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第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。
《等比数列前n项和》教学反思5篇《等比数列前n项和》教学反思篇1一教学背景分析1．教学内容分析本节课是高中数学（北师大版必修5）第一章第3节第二课时，是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。
而且公式推导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。
本节以数学文化背境引入课题有助于提升学生的创新思维和探索精神，是提高数学文化素养和培养学生应用意识的良好载体。
2．学情分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。
不利因素是，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是高二理科班的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃敏捷，却缺乏冷静深刻，因此片面不完全。
二．教学目标依据新课程标准及教材内容，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的。
教学目标如下：1知识与技能目标: 理解等比数列前n项和公式推导方法；掌握等比数列前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2．过程与方法目标：感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究分析与解决问题的能力。
3情感与态度目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试勇于探索敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学的奇异美结构的对称美形式的简洁美和数学的严谨美。
三．重点，难点教学重点：等比数列前“等比数列的前n项和”项和公式的推导及其简单应用。
数列公式汇总-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1人教版数学必修五第二章 数列 重难点解析第二章 课文目录2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n 项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式：,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
等比数列的前n 项和【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式推导方法． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1． 教材开头的问题可以转化成求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= ② 思考：①,②的右边相同的项有 1 ； 如何消去这些相同的项？ 得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn= （q ≠1）； 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成Sn= （q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 当ｑ=１时，Sn= ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？ ； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = ，从函数的角度看，可以由指数函数n q 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()．()A 63 ()B 64 ()C 127()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn ． 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a , =2a ,=3a ,a 的值为 ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = ；n = .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = ；q = .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{.12⋅=-=1.若等比数列{}n a 前n 项的和,5m s n n +=则()=m ．()1-A ()1B ()5-C ()5D ．2. 若等比数列{}n a 前n 项的和,13-=n n s 则此数列为().()A 等差数列 ()B 等比数列 ()C 常数数列 ()D 递减数列．3. 在等比数列{}n a 中，（1）已知64,141=-=a a ，则=q ，=4s ； （2）已知,29,2333==s a ，则=q ，=1a 或=q ，=1a ． 4.如果一个等比数列{}n a 前5项的和为10，前10项的和为50，那么它15项的和 为 ．5. 在等比数列{}n a 中，已知12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ，则求2232221n a a a a +⋅⋅⋅+++．6.已知n s 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,s s s 成等差数列，求证582,,a a a 成等差数列．1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()=24a s ．()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2.（2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-=必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 【难点】1. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式；2. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1．教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①② 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ② 思考：①,②的右边相同的项有 a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ；如何消去这些相同的项？用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1）；又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qqa a n --11（q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 数列的通项由两部分的积组成，一部分是等差数列，一部分是等比数列 当ｑ=１时，Sn= 1na ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？知其中三个通过联立方程（组）求另外两个； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = n A Aq - ，从函数的角度看可以由指数函数nq 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为()()111,(1).n n n s a s s a n -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩ 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()C ．()A 63 ()B 64 ()C 127 ()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn 答：（1）189n s =；（2）9145n s =-（3）211n s =或55.n s = 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a 2 , =2a 6 ,=3a 18 ,a 的值为 1- ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 解：231010173757197,s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2351011107173757177197.s ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯两式相减得：23101110617272727197,s -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯121014479s +⨯∴=．【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质 例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【审题要津】这里能用的公式有等比数列通项公式与前n 项和公式，而前n 项和公式只有两种情况，直接利用公式或通过通项公式转化．解：（1）①8181112211255,,12225612a q s ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==∴==-； ②8191127,,27,243243a a q ==∴=⨯8116400,,.381q q s <∴=-∴= （2）10410412121008.1212s s ---=-=-- （3）1211128,66n n n a a a a a a -==+=，12,64n a a ∴==或164, 2.n a a ==当1q >时，264126.1n qs q-==-解得2,q =6;n = 当1q <时，642126.1n qs q-==-解得1,2q = 6.n =【方法总结】结合等比数列通项公式与前n 项和公式，正确分析条件，选择恰当的公式求解．【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = 17 .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = -5 ；n = 7 .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = -3 ；q = -2 .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.【审题要津】等差数列、等比数列是数列的特例和基础，注意它们基本公式在解题的思路和作用.解：（1）设数列{}n a 的公差d ，依题意得119421a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15,4a d ==.故{}n a 的通项公式为4 1.n a n =+ （2）由41n a n =+得412,n n b +=当412,2,nn b n b -≥= 所以{}n b 是首项512,b =公比42q =的等比数列. 故得{}n b 的前n 项和()()54442213221.2115n n n s --==-【方法总结】利用基本量、基本公式解题是数列的基本思路和方法. 类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ．【审题要津】观察数列的通项，适当变形后，转化为等差或等比数列求解． 解：（1）拆项法求和()2123n s a a a n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+1(1)(1)12n a a n n s a a +-+∴=-≠-当 (1)1,.2n n a s na +==-（2）错位相减法求和12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s n n n nx x n x x xs +-+⋅⋅⋅++=∴-12)1(2 n n n nx x x x s x -+⋅⋅⋅+++=-∴-121)1( 当1x ≠时，;1)1(12xnx x x s nn n ----= 当1x =时，.2)1(+=n n s n 【方法总结】认真观察分析数列的通项，（1）拆项法求和：适当变形后，转化为两个等差或等比数列求和后再求和差；（2）当数列的通项可化为等差与等比的积或商时，可用错位相减法求和；（3）应用并体会数列求和中的转化的思想方法． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{2⋅=-=.2)94(182)94(182)54(21)21(4422)54(242②① ② ,2)54(2)94(22①,2)54(232,25)(4n (2)b 1.a 4,d }{a ,45)1(45n 4a a ，2n *).(54a ，a .54)1(31)-2(n 3n 2n S S a ，2n 1,S a 1:1n 1n 1n 11n 2112n 21n 1n 1n n n 1221n n n 11+++-++--⋅-+=∴⋅---=⋅----⋅+-=⋅-++⋅+-=--⋅-+⋅-++-=⋅-++⋅+-=∴⋅-=-===+---=-≥∈-=-=-+--=-=≥-==n T n n n T n n T n T n N n n n n n n n n n n n n 得是等差数列且所以时当故适合上式又时当）证明（解1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()C a s =24． ()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2. （2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-= 解：()() 1.1)2(n 2n 1)(2 2n 2221S 两边相减得,2n 2222S 得：2两边乘以,2n 23221S 2n a 即n,2a 知1 2.的等差数列1公差为1,是首项首}{b 因此1,a b 又 1.b 12a 222a 2a b 得22a a 由已知数 (1) n n n n 1n 21n n 2n 1n 21n 1n n 1n nn 11n 1n n n n n n 1n 1n n n 1n +-=⋅+--=⋅+-⋯----=⋅+⋯+⋅+=⋅+⋯+⋅+⋅+=⋅====+=+=+==+=-----+-+由。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。
