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最小二乘法综述及举例

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最小二乘法综述及算例

一最小二乘法的历史简介

1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。

二最小二乘法原理

最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据),...,2,1(,niyxii，是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。

设物理量y与1个变量lxxx,...,2,1间的依赖关系式为:)(,...,1,0;,...,2,1nlaaaxxxfy。

其中naaa,...,1,0是n +l 个待定参数,记21miiiyvs其中 是测量值, 是由己求得的naaa,...,1,0以及实验点),...,2,1)(,...,(;,2,1mivxxxiilii得出的函数值)(,...,1,0;,...,2,1niliiaaaxxxfy。

在设计实验时, 为了减小误差, 常进行多点测量, 使方程式个数大于待定参数的个数,

此时构成的方程组称为矛盾方程组。通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组(此时方程式的个数与待定参数的个数相等) 。我们可以通过正规方程组求出a

最小二乘法又称曲线拟合, 所谓“ 拟合” 即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点,

只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。

三曲线拟合

曲线拟合的几何解释: 求一条曲线, 使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。

（1）一元线性拟合

设变量y 与x 成线性关系xaay10,先已知m个实验点),...,2,1(,mivxii，求两个未知参数1,0aa。

令2110miiixaays，则1,0aa应满足1,0,0iasi。

即 iviv

化简得

从中解出

mimimimiiimimiiimiiiiixmaymaxxmyxyxma112111011111

（2）多元线性拟合

设变量y与n 个变量)1(,...,2,1nnxxx的在联系是线性的，即有下式

njjoxaay11

设jx的第i次测量值为ijx，对应的函数值为),...,2,1(miiy，则偏差平方和

miimiiixaayyys11021'

为使s去得最小值的方程组

miinijjinmiiijjimiijixxaayasxxaayasxaayasnjnjnj101101110002....................................................0202111

即

njmiikjmiikijmiikmiijnjmiijyxaxxaxyaxma111101110nk,...,2,1。（4）

将实验数据iijyx,代入（4）式，即得naaa,...,1,0。 miiimiiiixaayasxaayas11011000)(20)(2mimimimiiiiiiyxaxaymxmaa111110101

（3）多项式拟合

科学实验后得到一组数据时，常会遇到因变量y 与自变量x 之间根本不存在线性关系。此可以考虑用一个n 次多项式来拟合y与x 之间的函数关系。

对于n次多项式niiixay0，令),...,1,0(nxxjij，则可将其化为线性形式：

njjjxaay10

对于i=1,2,...,m个实验点有jiijxx，代入（3）式有

nkyxaxxaxyaxmaminjmiiikjmiikijikmiijnjmiij,...,2,1111101110

从而得出多项式的最小二乘法拟合的方程

nkyxaximikiinimikji,...,1,0111

写成矩阵的形式即为

miinimiiimiinminiminiminiminiminimiimiimiimiminimiiiyxyxyaaaxxxxxxxxxxxm1110121211111131211112..............................

从中可以解出naaa,...,1,0。

（4）指数函数拟合

此时拟合函数具有形式bxaey（a，b为待定系数）。两端取自然对数有

(*)lnlnbxay

令abyYlnln0

则（*）式化为线性形式 bxbY0

再利用（1）式和（2）式，即可求出bb,0。

从而有obea。故bxboey。

四最小二乘法应用举例

例：已知某铜棒的电阻与温度关系为：tRRt0。实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0、 以及确定它们的误差。

表 1

t /

℃

19.1

25.1

30.1

36.0 40.0 45.1 50.1

Rt / 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10

此例中只有两个待定的参量R0和，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n、ix、iy、2ix、2iy和iiyx六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助（参见表2），并使工作有条理与不易出错。其中表双线右边的计算是为了确定R0和的误差项用的。

表 2

i t / ℃

( xi ) Rt /

( yi ) t×t

( x2i ) Rt  Rt

( y2i ) t×Rt

( xi yi ) R计算 / i / i2×10-4

1

2

3

4

5

6

7 19.1

25.1

30.1

36.0

40.0

45.1

50.1 76.30

77.80

79.75

80.80

82.35

83.90

85.10 364.8

630.0

906.0

1296.0

1600.0

2034.0

2510.0 5821.7

6052.8

6360.1

6528.6

6781.5

7039.2

7242.0 1457.3

1952.8

2400.5

2908.8

3294.0

3783.9

4263.5 76.26

77.99

79.43

81.13

82.28

83.75

85.19 +0.04

-0.19

+0.32

-0.33

+0.07

+0.15

-0.09 16

361

1024

1089

49

225

81

n7 ix245.5 iy566.00 2ix

9340.8 2iy

45826 iiyx20060.8 2i

2845×10-4

根据表2中所求得的数据，代入公式（12））则可得：

Ck02/28788.035.51156.1472)5.245(8.9340700.5665.2458.200607

76078.7075.24528788.0700.5660bR

把测量数据代入式（13）和（15）中可求出相关系数

)]7)00.566(45826[(]7)5.245(8.9340[700.5665.2458.20060])(1[])(1[1222222iiiiiiiiynyxnxyxnyx

99757.07)00.566(458267)5.245(8.934028788.0)(1)(1222222iiiiynyxnxk

说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即R0＝70.76；又因为t7－t1 = 31.0 ℃，R7－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位，则k = 0.288/C。由此可以得到电阻与温度的相关关系为：

tRt288.076.70

按补充资料中的公式计算k 和b的不确定度，可得

)(239.027102845242nSSiRyt

)C/(0088.003699.0239.07)5.245(8.9340239.0)(222nxxSSSiiyk

)(33.078.93400088.020nxSSSikRb

故 )3.08.70()33.076.70(0R，

C/)009.0288.0(C/)009.02879.0(

则 tRt288.08.70

参考文献：

1.《最小二乘法与测量平差》 郭禄光，樊功瑜著 同济大学 1985

2.《近代最小二乘法》 测绘 1980

3.《最小二乘法的拟合及其应用》 邓亮章 教育学院学报 2012.11

4.《最小二乘法的创立及其思想方法》 贾小勇，徐传胜，白欣 西北大学学报2006.6

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最小二乘方法

最小二乘方法

最小二乘方法：原理、应用与实现

一、引言

最小二乘方法是数学优化中的一种重要技术，广泛应用于各种实际问题中。它的基本原理是通过最小化误差的平方和来估计未知参数，从而实现数据拟合、线性回归等目标。本文将对最小二乘方法的原理、应用与实现进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。

二、最小二乘方法的原理

最小二乘方法的基本原理可以概括为：对于一组观测数据，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。具体而言，设我们有一组观测数据{(xi, yi)}，其中xi是自变量，yi是因变量。我们希望找到一个函数f(x)，使得f(xi)与yi之间的差距尽可能小。为了量化这种差距，我们采用误差的平方和作为目标函数，即：

J = Σ(f(xi) - yi)²

我们的目标是找到一组参数，使得J达到最小值。这样的问题称为最小二乘问题。

在实际应用中，我们通常采用线性函数作为拟合函数，即：

f(x) = a + bx

其中a和b是待估计的参数。此时，最小二乘问题转化为求解a和b的问题。通过求解目标函数J关于a和b的偏导数，并令其为零，我们可以得到a和b的最优解。这种方法称为最小二乘法。

三、最小二乘方法的应用

数据拟合：最小二乘方法在数据拟合中有广泛应用。例如，在物理实验中，我们经常需要通过一组观测数据来估计某个物理量的值。通过采用最小二乘方法，我们可以找到一条最佳拟合曲线，从而得到物理量的估计值。这种方法在化学、生物学、医学等领域也有广泛应用。

线性回归：线性回归是一种用于预测因变量与自变量之间关系的统计方法。在回归分析中，我们经常需要估计回归系数，即因变量与自变量之间的相关程度。通过采用最小二乘方法，我们可以得到回归系数的最优估计值，从而建立回归方程。这种方法在经济学、金融学、社会科学等领域有广泛应用。

图像处理：在图像处理中，最小二乘方法常用于图像恢复、图像去噪等问题。例如，对于一幅受到噪声污染的图像，我们可以采用最小二乘方法对图像进行恢复，从而得到更清晰、更真实的图像。这种方法在医学影像处理、卫星图像处理等领域有广泛应用。

最小二乘法的原理

最小二乘法的原理

最小二乘法的原理

最小二乘法是一种统计学中常用的参数估计方法，用于拟合数据并找到最适合数据的数学模型。其原理是通过最小化实际观测值与预测值之间的误差平方和，来确定模型参数的取值。

具体而言，假设有一组数据点，其中每个数据点包括自变量（即输入值）和因变量（即输出值）的配对。我们要找到一条最佳拟合曲线（或者直线），使得曲线上的预测值尽可能接近实际观测值。而最小二乘法的目标就是使得残差的平方和最小化。

假设要拟合的模型为一个一次多项式：y = β0 + β1*x，其中β0和β1是待估计的参数，x是自变量，y是因变量。我们要找到最优的β0和β1，使得拟合曲线的误差最小。

为了使用最小二乘法，我们首先需要构建一个误差函数。对于每个数据点，误差函数定义为实际观测值与预测值之间的差，即e = y - (β0 + β1*x)。我们的目标是最小化所有误差的平方和，即最小化Sum(e^2)。

通过对误差函数求导，并令导数为0，可以得到最小二乘法的正规方程组。解这个方程组可以得到最优的参数估计值，即β0和β1的取值。

最终，通过最小二乘法，我们可以得到一条最佳拟合曲线（或直线），使得曲线的预测值与实际观测值的误差最小。这条拟合曲线可以用于预测新的因变量值，或者理解自变量与因变量之间的关系。

最小二乘法原理及其简单应用

最小二乘法原理及其简单应用

- 1 - 最小二乘法原理及其简单应用

最小二乘法原理及其简单应用

一、最小二乘法原理

最小二乘法是一种定义偏最优解的优化算法，其本质是寻求拟合数据的最佳模型（假设函数），使其与实际观测值的残差（误差）最小化。最小二乘法是利用最优函数来模拟曲面上有限数量的数据点，它为了拟合一定类型的未知曲面而提出的一种经典的数学解决方案。

最小二乘法的一般定义为：

定义偏最优解的优化算法

其中，f(x)表示拟合的曲面，x表示拟合曲面的参数，X(i)表示实际观测值的参数，y(i)表示实际观测值。

最小二乘法的核心思想是：对于一组已观测到的数据，确定拟合曲面的具体参数，使拟合曲面的误差最小化，具体计算步骤为：

1、选取拟合的曲面，选取拟合曲面的参数；

2、根据拟合曲面的参数计算实际观测值的残差（误差）；

3、利用拟合曲面对已观测到的每个数据点应用最小二乘法，最小二乘法的核心思想是：利用实际观测值计算出每个数据点的误差，然后将每个数据点的误差平方和作为目标函数，最小化此目标函数；

4、求解得到的参数与实际观测值的比较，若拟合效果达到预期，则认为此参数即为所求。

二、最小二乘法的简单应用

1、一元线性回归 - 2 - 一元线性回归是最小二乘法的一种简单应用，可用于拟合一维函数（即：y=ax+b）。一元线性拟合求解过程中，根据题意：假设：函数：y=ax+b ，将实际观测值（X）代入拟合函数方程，求出方程组，因为拟合函数中只有两个变量，所以可求出其未知参数a和b：

求解公式：a=(N∑XiYi-∑Xi∑Yi)/(N∑Xi2-(∑Xi)2)

b=(∑Yi-a∑Xi)/N

其中，N表示实际观测值的个数。

2、多元线性回归

多元线性回归是最小二乘法的另一种简单应用，可用于拟合多维函数（即：y=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn+b）。假设：函数：y=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn+b，由该函数可得：

最小二乘法计算例题

最小二乘法计算例题

- 1 - 最小二乘法计算例题

最小二乘法是一种广泛应用于统计学、机器学习和数学建模等领域的统计技术。它通过最小化误差平方和来估算未知系数，以便建立较好的模型，从而更好地描述数据的特征。本文通过一个具体的计算例题，来讲解最小二乘法的计算过程及其思想。

首先，我们来看一个最小二乘法计算例题：有5个观测点$(x_1,

y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)$，我们假定y与x之间的关系可以拟合出一条直线：$y=ax+b$，求出参数a和b的值。

要求出参数a和b的值，首先需要定义平方误差函数。平方误差函数用来衡量模型根据拟合出来的参数对观测数据的拟合程度，它的定义如下：

$$Q(a,b)=sum_{i=1}^5(y_i-ax_i-b)^2$$

计算最小二乘法，是求解Q(a,b)关于a和b的最小值，即要找到一组a和b，使得Q(a,b)最小。

为了求出最小值，我们需要求出Q(a,b)关于a和b参数的偏导数，也就是对a和b分别求导，其表达式为：

$$frac{partial Q(a, b)}{partial a} = -

2sum_{i=1}^{5}x_i(y_i-ax_i-b)$$

$$frac{partial Q(a, b)}{partial b} = -

2sum_{i=1}^{5}(y_i-ax_i-b)$$

设两个偏导数等于0，则可以求出a和b的值： - 2 - $$sum_{i=1}^{5}x_i(y_i-ax_i-b) = 0$$

$$sum_{i=1}^{5}(y_i-ax_i-b) = 0$$

联立上面两个方程式，可以求解出a和b的值：

$$ a=frac{sum_{i=1}^{5}(x_i^2-x_ibar{x})cdot(y_i-bar{y})+sum_{i=1}^{5}(x_i-bar{x})cdot(bar{y}x_i-bar{x}y_i)}{sum_{i=1}^{5}(x_i^2-x_ibar{x})cdot(x_i^2-x_ibar{x})}$$