15-16版：3.1 等比数列(二)(创新设计)
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3.1 等比数列(二)[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.理解等比数列的有关性质.3.能够应用等比数列的通项公式、性质解决问题．[知识链接]在等差数列{a n }中，通项公式可推广为a m ＝a n ＋(m －n )d ，并且若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？[预习导引]1．等比数列的第二通项公式．等比数列的通项公式为：a n ＝a 1q n －1，推广形式为：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)． 2．等比数列的性质(1)如果m ＋n ＝k ＋l a m ·a n ＝a k ·a l .(2)如果m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .(3)若m ，n ，p 成等差数列，a m ，a n ，a p 成等比数列．(4)在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N ＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(5)如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|. (6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a k ·a n －k ＋1＝….要点一 等比数列性质的应用例1 已知数列{a n }为等比数列．若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值；解 ∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，∴(a 3＋a 5)2＝36，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6.规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a 1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪演练1 (1)在递增等比数列{a n }中，a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11的值．(2)已知数列{a n }成等比数列．若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)在等比数列{a n }中，∵a 1·a 9＝a 3·a 7，∴由已知可得：a 3·a 7＝64与a 3＋a 7＝20.联立得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 7＝16，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 7＝4. ∵{a n }是递增等比数列，∴a 7>a 3.∴取a 3＝4，a 7＝16，∴16＝4q 4，∴q 4＝4.∴a 11＝a 7·q 4＝16×4＝64.(2)由a 3a 5＝a 24，得a 3a 4a 5＝a 34＝8.解得a 4＝2.又∵a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.要点二 灵活设项求解等比数列例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解 方法一 设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋(a ＋d )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6. 所以，当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)， 由条件得⎩⎨⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d . 跟踪演练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．解 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8. ∵(a q－2)＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12， ∴这三个数为4,8,16或16,8,4.要点三 等比数列的实际应用例3 某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ； 令25n 2＋225n ≥4750，即n 2＋9n －190≥0，解得n ≤－19或n ≥10.而n 是正整数．∴n ≥10.故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知，{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×(1.08)n －1， 由题意可知a n ＞0.85b n ，即250＋(n －1)×50＞400×(1.08)n －1×0.85满足上述不等式的最小正整数n ＝6.故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 规律方法 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．跟踪演练3 始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶从最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解 设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记：a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格：a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )；9月份价格：a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.即7月到9月平均每月下降的百分比为18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8. 即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至谷底(即34美元每桶)．要点四 等差数列与等比数列的综合应用例4 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋m(m ∈N ＋)． (1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N ＋，t ≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；符合上式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(1)由b n ＝a n a n ＋m (m ∈N ＋)知，b 1＝11＋m ，b 2＝33＋m， b 8＝1515＋m， ∵b 1，b 2，b 8成等比数列，∴(33＋m )2＝11＋m ×1515＋m， 解之得：m ＝9或m ＝0(舍去)．故m ＝9.(2)若存在m ，使b 1，b 4，b t 成等差数列，则2b 4＝b 1＋b t ，∴77＋m ×2＝11＋m ＋2t －12t －1＋m ， ∴t ＝7m ＋1m －5＝7(m －5)＋36m －5＝7＋36m －5， 由于m 、t ∈N ＋且t ≥5.令m －5＝36,18,9,6,4,3,2,1，即m ＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t 均为大于5的整数．∴存在符合题意的m 值，且共有8个数．规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．跟踪演练4 已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．解 (1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21；S n ＝19n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋20n ， 即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1， 即b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 A解析 由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9等于( )A ．9B ．6C ．3D ．2 答案 C解析 因为a 2a 9＝a 1a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝log 327＝3.3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.4．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是否是等比数列？解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1.等比数列的“子数列”的性质若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公比为q 的等比数列；(2)奇数项数列{a 2n －1}是公比为q 2的等比数列；偶数项数列{a 2n }是公比为q 2的等比数列；(3)若{k n }成等差数列且公差为d ，则{ak n }是公比为q d 的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．2．等比数列的单调性(1)当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，等比数列{a n }是递增数列；(2)当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，等比数列{a n }是递减数列；(3)当q ＝1时，等比数列{a n }是常数列；(4)当q <0时，等比数列{a n }是摆动数列．3．等比数列的设项法(1)一般地，当等比数列的项数为奇数时，可设中间一个数为a ，再以公比为q 向两边对称地设其项；(2)当项数为偶数，公比大于零时，可设中间两项分别为a q，aq ，再以公比为q 2向两边对称地设其项．。
