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完全平方公式2

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完全平方公式2

完全平方公式2

你认为他这样计算可以吗？
有人说：完全平方和公式与完全平方差公式可以统 一成一个公式，你认为有道理吗？结果中间的运算 符号的取决于什么？
问题1
计算出结果，说说你的发现：
(1) (a+b)2 (-a -b)2
(2)
1
(-2x - 4 y )2 ( - 1 y +4x)2
8
(a - b)2
(b - a)2
(-b +a)2
(-a +b)2
问题2
要求用公式进行计算，你会选用哪个公式？
1. 1032
2. 1982
问题2
计算. (a+b+2) (a+b-2)，这个题你能运用公式解答吗？
小慧的做法：设a+b=x,则题目变为: （x+2) (x-2)=x2-4=(a+b)2-4=a2+2ab+b2-4.
关键在于把两个因式中相同的部分看作一个整体，从而 实现三项式变二项式。
请仿照上述思路计算： （1） (a-b+2) (a-b-2) （2） (a-b+2)2
问题3
1.育英中学有两个方阵，分别为a行a列的男生方阵和b 行b列的女生方阵，实验中学只有一个（a+b)行(a+b） 列的方阵，育英中学和实验中学参加方阵的人数哪个 多？多多少？
2.由1题中获得的关系式：（a+b)2-(a2+b2)=2ab,解决下面问题： 已知 a+b=11, a2+b2=65, 求ab的值。
复习回顾
(a+b)2= a2 +2ab+b2
完全平方公式特征：
1.左边：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。

这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。

首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。

接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。

最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。

2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。

这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。

首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。

接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。

最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。

这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。

了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。

完全平方公式2

完全平方公式2


解:设原正方形苗圃的边长为am,
边长增加1m后,新正方形的边长 为(a+1)m
(a 1) a
2
2
a 2 2a 1 a 2 2a 1
当a=30,2a+1=2х30+1=61
类似地,当a=29,a=32,a=27时,2a+1的值分别是59,65,55.
答:所以四块茶花苗圃的面积分别增加了61 ㎡,59 ㎡,65 ㎡,55 ㎡.
探索
一张边长为a的正方形，现在因 为工作的需要，将其边长增加b. b 边长增加后正方形的面积是多少？
a b 形式 1 ：
2
a
形式2：a 2 2ab b2
a
b
a b
2
a2 2ab b2
两数和的完全平方公式:
a b
2
a2 2ab b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积 的2倍。
今日作业: 作业本及课后练习
；
/ 聚星娱乐
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机关，也就是说没有任何出路，因为没有了法力，我也就被困在了那里，可是很奇怪，我感觉我在那里已经有好几天了可出来后才发现 不过短短几个小时，我在那里刚开始很着急，不知道你那边怎么样了，而自己也遭遇到了这样的困境，我四处寻找出口，但一无所获， 这一定是有一个法力高强的生物在控制着这里，后来我也就镇定下来，我就等着，既然他们要把我困在这里，那一定会有他们的目的。 果然，他们来了，让我意想不到的居然是魑魅。我疑惑地问：“魑魅，这是什么。”他耐心地解释道：“魑魅存在于世间的任何角落， 它们可以幻化成任何形体，除了动物和人类，它们吞噬腐烂的尸体，像灰尘一般，人类是感觉不到他们的存在的。如果他们想隐藏，即 使用显微镜都察觉不到他们的存在，但是妖和我们可以。他们变换成人类的影子穿过岩层向我奔涌而来，他们来到我面前却消失了，只 留下一个巨大的豁口，我顺着他们来的那条道走过去，来到了一个四通八达的地方，这个地方呈椭圆形，一面，就是我出来的这面有许 多洞口，这些洞口都朝着同一个方向，两端都堆着许多破瓦烂罐。洞口的对面有一面墙，这面墙很粗糙，是坑坑洼洼灰土墙，当这些墙 上居然出现了这个，山神把那个东西拿给我看，是一个圆形的大约有手掌这么大的玉盘。这玉盘通透清亮，浑然天成。上面雕刻精细。 是个上好的艺术品，价值无法估计。根据上面的雕刻可以看出这个是一个棕色的凶恶明王抱着巨大的轮，这个明王的头上有久的骷髅， 他的巨牙撩齿衔着轮的上部，大轮分成三层，圆心画鸡、蛇、猪。内轮分为六格，最外层又有十二个画面。我说：“这是藏族的斯巴霍 吗。”山神说：“看来你挺有见识的啊。斯巴霍都知道，以前还小看你了啊。”我说：“那是”我在心里想：多亏那时我多看课外书啊。 斯巴霍又称生死轮回图，圆心分别象征贪、嗔、痴。内轮代表地狱、恶鬼、畜生、阿修罗、人、天六道，最外层代表十二缘起。这里蕴 含着佛教的人生观，但这种人生观具体代表着什么都有不同的解释。山神说：“我看到这东西的时候顿时就明白了这是怎么回事，当年 卡瓦博格山神喜欢了一个居住在梅里雪山脚下的女孩，那个女孩还有了他的孩子，后来天神发现了，天神准备杀了那个女的，维护神的 名誉和所谓的光荣，卡瓦博格为了保护那个女孩和他的孩子，他花费了所有功力将女孩和他的孩子藏在了这个斯巴图里面，后来卡瓦博 格死了，天神派他的手下找遍了世间的每一个地方都没有找到，后来这件事就不了了之了。”我说：“也就是说这里面有两个人。”山 神说：“是，也不是，他们可能在另一个世界，据说，斯巴图是另一个世界的入口，不过谁也没有证实过，因为想要进去里面可是要付 出惨痛的代价的，而且进去里面
15.2.2完全平方公式(2)

15.2.2完全平方公式(2)


X2+4y2 a2-9b2
4x2-1/4
X2+6x
a2b2+8ab
1/9x2+2xy
根据完全平方公式可得到a2+b2=？
从上面可以得出什么规律？如果次 数不是2，是其它的数还成立吗？ 为什么？
小结
当堂检测

导学案P94:互动探究2.3.5.
作业：
1、教材156-157页第3、4题 2、阅读与思考
a-b-c= a-(b+c)
教学目标
1.知道添括号法则。 2.能灵活应用添括号法则对式子进行变形， 并能综合利用乘法法则进行运算。
预习指导ห้องสมุดไป่ตู้
请同学们阅读课本P155完成下例问题： 1。完成导学案P93问题探究一 2。完成导学案P93问题探究一

2-4x x
+4=(
2 )
下面各式添上什么项才能成为一个完全平方 式
1. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
2. 口诀：
首平方，尾平方， 积的两倍放中央
15.2乘法公式
15.2.2 完全平方公式（2）
去括号：a+(b+c)= a+b+c
a-(b+c)= a-b-c
添括号：a+b+c= a+(b+c)
完全平方公式(二)

完全平方公式(二)


课堂小结
1. 完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和 正确认识a、b表示的意义，它们可以是 数、也可以是单项式，还可以是多项式， 所以要记得添括号.
2. 解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不 同的方法会有不同的效果，要学会优化 选择.
作业
1. 教材习题1.12 2. 联系拓广：
(2) 第二天有 b 个女孩一起去了老人家 ，老人一共给了这些孩子多少块糖？
b2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(3)第三天这(a + b)个孩子一起去看老人 ，老人一共给了这些孩子多少块糖？
如果把完全平方公式中的字母a换成2xy2xz2yz把所得结果作为推广了的完全平方公式试用语把所得结果作为推广了的完全平方公式试用语言叙述这一公式言叙述这一公式课堂小结完全平方公式的使用
6 完全平方公式（第2课时）
1. 完全平方公式：
() 22+22
(a－b) 22－22
2. 想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些 什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗?
()2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
人教版八年级数学上册《1422 完全平方公式2 》课件

人教版八年级数学上册《1422 完全平方公式2 》课件


去括号法则： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相反．
把四个等式的左右两边反过来，即： （1） 4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2） （3） a+b+c =a+（b+c）（4）a-b+c=a-（b-c）
14.2.2 完全平方公式
第2课时
1.理解添括号法则. 2.能灵活应用利用添括号法则及完全平方公式
进行整式乘法运算． 3.进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则． （1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
【解析】（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c
（）
A．2m+3 【解析选】A.
B．2m+6
C．m+3
（m+3)2 m2 6m 9 2m 3.
3
3
D．m+6
2.（湖州·中考）化简a＋2b－b，正确的结果是（ ）
A．a－b
B．－2b
C．a＋b
D．a+2
【解析】选C.a＋2b－b=a＋(2b－b)=a+b.
3.（宿迁·中考）若2a-b=2,则6+8a-4b=
6.6完全平方公式(2)

6.6完全平方公式(2)

思路导引：(1)适当变形，把“x＋1”看作一个整体，把“y －z”看作另一个整体，即可运用平方差公式．(2)可将原式中的 任意两项看成一个整体．
【规律总结】综合运用公式计算时，一般要同时应用平方 差公式和完全平方公式，有的则需要经过适当变形才能运用公
式计算．
东平县初中数学
Hale Waihona Puke 巩固练习1.（1）(a+b-c)2 2 （2）(x-y+z) (3)(a+b-c)(a-b+c)
东平县初中数学
2.下列计算正确的是( A．(a＋m)2＝a2＋m2 B．(s－t)2＝s2－t2
)
1 C. 2 x 2
2
1 ＝4x2－2x＋4
D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n2 3．计算：(1)(2a－5b)2＝_______________； (2)(－2a＋3b)2＝________________.
鲁教版六年级数学下册第六章整式的乘除
完全平方公式（2）
东平县初中数学
完全平方公式的数学表达式： (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍.
东平县初中数学
学习目标：
东平县初中数学
小结：
2= a2 +2ab+b2 (a+b) 1.完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2.注意：完全平方公式与平方差公式的不同 3.注意：运用完全平方公式与平方差公式计算
时遇到三项，注意结合.
东平县初中数学
当堂达标
§14.2.2完全平方公式(二)

§14.2.2完全平方公式(二)

1．知识与技能：会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算.
2．过程与方法：会用几何拼图方式验证平方差公式
教学过程：
一．自主学习：
1.请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：
（1）=
（2）= ; （3）= ; （4）= ; （5）= ;（6）= ;
归纳：完全平方公式：（a+b）2=
（a-b）2=
2.去括号和添括号
；
（）；（）
添括号法则：语言叙述：
生练1：课本P111练习1题；
二．合作探究
1.你能计算吗？
（1）（2）
生练2：:课本P111练习2题；
三．解决实际问题
例3.从一块直径为（a+b)的圆形钢板中，挖去直径分别为a与b的两个圆，请你求出剩下钢板的面积？
例4：计算:
例5:化简求值：
四．盘点提升
（1）
（2）
（3）
（4）
五．达标检测
1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）
A．8 B．4 C．±8 D．±4
2．下列多项式能写成完全平方式的是（）
A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．多项式 x4-2x2y2+y4是（）计算的结果
A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C． D．
4.计算: ; 计算:
5.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面
积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：
就可以用图1或图2等图表示.
(1)请你写出图3中,能恒成立的代数等式:
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
六.总结反思。

14.2.2 完全平方公式2去括号

14.2.2 完全平方公式2去括号


八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式2
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
针对训练 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
＝(3a)2－(b－2)2 ＝9a2－b2＋4b－4. (2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)] ＝(x－y)2－(m－n)2 ＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形成 符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结果 两方面）
完全平方公式(二)公式变形试题讲解

完全平方公式(二)公式变形试题讲解


1 1 2 3ab 2 （5） a +______+9b =（ a+3b）2 2 4
你会吗？
选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是（c）
A ．4
B．-4
C．±4
D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则 正方形的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2
达标检测 反思目标
1.（ ）2=ｘ2＋６ｘｙ＋_____ 2.ａ2－ｋａｂ＋９ｂ2是完全平方式，则ｋ＝ _____． 3.计算（－ａ－ｂ）2结果是（ ） Ａ． a2－2ab+b2 Ｂ． a2+2ab+b2 Ｃ． a2+b2 Ｄ． a2－b2 4运用乘法公式计算 1 (1) ( x 1) 2 (2) 1052 (3) (a b 3)(a b 3)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 D （2）代数式2xy-x2-y2= ( A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
5. x y 8, x y 4, 求xy. xy 12
完全平方式. 4 k
4k
k 4
是 4 2
拓展：
思考题：
1 已知： x 3 x 1 2 1 2 求： x 和 (x ) 2 x x
的值
完全平方公式(二)

完全平方公式(二)

☾ 三项能看成两项吗? 平方差公式中的
相等的项(a)、 符号相反的项(b)
在本题中分别是什么？
=[ (a+b) +3 ][ (a+b)−−33 ]
=( a+b)2−( 3 )2
=a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 整体，解题中渗透了整体的 思想
例3 计算
1.（x-2y)（x+2y）-（x+2y）2+8Y 2
已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2
(2)a2+b2
若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2 的值吗?
Good bye
(m+n+p)2=[(m+n)+p]2
所得的结果吗?
=(m+n)2+2(m+n)p+p2
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2
=m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np
把所得结果作为推广了的完全 平方公式，试用语言叙述这一公式：
三个数和的完全平方等于 这三个数的平方和， 再加上每两数乘积的2倍。
温馨提示： 1.注意运算的顺序。
2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
学一学
(3) (a+b+3)(a+b-3)
观察 & 思考
若不用一般的多项式乘以多项式 , 怎样用公式来计算 ?
分析
因为两多项式不同, 即
不能写成(
)2,

完全平方公式2初备

课题第一章：整式的运算8、完全平方公式课型新授课课标与教材学生在已经学习了整式的加法、乘法，以及平方差公式的基础上，经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算。

整式是初中数学研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结。

同时，乘法公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。

而且乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要教学重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算，进一步体会完全平方公式中字母的含义。

教学难点：培养学生综合分析问题解决问题的能力。

学情知识储备：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。

学习优势：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力。

学困生分析：学生的分析，归纳，总结以及求简意识存在差异教学目标知识目标、1经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力。

2、从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算。

3、了解完全平方公式的几何背景，培养学生的数形结合意识。

熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感。

能力目标1、熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感。

2、能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

3、会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算情感目标：培养学生合作意识教学方法与媒体讲练结合、类比法、课件展示教具准备直尺、彩笔师生活动过程复备修改及设计意图一、回顾与思考活动内容：复习已学过的完全平方公式。

完全平方公式2

初二数学备课组
完全平方公式（2）
三.指导自学
ห้องสมุดไป่ตู้
问题1：计算 (a b c)
2
2
；
问题2：将 (a b c) 中的(a b) 看作 一个整体，你会计算吗？结果 有规律吗？ 问题3：你能利用前面所学的知识灵活 计算吗？
初二数学备课组
完全平方公式（2）
四.教师讲解
例题：
1. ( x 2 y z ) 2.
完全平方公式（2）
初二数学备课组
完全平方公式（2）
一.测验讲解:
利用乘法公式计算：
1. 2.
99
2
2
(2x 5) (2x 1)(1 2x)
初二数学备课组
完全平方公式（2）
二.教学目标：
1.掌握完全平方公式的推广，学会利用 换元思想进行转化； 2.掌握添括号和去括号的法则，并会灵 活运用； 3.能根据题目特点选择适当的公式进行 计算。
2
( x y 1)( x y 1)
3. (3m n p)(3m n p)
初二数学备课组
完全平方公式（2）
五.当堂训练 1. (3x 5 y 1) ( x 2 y)( x 2 y)
2
2. ( x 2 y 3z )( x 2 y 3z )
初二数学备课组
完全平方公式（2）
六.落实检测 计算： (a 2b 3)(a 2b 3) (2a b 1)2
初二数学备课组

完全平方公式2PPT课件

2
(2) (2xy+ 1 x )2 ;
5
(3)(n +1)2 − n2; (4)(-x-y)2.
.
10
生活在线：
老王去年承包了一块边长为a的正方形实验田，今年把 实验田进行了扩建，建成了一个边长增加了2米的大正 方形，问现在实验田的面积是多少？比原来增加了多 少？
2
a
a.
2
11Leabharlann 本节本课节你课你的学收到获了是什么什?么？
得出结论：
(a+b)2 = a2+2ab+b2
其实，据有关资料表明，古代中国人在很 多年以前就利用类似的图形认识了这个规 律。
.
3
三：自主探究
请你大胆猜想，科学验证 1：根据上面的结论，你能猜出(a-b)2 的结果吗？ 2：你能用不同的方法验证你猜测的结果吗？
(a-b)2 = a2-2ab+b2
.
6
完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b 2
(a-b)2= a2 - 2ab + b 2 即：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的两倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的两倍。
谐音记忆：
首平方，末平方，2倍的首末中间放，
符号与前一个样。
.
7
学以致用：
例1：利用平方差公式计算 (1)(2x-3)2 (2)(4x+5y)2 (3)(mn-a)2 (4)(-2t-1)2
.
8
做题后反思：
1：利用完全平方公式简便了我们的运算。
2：利用完全平方公式时，我们应注意的 一些问题有：
(1)中间项是积的2倍；

20个完全平方公式

20个完全平方公式
数学完全平方公式
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

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完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9

学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-

做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有一位老人非常喜欢孩子， 有孩子到他家做客时， 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。 糖果招待他们。 来一个孩子， 来一个孩子，老人就给这个孩子一块 来两个孩子， 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块糖，来三个，就给每人三块糖， 两块糖，来三个，就给每人三块糖， …… (1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家， 个男孩一起去了老人家， 老人一共给了这些孩子多少块糖？ 老人一共给了这些孩子多少块糖？ a2
例3 计算： 计算： (x-2)(x(2) (x+5)2–(x-2)(x-3)
(x+5)2-(x-2)(x-3) (x-2)(x=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) +10x+25)= x2+10x+25-x2+5x-6 +10x+25- +5x=15x+19
温馨提示： 温馨提示： 1.注意运算的顺序。 1.注意运算的顺序。 注意运算的顺序 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。 展开后的结果要注意添括号。

学一学
例2 利用完全平方公式计算： 利用完全平方公式计算： (1) 1022 ; (2) 1972 .
完全平方公式( 完全平方公式(a ±b)2=a2 ± 2ab+ b2 的左边的底数是两数的和或差. 的左边的底数是两数的和或差.
观察 & 思考
把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? 还是( 1972 =(200-3)2 =(200=2002-2×200×3+32 200× =40000=40000-1200+9 =38809

作业
1.基础训练：教材习题1.14 1.基础训练：教材习题1.14 。 基础训练 2. 扩展训练：联系拓广 扩展训练：

如果把完全平方公式中的字母“ 换成“m+n” 如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公 式中的“ 换成“ 变成怎样的式子? 式中的“b”换成“p”，那么 (a+b)2 变成怎样的式子? 怎样计算(m+n+p) 怎样计算(m+n+p)2呢? 变成(m+n+p) 逐步计算得到： (a+b)2变成(m+n+p)2。 逐步计算得到： (m+n+p)2=[(m+n)+p]2 m+n+p) [(m+n)+p =(m+n)2+2(m+n)p+p2 m+n) +2(m+n) =m2+2mn+n2+2mp+2np+p2 mp+2 =m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np mn+2mp+2 把所得结果作为推广了的完全 平方公式，试用语言叙述这一公式： 平方公式，试用语言叙述这一公式： 三个数和的完全平方等于 这三个数的平方和， 这三个数的平方和， 再加上每两数乘积的2 再加上每两数乘积的2倍。
仿照上述结果， 仿照上述结果， 你能说出(a− 你能说出(a−b+c)2 所得的结果吗? 所得的结果吗?
已知:a+b=5,ab= 6,求下列各式的值 已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值 :a+b=5,ab=(1)(a+b)2 (2)a2+b2
若条件换成a b=5,ab=-6,你能求出 若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2 你能求出a 的值吗? 的值吗?
a，b怎样确定？ 怎样确定？

随堂练习
1. 利用整式乘法公式计算： 利用整式乘法公式计算： (1) 962 ； (2) 2032 .

学一学
例3 计算： 计算： (1) (x+3)2 - x2
你能用几种方法进行计算?试一试。 你能用几种方法进行计算?试一试。 解: (1) 方法二

做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有一位老人非常喜欢孩子， 有孩子到他家做客时， 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。 糖果招待他们。 来一个孩子， 来一个孩子，老人就给这个孩子一块 来两个孩子， 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块糖，来三个，就给每人三块糖， 两块糖，来三个，就给每人三块糖， …… (2) 第二天有 b 个女孩一起去了老人家， 个女孩一起去了老人家， 老人一共给了这些孩子多少块糖？ 老人一共给了这些孩子多少块糖？ b2
解: (2)
学一学
例3 计算： 计算： (a+b+3)(a+b(3) (a+b+3)(a+b-3)
若不用一般的多项式乘以多项式 , 怎样用公式来计算 ?
观察 & 思考
因为两多项式不同, 因为两多项式不同, 即 分析 不能写成( 不能写成( )2 , 故不能用完全平方公式来计算 , 只能用平方差公式来计算 . 平方差公式中的 相等的项( 相等的项(a)、 符号相反的项( 符号相反的项(b) 在本题中分别是什么？ 在本题中分别是什么？



3. 想一想： 想一想：
两个公式中的字母都能表示什么? 两个公式中的字母都能表示什么? 数或代数式
根据两数和或差的完全平方公式， 根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗? 能够计算多个数的和或差的平方吗? 完全平方公式在计算化简中有些什么作用? 完全平方公式在计算化简中有些什么作用? 带着这些问题， 带着这些问题，进入我们今天这节课的 研究！ 研究！

做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有一位老人非常喜欢孩子， 有孩子到他家做客时， 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。 糖果招待他们。 来一个孩子， 来一个孩子，老人就给这个孩子一块 来两个孩子， 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块糖，来三个，就给每人三块糖， 两块糖，来三个，就给每人三块糖， …… (3) 第三天这（a + b)个孩子一起去看老 第三天这（ 人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (a+b)2 老人一共给了这些孩子多少块糖？

学一学
例2 利用完全平方公式计算： 利用完全平方公式计算： (1) 1022 ; (2) 1972 .
完全平方公式( 完全平方公式(a ±b)2=a2 ± 2ab+ b2 的左边的底数是两数的和或差. 的左边的底数是两数的和或差.
观察 & 思考
怎样确定？ 把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? a，b怎样确定？ 还是( 1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 +2×100× =10000+400+4 =10404

做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有一位老人非常喜欢孩子， 有孩子到他家做客时， 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。 糖果招待他们。 来一个孩子， 来一个孩子，老人就给这个孩子一块 来两个孩子， 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块糖，来三个，就给每人三块糖， 两块糖，来三个，就给每人三块糖， …… (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ (a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab

1. 完全平方公式： 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
2. 口诀： 口诀：
首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减 首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 看前方，同加异减。 看前方，同加异减。