完全平方公式法2

(2014 2013)2
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍， 等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。

完全平方公式两种推导方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊完全平方公式的两种推导方法。

这可是数学里相当重要的一块儿呢！咱先来说第一种推导方法，就好像盖房子一样，咱得一步步来。

想象一下有个边长为$(a+b)$的正方形，那它的面积不就是$(a+b)^2$嘛。

然后呢，咱把这个正方形分成四块儿，一块儿是边长为$a$的正方形，一块儿是边长为$b$的正方形，还有两块儿是长为$a$宽为$b$的长方形。

那这四块儿的面积加起来不也得等于整个大正方形的面积嘛，这不就得出$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$啦！你说神奇不神奇？再说说第二种推导方法。

咱可以把$(a+b)^2$展开呀，这不就变成了$a^2+ab+ab+b^2$嘛，然后一加，嘿，还是$a^2+2ab+b^2$。

这就像走一条路，从不同的方向出发，最后都能到达同一个目的地。

这完全平方公式用处可大了去了！在解决好多数学问题的时候，那可真是一把好手。

比如说要求一个长方形的面积，或者计算一些代数式的值，它都能派上大用场。

咱举个例子吧，假如有个题目让你算$(3+4)^2$，那你直接就能用完全平方公式呀，得出$3^2+2\times3\times4+4^2$，这不就能很快算出结果了嘛。

学数学啊，就得像这样一点点去琢磨，去探究。

别觉得公式难，只要你用心去理解，就会发现其中的乐趣。

就像发现了一个神秘的宝藏一样，让人兴奋不已呢！所以啊，大家可别小瞧了这完全平方公式的两种推导方法，它们可是数学世界里的宝贝呢！掌握了它们，就好像有了一把打开数学大门的钥匙，能让你在数学的海洋里畅游无阻。

大家一定要好好学，好好用，让它们为我们的数学学习助力加油！你们说是不是这个理儿？。

公式法之完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的重要工具，它的形式可以表示为：\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，\(a\)和\(b\)都是实数。

完全平方公式的应用很广泛，特别是在解二次方程和因式分解中起着重要的作用。

下面我们将详细介绍完全平方公式的推导和应用。

一、完全平方公式的推导：假设我们要解方程\(x^2+6x+9=0\)。

这个方程左边的三个项\(x^2\)、\(6x\)和\(9\)构成了一个完全平方，可以写成\[(x+3)^2=0\]。

通过观察可以发现，\(x+3\)是一个完全平方的形式。

现在我们来验证一下。

将\((x+3)\)展开进行乘法运算，得到的结果为\[x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9\]。

可以看出，它们的确是相等的。

由此我们可以得到，当一个二次方程 \(x^2 + bx + c = 0\) 可以写成 \((x + \frac{b}{2})^2 = 0\) 的形式时，就可以应用完全平方公式来求解它。

进一步来推导完全平方公式的一般形式。

我们假设一个一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\neq 0\)。

首先，我们将方程两边同时除以 \(a\)，得到：\[x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]。

然后，我们观察到 \(\frac{b}{a}x\) 这一项和 \(\frac{c}{a}\) 是关于 \(x\) 的一个完全平方，即：\[(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0\]。

整理一下，得到：\[(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}\]。

再将等式两边同时开方，我们可以得到：\[x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]。

a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解