专题 平面向量基本定理 课后练习

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。

训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理. 训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用. 解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB →＋BC →＝AC →，OM →－ON →＝NM →联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．下列各式计算正确的有________个． ①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .2．(·贵州遵义一模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.3．(·云南昆明质检)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m ＝________.4．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是________．5．(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 6．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________________________________. 7．(·青海西宁质检)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为________．8．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝________.9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 10.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 11．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.12．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，则点P 坐标为________．13．已知a ，b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b ) (t ∈R )这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为________． 14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案解析1．3 2.23 3.19 4.③ 5.(－7，－4) 6.07．P 是AC 边的一个三等分点 解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →， ∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →＝2AP →，∴P 是AC 边的一个三等分点． 8．2解析 因为M 、O 、N 三点共线， 所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)， 使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)， 所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC →＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →、AN →不共线，所以⎩⎨⎧x2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1， 即x ＋y ＝2.9．－74m ＋138n 10.611.12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.12．(8，－15) 解析 设P (x ，y )， 因为|AP →|＝32|PB →|，又P 在线段AB 的延长线上，故AP →＝－32PB →＝32BP →，所以(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎨⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.故P (8，－15)．13.12 解析如图所示，OA →＝t b ， OB →＝13(a ＋b )，OC →＝a .∴AC →＝OC →－OA →＝a －t b ， BC →＝OC →－OB →＝23a －13b ，∵A 、B 、C 三点共线，a ，b 不共线， ∴AC →与BC →共线， ∴231＝－13－t ，∴t ＝12. 14．2 解析以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴， OA →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则由OC →＝xOA →＋yOB →，得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y (－12，32)，得x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（ ）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（ ）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（ ）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤， 则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。

《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。

平面向量根本定理习题课类型一：平面向量根本定理的应用 1．下面四种说法中，正确的选项是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底12,e e 使12a e e λμ=+成立的实数对一定是唯一的． A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④例2、梯形ABCD 中，N M DC AB ,|,|2||=分别是DC ，AB 的中点，假设,1e AB =,2e AD =用21,e e ，表示MN BC DC ,,变式1如图，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，,AM c AN d ==，试用,c d 表示,AB AD 。

NMDCBA类型二：直线的向量参数方程的应用例3、设1e 、2e 是平面内的一组基底，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线。

变式1、在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：ABCD 是梯形。

变式2、非零向量12,e e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值。

A CB DOCBA例4、如图，,,OA a OB b OC c ===且向量,,a b c 满足(),,c a b R λμλμ=+∈，证明：〔1〕假设A 、B 、C 三点共线，那么1λμ+=； 〔2〕假设1λμ+=，那么A 、B 、C 三点共线。

课后练习：1、 设O 是菱形ABCD 的两对角线的交点，以下各组向量：①,AD AB ； ②,DA BC ；③,CA DC ；④,OD OB ，其中可作为这个菱形所在平面表 示它的所有向量基底的是 〔 〕A 、①②B 、③④C 、①③D 、①④ 2、假设12,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作 为一组基底的是 〔 〕 A 、12e e +和12e e - B 、1232e e -和2146e e - C 、123e e +和213e e + D 、2e 和12e e +3、如果12,e e 是平面α内两个不共线向量，那么在以下各命题中是假命题 的有 〔 〕 ①12e e λμ+(),R λμ∈可表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量,a 使12a e e λμ=+的实数,λμ可以有许多对； ③假设向量1112e e λμ+和2122e e λμ+共线，那么有且只有一个实数λ，使 2122e e λμ+=λ〔1112e e λμ+〕； ④假设实数,λμ使12e e λμ+=0，那么0λμ==。

2.3.1 平面向量基本定理一、A组1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有()A.e1,e2一定平行B.e1,e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)D.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,存在λ,μ∈R,使得a=λe1+μe2解析:由平面向量基本定理知,D正确.答案:D2.已知向量a与b的夹角为,则向量2a与-3b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵a与2a同向,b与-3b反向,∴向量2a与-3b的夹角和a与b的夹角互补,∴向量2a与-3b的夹角为.答案:C3.在矩形ABCD中,O为对角线的交点,=5e1,=3e2,则=()A.(5e1+3e2)B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)解析:如图,)=)=)=(5e1+3e2).答案:A4.若D点在△ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为()A.B.C.D.解析:∵=4=r+s,∴)=r+s,∴r=,s=-,∴3r+s=3×.答案:C5.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足()A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0解析:如图所示,利用平行四边形法则,将分解到上,有,则=m=n,很明显方向相同,则m>0;方向相反,则n<0.答案:B6.在等边三角形ABC中,O为△ABC所在平面上一点,且2,则的夹角为.解析:∵2,∴O为BC的中点.又△ABC为等边三角形,∴AO⊥BC,∴的夹角为.答案:7.已知向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=,μ=.解析:由条件可知解得答案:-8D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.解析:如图,由题意知,D为AB的中点,,∴=)=-.∴λ1=-,λ2=.∴λ1+λ2=-.答案:9.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明:假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得所以λ不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一组基底.(2)解:设c=m a+n b(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得故c=2a+b.10.如图所示,在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示.解:在△AMD中,==c-;在△ABN中,==d-.则有=c,=d,两式联立解得d-c,c-d.二、B组1.已知在▱ABCD中,∠DAB=60°,则的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:如图,的夹角为120°.答案:C2.e1,e2为基底向量,已知向量=e1-k e2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则k的值是()A.2B.-3C.-2D.3解析:∵A,B,D三点共线,∴共线.又=e1-k e2,=e1-2e2,∴e1-k e2=λ(e1-2e2),即∴k=2.答案:A3.若=a,=b,=λ(λ≠-1),则等于()A.a+λbB.λa+(1-λ)bC.λa+bD.a+b解析:由=λ,得=λ(),化简得a+b(λ≠-1).答案:D4.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b解析:连接CD,OD,∵点C,D是半圆弧的两个三等分点,∴.∴CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°.∵OA=OD,∠ADO=∠DAO=30°,∴∠CAD=∠ADO=30°.∴AC∥DO.∴四边形ACDO为平行四边形,.∵a,=b,∴a+b.故选D.答案:D5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为.解析:由题意可画出图形,在△OAB中,∠OAB=60°,又|b|=2|a|,∴∠ABO=30°.∴∠BOA=90°,a与c的夹角为180°-∠BOA=90°.答案:90°6.如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.解析:因为AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC,所以BH=1,BH=BC.因为点M为AH的中点,所以)=.所以λ=,μ=,故λ+μ=.答案:7.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点M,N,且(λμ≠0),有人说无论M,N在AB,AC上如何变动,恒有λ+μ=3成立.你认为上述说法是否正确?请说明理由.解:题中说法是正确的.理由:事实上,不难证明),由于M,G,N三点共线,则存在实数m,满足=m+(1-m),于是,即∴μ+λ=3.8,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.(1)求x的取值范围.(2)当x=-时,求y的取值范围.解:(1)因为=x+y,以OA的反向延长线和OB为两邻边作平行四边形, 由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-∞,0).(2)如图所示,当x=-时,在OA的反向延长线上取点C,使OC=OA,过C作CE∥OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E,则CD=OB,CE=OB,要使点P落在指定区域内,则点P应落在DE上,当点P在点D处时,=-,当点P在点E处时,=-,所以y的取值范围是.。

【题型一】利用基底表示向量例1如图，ABCD 平行四边形对角线交于点M ，且,,b AD a AB ==你能用吗？、、、表示MD MC MB MA b a , 小结：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决问题的关键。

记住对角线所在向量的表示方法是关键。

变式1 如图，.,,,AM b a BC M b AC a AB ABC 表示边的中点，请用是中，==∆变式2 如 图，.,41,,AN b a BC BN b AC a AB ABC 表示，请用且中，===∆ 变式3 如图，.,3,,AD b a DC BD b AC a AB ABC 表示，请用且中，===∆变式4 如图， .,,,,,AD AB d c d AN c AM BC DC N M 表示请用的中点，已知，分别为在平行四边形中，== 小结：用基地表示平面向量，要充分利用向量加法减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘的表示，解题时要注重基本结论和基本方法的应用。

【题型二】平面向量和三角形的重心基本概念：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.重心定理：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1:2.可以通过三角形相似证明得到.例1 .,,,AG b a b AC a AB ABC G 表示请用的重心，设是点==∆变式1 .0=++∆GC GB GA ABC G 的重心，求证是点变式2 ).0.(0=++=++∆CF BE AD FC EB DA ABC G 或的重心，求证是点 【题型三】二元一次方程组解向量问题 例1 已知.,,0,2,23,212121的值求若向量，是平面内两个不共线的y x b y a x e e b e e a e e =++-=-=变式1.,47,2,23,21212121c b a e e c e e b e e a e e 表示，试用向量若向量，是平面内两个不共线的-=+-=-=小结：把向量c 用表示，b a ，常用待定系数法，基本思路是假设b y a xc +=，解方程组可得出结果.变式2 设向量.,,23,24,32p n m b a p b a n b a m 表示向量试用向量+=-=-= 答案：【题型1】.2121,2121,2121,2121 1b a MD b a MC b a MB b a MA +-=+=-=--=例 ., 4.4341 3.4143 2.2121 1323432342121⎩⎨⎧⎩⎨⎧==+=+=+=-=-=+=+=c d a d c b b a d b a c b AD a AB b a AD b a AN b a AM 解得可知假设变式变式变式变式 【题型2】b a 3131AG 1+=例【题型3】.81347p 22c 10y x 1n m b a +-=-===变式变式例。

课后训练1．已知向量a ＝e 1－2e 2， b ＝2e 1＋e 2．其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )．A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组 ①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为表示这个平行四边形所在平面的所有向量基底的是( )．A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 3．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD 为( )． A ．23b ＋13c B ．53c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA OB OC ++ ＝0，那么( )．A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ． 2AO OD =5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP 等于( )． A ．()AB AD λ+ ，λ∈(0,1)B ．()AB BC λ+ ，λ∈⎛ ⎝⎭C ．()AB AD λ- ，λ∈(0,1)D ．()AB AC λ- ，λ∈0,2⎛ ⎝⎭6．如图，在平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，满足OA OB = ＝1，OA 与OB 的夹角为120°，OC 与OA 的夹角为30°，OC =设OC mOA nOB =+ (m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( )．A ．2 3B ．6C ．10D ．15 7．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+ ，则λ＝__________．8．在△ABC 中，P 为BC 边上一点，且满足23BP PC = ． (1)用AB ，AC 为基底表示AP ； (2)用AB ，PC 为基底表示AP ．9．如图△OAB ，其中OA ＝a ，OB ＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且13OM = a ，12ON = b ，设AN 与BM 相交于P ，用向量a ，b 表示OP ．10．(1)设e 1，e 2是两个不共线的向量，试确定k 的值，使向量a ＝e 1＋k e 2(k ∈R )与向量b ＝－(e 2－2e 1)共线；(2)在ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，用a ，b 表示AF ．参考答案1答案：B2答案：C3答案：A4答案：A5答案：A6答案：D7答案：2 38答案：(1)2355 AP AB AC =+(2)32 AP AB PC =+9答案：1255 OP=+a b10答案：(1)1 2 -(2)2133 AF=+a b。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作课后训练1．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．若D 在△ABC 的边BC 上，且CD ＝4DB ＝r AB ＋s AC ，则3r ＋s ＝( )A ．165B ．125C ．85D ．453．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定4．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP ＝x OA ＋y OB ，则实数对(x ，y )可以是( )A ．11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．32,45⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c AC ＋a PA＋b PB ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形6．已知e1，e2是非零的不共线向量，a＝k e1＋e2，b＝e1＋k2e2，且a∥b，则k＝__________．7．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．8．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α与β所成角的大小为__________．9．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示AG．10．设AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．参考答案1答案：B 解析：由于任意不共线的向量a ，b 都可以作为基底，故①是错的，而②③是对的，故选B ．2答案：C 解析：由题意得CD ＝45CB ＝45AB －45AC ， ∴r ＝45，s ＝45-，∴3r ＋s ＝85． 3答案：B 解析：a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝6e 1－2e 2＝2(a ＋b )．∴c 与a ＋b 共线．4答案：C 解析：由图观察并根据平面向量基本定理，可知x ＜0，y ＜0，故选C ． 5答案：A 解析：如图，由c AC +a PA +b PB =0，得c (PC －PA )＋a PA －b PC ＝(a －c )PA ＋(c －b )PC ＝0，而PA 与PC 为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c ．故选A ．6答案：1 解析：∵a ∥b ，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k 2e 2，∴a ＝λb ，即k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k 2e 2)．∴k e 1＋e 2＝λe 1＋λk 2e 2．∴2,1,k k λλ=⎧⎨=⎩∴k 3＝1．∴k ＝1． 7答案：52 12- 解析：由条件可知2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩ 解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 8答案：90° 解析：作平行四边形ABCD ，设AB ＝α，AD ＝β，则由|α＋β|＝|α－β|，得|AC |＝|DB |，∴四边形ABCD 为矩形，∴α与β的夹角为90°．9答案：解：易知CF ＝12CD ，CE ＝12CB ． 设CG ＝λCA ，则由平行四边形法则可得CG ＝λ(CB ＋CD )＝2λCE ＋2λCF ， 由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG＝14CA，从而AG＝34AC＝34(a＋b)．10答案：证明：要证A，B，D三点共线，只需证明AD＝λAB中的实数λ存在．由AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，得AB＋BC＋CD＝λAB，即(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝λ(a＋5b)，得2a＋10b＝λa＋5λb．若a与b共线，则显然A，B，D三点共线；若a，b不共线，由平面向量基本定理有2, 510,λλ=⎧⎨=⎩∴λ＝2，即AD＝2AB，∴A，B，D三点共线．。

2020 高考数学人教 A 版课后作业1.( 文 )(2020 ·合肥二模 ) 设平面向量a＝(3,5) ，b＝ ( － 2,1)，则 a－2b＝() A．(7,3) B ． (7,7)C．(1,7)D． (1,3)[ 答案]A[ 分析]依题意得 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝ (7,3)，选 A.( 理)(2020 ·福建质检 ) 已知平面向量＝(x,1)，＝(－，x2) ，则向量a＋ ()a b x b A．平行于x 轴B．平行于第一、三象限的角均分线C．平行于y 轴D．平行于第二、四象限的角均分线[ 答案]C[ 分析]∵＋＝(0,1 ＋x 2) ，∴a＋b平行于y轴，应选 C.a b2．(2020 ·湖北八市调研 ) 向量＝ (1，tan) ，＝ (cos1a∥，则锐角的αα， )，且αa3b3b正弦值为 ()11A. 2B. 923C. 2D. 2[ 答案]B11[ 分析]依题意得3×3－ tan α×cos α＝0，1即 sin α＝9.3．(2020 ·皖南八校第二次联考 ) 已知向量a＝ (3,4)，b＝(2，－1)，假如向量 a＋λb与b 垂直，则λ的值为()55A. 2B．－222C. 5D．－5[ 答案]D[分析]∵ a＝(3,4)， b＝(2，－1)，∴ a＋λb＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(42－λ)＝0，∴λ＝－5，应选→→4．已知四边形ABCD的三个极点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则极点D 的坐标为 ()71A．(2， ) B ．(2，－ )22C．(3,2)D． (1,3)[ 答案]A[ 分析]设点 D( m， n)，则由题意知，(4,3)＝ 2( m，n－ 2) ，2m＝ 4∴，2 －4＝3n7解得 m＝2，n＝2，7∴D(2，)，应选 A.25．(2020 ·宁波十校联考 ) 已知平面向量＝ (1,2) ，＝( －2， ) ，且∥ ，则2 ＋3ba b m a b a＝ ()A．( － 2，－ 4) B ．( －3，－ 6)C．( － 4，－ 8)D ．( － 5，－ 10)[ 答案]C[ 分析]由 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且 a∥ b，得1×m＝2×(－2) ?m＝－4，进而 b＝(－2，－ 4) ，那么 2a＋ 3b＝2×(1,2) ＋3×( － 2，－ 4) ＝ ( － 4，－ 8) ．→→6．(2020 ·广东高考 ) 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝ (2,4 ) ，AC＝(1,3)，→则＝ ()BDA．( － 2，－ 4) B ．( －3，－ 5)C．(3,5)D． (2,4)[ 答案]B→→→→→→ →→ →→[分析]由题意得 BD＝ AD－ AB＝ BC－ AB＝( AC－ AB)－ AB＝ AC－2 AB＝(1,3)－ 2(2,4)＝( －3，－ 5) ，选 B.7．(2020 ·海南质检 ) 在平面直角坐标系xOy 中，四边形的边∥，∥. 已知ABCD AB DC AD BC点 A(－2,0)， B(6,8)， C(8，6)，则 D点的坐标为________．[ 答案](0 ，－ 2)[ 分析]由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，能够判断该四边形ABCD是平行四边→ →形．设 D( x，y)，则有 AB＝ DC，即(6,8)－(－2,0)＝ (8,6) － ( x，y) ，解得 ( x，y) ＝ (0 ，－ 2) ．8.如下图，△ ABC中，点 M是 BC的中点，点N在边 AC上，且 AN＝2NC， AM与 BN订交于点 P，求 AP PM的值．→→→→→→[ 分析 ]设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝2e1＋e2，∵ A、P、M和B、P、N分别共线，→→∴存在λ、μ∈R，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，→→BP＝μBN＝2μe1＋μe2.→→→12故BA＝ BP－ AP＝(λ＋2μ) e ＋(3λ＋μ)e，→→→而BA＝ BC＋ CA＝2e1＋3e2，4λ＋2μ＝2λ＝5∴由平面向量基本定理得，∴，3λ＋μ＝ 33μ＝5∴ →＝4→，即AP＝4:1.AP5AM PM1.( 文)(2020 ·辽宁文， 3) 已知向量a＝ (2,1)，b＝(－1，k)，a·(2 a－b)＝0，则 k＝() A．－ 12B．－ 6C．6D．12[ 答案] D[ 分析]∵2 － ＝ (4,2) －(－1， )＝(5,2 － )a b k k∴ a ·(2 a －b ) ＝(2,1) ·(5,2 － k ) ＝ 10＋2－ k ＝ 0∴ k ＝ 12.→( 理)(2020 ·蚌埠二中质检 ) 已知点 ( －1,0)， (1,3) ，向量a ＝ (2 k － 1,2) ，若 ⊥ ，ABAB a则实数 k 的值为 ()A ．－ 2B ．－ 1C ．1D ．2 [ 答案]B→→[ 分析] AB ＝ (2,3) ，∵ AB ⊥ a ，∴ 2(2 k － 1) ＋3×2＝ 0，∴ k ＝－ 1，∴选 B.2．(2020 ·长沙二检 ) 若向量 a ＝ (1,1) ，b ＝ ( － 1,1) ， c ＝ (4,2) ，则 c ＝ ( )A ．3a ＋ bB ． 3a －bC ．－ a ＋ 3bD ．a ＋ 3b[ 答案]B4＝ x － yx ＝ 3[ 分析]由已知可设 c ＝ xa ＋ yb ??，应选 B.2＝ x ＋ y y ＝－ 13．(2020 ·西安质检 ) 已知向量 a ＝ (1,2)，b ＝ (2 ，－ 3) ．若向量 c 知足 ( c ＋ a ) ∥ b ， c ⊥( a ＋ b ) ，则 c ＝ ()7777A ．( 9， 3)B ．( －3，－ 9)C ．( 7， 7) D ．( －7，－ 7)3993[ 答案] D[ 分析]不如设 c ＝ ( m ， n ) ，则 a ＋ c ＝ (1 ＋ m,2＋n ) ， a ＋b ＝ (3 ，－ 1) ，由于 ( c ＋ a ) ∥b ，7 7则有－ 3×(1 ＋ m ) ＝2×(2 ＋ n ) ．又 c ⊥ ( a ＋ b ) ，则有 3m － n ＝ 0，解得 m ＝－ 9， n ＝－ 3.4．在平行四边形 中， →＝ 1→ ， → ＝ 1 →， 与 订交于 G 点．若 →＝ ，→ ＝ ，ABCDAE 3AB AF4AD CE BFAB a AD b→则AG ＝()212 3A. 7a ＋ 7bB. 7a ＋ 7b3142C. 7a ＋ 7bD. 7a ＋ 7b[ 答案] C[ 分析]∵ 、 、 F 三点共线，BG→→→∴AG ＝ λ AF ＋ (1 － λ) AB ＝ 41λb ＋(1 － λ) a . ∵ 、 、 C 三点共线，E G→→→∴AG ＝ μ AE ＋ (1 － μ) AC ＝ 31μa ＋(1 － μ)( a ＋ b ) ．λμ＝ 1－4由平面向量基本定理得，，21－λ ＝ 1－3μ4λ＝7→ 3 1∴6，∴ AG ＝ 7a ＋ 7b .μ＝75．( 文) 已知 A ( － 2,3) ，B (3 ，－ 1) ，点 P 在线段 AB 上，且 | AP | | PB | ＝1 2，则 P 点坐标为 ________．[ 答案]1 5－ 3，3→ →[ 分析 ]设 P ( x ， y ) ，则 AP ＝ ( x ＋2， y － 3) ， PB ＝ (3 － x ，－ 1－ y ) ，∵P 在线段 AB 上，且 | AP | | PB |＝12，→ 1 →∴AP ＝ PB ，2∴( x ＋ 2， y －3) ＝ 3－x ， － 1－y ，2 23－ x1x ＋ 2＝ 2x ＝－ 31 5∴－ 1－ y，∴5，即 P －3，3 .y － 3＝ 2y ＝ 3(理)已知EFG→→是△的重心，直线过点 且与边 、分别交于点、 ， ＝ ，GABCAB ACE F AEαAB→→11AF ＝ βAC ，则 α＋ β＝ ________.[ 答案]3→2→1→→ →[ 分析]连接 AG 并延伸交 BC 于 D ，∵ G 是△ ABC 的重心， ∴ AG ＝3AD ＝ 3( AB ＋ AC ) ，设 EG ＝→ λGF ，∴ →－→＝ ( → － → ) ，∴ → ＝ 1→＋ λ →，AG AE λ AF AGAG 1＋λAE 1＋λAF1→ 1→ α→λβ →∴ 3AB ＋ 3AC ＝1＋ λAB ＋1＋ λAC ，α1131＋ λ＝3α＝1＋ λ1 1∴λβ 1，∴13λ ，∴ α＋ β＝ 3.1＋ λ＝3β＝1＋ λ→ → →6．已知 O (0,0) 、 A (2 ，－ 1) 、B (1,3) 、OP ＝ OA ＋ tAB ，求(1) t 为什么值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第四象限？(2) 四点 O 、A 、 B 、 P 可否成为平行四边形的四个极点，说明你的原因．→→ → t t[ 分析] (1)＝ ＋＝ ( ＋ 2,3 －1)．OP OA tAB1若点 P 在 x 轴上，则 3t － 1＝ 0，∴ t ＝ ；若点 P 在 y 轴上，则 t ＋ 2＝ 0，∴ t ＝－ 2；t ＋ 2>01若点 P 在第四象限，则3t － 1<0，∴－ 2<t <3.→→(2) OA ＝ (2 ，－ 1) ， PB ＝ ( － t － 1，－ 3t ＋ 4) ． → →∵四边形 OABP 为平行四边形，∴ OA ＝ PB .－ t － 1＝ 2 ∴无解．－ 3t ＋ 4＝－ 1∴ 四边形 OABP 不行能为平行四边形．同理可知，当t ＝ 1 时，四边形 为平行四边形，当 t ＝－ 1 时，四边形 为平行OAPBOPAB四边形．7．已知△ ABC 中， A (7,8)， B (3,5) ， C (4,3)， M 、 N 是 AB 、 AC 的 中点， D 是 BC 的中点，→MN 与 AD 交于点 F ，求 DF .[ 分析 ]由于 A (7,8) ， B (3,5) ， C (4,3)→因此 AB ＝ ( －4，－ 3) ，AC ＝( －3，－ 5) ．→ 1→→又由于 D 是 BC 的中点，有 AD ＝2( AB ＋ AC ) ＝ ( － 3.5 ，－ 4) ，而 M 、 N 分别为 AB 、AC 的中→ 1→1→点，因此 F 为 AD 的中点，故有 DF ＝2DA ＝－ 2AD ＝ (1.75,2) ．[ 评论 ] 注意愿量表示的中点公式，→ 1→ → M 是 A 、 B 的中点， O 是任一点，则 OM ＝ ( OA ＋ OB ) ．28．( 文 ) 已知圆 ：( x － 3) 2＋ ( y － 3) 2＝ 4 及定点 (1,1) ， 为圆C 上随意一点，点N 在线CA M→→段 MA 上，且 MA ＝2AN ，求动点 N 的轨迹方程．→→[ 分析 ]设 N ( x ， y ) ，M ( x 0， y 0) ，则由 MA ＝ 2AN 得(1 － x 0, 1－ y 0) ＝ 2( x － 1， y －1) ，1－ 0＝ 2 x － 2x 0＝3－ 2xx∴，即，1－ y 0＝ 2y － 2 y 0＝ 3－ 2y代入 ( x － 3) 2＋( y － 3) 2＝ 4，得 x 2＋ y 2＝1.(理)已知⊙ ：(x ＋2)2＋( y － 1) 2＝9 及定点 ( －1,1) ， 是⊙ C 上随意一点，点 N 在射线CA MAM 上，且 | AM | ＝2| MN |，动点 N 的轨迹为 C ，求曲线 C 的方程．→ → →[ 分析 ]设 N ( x ， y ) ，M ( x 0， y 0) ，∵ N 在射线 AM 上，且 | AM |＝ 2| MN |，∴ AM ＝2MN 或 AM ＝→－ 2MN ，→→AM ＝ ( x 0＋ 1， y 0 － 1) ， MN ＝ ( x － x 0， y － y 0) ，x 0＋ 1＝ 2 x － x 0x 0＋ 1＝－ 2 x － x 0 ∴或，y 0－ 1＝ 2 y － y 0y 0－ 1＝－ 2 y － y 0x 0＝ 1 2 － 13xx 0＝ 2x ＋1∴1 或，y＝2 －1y 0＝ 3 2y ＋ 1y代入圆方程中得 (2 x ＋5) 2＋ (2 y － 2) 2＝ 81 或 (2 x ＋ 3) 2＋ (2 y － 2) 2＝ 9.1．(2020 ·安徽江南十校联考 ) 已知两个非零向量 a ＝ ( m － 1， n － 1) ，b ＝ ( m －3， n － 3) ，且a 与b的夹角是钝角或直角，则＋ n 的取值范围是 ()mA ．[2， 3 2] B ．[2,6]C．(2，32)D．(2,6)[ 答案]D[ 分析]依据a 与 b 的夹角是钝角或直角得a· b≤0，即( m－1)(m－3)＋( n－1)(n－3)≤0.整理得：( m－ 2) 2＋ ( n－ 2) 2≤2. 因此点( m，n) 在以 (2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m＋ n＝z，则n＝－ m＋ z表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z的直线，明显直线与圆相切时，z 取最大(小)值，∴2≤ z≤6，即2≤ m＋ n≤6.当取等号时有m＝n＝1或 m＝ n＝3，均不合题意，应选 D.→→→→2．已知直线x＋ y＝ a 与圆 x2＋ y2＝4交于 A、 B 两点，且| OA＋ OB|＝| OA－ OB|，此中 O为坐标原点，则实数 a 的值为()A．2B．－ 26C．2 或－ 2 D. 6或－[ 答案]C→→→→[ 分析]以 OA、 OB 为边作平行四边形OACB，则由| OA＋OB| ＝ | OA－OB| 得，平行四边形→ →OACB为矩形， OA⊥OB.由图形易知直线y＝－ x＋ a 在 y 轴上的截距为±2，因此选 C.3．(2020 ·河南许昌调研， 2020·深圳模拟 ) 在平面直角坐标系中，O→为原点，设向量＝OA→→a， OB＝b，此中 a＝(3,1)， b＝(1,3)．若 OC＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1， C 点的全部可能地点地区用暗影表示正确的选项是()[答案]A→[ 分析 ]OC＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，→令OC＝( x， y)，则 x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ)＝2( λ－μ) ≤0，∴点 C对应地区在直线y＝ x 的上方，应选 A.4．点是△所在平面内的一点，且知足→3→1→与△的面积之比＝＋，则△M ABC AM4AB4AC ABM ABC 为 ________．[ 答案] 1:4→3→→1→[ 分析 ]如图，AE＝4AB，AF＝4AC，→1→在 BC上取点 G，使 BG＝4BC，则 EG∥ AC， FG∥ AE，→→→→∴AG＝ AE＋ AF＝AM，∴ M与 G重合，S△ABM BM 1∴＝＝.S△ABC BC43 5．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、 b、 c，已知 c＝2b，向量 m＝sin A，2，n ＝(1 ，sin A＋ 3cos A) ，且m与n共线．(1)求角 A 的大小；a(2)求c的值．[ 分析 ](1) ∵m∥n，3∴s in A(sin A＋ 3cos A) －2＝0，π即 sin 2A－6＝ 1.∵A∈(0，π)，π∈ －π11π∴2 －，.666πππ∴2A－6＝2.∴A＝3.π(2)由余弦定理及 c＝2b、 A＝得，32c 22cπa ＝2＋ c －2·2· c cos3，232a3a ＝4c ，∴c＝2.。

课时作业(十七)一、选择题1．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：平面内任意不共线的两向量都可作为基底而零向量和任意向量都是共线向量，所以零向量不可作为基底．答案：B 2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →解析：由向量加法的平行四边形法则及向量减法法则知，选项A ，B ，C 显然正确．故选D.答案：D3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝0解析：∵a 、b 不共线，据向量的运算法则可知B 正确． 答案：B4．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠1)，O 是空间一点，则OP →用向量OA →，OB →表示为( )A.OP →＝OA →＋λOB →B.OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →C.OP →＝11＋λ(OA →＋λOB →)D.OP →＝1λOA →＋11－λOB →解析：∵AP →＝λPB →(λ≠1)，∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)， 即∵OP →＝11＋λ(OA →＋λOB →)，故选C.答案：C5．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系为( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不能确定解析：a ＋b ＝3e 1－e 2＝12c ，所以a ＋b 与c 共线．答案：B6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b解析：如图，∵E 是OD 的中点， ∴OE →＝14BD →＝14b . 又∵△ABE ∽△FDE ， ∴AE EF ＝BE DE ＝31.∴AE →＝3EF →，∴AE →＝34AF →.在△AOE 中，AE →＝AO →＋OE →＝12a ＋14b ， ∴AF →＝43AE →＝23a ＋13b . 故选B. 答案：B二、填空题7．设两个非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为________．解析：设k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)＝λe 1＋kλe 2， ∴k ＝λ且1＝kλ，∴k 2＝1，k ＝±1. 答案：±1 8.如图所示，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解析：如图所示，以OA →，OB →所在直线为邻边作平行四边形，使该平行四边形以OC →为对角线，则OC →＝OA ′ ＋OB ′＝λOA →＋μOB →.依题意知，∠BOC ＝90°，∠OCB ′＝30°， 在Rt △B ′OC 中，|OC →|＝23， |OB ′||OC →|＝tan 30°＝33， ∴|OB ′ |23＝33，∴|OB ′ |＝23×33＝2， ∴|B ′C |＝|OA ′→|＝(23)2＋22＝4，∴OA ′ ＝4OA →，OB ′＝2OB →， ∴OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＝4，μ＝2. ∴λ＋μ＝4＋2＝6. 答案：6 9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：AC →＝λAE →＋μAF →＝λAD →＋12AB →＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧λ＋12μ＝1①12λ＋μ＝1②)，①＋②得32(λ＋μ)＝2，∴λ＋μ＝43.答案：43 三、解答题10．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 中点，过O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n .解：选AM →、AN →为基底．连接AO ， ∵AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∴OM →＝AM →－AO →＝AM →－m 2AM →－n 2AN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 2AM →－n 2AN →. NM →＝AM →－AN →，又∵OM →与NM →共线， 故OM →＝λNM →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 2AM →－n2AN →＝λAM →－λAN →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝λ－n 2＝－λ.∴1－12(m ＋n )＝0，∴m ＋n ＝2.11．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设BA →＝a ，BC →＝c ，(1)用a ，c 表示向量AE →；(2)若点F 在AC 上，且BF →＝15a ＋45c ，求AF ∶CF .解：(1)因为AC →＝BC →－BA →＝c －a ， 所以AD →＝12AC →＝12(c －a )， 所以AE →＝12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a .(2)设AF →＝λAC →，所以BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a )＝(1－λ)a ＋λc . 又BF →＝15a ＋45c ，所以λ＝45， 所以AF →＝45AC →，所以AF ∶CF ＝4∶1. 12.如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →， 由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.。

第六章 6.3 6.3.1A 级——基础过关练1．设e 1,e 2是平面内两个向量,则有( ) A ．e 1,e 2一定平行 B ．e 1,e 2的模一定相等C ．对于平面内的任一向量a ,都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)D ．若e 1,e 2不共线,则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R) 【答案】D【解析】由平面向量基本定理知D 正确．2．(2021年达州模拟)(多选)已知e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,能作为一组基底的是( )A ．{e 1＋e 2,e 1－e 2}B ．{3e 1－2e 2,4e 2－6e 1}C ．{e 1＋2e 2,e 2＋2e 1}D ．{e 2,e 1＋e 2}【答案】ACD【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2),∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线,∴它们不能作为一组基底,作为基底的两向量一定不共线．A 、C 、D 选项均可．3．(2021年福建模拟)设向量e 1与e 2不共线,若3xe 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2xe 2,则实数x ,y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4【答案】D【解析】因为e 1与e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解方程组得x ＝3,y ＝4.4．(2021年天津期末)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且BD →＝2DC →,设AB →＝a ,AC →＝b ,则AD →可用基底a ,b 表示为( )A ．12(a ＋b ) B ．23a ＋13b C ．13a ＋23b D ．13(a ＋b ) 【答案】C【解析】AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(AC →－AB →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C ．5．如图,在正方形ABCD 中,点E 满足AE →＝ED →,点F 满足CF →＝2FB →,那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD →C ．AB →－16AD →D ．AB →＋16AD →【答案】C【解析】EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝－16AD →＋AB →.故选C ．6．若D 点在△ABC 的边BC 上,且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85 D ．45 【答案】C【解析】因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →.所以r ＝45,s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85. 7．设{e 1,e 2}是平面内的一个基底,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则e 1＋e 2＝______a ＋______b .【答案】23⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 8．如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝______．【答案】34【解析】因为BE →＝BO →＋OE →＝12BD →＋EA →＝12BD →＋EB →＋BA →,所以BE →＝12BA →＋14BD →.所以λ＝12,μ＝14,λ＋μ＝34. 9．如图所示,D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →,AC →表示AD →.解：因为D 是BC 边的四等分点, 所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)．所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a ＝e 1－2e 2,b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：{a ,b }可以作为一个基底； (2)以{a ,b }为基底表示向量c ＝3e 1－e 2.(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R),则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1,e 2不共线,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，所以λ不存在．故a 与b 不共线,{a ,b }可以作为一个基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ,n ∈R),则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .B 级——能力提升练11．(2021年南通模拟)(多选)若e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法错误的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ,使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ,μ有无数多对C ．若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ,μ,使λe 1＋μe 2＝0,则λ＝μ＝0 【答案】BC【解析】由平面向量基本定理,可知A,D 说法正确,B 说法错误．对于C,当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时,这样的λ有无数个,故C 说法错误．12．(2021年上海模拟)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,若BE →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ＝( )A ．－34B ．－12C ．34D ．1【答案】B【解析】∵AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,∴BE →＝12BA →＋12BD →＝12BA →＋14BC →＝－12AB →＋14(AC →－AB →)＝－34AB →＋14AC →.∵BE →＝λAB →＋μAC →,∴λ＝－34,μ＝14,∴λ＋μ＝－12,故选B ．13．(2021年杭州模拟)已知O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0,＋∞)),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】AB→|AB →|为AB →上的单位向量,AC →|AC →|为AC →上的单位向量,则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD →的方向．又λ∈[0,＋∞),∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|,∴点P 在AD →上移动,∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．14．若OP 1→＝a ,OP 2→＝b ,P 1P →＝λPP 2→,则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb1＋λ【答案】D【解析】∵P 1P →＝λPP 2→,∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →),(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→.OP →＝λb ＋a1＋λ.15．△ABC 中,D 为AC 上的一点,满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点,满足AP →＝mAB →＋nAC→(m >0,n >0),则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．【答案】11616【解析】因为AD →＝13DC →,所以AD →＝14AC →.所以AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋4nAD →.因为B ,P ,D 三点共线,所以m ＋4n ＝1,则4mn ≤（m ＋4n ）24＝14,则mn ≤116,即mn 最大值为116,当且仅当m ＝4n 时取等号；4m ＋1n＝(m ＋4n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16n m ＋m n＋8≥216＋8＝16,当且仅当m ＝4n 时取等号．故答案为116,16.16．已知平行四边形ABCD 中,E 为CD 的中点,AP →＝yAD →,AQ →＝xAB →,其中x ,y ∈R,且均不为0.若PQ →∥BE →,则xy＝________．【答案】12【解析】因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →,由PQ →∥BE →,可设PQ →＝λBE →,即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12.17．(2021年北京模拟)在平行四边形ABCD 中,已知AB →＝a ,AD →＝b ,E 、F 分别是边CD 和BC 上的点,满足DC →＝3DE →,BC →＝3BF →.(1)分别用a ,b 表示向量AE →,AF →；(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,求出λ＋μ的值．解：(1)AE →＝AD →＋13DC →＝13a ＋b ,AF →＝AB →＋13BC →＝a ＋13b .(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,则λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a ＋b ,∴⎝⎛⎭⎪⎫λ3＋μa ＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ3b ＝a ＋b .∵a ,b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＋μ＝1，λ＋μ3＝1，解得λ＋μ＝32.18．(2021年天门模拟)如图所示,在□ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b ,BM ＝23BC ,AN ＝14AB ．(1)试用向量a ,b 来表示DN →,AM →； (2)AM 交DN 于O 点,求AO ∶OM 的值．解：(1)因为AN ＝14AB ,所以AN →＝14AB →＝14a ,所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b .因为BM ＝23BC ,所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ,所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)因为A ,O ,M 三点共线,所以AO →∥AM →,设AO →＝λAM →,则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λa ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b . 因为D ,O ,N 三点共线,所以DO →∥DN →,存在实数μ使DO →＝μDN →,则λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b .由于向量a ,b 不共线,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →,OM →＝1114AM →,所以AO ∶OM ＝3∶11.C 级——探索创新练19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →,则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45 D ．54【答案】C【解析】(方法一)连接AC (图略),由AB →＝λAM →＋μAN →,得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC→＋AB →),则μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AC →＝0,得μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AD →＋12AB →＝0,得14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →,AD →不共线,所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.(方法二)根据题意作出图形如图所示,连接MN 并延长,交AB 的延长线于点T ,由已知易得AB ＝45AT ,所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →.因为T ,M ,N 三点共线,所以λ＋μ＝45.20．如图,在△ABC 中,设AB →＝a ,AC →＝b ,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为P ,若AP →＝ma ＋nb ,则m ＝________,n ＝________．【答案】27 47【解析】根据已知条件,得BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(ma ＋nb )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b ,CR →＝BR→－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ,∴QP →＝m 2a ＋n 2b ,RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ,RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47.。

§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（时间：45分钟 满分：100）一、选择题(每小题7分，共35分)1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－22．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12 B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫－32，－12 D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32，－12 4.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=与线段AB 交于C ,且=AC 2CB →，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53二、填空题(每小题6分，共24分)6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________． 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.9．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________.三、解答题(共41分)10．(13分)a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．(14分)三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n .(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．(14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭⎫22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．答案1.B2.C3.D4.A5.A6. 127. 128.-1 9.(－2,0)或(－2,2) 10.解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )． ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 11. 解 (1)因为m ∥n ，所以(3c －b )c －(a －b )(3a ＋3b )＝0，即a 2＝b 2＋c 2－13bc ， 又∵在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2b c cos A ，∴cos A ＝16. (2)由cos A ＝16得sin A ＝356， sin(A ＋30°)＝sin A cos 30°＋cos A sin 30° ＝356×32＋16×12＝1＋10512. 12. 证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴－π<A －B <π. ∴A ＝B .∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴A ＝B ＝C . ∴△ABC 为等边三角形．。

平面向量基本定理练习1．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2.则x －y 的值等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．22．设e 1，e 2是一个平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 23．在ABCD 中，AC 与BD 交于点M .若设AB ＝a ，AD ＝b ，则以下各选项中，与－12a ＋12b 相等的向量有( ) A ．MA B ．MB C ．MC D ．MD4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与b ＝－(e 2－2e 1)共线，则有( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝125．如图所示，已知在△ABC 中，M ，N ，P 是线段AB 的四等分点，CB ＝e 1，CA ＝e 2，则下列正确的是( )A ．CN ＝12e 1＋12e 2，CM ＝14e 1＋34e 2 B ．AB ＝e 1－e 2，CP ＝14e 1＋34e 2 C ．CP ＝34e 1＋14e 2，AM ＝14(e 1＋e 2) D ．AM ＝14(e 1－e 2)，AB ＝e 1＋e 2 6．设e 1，e 2为一组基底，a ＝－e 1＋2e 2，b ＝e 1－e 2，c ＝3e 1－2e 2，以a ，b 为基底可以将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p ，q 的值分别为__________．7．起点相同的三个非零向量a ，b,3a －λb 的终点在一条直线上，则λ＝__________.8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点A (1,1)，B (－1,2)，若点C 满足OC ＝αOA ＋βOB ，其中，α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为__________．9．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM .表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由．参考答案1．答案：A2．答案：B3．解析：12-a＋12b＝12(b－a)＝12(AD－AB)＝12BD＝BM＝MD.答案：D4．解析：∵a与b共线，且b≠0，∴存在实数μ，使得a＝μb，即e1＋λe2＝－μ(e2－2e1)，则(2μ－1)e1＝(μ＋λ)e2.∴210,0.μμλ-=⎧⎨+=⎩解得1,21.2μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩答案：D5．解析：由题意得，N为线段AB的中点，所以CN＝12(CB＋CA)＝12(e1＋e2)＝12e1＋12e2，又M为AN的中点，所以CM＝12(CA＋CN)＝212111222⎛⎫++⎪⎝⎭e e e＝14e1＋34e2，故选项A正确．选项B中CP＝34e1＋14e2，选项C中AM＝14(e1－e2)，选项D中AB＝e1－e2.答案：A6．解析：c＝p a＋q b，即3e1－2e2＝(－p e1＋2p e2)＋(q e1－q e2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，所以3,22,q pp q-=⎧⎨-=-⎩解得1,4.pq=⎧⎨=⎩答案：1,47．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝3a－λb＝3OA－λOB，∵A，B，C三点共线，∴3＋(－λ)＝1，∴λ＝2.答案：28．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．答案：x＋2y－3＝09．解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN ＝2e1＋e2.∵A，P，M与B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2，∴BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，∴由平面向量基本定理，得22, 3 3.λμλμ+=⎧⎨+=⎩∴4,53.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AP ＝45AM ，∴AP ∶PM ＝4∶1. 10．解：能．假设a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )，将a ，b ，c 代入a ＝λb ＋μc ，得－e 1＋3e 2＋2e 3＝(4λ－3μ)e 1＋(－6λ＋12μ)e 2＋(2λ＋11μ)e 3，则143,3612,2211,λμλμλμ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩解得1,101.5λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以a ＝110-b ＋15c .所以a 能表示成a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )的形式，表达式为a ＝110-b ＋15c .。

平面向量基本定理课后练习 题一：已知12e e 、是同一平面内的两个不共线向量，12=a e e +，12=3b e e -，12=5c e e +，试用向量a ，b 表示c .题二：已知向量12=2a e e -3，12=2b e e +3，其中12e e 、不共线，向量12=2c e e -9，问是否存在这样的实数λμ、，使向量=d a b λμ+与c 共线题三：如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近点B ），那么 EF → 等于（ ）A. 12AB →－13AD →B. 14AB →＋12AD →C. 13AB →＋12DA →D. 12AB →－23AD →题四：如图所示，在平行四边形OADB 中，向量OA →＝a ，OB →＝b ，两条对角线交点为C ，又BM →＝23BC →，CN →＝23CD →，试用a 、b 表示 MN →.题五：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝ 13CA →＋λCB →， 则λ＝________.题六：设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点, AB AD 21=，BC BE 32=,若12=+DE AB AC λλ (1λ，2λ为实数),则12λλ+的值为 .平面向量基本定理课后练习参考答案题一： =2c a b +.详解：因为a ，b 不共线，所以可设=c a b λμ+，则121212()(3)(3)()a b e e e e e e λμλμλμλμ+=++=++--. 又12e e 、不共线，所以351,,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得21,,λμ=⎧⎨=⎩ 所以=2c a b +.题二： 2λμ=-.详解：∵121212=(2)(2)(22)(33)d e e e e e e λμλμλμ+=-3+3＋＋－＋，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使dkc =， 即1212(22)(33)29e e ke ke λμλμ=＋＋－＋－即222339k k λμλμ=⎧⎨=-⎩＋－＋，得2λμ=-. 故存在这样的实数λμ、，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线．题三： D详解：在△CEF 中，有EF → ＝EC →＋CF →.∵点E 为DC 的中点，∴ EC → ＝ 12DC →. ∵点F 为BC 的一个三等分点，∴ CF → ＝ 23CB →. ∴EF → ＝ 12DC →＋23CB → ＝ 12AB →＋23DA → ＝ 12AB → － 23AD →，故选D. 题四： 12a ＋16b . 详解：∵ MN → ＝MC →＋CN →，而BM → ＝ 23BC →，CN → ＝ 23CD →， ∴ MN → ＝ 16BA →＋13OD → ＝ 16(OA →－OB →)＋13(OA →＋OB →) ＝ 12OA →＋16OB → ＝ 12a ＋16b . 题五： 23详解：由图知CD → ＝ CA →＋AD →……①CD → ＝ CB →＋BD →……②且AD →＋2BD → ＝ 0→.∴ ①＋②×2得：3CD → ＝ CA →＋2CB →，∴ CD → ＝ 13CA →＋23CB →，∴λ ＝ 23.题六： 12 详解：由121212()232363=+=+=+-=-+DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC , 则12λλ+的值为12.。

”【志鸿全优设计】2013—2014学年高中数学 2、3、2 平面向量基本定理课后训练 北师大版必修4 ”1.已知向量a ＝e 1－2e 2,b ＝2e 1＋e2.其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是（ ).A.不共线B.共线C 。

相等 D.无法确定2.设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组①AD 与AB ；②DA 与BC ;③CA 与DC ;④OD 与OB . 其中可作为表示这个平行四边形所在平面的所有向量基底的是（ ).A.①② B 。

③④C.①③ D 。

①④3。

在△ABC 中,AB ＝c ，AC ＝b 。

若点D 满足2BD DC =，则AD 为（ ). A.23b ＋13c B.53c －23b C 。

23b －13c D 。

13b ＋23c 4.已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA OB OC ++＝0,那么( )。

A 。

AO OD =B 。

2AO OD =C 。

3AO OD = D 。

2AO OD =5.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ,C ）,则AP 等于（ ）。

A 。

()AB AD λ+，λ∈（0,1）B.()AB BC λ+,λ∈20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C 。

()AB AD λ-,λ∈（0，1）D 。

()AB AC λ-,λ∈20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭6。

如图，在平面内有三个向量OA ,OB ,OC ,满足OA OB =＝1,OA 与OB 的夹角为120°,OC 与OA 的夹角为30°,53OC =.设OC mOA nOB =+ (m ,n ∈R ），则m ＋n 等于( ）.A.2错误!B.6C.10 D 。

15 7.如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点,若2AD DB =,13CD CA CB λ=+，则λ＝__________.8.在△ABC 中,P 为BC 边上一点,且满足23BP PC =。

平面向量基本定理A 级：基础稳固练一、选择题→ →→ 1．在矩形中， 是对角线的交点，若 ＝ 1， ＝ 2，则 ＝()ABCD OBC eDC eOC11A. ( e 1＋ e 2)B. ( e 1－ e 2)2 2 11C. 2(2 e － e )D. 2( e － e )2121答案 A→ →→→ →1分析由于 O 是矩形 ABCD 对角线的交点， BC ＝ e ， DC ＝e1( e ＋，因此 OC ＝2( BC ＋ DC) ＝ 21212e ) ．应选 A.→ →→→→2 12．在△ ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 CP ＝ 3CA ＋ 3CB ，又 AP ＝ tAB ，则 t 的值为 ()1 215A.3B.3C.2D.3答案 A→ →→→→ →→111分析 CP －CA ＝ 3( CB －CA ) ＝ 3AB ，即 A P ＝ 3A B .→ → ＝1又∵ ＝ ，∴ t .应选 A.AP tAB 3→ → → → →3．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝ 3PA，则( )2 11 2A ．x ＝ ， y ＝3B ．x ＝ ， y ＝33 31331C ．x ＝ 4， y ＝ 4D ．x ＝ 4， y ＝4答案 D→→→→→ →→→ →313 1分析 由已知 BP ＝ 3PA ，得 OP － OB ＝3( OA － OP ) ，整理，得 OP ＝4OA ＋ 4OB ，故 x ＝ 4，y ＝ 4.4．如图，在△ 中， 是 边上的中线， F 是 上的一点，且 AF 1CF 并延＝ ，连结ABC AD BC AD FD 5AE )长交 AB 于 E ，则等于 (EB1 1 1 1A. 12B. 3C. 5D. 10答案 D→ → AE分析 设 ＝ ， ＝ ，.＝AB a AC b EB λAF 1 → → → →→ 1 → →→→ →1 11 ∵1 1 AB － 11＝ ，∴ CF ＝ CA ＋ AF ＝ CA ＋ AD ＝( AB ＋ AC ) － AC ＝ AC ＝ a － b .FD 5612 1212 12 12 → → → →→→ →λλλCE ＝ CA ＋ AE ＝ CA ＋ 1＋ λAB ＝ 1＋ λAB － AC ＝ 1＋ λa － b .→ → → → 又 与 共线，可设 ＝ ，CF CECFkCE111λ则 12a － 12b ＝ k 1＋ λa －b ，1λk，k ＝1112 ＝，∴1＋ λ 得12应选 D.111－ 12＝－ k ，λ＝10.→15 ．已知 A ， B ， C 是平面上不共线的三点， O 是△ ABC 的重心，动点P 知足OP ＝3→ → →1 1 ，则点 P 必定为 ( )2OA ＋ 2OB ＋2OCA ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三平分点 ( 非重心 )C ．△ ABC 的重心D ．AB 边的中点答案B→ → →分析∵ O 是△ ABC 的重心，∴ OA ＋ OB ＋OC ＝ 0，→→→→111 OC ，∴点 P 是线段 OC 的中点，即 AB 边中线的三平分点 ( 非重 ∴OP ＝ 3－ OC ＋ 2OC＝22心) ．应选 B.二、填空题122 11－5k212共线，则实数 k6．已知 e ， e 是两个不共线的向量， a ＝ k e ＋ 2 e 与 b ＝ 2e ＋ 3e ＝ ________.1答案－2 或3k21－5k2 2 1分析由题设，知 2 ＝3 ，∴ 3k ＋ 5k－ 2＝ 0，解得k＝－ 2 或3.7．如图，在△中，＝ 2，＝3，∠＝60°，⊥ 于点，为的中点．若ABC AB BC ABC AH BC H M AH→→→AM＝λAB＋μ BC，则λ＋μ＝________.答案231分析在△ ABH中， BH＝2AB＝1，1∵BC＝3，∴ BH＝ BC.3→→→→→1∴AH＝ AB＋ BH＝AB＋3BC.∵M为 AH的中点，→→→→11 1∴AM＝2AH＝2AB＋6BC.→→→∵AM＝λ AB＋μBC，1 1 2∴λ＋μ ＝2＋6＝3.→→→→8．如图，在正方形ABCD中，设 AB＝a，AD＝ b， BD＝ c，则在以a，b 为基底时， AC可表→示为 ________，在以a，c为基底时，AC可表示为 ________．答案a＋ b 2a＋c→分析以 a，c 为基底时，将BD平移，使B与A 重合，再由三角形法例或平行四边形法例即得．三、解答题9．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．→→解如图，设 AC＝ a，BC＝ b， D，E， F 分别为三角形ABC三边的中点，→→→1 1则AB＝ a－ b，AD＝ a－ b，BE＝－a＋ b.2 2→→→设 AD与 BE交于点 G1，且 AG1＝λAD， BG1＝μBE，→λ→μ则AG1＝λa－2 b， BG1＝－2 a＋μb.→→ →1－μ1 1由于 AG＝ AB＋BG＝2 a＋(μ－1) b.μ→→λ＝1－，22 2因此λ解得λ＝μ＝3，即AG1＝3AD.－＝μ－1，2→→2再设 AD与 CF交于点 G2，同理可得 AG2＝ AD.3故点 G1， G2重合，即 AD， BE， CF交于同一点，故三角形的三条中线交于一点．10．设 1 ， 2 是不共线的非零向量，且＝1－2 2，＝ 1 ＋ 3 2.e e a e e b e e(1)证明： a， b 能够作为一组基底；(2)以 a， b 为基底，求向量 c＝3e1－ e2的分解式；(3)若 4e1－ 3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解 (1) 证明：若a，b共线，则存在λ∈ R，使 a＝λb，则 e1－2e2＝λ( e1＋3e2)．由 e1，e2不共线，得λ＝1，λ＝1，? 23 ＝－2λλ＝－3.∴λ 不存在，故 a 与 b 不共线，能够作为一组基底．(2)设 c＝ ma＋nb( m， n∈R)，则3e1－e2＝m( e1－ 2e2) ＋n( e1＋ 3e2) ＝( m＋n) e1＋ ( － 2m＋ 3n) e2.m＋ n＝3，m＝2，∴?－ 2m＋ 3n＝－ 1n＝1.∴c＝2a＋ b.(3)由 4e1－ 3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ( e1－ 2e2) ＋μ( e1＋ 3e2) ＝ ( λ＋μ) e1＋ ( － 2λ＋ 3μ) e2.∴λ＋μ＝4，λ＝3，?μ＝1. － 2λ＋3μ＝－ 3故所求λ，μ 的值分别为3和 1.B 级：能力提高练→ → →1．如图，△ ABC 中， AD ＝ DB ，AE ＝ EC ，CD 与 BE 交于 F ，设 AB ＝ a ， AC ＝ b ， AF ＝ xa ＋ yb ，则 ( x ，y ) 为 ()1 1 A. ，2 22 2B.3， 31 1C.3， 32 1D.3， 2答案 C→ → →分析∵ CF ＝ 32CD ， CD ＝21a － b .→ → →→ 2 11 1 1 12－∴AF ＝ AC ＋ CF ＝b ＋3CD ＝b ＋ 3 2a b ＝ 3a ＋ 3b ，故 x ＝ 3，y ＝ 3.2．如图，△ ABC 中， AD 为三角形 BC 边上的中线且 AE ＝ 2EC ，BE 交 AD 于 G ，求 AG BG及 的GD GE值．AGBG 解设＝ λ，＝ μ .GDGE→ →→ → → →∵BD ＝ DC ，即 AD － AB ＝ AC － AD .→→ →1∴AD ＝ 2( AB ＋AC ) ．→ → → →又∵ AG ＝ λGD ＝ λ( AD －AG ) ，→→→→λλλ∴AG ＝ 1＋ λAD ＝ 2 1＋ λ AB ＋2 1＋ λ AC . →→→ →→ →又∵ BG ＝ μGE ，即 AG － AB ＝ μ( AE － AG ) ，→ →→ →→→1μ∴ (1 ＋ μ ) AG ＝ AB ＋ μAE ， AG ＝ 1＋μAB ＋ 1＋ μ AE .→ →→→→2 1 2μ又AE ＝ 3AC ，∴ AG ＝ 1＋ μAB ＋ 3 1＋ μ AC .→ →∵AB ， AC 不共线，λ1λ＝ 4，2 1＋ λ ＝1＋ μ，∴2 解之，得3λμμ＝ 2.2 1＋ λ＝3 1＋ μ.AGBG 3∴ ＝4，＝ .GD GE 2。

平面向量基本定理A 级 基础巩固一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析：B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， 所以(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案：B2．在菱形ABCD 中，∠A ＝π3，则AB →与AC →的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：由题意知AC 平分∠BAD ，所以AB →与AC →的夹角为π6.答案：A3．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13bC.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：因为BD →＝2DC →， 所以BD →＝23BC →.所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC→＝13a ＋23b . 答案：C4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由已知BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14. 答案：D5．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13D ．－23解析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，所以⎩⎨⎧1－t ＝43，t ＝λ，解之得λ＝－13. 答案：C 二、填空题6．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________． 解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →，所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb 答案：11＋λa ＋λ1＋λb7．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为________．解析：如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .由已知，得OA ＝1，OB ＝2，OA ⊥AB ，所以△OAB 为等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°8．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a 三、解答题9.如图所示，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如图所示，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在直角△OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →， 即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用向量a ，b 表示OP →.解：因为OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋mb . OP →＝ON →＋nNA →＝12b ＋n ⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝12(1－n )b ＋n a . 因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13（1－m ）＝n ，12（1－n ）＝m ，⇒n ＝15，m ＝25.所以OP →＝15a ＋25b .B 级 能力提升1．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是( )A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解析：B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．答案：A2．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．解析：设AB→＝a，AC→＝b，则AO→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b，又AO→＝AM→＋MO→＝AM→＋λMN→＝AM→＋λ(AN→－AM→)＝(1－λ)AM→＋λAN→＝1－λm a＋λn b.根据平面向量基本定理得⎩⎨⎧1－λm＝12，λn＝12，消去λ得m＋n＝2.答案：23．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎨⎧λ＝1，λ＝－23. 所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)解：设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，得 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝ (m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解：由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝ (λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。