2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五

2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之一 1（北京市）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB AC ，上， 设CD ，BE 相交于点O ，若∠A=60°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．2（上海市）25.已知：∠MAN=60°，点B 在射线AM 上，AB=4（如图10）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B ，P ，Q 按顺时针排列），O 是△BPQ 的外心．（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在 ∠MAN=60°的平分线上；（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP=x ，AC ·AO=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）若点D 在射线AN 上，AD=2，圆I 为△ABD 的内切圆．当△BPQ 的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．BOAD EC图10备用图3（天津市） 已知关于x 的一元二次方程x c bx x =++2有两个实数根21,x x ，且满足01>x ，112>-x x 。

（1）试证明0>c；（2）证明)2(22c b b +>；（3）对于二次函数c bx x y ++=2，若自变量取值为0x ，其对应的函数值为0y ，则当100x x <<时，试比较0y 与1x 的大小。

2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五82.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运4OD = ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得3m = 当2652m m -+=-时，解得3m =．∴当点P 运动到(3或(3或(32)-或(32)-时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 114222BM AB ∴==⨯=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．1121EB BM ∴==⨯=，EM =，4OE =．点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．x解：（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab， ∴ 抛物线的解析式为y = ax 2－2ax －3（a ＞0）， 过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN = 1，5=CM ，∴ CN = 2，于是m =－1．、C84.（南充市）25.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．3∵Q （8，m ）抛物线上，∴m ＝2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK ＝2，AK ＝6， ∴AQ =又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ ＋PB 的最小值＝AQ ＝．行于x 轴，B C D ，，三点在抛物线2425y x =上，DC 交y 轴于N 点，一条直线OE 与AB 交于E 点，与DC 交于F 点，如果E 点的横坐标为a ，四边形ADFE 的面积为1352．（1）求出B D ，两点的坐标； （2）求a 的值；（3）作ADN △的内切圆P ，切点分别为M K H ，，，求tan PFM ∠的值．设⊙P 的半径为r ，则12521)13125(21⨯⨯=++=∆r S AND ，r ＝2 在正方形PMNK 中，PM ＝MN ＝2∴413452=+=+=NF MN MF 在Rt △PMF 中，tan ∠PMF ＝1384132==MF PM图（13）A m 又∵ 抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . （2）由题意，AD DGAO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2-m ，故DG=4-2m ， ···· 又BE EFBO OC=，EF=DG ，得BE=4-2m ，∴ DE=3m ， ∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2(0＜m ＜2) .注：也可通过解Rt△BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. (3)∵SDEFG=12m-6m 2(0＜m ＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)， 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=23，b=-23，∴2233y x =-， 又可求得抛物线P 的解析式为：2142y x x =+-，61b 三角形MND （D 为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．解：（1）证明：∵抛物线y ＝x 2－2ax ＋b 2经过点(0)M a c +，∴22()2()0a c a a c b +-++= ∴22222220a ac c a ac b ++--+=∴222b c a +=由勾股定理的逆定理得： ABC △为直角三角形（2）解：①如图所示； ∵3MNP NOP S S =△△∴3MN ON = 即4MO ON =∴2c c = 又c ＞0，∴c ＝1由于c ＝53a b ＝54a ∴a ＝35b ＝34∴当a ＝35，b ＝34，c ＝1时，MNP △为等腰直角三角形。

河南省实验区07中考23．(11分)如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+． 把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6．① 根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．河南省开封市07中考(无答案)25. (本题满分12分) 已知：⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，过点B 作CD ⊥AB ，分别交⊙O 1和⊙O 2于点C 、D.（1）如图8，求证：AC 是⊙O 1的直径； （2）若AC ＝AD ，① 如图9，连结BO 2、O 1 O 2，求证：四边形O 1C BO 2是平行四边形； ② 若点O 1在⊙O 2外，延长O 2O 1交⊙O 1于点M ，在劣弧︵MB 上任取一点E （点E 与点B 不重合）. EB的延长线交优弧︵BDA 于点F ，如图10所示. 连结 AE 、AF.则AE AB （请在横线上填上 “≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明. （友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）26. (本题满分13分) 已知：O 是坐标原点，P （m ，n）(m ＞0)是函数y ＝ kx(k ＞0)上的点，过点P 作直线PA ⊥OP 于P，直线PA 与x 轴的正半轴交于点A （a ，0）(a ＞m ). 设△OPA 的面积为s ，且s ＝1＋n 44. （1）当n ＝1时，求点A 的坐标； （2）若OP ＝AP ，求k 的值；(3 ) 设n 是小于20的整数，且k ≠n 42，求OP 2的最小值.图 8图 9图 10。

中考压轴题1．(2007昆明)如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得： OB=OA=2，∠BOD=60°在Rt △OBD 中，∠ODB=90°，∠OBD=30° ∴OD=1，∴点B 的坐标是（1） 2分（2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，由已知可得：420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得：a=3，b=3，c=0∴所求抛物线解析式为y=3x 2+3x 4分 （备注：a 、b 的值各得1分）（3）存在 5分由y=3x 2+3x 配方后得：y=3（x+1）2-3∴抛物线的对称轴为x=-1 6分 （也可用顶点坐标公式求出）∵点C 在对称轴x=-1上，△BOC 的周长=OB+BC+CO ， ∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小， ∵点O 与点A 关于直线x=-1对称，有OC=CA △BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小． 设直线AB 的解析式为y=kx+b，则有：20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得：k=3，b=3∴直线AB 的解析式为 7分当x=-1时，y=3∴所求点C 的坐标为（-1，3）8分（4）设P （x ，y ），（-2<x<0，y<0），则2x ①过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，PG ⊥x 轴于点G ，过点A 作AF ⊥PQ 于点F ，过点B 作BE ⊥PQ•于点E ，则PQ=-x ，PG=-y ，由题意可得：S △PAB =S 梯形AFEB -S △AFP -S △BEP 9分 =12（AF+BE ）·FE-12AF ·FP-12PE ·BE=12（）（1+2）-12（-y ）（x+2）-12（1-x ））=-32y+2 ②将①代入②，化简得：S △PAB =-2x 2-2分x+12）2∴当x=-12时，△PAB ． 11分此时，y=3·14+3·（-12）=-4∴点P 的坐标为（-12，-4） 12分 2．（2008昆明）如图，在直角坐标系中，以点(30)M ，为圆心，以6为半径的圆分别交x 轴的正半轴于点A ，交x 轴的负半轴于点B ，交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的直线交x 轴的负半轴于点(90)D -，． （1）求A C ，两点的坐标；（2）求证：直线CD 是M 的切线；（3）若抛物线2y x bx c =++经过M A ，两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC ，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD 交于点E ，与AC 交于点F ，如果点P 是抛物线上的动点，是否存在这样的点P ，使得:PAM CEF S S △△3=，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号） 解：（1）连接CM ，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6 OA=OM+MA=3+6=9A （9，0）……………………………………1分22OC MC ===∴C （0，……………………………………2分 （2）证法一： 在Rt △DCO 中，DC DO ===在△DCM 中，22226144CM DC +=+=2222()(93)12144DM DO OM =+=+==222CM DC DM ∴+=……………………………………3分∴△DCM 直角三角形。