文献综述--利率期限结构建模

一、 范龙振

中国债券及其衍生产品交易市场主要由交易所市场和银行间市场组成，交易所市场以上海证券交易所市场为主。国债交易提供了一个基准的市场利率期限结构。通过国债交易价格，可以准确地了解短期、中期和长期利率及其变化。由于我国主要发行长期债券，投资者判断市场短期利率主要以回购利率为依据。

预期假设认为，长期无违约风险资金的利率是对从今天到长期资金的到期日这一段时间内短期利率的平均值的预期。但是，由于两者风险不同，相差一个风险溢酬。若该风险溢酬为0，称为纯预期假设。实证得出，回购利率期限结构的样本平均是一个上升的利率期限结构，期限越长，回购利率的标准差越小。此外，各期回购利率表现出较强的自相关性。通过检验风险溢酬是否为零，发现回购利率期限结构具有明显的风险溢酬，纯预期假设不成立。在另一文章中，作者使用Fama-Bliss回归方法，亦得到相同结论。在此前提下，不同于Long

staff ，作者把利率期限结构的斜率作为解释变量，得出利率期限结构的斜率越高，风险溢酬越大，同时将来短期利率的预期值也越高，利率期限结构的斜率能够同时预测将来利率的走势和解释长期回购利率的风险溢酬。值得注意的是，较短期回购利率的斜率主要反映利率的风险溢酬，而较长期回购利率的斜率主要反映将来短期利率走向的预期。

传统的利率模型假定短期利率的变化服从一个随机过程或者由一些不可观测的状态变量决定，再依据预期假设和对风险溢酬的假定，短期利率或状态变量决定出中长期利率及其变化过程。常见的利率模型有：Vasieek模型，Ho-Lee模型，Hull- white模型，CIR模型，仿射模型，H JM 模型，广义高斯仿射模型等的模型。这些模型可以较好地描写利率期限结构的横截面特征，广义高斯仿射模型最好，仿射模型次之，CIR 模型与Vasicek 模型难分高下。

国外有很多从国债的价格估计利率期限结构的模型方法，比较著名的几个模型为Nelson

-Siegel 参数估计模型(1987) ，Svesson 参数估计模型(1994) ，Fisher-Nychka-Zervos样本插值模型( 1995 )， Anderson-Sleath 样本插值模型(1999)。Nelson-Siegel 参数估计模型只需要估计4个参数，估计方法对某一个时点债券的个数要求最少，被国内学者广泛接受用于估计中国债券市场的利率期限结构。我国早期发行的国债主要是到期时一次性还本付息债券，最近发行的债券以付息债券为主。但这两类债券都不能直接告诉投资者某个时间点的利率期限结构。作者利用Nelson-Siegel 参数估计模型求出了上交所债券市场债券价格隐含的利率期限结构，发现1996 年前为逆向的利率期限结构，1996 年后为上升的利率期限结构，利率期限结构形状不同于同期银行存款利率。

作者多次利用不同利率模型进行实证分析，其主要方法基本一致。首先，利用Nelson-Siegel 参数估计模型等方法求出利率期限结构，利用主成份分析法分析需要多少状态变量，利率模型才能描述上交所债券市场的利率期限结构及其变化；然后，选择适当的利率模型，刻画利率期限结构，得出利率定价公式；最后，对模型参数进行估计。估计方法主要有MCMC（马尔科夫链蒙特卡洛）方法、GMM估计（广义矩估计）、QML估计（准似然函数最大值法）、EMM（有效矩估计）、卡尔曼滤波结合极大似然估计、最小二乘估计。GMM不仅计算量大而且复杂, 到目前为止还没有文献提到用GMM成功估计出含马尔可夫状态转换的随机波动模型；QML方法的优点是直接而且计算量小, 但估计结果缺乏有效性, 原因在于在处理随机波动率问题时它常常涉及到用一个相同均值和方差的正态分布来替代log-χ2随机变量；EMM使用较少。由于短期利率和状态变量都是不可观测的，作者主要使用卡尔曼滤波法( Kalman filter) 和极大似然估计法估计模型有关参数，这一模型也是应用最为广泛流行的。 以传统的仿射模型(Afine model)为代表(大部分常见的利率模型都可以看成是它的特殊情况)，模型通常假定债券的超额回报，也就是风险金等于债券的波动率乘以一个常数。这种假定与超额回报率完全来自于风险的现代金融理论一致，但这些模型无法解释实证中债券的回报率为什么表现出那么强的可预测性，以及债券市场表现出的较强的波动率和较小的超额回报率，甚至是负的超额回报率。对利率可预测性的关注催生了Duffee提出的广义仿射模型( essential affine model)。广义仿射模型的关键改进是假定风险金不仅与利率的波动率有关，而且也直接与利率的当前水平有关。

通过实证研究连续时间的两因子、三因子Vasicek 模型对上交所利率期限结构的描述情况，结果表明，两因子Vasicek 模型可以反映样本期内上交所利率期限结构的形状，但模型不能反映利率期限结构的时间序列变化。因此， 模型可用于利率产品的定价，但不能用于利率变化的预测。同时发现，三因子模型相对于两因子模型，不能够明显改进对上交所利率期限结构的拟合。另一实证分析得到类似结论，即两因子仿射模型和广义高斯仿射模型都可以较好地反映利率期限结构的横截面信息，但对利率期限结构的时间序列信息反映不充分，利率模型都不能反映利率期限结构的可预测性。在其后研究中，作者根据主成份分析法分析发现需要两至三个状态变量，才能描述上交所债券市场的利率期限结构及其变化。在解释利率变化的主成份中，第1个主成份反应了利率期限结构的平均水平；第2个主成份反映了长短期利率的差别，相当于利率期限结构的斜率；第3个主成份相当于反应了利率期限结构的曲度(Curvature) 。实证得出上交所债券价格隐含的利率表现出一定的可预测性，从三因子广义高斯仿射模型描述上交所的利率期限结构变化，发现广义高斯仿射模型可以较好地描述这种可预测性。

总的来说，当前利率模型发展的一个主要目的就是发现符合金融理论的能够反映利率变化可预测性的利率模型。主要方法是使利率的风险金形式足够灵活，以便反映利率风险金的动态变化。

另一方面，Vasicek 模型是关于利率期限结构的一个均衡定价模型，它反映了债券的风险金及投资者关于将来利率变化的预期。 在Vasicek 模型下，债券及很多利率衍生证券的价格有很简单的分析表达式。 第一个Vasicek 是一个单因子利率模型，而由于现实中利率的变化很难用单因子描述，后来人们把单因子模型推广到多因子Vasicek 模型，尽管后来出现了很多更为复杂的利率模型，多因子Vasicek 模型同样可以非常简便地评价债券的价格与风险。

假定1年期储蓄存款利率的变化服从跳跃过程，将其作为一个状态变量，并假定1年期市场利率是决定市场利率期限结构的另外一个状态变量，均值由1年期储蓄存款利率决定，服从Vasicek模型。把1年期储蓄存款利率作为决定利率期限结构的状态变量引入到仿射模型为框架的利率模型中，采用MCMC方法对模型参数进行估计。MCMC方法实际上是一种贝叶斯估计方法，它要求对未知参数的先验分布做出假定。实证表明模型能够很好地拟合利率期限结构样本观测值的均值、标准差、偏度、峰度特征， 以及利率期限结构样本观测值的序列相关性特征；债券的超额回报率显著受官方利率跳跃风险的影响和1年期市场利率与储蓄存款利率差大小的影响。

在对上交所回购利率的实证分析中，回购利率的标准差从短期到长期逐渐变大。同时看到在样本期间，利率的时间序列变动趋势是一个稍微下降的趋势，并且利率变化的序列相关性不明显，接近于随机走动。条件检验表明风险溢酬与利率水平显著相关，为了充分描述这一特征，采用高斯本性仿射模型。由于回购利率期限结构是非常短期的利率期限结构，只考虑用单因子和两因子模型描述利率期限结构的变化。单因子高斯本性仿射模型其实可以看成是Vasicek 模型的推广，短期利率即为状态变量。两因子高斯本性仿射模型，从短期利率分解出两个状态变量。两因子模型包含单因子模型作为一种特殊情况。利用卡尔曼滤波法对高斯本性仿射模型进行估计，似然比检验法进行检验。结论是利率期限结构的样本均值是一个上升的利率期限结构，利率水平越高，风险溢酬越大。回购利率的波动率也随着期限变长逐渐变大。回购利率之间表现出很高的相关性，两因子高斯本性仿射模型相对于单因子高斯本性仿射模型，对利率期限结构的描述没有明显改进，并且两个因子表现出极高的相关性。说明单因子模型是合适的描述利率期限结构变化的高斯本性仿射模型。纯预期假设可以解释扣除风险溢酬下的利率期限结构。也就是回购利率可以分解为对将来利率的预期部分和单因子高斯本性仿射模型给出的风险溢酬部分。

二、 谢赤

作者对现阶段利率期限结构理论和模型和研究进展做出了深入阐述，将常见的随机期限结构模型和衍生证券定价模型,按其研究方法分为无套利模型和均衡模型两大类。Vasicek模型(1977)（赵静娴、杨宝臣将Vasicek模型归类于均衡模型），Ho与lee (1986) , Hull 与White

( 1993) 以及HJM (1992) 等属于第一类。以Vasicek模型为例，将瞬时利率r运动的风险中性过程表述为：dr = k(θ- rt) dr +σdW(t)。这里,k为均值回复速度,θ为长期均衡的利率水平,σ为利率的波动率,W(t) 为维纳过程,该过程的漂移率k(θ- rt)能很好地描述均值回复现象。但利用该模型来描述利率运动的不足之处就是瞬时利率在未来可能为负值,与现实相违背。Merton(1973) 和Cox , Ingersoll , Ross (1985) 的工作属于第二类。例如，CIR(1985)模型 在对未来事件的预期、风险偏好、市场参与者个人偏好、消费时间的选择通盘进行了考虑之后,建立了一个基本的瞬时利率模型：dr = k(θ- r) dt +σrdW(t)。这里,漂移率k (θ- r) 可以描述均值回复现象,波动率σr含有r ,可克服Vasicek模型r可能为负数的弱点。

按照利率期限结构研究的发展，又可以将其分为最开始假定短期利率在时间序列上服从一随机过程，有关单因素模型的研究（最有代表性的是CKLS模型，Vasicek单因素模型和CIR单因素模型也在该模型框架下），即目标变量(利率的变化)仅是一个状态变量(短期利率)的函数,一般用极大似然法(MLE ) 进行估计进而推导出债券的价格方程。到后来发现短期利率还具有向一均衡水平靠拢的行为, 即均值回复行为(mean version ); 同时还受本身以及多种宏观经济因素的影响, 如跳跃因素(jump effect ) 、结构转换因素(regime switching ) 、门槛点因素(threshold effect) 、摩擦因素(friction effect) 等非线性因素。在多因素模型框架下，产生许多研究进展，如多因素模型ARCH族模型和随机波动模型。ARCH族模型最具代表性的是ARCH/GARCH模型和SV模型, 两者不同的是ARCH/GARCH模型是把波动看作是过去客观测变量(资产收益)的函数,SV模型则是把波动过程看作是不可观测变量或者隐含变量的函数。实证表明，SV模型的估计难度较大, 但它比ARCH族模型能更好的刻画短期利率的时间序列变化。加入更一般的随机漂移模型和利率均值回复特性，多因素vasicek模型被陆续提出, 学者们也对vasicek基础上的随机均值模型做了大量研究。然而随机漂移模型结果却不显著，而均值回复模型却是异于国外实证，是显著的。