为2a+b=(1，5)，a+2b =(-1，4)，1×4-(-1)×5=9≠0，所以2a+b 与a+2b 不平行，故B 错误;设向量2a-b 与a-2b 的夹角为θ，因为2a-b=(3，3)，a-2b =(3，0)，所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22，所以θ=π4，故C 正确;向量a 在向量b 上的投影数量为a ·b |b|=1√2=√22，故D 错误.故选C .7.35解析:由已知得，a -λb =(1-3λ，3-4λ)，由(a -λb )⊥b ，得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0，即15-25λ=0，解得λ=35.8.解(1)b+c =(cos β-1，sin β)， 则|b+c|2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). 因为-1≤cos β≤1， 所以0≤|b+c|2≤4， 即0≤|b+c|≤2.当cos β=-1时，有|b+c|=2， 所以向量b+c 的模的最大值为2. (2)若α=π4，则a =√22,√22.又由b =(cos β，sin β)，c =(-1，0)得 a ·(b+c )=√22,√22·(cos β-1，sin β)=√22cos β+√22sin β-√22.因为a ⊥(b+c )，所以a ·(b+c )=0， 即cos β+sin β=1，所以sin β=1-cos β， 平方后化简得cos β(cos β-1)=0， 解得cos β=0或cos β=1.经检验cos β=0或cos β=1即为所求.9.B 解析:由于△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得25+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =25，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC⃗⃗⃗⃗⃗ =-4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得34+30OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-35; 4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得41+40OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，解得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45. 所以∠BOC ≠90°，故A 错误;∠AOB=90°，故B 正确;OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45，故C 错误; OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45--35=-15，故D 错误.故选B . 10.D 解析:设P (x ，y )，由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，得(x-1，y )=λ(-1，1)=(-λ，λ)，所以{x -1=-λ,y =λ,得P (1-λ，λ).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)， 即λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ)，2λ-1≥2λ2-2λ，2λ2-4λ+1≤0，解得1-√22≤λ≤1+√22， 又因为0≤λ≤1，所以1-√22≤λ≤1. 故选D .11.√2+1 解析:由|a |=|b |=1，且a ·b =0，建立如图所示平面直角坐标系，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a =(1，0)，b =(0，1)， 再设c =(x ，y )，则c -a -b =(x-1，y-1)，故|c -a -b |=√(x -1)2+(y -1)2，其几何意义为以O 为圆心的单位圆上的动点与定点P (1，1)间的距离.则其最大值为|OP|+1=√12+12+1=√2+1.12.14 [0，1] 解析:△ABC 为等腰直角三角形，CO 为斜边上的高，则CO 为边AB 上的中线，所以AC=BC=√2，AO=BO=CO=1. 当P 为线段OC 的中点时，在△ACO 中，AP 为边CO 上的中线， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°+0=12×√2×12×√22=14.当P 为线段OC 上的动点时，设OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -(1-λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ×1×√2×√22-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0，1]， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0，1]. 13.C 解析:建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，3).设P (4，a )(3≤a ≤4)，Q 4+t ，43t (0≤t ≤3)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，a-3)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+t ，43t-3，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(4+t )+(a-3)43t-3=16+4t+43at-4t-3a+9=25+43at-3a=25+43t-3·a.-3≤43t-3≤1，3≤a ≤4，所以当43t-3=1，a=4时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为25+1×4=29. 故选C .14.12π 24+16√3 解析:以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (-2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，因为|PA||PB|=√3， 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)2+y 2=√3，化简整理可得(x-4)2+y 2=12，所以点P 的轨迹为圆，圆心为C (4，0)，半径r=2√3，故其面积为12π.PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-4+y 2=|OP|2-4，OP 即为圆C 上的点到坐标原点的距离. 因为OC=4，所以OP 的最大值为OC+r=4+2√3， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为(4+2√3)2-4=24+16√3.。

课后限时集训(三十四)平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时:40分钟一、选择题1．（2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（) A．4B．3C．2D．0B［a·(2a－b）＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B。

］2．已知平面向量a＝（－2，3），b＝(1,2），向量λa＋b与b 垂直，则实数λ的值为（）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!D［∵a＝（－2，3），b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1，3λ＋2）．∵λa＋b与b垂直，∴(λa＋b）·b＝0,∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－错误!.］3．(多选)已知向量a＝(1，－1），b＝（2，x),设a与b的夹角为α,则()A．若a∥b,则x＝－2B．若x＝1，则｜b－a|＝5C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°D．若a＋2b与a垂直，则x＝3ABD［由a∥b可得x＝－2，故A正确；若x＝1,则b＝(2,1)，｜b－a|＝｜（2，1)－（1,－1）｜＝错误!＝错误!，故B正确；当x＝－1时，cos〈a，b>＝a·b｜a｜｜b|＝错误!＝错误!≠错误!，故C错误;a＋2b＝(5,－1＋2x），由5＋(－1)（－1＋2x)＝0,解得x＝3，故D 正确．］4．(2020·武汉模拟）已知向量|a｜＝2，向量a与b夹角为错误!，且a·b＝－1，则|a－b｜＝（)A．错误!B．2C．错误!D．4A[由平面向量数量积的定义可知，a·b＝|a｜·|b｜·cos 错误!＝错误!·|b｜·错误!＝－1，∴｜b|＝1，∴|a－b|＝｜a－b|2＝错误!＝错误!＝错误!。

故选A。

］5．若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足（错误!－错误!）·(错误!＋错误!－2错误!）＝0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形A［∵(错误!－错误!)·(错误!＋错误!－2错误!)＝0，∴错误!·［（错误!－错误!)＋（错误!－错误!）]＝错误!·（错误!＋错误!)＝0。